2024年中考数学专题复习讲义——　定义“新方法”题型之整式（含答案）

一(4) 定义“新方法”题型之整式
★ 整式 ★
【范例详解】
例.已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6……
(1)填空：＝____，[8.05]＝____；若[x]＝5，则x的取值范围是 ．
(2)某市的出租车收费标准如下：3km以内(包括3km)收费5元，超过3km的，每超过1km，加收1.2元(不足1km按1km计算)．用x表示所行的路程(单位：km)，y表示行x(km)应付的乘车费(单位：元)，则乘车费可按如下的公式计算：当0＜x≤3时，y＝5；当x＞3时，y＝5＋1.2([x]－3)．某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围．
【解析】（1）接材料上提供的计算方法，就是表示若是整数，就是数本身，如果是一个小数，是指比这个数较大的最小的整数，计算即可；
（2）直接把y=18.2代入解析式求x的范围．
解：(1)1；9；4＜x≤5；
(2)因乘客付费18.2元＞5元，故乘客乘车路程超过3km，根据题意，可知5＋1.2([x]－3)＝18.2，
∴[x]－3＝11，∴[x]＝14，∴13＜x≤14.故该乘客所乘路程的取值范围为13km＜x≤14km.
【巩固练习】
1.发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
2.用“ ”与“ ”表示一种法则：（a b）=﹣b，（a b）=﹣a，如（2 3）=﹣3，
则（2023 2022） （2021 2020）=________.
3．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
,示例：，即4+3=7．
则（1）用含x的式子表示m=__________；（2）当y=–2时，n的值为__________．
4.对于任意两个非零实数a,b，定义新运算“*”如下：a*b=,如3*4=，若x*y=2，
则
5.在实数范围内定义运算“☆”：a☆b，例如：2☆3．如果2☆x=1，则的值是（ ）．
A. B. 1 C. 0 D. 2
6．定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i； (1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；（2）计算：(1+i)×(3-4i)；（3）计算：i+i2+i3+…+i2018．
7．【定义】配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形华为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.例如：可将多项式x2+2x+3通过恒等变形化为x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2的形式，这个变形过程中应用了配方法.
(1)【理解】对于多项式x2-4x+5，当x＝ 时，它的最小值为 .
(2)【应用】若a2+2ab+2b2+4b+4=0，求ba的值.
(3)【拓展】a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2=4a+10b-29.
①若c为整数，求c的值.②若△ABC是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.
8.在一列数x1,x2,x3…中，已知x1=1，且当k≥2时，xK=xK-1+1-4([]-[ ])(符号[a]表示不超过实数a的最大整数)，如[2.6]=2,[0.2]=0,则x2022=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：; 公式②：
公式③：; 公式④：;
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为．
①若E为边AC的中点，则的值为_______；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
10.在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D.
11.如图，定义一种对正整数n的的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为(其中k是使为奇数的正整数)，并且运算重复进行，例：当n=26，第三次“F运算”的结果是11，若n=449,则第449次“F运算”的结果是____________
12.对于实数m，n，定义运算m*n＝（m+2）2﹣2n．若2*a＝4*（﹣3），则a＝ ．
13. 定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为 ．
14.对于实数a,b，定义一种运算“@”为：，若，则
15.请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a b”，使得下列算式成立：
1 2=2 1=3，（﹣3） （﹣4）=（﹣4） （﹣3）=﹣，（﹣3） 5=5 （﹣3）=﹣，…
你规定的新运算a b= （用a，b的一个代数式表示）．
16.一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
17.现规定,试计算的值.
18.阅读材料：我们知道：4x-2x+x=(4-2+1)x=3x,类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用广泛。
(1)尝试运用：把(a-b)2看成一个整体，合并3(a-b)2-6(a-b)2+2(a-b)2的结果是_______
(2)已知x2-2y=4,求3x2-6y-21的值；
(3)拓展探索：已知a-2b=3,2b-c=-5,c-d=10,求(a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值；
19.定义：f(a,b)是关于a,b的多项式，若f(a,b)=f(b,a),那么f(a,b)叫做“对称多项式”。如，若f(a,b)=a2+a+b+b2,则f(b,a)=b2+b+a+a2，显然，f(b,a)=f(a,b)是“对称多项式”.
(1)f(a,b)=a2-2ab+b2是“对称多项式”，试说明理由；
(2)请写一个“对称多项式”，f(a,b)=________________(不多于四项)；
(3)若f1(a,b)和f2(a,b)均为“对称多项式”，那么f1(a,b)+f2(a,b)一定是“对称多项式”吗？如果是，请说明理由；如果不一定，请举例说明.
20.阅读下面计算的过程.
解：∵, , , ,
∴原式=+++…+===;
上述方法称为裂项求和法，请类比此方法完成下列问题：
(1)
(2)已知-3x2ya+1+x3y-3x4-2是五次四项式，单项式-3x3by3-a与多项式的次数相同，求的值.
【参考答案】
1.【解析】通过观察分析验证10的一半为5，；将m和n代入发现中验证即可证明．
证明：验证：10的一半为5，；设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，∴“发现”中的结论正确．
2.【解析】根据题中新定义得：（2023 2022） （2021 2020）=（﹣2022） （﹣2020）=2022.
3．【解析】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．
（1）根据约定的方法可得：m=x+2x=3x；故答案为：3x；
（2）根据约定的方法即可得x+2x+2x+3=m+n=y．当y=–2时，5x+3=–2．解得x=–1．∴n=2x+3=–2+3=1．
4.【解析】依条件“x*y=2”可得：，即,则,∴.
5.【解析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．
解：由题意知：2☆x，又2☆x，∴，∴．故选：C．
6．【解析】 (1)
(2)
(3)
7．【解析】（1）x2-4x+5=(x-2)2+1,得当x＝2时，它的最小值为1.
(2)解：∵a2+2ab+2b2+4b+4=0，∴a2+2ab+b2+b2+4b+4=0,∴(a+b)2+(b+2)2=0． ∴a+b=0,b+2=0．解得a=2,b=-2,
∴ba=(-2)2=4.
（3）解：①∵a2+b2=4a+10b-29，∴a2+b2-4a-10b+29=0,∴a2-4a+4+b2-10b+25=0,∴(a-2)2+(b-5)2=0．
∴a-2=0,b-5=0, 解得a=2,b=5,∴3②由①可知，等腰三角形ABC的三边可能是：2,2，5（舍去）或5，5,2两种情况，∴等腰三角形的周长为12.
8.【解析】∵x1=1，且当k≥2时，xK=xK-1+1-4([]-[ ]),∴x2=2,x3=3,x4=4,x5=1,x6=2……∴xn每4次一循环，∵2022÷4=505……2,∴x2022=x2=2.
9.【解析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；
（2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明；
（3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可．
(1)解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；故答案为：①，②，④，③；
(2)解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，∴，
∵，∴，又∵，∴；
(3)解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，
设，∴，，，，
∴，，∴；
②成立，证明如下：由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
设，，∴，，，，
∴，，
∴仍成立．
10.【解析】如图，由可得：点、、分别表示数-1、2、，AB=3．
的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，．取得最小值时，的取值范围是；故选B．
11.【解析】由题可知“F运算”，需要对正整数n分奇、偶两种情况循环计算，由于n=449为奇数应先进行F①运算，即3×449+5=1352（偶数），需再进行F②运算，即1352÷=169（奇数），再进行F①运算，即3×169+5=512（偶数），再进行F②运算，即512÷=1（奇数），再进行F①运算，即3×1+5=8（偶数），再进行F②运算，即8÷=1（奇数），再进行F①运算，即3×1+5=8（偶数）……,可以发现除前3次运算外，第4次运算开始循环，且奇数次运算的结果是8，偶数次运算的结果是1，第449次是奇数，所以结果是8.
12.【解析】∵m*n＝（m+2）2﹣2n，∴2*a＝（2+2）2﹣2a＝16﹣2a，4*（﹣3）＝（4+2）2﹣2×（﹣3）＝42，
∵2*a＝4*（﹣3），∴16﹣2a＝42，解得a＝﹣13，
13.【解析】根据题意得：（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．
14.【解答】∵，即x2+2x-1=0,则x2+2x=1,∴2x2+4x=2,∴2x2+4x-3=2-3=-1
15.【解析】1 2=2 1=3=，（﹣3） （﹣4）=（﹣4） （﹣3）=﹣，
（﹣3） 5=5 （﹣3）=﹣，∴a b=.
16.【解答】当3x﹣2=127时，x=43，当3x﹣2=43时，x=15，当3x﹣2=15时，x=，不是整数；
所以输入的最小正整数为15，
17.【解析】由定义规定可得：原式=()-()+()-()= +5-xy=-4x2+2xy+2
18.【解析】(1)原式=(3-6+2)(a-b)2=-(a-b)2;
(2)原式=3(x2-2y)-21=3×4-21=-9;
(3)∵a-2b=3,2b-c=-5,c-d=10,∴a-c=-2,2b-d=5,∴原式=-2+5-（-5）=8
19.【解析】(1)∵f(b,a)=b2-2ab+a2，则f(b,a)=f(a,b),则f(a,b)=a2-2ab+b2是“对称多项式”;
(2)f(a,b)=a+b;
(3)不一定，理由是：f1(a,b)=a+b,f2(a+b)=-a-b都是“对称多项式”，但f1(a,b)+f2(a,b)=0是单项式，不是多项式；
20.【解析】（1）原式=+++…+===;
（2）解：∵-3x2ya+1+x3y-3x4-2是五次四项式，∴2+a+1=5,∴a=2,∵单项式-3x3by3-a与多项式的次数相同，∴3b+3-a=5,即3b+3-2=5,∴b=,∴原式=