2024年中考数学专题复习讲义——　定义新运算题型之三角形（含答案）

二(1) 定义新运算题型之三角形
★ 三角形 ★
【范例详解】
例1.（定义“新概念”）
我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我
们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”．
（1）如图1，，在射线上找一点，过点作交于点．　　，　　（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）如图2，∠BDC为钝角，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使∠EFC+∠BDC=180°，，若是“完美三角形”，求的度数．
【解析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；
（2）根据同角的补角相等得到∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°-∠MON=90°-72°=18°，
∵∠MON=4∠ABO，∴△AOB为“完美三角形”，故答案为：18；是；
（2），，∴∠EFC=∠ADC，，∴∠DEF=∠ADE，∵∠DEF∠B，，，∴∠CDE=∠BCD，∵DE平分，，， ∵△BCD是“完美三角形”，且∠BDC为钝角∴∠BDC=4∠B，，,∴．
例2.(定义“新方法”)
各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝ab
﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给
出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝ ．
【解析】分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S＝ab﹣1，即可得出格点多边形的面积．
解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，∴a＝4，b＝6，
∴该五边形的面积S＝46﹣1＝6，
【巩固练习】
1．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC
中，∠A=80°，则它的特征值k=__________．
2.定义:如图，点C、D把线段AB分割成AC、CD和BD，若以AC、CD、BD为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、D是线段AB的勾股分割点；
(1)若AC=1.5,CD=2.5,BD=2,则点C、D是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知C、D两点是线段AB的勾股分割点，且AC为直角边，若AB=24,AC=6,求BD的长;
3.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，则△ABC为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c，
(1)①如图1，当∠ABE=45 ，c=2时，a=_______,b=________.
②如图2，当∠ABE=30 ，c=8时，a=_______,b=________.
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想，a2,b2,c2三者间关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
(3)利用(2)中的结论，解答下列问题：在边长为6的菱形ABCD中，O为对角线的交点，E、F分别为线段AO、DO的中点，连接BE、CF并延长交于点M,BM与CM分别交AD于点G、B，如图4所示，则MG2+MH2=_______
4.定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，Rt△ABC中 ,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DE，DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，且连接PM,PN.
观察猜想
（1）线段PM与PN_____________“等垂线段”（填是或不是）
猜想论证
（2）△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由.
拓展延伸
（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,求PM与PN的积的最大值.
5.我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高.若BD=2，AD=2，试求线段CD的长度.
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB，CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB=AC>BC，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E. 若CE=a，试求线段DE的长度.
6.勾股定理是一个基本的几何定理，如果一个直角三角形的三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如3、4、5；5、12、13；7、24、25等都是勾股数.
(1)小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们称这样的勾股数叫完美勾股数，如3、4、5中，5=22+12，3=22-12；试判断8、15、17和9、40、41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
(2)有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a,并求出a和b的值.
7．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．
8.如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．
【探究证明】
(1)请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；
(2)如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．
【归纳猜想】
(3)图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为 ， ；
(4)图n中，“叠弦三角形” 等边三角形（填“是”或“不是”）
(5)图n中，“叠弦角”的度数为 （用含n的式子表示）
9.规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
10．我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是__________．
11.如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两
个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，
从而验证了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，
从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：　　．
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，CH是斜边AB边上的高．用上述“面积法”求CH的长；
（3）如图（4），等腰△ABC中，AB＝AC，点O为底边BC上任意一点，OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ON＝CH．
12.如图，C为线段BD上一点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出它的最小值？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值。
13.在学习勾股定理时，我们运用①验证它的正确性，图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，则，由此推出勾股定理：。这种根据图形简单、直观地验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”。
（1）请你用图②的面积表达式验证勾股定理，其中图中四个直角三角形全等；
（2）请你对图③中的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：；
（3）请你自己设计组合图形，用其面积表达式验证：.
14.《淮南子 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B,A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C,B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA=______________，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（______________）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
15.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝ 度．
16.阅读与思考:下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS=90°． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS=90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
17.研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）【阅读材料】立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
【解决问题】如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 __________；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
18.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①_______；
②与的关系为_______，与的关系为_______．
19.知识储备
①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证：PB+PC＝PA．
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
（2）知识迁移
①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 的长度即为△ABC的费马距离．
②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P（要求尺规作图）．
（3）知识应用
①判断题（正确的打√，错误的打×）：
ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 ；
ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 ．
②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为，求正方形ABCD的
边长．
【参考答案】
1．【解析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°，∴特征值k=；
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°–80°–80°=20°，∴特征值k=；综上所述，特征值k为或；
2.【解析】(1)是，理由是：∵AC2+BD2=1.52+22=6.25,CD2=2.52=6.25,∴AC2+BD2=CD2,∴以AC、CD、BD为边的三角形是一个直角三角形，∴点C、D是线段AB的勾股分割点；
(2)设BD=x，则CD=AB-AC-BD=24-6-x=18-x,则AC2=36,CD2=(18-x)2=324-36x+x2,BD2=x2;
①当CD为斜边时，依题意得CD2=AC2+BD2，即324-36x+x2=36+x2，解得x=8;
②当BD为斜边时，依题意得BD2=AC2+CD2，即x2=324-36x+x2+36，解得x=10;
综上所述，BD的长为8或10.
3.【解析】(1)①如图5，连接EF，则可知EF是△ABC的中位线，可得EF//AB，由c=2可得EF=AB=c=,∵∠AFE=∠ABE=45 ，∴△APB、△EPF都是等腰直角三角形，∴AP=BP=2,EP=FP=,∴AE=,同理可得BF=,∴AC=,BC=2,即a=2,b=2.
②参照①的方法及解题步骤过程，可得EF=4,利用“30 角所对的直角边等于斜边的一半”可得AP=4、PE=2，BP=4,FP=2,由勾股定理可得BF=2,AE=2,则a=BC=4,b=AC=4.
(2)a2+b2=5c2.理由是：连接EF，则EF//AB，EF=AB=c,由(1)可得EP=BP，FP=AP,∵c2=AP2+BP2,a2=(2BF)2=4BF2=4(FP2+BP2),b2=(2AE)2=4AE2=4(EP2+AP2),∴a2+b2=4(FP2+BP2)+4(EP2+AP2)=5(AP2+BP2)=5c2,
(3)连接EF，AE=OE=CE,∴AG=BC=AD,EF=BC=AD,同理可得GH=AD=EF,∴MG=ME=MB,MH=MF=MC,
∴MG2+MH2=MB2+MC2=MB2+MC2)=
4.【解析】（1）由题可知MP、PN均是中位线，由MP=EC，PN=BD,且MP//EC，PN//BD，由AB=AC、AD=AE可得BD=EC，则PM=PN，是“等垂线段”;
（2）由AB=AC、∠BAD=∠CAE、AD=AE易证△ABD≌△ACE，则∠ABD=ACE，BD=CE，由（1）可知MP=EC，PN=BD，且MP//EC，PN//BD，∴MP=PN，∵MP//EC，∴∠DPM=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，∵PN//BD，∴∠DPN+∠CDB=180°，∴∠DPN=180°-∠CDB=180°-(180°-∠DBC-∠DCB)= ∠DBC+∠DCB，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ABD+∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=90°，∴PM与PN是“等垂线段”.
（3）由（2）可得PM与PN是“等垂线段”，则PM=PN=BD,则,要使PM与PN的积有最大值，则BD有最大值，在△ABD中，∵BD5. 【解答】
●特例感知
①等腰直角三角形是勾股高三角形；
②解：如图1，由勾股定理可得，CB2=CD2+4,CA2=CD2+1,∴CD2=CB2-CA2=(CD2+4)-(CD2+1)=3,∴CD=.
●深入探究
解：如图2，由CA2-CB2=CD2可得：CA2-CD2=CB2,∵CA2-CD2=AD2,∴AD2=CB2,∴AD=CB；
●推广应用
解：过点A作AG⊥DE于点G，∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB=AC>BC,∴只能是AC-BC=CD,∵ED//BC,∴∠1=∠B,∵∠AGD=∠CDB=90°,AD=BC,∴△AGD≌△CDB(AAS),∴DG=BD,∵△ADE与△ABC均为等腰三角形，∴ED=2DG=2BD,∴ED=2BD=2a.
6.【解析】(1)∵17=42+12，18≠42-12，∴8、15、17不是完美勾股数；∵41=52+42，9=52-42，∴9、40、41是完美勾股数；
(2)由勾股定理得：7a-7+(150-30b)=16×15,∴a=，由题意可知，7a-7>0,150-30b>0,∴a>1,07．【解析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE＝OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF＝S矩形ABCD﹣2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB＝90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE＝BF，∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE＝OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝AD＝3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB＝S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF，
∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD﹣2S△ABF＝4×6﹣2××4×3＝12．
探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD＝S△BCD．∴AD＝BD＝AB，∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD＝A′D＝AB＝4＝2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，∴DO＝OB，A′O＝CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC＝A′D＝2，过B作BM⊥AC于M，∵AB＝4，∠BAC＝30°，∴BM＝AB＝2＝BC，即C和M重合，
∴∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC＝＝2，∴△ABC的面积是×BC×AC＝×2×2＝2；
②如图2，∵S△ACD＝S△BCD．∴AD＝BD＝AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD＝A′D＝AB＝4＝2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC＝S△ABC＝S△BDC＝S△ADC＝S△A′DC，
∴DO＝OA′，BO＝CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C＝BD＝2，过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C＝2，∠DA′C＝∠BAC＝30°，∴CQ＝A′C＝1，∴S△ABC＝2S△ADC＝2S△A′DC＝2××A′D×CQ＝2××2×1＝2；即△ABC的面积是2或2．
8.【解析】（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；
（2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可；
（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；
（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；
（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．
解：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，
∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形，
（2）如图2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五边形，由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E'AO∴△APE≌△AOE'（ASA）∴∠OAE'=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°， AE=AB，∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN，∴Rt△APM≌Rt△AON（HL）．
∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB，∴∠OAE'=∠OAB=．
（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，AD`=AB，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋转得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，∴∠D′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案为：15°，24°．
（4）如图3，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO,∴∠PAO=∠FAO=60°，
∴△PAO是等边三角形．故答案为：是
（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣．
9.【解析】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（2）先分别求每一个图形中的旋转角，然后再进行判断；
（3）根据旋转对称图形的定义进行判断；
（4）利用旋转对称图形的定义进行设计．
解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，故选：B．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．故答案为：(1)(3)(5)．
（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；即命题中①③正确，故选：C．
（4）图形如图所示：
10．【解析】先根据题意计算出该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为x+y﹣2z，再画树状图展示所有12种等可能的结果，找出此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数，然后根据概率公式求解．
解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2z+3y）﹣（3x+2y﹣4z）＝x+y﹣2z，画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的结果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率＝＝．
11.【解答】（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即x2+5x+6，
同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），所以x2+5x+6＝（x+3）（x+2）；
（2）如图（3），Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CH，∴CH＝＝＝；
（3）证明：如图（4），∵OM⊥AB，ON⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为点M，N，H，
∴S△ABC＝S△ABO+S△AOC，∴AB CH＝AB OM+AC ON，∵AB＝AC，∴CH＝OM+ON．即OM+ON＝CH．
12.【思路分析】
（1）两次利用勾股定理即可求解；
（2）利用“将军饮马问题”总体解题思路“化曲为直”，即可得出：当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小；
（3）参照（1）及图，把x,2,12-x,3转化成线段长，即可构图，利用（2）的解题思路即要求解；
【解题过程】
（1）在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=8-x,∴AC=,
在Rt△ABC中，∵DE=1，CD=x,∴CE=,
∴AC+CE=
（2）如图1，连接AE，由题可得：AC+CE>AE，当A、C、E三点共线时，AC+CE有最小题，最小题为AE的长.
如图2，作EF⊥AB交AB的延长线于点F，由图可知，四边形BFED是长方形，∴BF=DE=1，EF=BD=8，∴AF=6，在Rt△AFE中，由勾股定理可得：AE=,
∴当C在线段AE上时，AC+CE有最小题，最小值为10；
（3）
如图，设CD=x，若BD=12，则BC=
在Rt△ABC中，若AB=3，BC=8-x,则AC=,
在Rt△ABC中，若DE=2，CD=x,则CE=,
∴，当A、C、E三点共线时，CE+AC有最小值，最小值为AE的长；
如图2，作EF⊥AB交AB的延长线于点F，由图可知，四边形BFED是长方形，∴BF=DE=2，EF=BD=12，∴AF=5，在Rt△AFE中，由勾股定理可得：AE=,
∴代数式的最小值为13.
13.解析：把握住验证方法：运用表示图形面积的两种方法，列等式化简。
（1）由图可知：大正方形的边长为c，四个小三角形的直角边长分别是a、b，则小正方形的边长是(b-a)，
，即，化简可得：；
（2）由验证方法可知：面积表达式的左边代数式“”表示的是一个边长为的正方形面积；面积表达式的右边代数式“”表示的是这个正方形是由两个边长分别为x和y的小正方形，及两个长为x宽为y小长方形共同组成的，依此可以画出符合面积表达式的组合图形，如图。
（3）由验证方法可知：面积表达式的左边代数式“(x+p)(x+q)”表示的是一个长为x+p，宽为x+q的长方形的面积；面积表达式的右边代数式“”表示的是这个长方形是由一个边长为x的小正方形，及长为p宽为x、长为q宽为x、长为p宽为q的三个小方形共同组成的，依此可以画出符合面积表达式的组合图形，如图。
14.【解析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；
（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．
解：（1）如图所示：
（2）证明：在△ABC中，BA=BC，D是CA的中点，∴CA⊥DB（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向；故答案为BC，等腰三角形的三线合一．
15.【解析】由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠DDB和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解．
解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝24°，∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形，∴∠DDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，∴∠CDP＝∠DDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，
∵AD＝DP，CD＝AD，∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形，∴∠DCP＝（180°﹣∠CDP）＝21°．
16.【解析】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．
（1）利用302+402=502说明△DCE是直角三角形，说明∠DCE=90°，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作图的方法可以得出：QR=QC，QS=QC，得出∠QCR=∠QRC，∠QCS=∠QSC，利用三角形内角和得出∠QCR+∠QCS=90°，即∠RCS=90°，说明垂直即可；
（3）①以点C为圆心，任意长为半径画弧，与AB有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点P，连接PC即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
解:（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知：QR=QC，QS=QC，∴∠QCR=∠QRC，∠QCS=∠QSC．
又∵∠SRC+∠RCS+∠RSC=180°，∴∠QCR+∠QCS+∠QRC+∠QSC=180°,∴2(∠QCR+∠QCS)=180°∴∠QCR+∠QCS=90°,即∠RCS=90°．
（3）解：①如图，直线CP即为所求；②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或SSS）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
17.【解析】（1）如图1中，连接BC′．证明△A′BC′是等边三角形，推出∠BA′C′＝60°，由题意可知∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角．
（2）根据立方体平面展开图的特征，解决问题即可．
（3）如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．利用勾股定理求出MK即可．
解：（1）如图1中，连接BC′．∵A′B＝BC′＝A′C′，∴△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，∴两直线BA′与AC所成角为60°．
（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，故答案为：丙．
②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．由题意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝＝＝10，∴PM+PN的最小值为10．
18.【解析】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．
（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，；
②由，则，同理可得，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案．
解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简．
（2）①根据题意，则如下图所示：在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则由勾股定理，得
，∴；在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
，，，∴，
∵，∴，∴；在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
，，，
∵，，∴，∴；
∴满足的有3个，故答案为：3；
②结论；,,
，∴；
（3）①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M，∴，，，
∴,故答案为：；
②∵，∴，，
由解直角三角形和正方形的性质，则，，∴；
同理：；；；∴，
∴，∵，∴．故答案为：；．
19.【解析】（1）①根据已知首先得出△PCE为等边三角形，进而得出△ACP≌△BCE（SAS），即AP＝AE+EP＝BP+PE＝BP+PC；
（2）①利用（1）中结论得出PA+PB+PC＝PA+（PB+PC）＝PA+PD；以及线段的性质“两点之间线段最短”容易获解；
②画出图形即可；也可以将AC绕点C按顺时针旋转60°得到A′C，连接A′B，作∠A′PC＝60°，然后在A′P上截取PP′＝PC，则△P′PC是等边三角形，由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论；
（3）①根据费马点和费马距离的定认直接判定即可；
②将△ABP沿点B逆时针旋转60°到△A1BP1，如图5，根据PA+PB+PC的最小值为，得P1A1+PP1+PC的最小值为，即A1C＝，设正方形的边长为2x，根据勾股定理列方程得：，解出可得正方形的边长．
【解答】（1）①证明：在PA上取一点E，使PE＝PC，连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠APC＝∠ABC＝60°，
又∵PE＝PC，∴△PEC是正三角形，∴CE＝CP，∠ACB＝∠ECP＝60°，∴∠ACE＝∠BCP，
又∵∠PBC＝∠PAC，BC＝AC，∴△ACE≌△BCP （ASA），∴AE＝PB，∴PB+PC＝AE+PE＝AP；
（2）①如图2，得：PA+PB+PC＝PA+（PB+PC）＝PA+PD，∴当A、P、D共线时，PA+PB+PC的值最小，
∴线段AD的长度即为△ABC的费马距离；故答案为：AD；
②过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD，BE，交点即为P．（过AC或AB作外接圆视作与图2相同的方法，不得分）．
（3）①ⅰ．（√）；ⅱ．如图4，点P也可以在三角形的外部；（×）
②解：将△ABP沿点B逆时针旋转60°到△A1BP1，如图5，过A1作A1H⊥BC，交CB的延长线于H，连接P1P，
易得：A1B＝AB，PB＝P1B，PA＝P1 A1，∠P1BP＝∠A1BA＝60°，∵PB＝P1B，∠P1BP＝60°，
∴△P1PB是正三角形，∴PP1＝PB，∵PA+PB+PC的最小值为，∴P1A1+PP1+PC的最小值为，
∴A1，P1，P，C在同一直线上，即A1C＝，设正方形的边长为2x，∵∠A1BA＝60°，∠CBA＝90°，
∴∠1＝30°，在Rt△A1HB中，A1B＝AB＝2x，∠1＝30°，得：A1H＝x，BH＝，在Rt△A1HC中，由勾股定理得：，解得：x1＝1，x2＝﹣1（舍去）∴正方形ABCD的边长为2．