2024年中考数学专题复习讲义——　定义“新方法”题型之一元一次不等式(组)（含答案）

一(8) 定义“新方法”题型之一元一次不等式(组)
★ 一元一次不等式(组) ★
【范例详解】
例.阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：
（1）______；
（2）当时，求x的取值范围．
【解析】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．
解：（1）由题意得﹣1，故答案为：﹣1；
（2）由题意得：，3（2x－3）≥2（x+2），6x－9≥2x+4，4x≥13，x≥ ，∴x的取值范围为x≥．
【巩固练习】
1.定义一种运算：，则不等式的解集是
A. 或 B. C. 或 D. 或
2.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：
．
（1）求；
（2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
3.我们学习了一元一次不等式（组）的解法，请阅读学习一元二次不等式的解题思路方法，并以此解决后面的问题.
【课题学习】如何解一元二次不等式？
例题：解一元二次不等式x2-4>0.
解：将x2-4分解因式，得x2-4=(x+2)(x-2),∵x2-4>0,∴(x+2)(x-2)>0,根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，则有(1)或(2) , 解不等式（1）得：x>2,解不等式（2）得：x<-2,∴(x+2)(x-2)>0的解集为x>2或x<-2,即一元二次不等式x2-4>0的解集是x>2或x<-2.
【课题总结】解一元二次不等式的过程，体现了数学的化归思想及分类讨论思想。
【问题解决】(1) 解一元二次不等式x2-3x>0.
(2)类比一元二次不等式的解题思路方法，直接写出分式不等式<0的解集是_______________;
4.对于任意的实数a,b定义一种新运算“ ”，规定x y=ax2+by2,其中x,y是非零常数.如2 4=a×22+b×42=4a+16b.
(1)填空：1 3=_______________(用含a,b的代数式表示)；
(2)已知1 2=-3，2 1=3.
①求a,b的值；②若关于m的不等式组恰好有三个整数解，求n的取值范围.
5.在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 ……
脚长（毫米） ……
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
序号n 1 2 3 4 5 6 ……
鞋号 22 23 24 25 26 27 ……
脚长 ……
脚长 160 165 170 175 180 185 ……
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
6．阅读材料：基本不等式≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中我们把叫做正数a、
b的算术平均数，叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具．
例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？
解：∵x＞0，＞0∴≥即是x+≥2,∴x+≥2,当且仅当x＝即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．
请根据阅读材料解答下列问题
（1）若x＞0，函数y＝2x+，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值．
（2）当x＞0时，式子x2+1+≥2成立吗？请说明理由．
7.一个进行数值转换的运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否大于0”称为“一次操作”
（1）判断：（正确的打“√”，错误的打“×”）
①当输入x＝3后，程序操作仅进行一次就停止．
②当输入x为负数时，无论x取何负数，输出的结果总比输入数大．
（2）探究：是否存在正整数x，使程序能进行两次操作，并且输出结果小于12？若存在，请求出所所有符合条件的x的值；若不存在，请说明理由．
8.已知a＞0，符号[a]表示大于或等于a的最小正整数，如：[2，1]＝3，[4，8]＝5，[6]＝6，
（1）填空：[7]＝______，若[a]＝4，则a的取值范围______．
（2）某地运输公司规定出租车的收费标准是：3公里以内（包括3公里）收费5元；超出的部分，每公里加收2元（不足1公里按1公里计算）．现在y表示乘客应付的乘车费（单位：元），用a表示所行驶的路程（单位：公里），则乘车费可按如下的公式计算：
①当0＜a≤3时，y＝5；②当a＞3时，y＝5+2×[a﹣3]．某乘客乘车后付费15元，求该乘客所行驶的路程a（公里）的取值范围．
9.在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：则的解集为_______
10.对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若，则x的取值可以是（ ）
A. 40 B. 45 C. 51 D. 56
11.已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]
（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（ ）
A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k） D．f（k）=0或1
12.若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]=1，[π]=3，[﹣2.82]=﹣3等．[x]+1是大于x
的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1．①利用这个不等式①，求出满足[x]=2x﹣1的所
有解，其所有解为 ．
13.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为(x)，即当n为非负整数时，若n-0.5≤x14.阅读理解：我们把称为二阶行列式，其运算法则为，如：，如果，求x的取值范围.
15.定义新运算：对于任意实数a,b，都有a b=a(a-b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5=2×(2-5)+1=-5.
(1)求(-2) 3的值；(2)若3 x的值小于13，求x的取值范围；
16.对于任意实数m,n，定义一种运算：m*n=mn-m-n+3，如：3*5=3×5-3-5+3=10，若a<2*x<7,且解集中有两个整数解，则a的取值范围是___________
17.定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数，如[5.7]=5,[5]=5,[-]=-4。
（1）若[a]=-2，那么a的取值范围是_____________;
（2）若[]=3，求满足条件的x的所有正整数值.
18.运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否<18”为一次程序操作，若输入x后程序操作仅进行一次就停止，则x的取值范围是__________
19.定义新运算“★”的规则为a★b=-2a+3b,如1★5=-2×1+3×5=13,则不等式x★4<0的解集为______
20.解方程|x-1|+|x+2|=5，由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或-2的左边，若x的对应点在1的右边，由如图所示数轴可以看出x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x+3|=4的解为____________;
(2)解不等式|x-3|+|x+4|≥9;
(3)若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x成立，求a的取值范围.
【参考答案】
1.【解析】考查的是一元一次不等式组的解法，分和两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
解：由新定义得或，解得或.故选：C．
2.【解析】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤
（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
解：（1）===
（2）∵，∴解得：将解集表示在数轴上如下：
3.【解析】(1) 解：∵x2-3x>0,∴x(x-3)>0,∴ (1)或(2) , 解不等式（1）得：x>3,解不等式（2）得：x<0,∴一元二次不等式x2-3x>0的解集是x>3或x<0.
(2)解：∵<0 , 根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，则有 (1)或(2) , 解不等式（1）得：,解不等式（2）无解,∴分式不等式<0的解集是.
4.【解析】(1)解：1 3=a×12+b×32=a+9b. (2)①∵1 2=-3，∴a+4b=-3,∵2 1=3,∴4a+b=3,即，解得a=1,b=-1;
②∵a=1,b=-1,∴x y=x2-y2,∴m2-(1-m)2=2m-1,=(3m-1)2-(3m)2=-6m+1,∴,解得,∴,∵关于m的不等式组恰好有三个整数解，
∴三个整数解分别为4、3、2，∴，∴.
5.【解析】考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键．
（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；
（2）把n用含有an的式子表示出来，代入化简整理，再计算鞋号为42对应的n的值，代入求解即可；
（3）首先计算，再代入求出的值即可．
解:（1） ,,
（2）由与解得：,把代入得,
所以,则得：，即,
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm—262mm,
（3）根据可知能被5整除,而,所以,
将代入中得,故应购买44号的鞋．
6．【解答】（1）∵x＞0，∴2x＞0，∴2x+≥2＝2，当且仅当2x＝即x＝时，2x+有最小值，最小值为2．
（2）式子不成立．理由：∵x＞0，∴x2+1＞0，＞0，∴x2+1+≥2＝2，当且仅当x2+1＝即x＝0时，不等式成立，∵x＞0，∴不等式不能取等号，即不成立．
7.【解答】（1）①当输入x＝3后，程序操作进行一次后得到3×（﹣2）+5＝﹣1，故不可能就停止，故此说法错误；故答案为：×；
②当输入x为负数时，无论x取何负数，输出的结果总比输入数大，正确；故答案为：√；
（2）由题意可得：﹣2x+5≤0，且0＜﹣2（﹣2x+5）+5＜12，解得：≤x＜，∵x为正整数，
∴符合题意的x为：3，4．
8.【解答】（1）：[7]＝8；若[a]＝4，则x的取值范围是：3＜x≤4，故答案为：8.3＜x≤4．
（2）根据题意可知5+2×[a﹣3]＝15．则[a﹣3]＝5，∴4＜a﹣3≤5，解得：7＜a≤8．
9.【解答】由题意可得：x+x-2+1>3，解得
10.【解答】由题中定义可知：5≤<6，解得46≤x<56，故选C
11.【解答】f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；
f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[ ]﹣[]=f（k），故选项B正确；
C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；
D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；
故选：C．
12.【解析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．
解：∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]=2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得，0＜x≤1，∵2x﹣1是整数，∴x=0.5或x=1，
13.【解析】由题意可知：6-0.5≤0.5x-1<6+0.5,解得13≤x<15.
14.【解析】由题意可知：2x-(3-x)>0,即2x-3+x>0,得3x>3，解得x>1
15.【解析】(1)解：（-2） 3=(-2)×(-2-3)+1=11.
(2)解：3 x=3×(3-x)+1=-3x+10.∵3 x的值小于13，∴-3x+10<13,∴x>-1
16.【解析】由题意可知2*x=2x-2-x+3=x+1，则a17.【解析】（1）由[a]=-2可得-2≤a<-1;
（2）由题意可得：3≤<4，解得5≤x<7,∴满足条件的x的所有正整数为5、6；
18.【解析】根据程序可得3x-6<18，解得x<8;
19.【解析】由题可得x★4=-2x+3×4=-2x+12，∴-2x+12<0,∴x<-6
20.【解析】(1)x=1或7；(2)解：∵3和-4的距离为7，∴满足不等式的解对应的点在3与-4的外侧，当x在3的左边时，可知x≥4;当x在-4的左边时，可知x≤-5,∴原不等式的解集是x≥4或x≤-5;
(3)解：由题可知，a大于或等于|x-3|-|x+4|的最大值；
当x≥3时，|x-3|-|x+4|=-7;当-4