2024年中考数学专题复习讲义——　定义新运算题型之数的概念（含答案）

一(1) 定义新运算题型之数的概念
☆数的新概念☆
【方法梳理】
是指在题目中先构建一个新数学概念(或定义)，然后再根据新概念提出要解决的相关问题．主要目的是考查学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力．解决这类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习的新概念和已有的知识相结合，并进行运用
【范例详解】
例.【问题背景】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”。例如，因为16=52-32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解，那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究：
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=22-12，5=32-22，7=42-32，9=52-42，…小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为k+1、k，其中k≥1，且k为正整数，则(k+1)2-k2=(k+1+k)(k+1-k)=2k+1。
【基本运用】(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有_________都是智慧数，最小的智慧数是________，11的智慧分解是_______和_________；
【类比探究】(2)继续探究，他们发现8=32-12，12=42-22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想，4k(k≥2，且k为正整数)均为智慧数，请证明他们的猜想；
【拓展提升】(3)深入探究发现4的倍数余数为2即4k+2（k≥1,且k为正整数）都不是智慧数，根据以上探究，则第2022个智慧数是_________
【解析】
(1)由小明的方法可知，2k+1是智慧数，即除1外，所有____奇数_____都是智慧数，最小的智慧数是____3____，当2k+1=11时k=5，则k+1=6，即11的智慧分解是___5____和___6___；
(2)证明：当k≥2，且k为正整数时，(k+1)2-(k-1)2=(k+1+k-1)(k+1-k+1)=4k,当k=2时4k=8，∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，∴4k(k≥2，且k为正整数)均为智慧数，
(3)由(1)、(2)可知，除1外的所有奇数是智慧数，除4外的所有偶数是智慧数，由(3)的探究可知除以4余2的正整数也不是智慧数，根据以上结论找出智慧数的规律，即可解题。
解：所有的正整数，按除以4的余数分类，每四个数分成一组，除了第一组“1、2、3、4”只有一个智慧数“3”，其余每组中，除去除以4余2的不是智慧数，其余都是智慧数，即都有3个智慧数，2022-1=2021（个），这2021个智慧数被分在其余每组中，且每组有3个，2021÷3=673(组)……2(个)，所以第2022个智慧数应在第1+673+1=675（组）中的第2个智慧数，在第675组中的四个数中，第一个数是奇数，是智慧数，第二个数是除以4余2，不是智慧数，所以该组中第2个智慧数是第3个数。674×4=2696，则第675组中的数分别是2697、2698、2699、2670，∴第2022个智慧数是2699.
【巩固练习】
1.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A. 205 B. 250 C. 502 D. 520
2. 如M={1,2,x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1,x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N={x,1,2}，我们说M=N．已知集合A={1,0,a}，集合B=，若A=B，则b-a的值是（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
3．若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，…，xn有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的
“伴生数列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的数，n＝1，2，…，k且yn＝
,并规定x0＝xn，xn+1＝x1．如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是 ___________．
4.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：，，所以14是“差一数”；
，但，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
5.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
6．阅读理解：
对于任意一个三位数正整数n，如果n的各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的新“陌生数”，把这6个陌生数的和与111的商记为M（n）．例如n＝123，可以得到132、213、231、312、321这5个新的“陌生数”，这6个“陌生数”的和为123+132+213+231+312+321＝1332，因为1332÷111＝12，所以M（123）＝12．
（1）计算：M（125）和M（361）的值；
（2）设s和t都是“陌生数”，其中4和2分别是s的十位和个位上的数字，2和5分别是t的百位和个位上的数字，且t的十位上的数字比s的百位上的数字小2；规定：．若13M（s）+14M（t）＝458，则k的值是多少？
7．对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之
和等于个位上的数字，那么称这个数n为“攀登数”．用“攀登数”n的个位数字的平方减去十位数字的平方
再减去百位数字的平方，得到的结果记为P（n）．例如：n＝123，满足1＜2，且1+2＝3，所以123是“攀登
数”，P（123）＝32﹣22﹣12＝4；例如：n＝236，满足2＜3；但是2+3≠6，所以236不是“攀登数”；再如：
n＝314，满足3+1＝4，但是3＞1，所以314不是“攀登数”．
（1）判断369和147是不是“攀登数”，并说明理由；
（2）若t是“攀登数”，且t的3倍与t的个位数字的和能被7整除，求满足条件的“攀登数”t以及P（t）的最大值．
8.对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．
9.如果一个自然数M的个位数字不为C，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M=A×B的过程，称为“合分解”．
例如:∵609=21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”．
又如:∵234=18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即成M=A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P(M)；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M)．令G(M)=，当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的M．
10．任意一个四位数n可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一个新的四位数m，记f
（n）＝．如n＝1234，则m＝3412，f（1234）＝＝﹣22．
（1）直接写出f（1111）＝________，f（5025）＝________，并求证：对任意一个四位数n，f（n）均为整数．
（2）若s＝1200+10a+b，t＝1000b+100a+14（1≤a≤5，1≤b≤5，a、b均为整数），当f（s）+f（t）是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值．
11．若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，
一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．
【基础训练】（1）解方程填空：
①若+=45，则x=__________；②若–=26，则y=__________；③若+=，则t=__________；
【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被__________整除，–一定能被__________整除， –mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
12．在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加
6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如
1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，
3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．
（1）请根据以上方法判断31568________（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．
（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．
13．一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F（k）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19＝4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记F（722）＝4．
（1）计算：F（304）+F（2052）；
（2）若m、n都是“魅力数”，其中m＝3030+101a，n＝400+10b+c（0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、b、c是整数），规定：G（m，n）＝．当F（m）+F（n）＝24时，求G（m，n）的值．
14.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)=1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求出所有“吉祥数”中F（t）的最大值；
15.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）．
（1）填空：f（6）＝_______；f（9）＝_________；
（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；
（3）填空：
①f（22×3×5×7）＝_______；②f（23×3×5×7）＝________；③f（24×3×5×7）＝________；
④f（25×3×5×7）＝______．
16.对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则3m+2[3m+(2n-1)]（ ）
A. B. C. 2 D. 3
17.定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的形式，则称这个分式为“和谐分式”，如：, ,则和都是“和谐分式”.
(1)下列分式中：①；②；③；④，属于“和谐分式”的是___________;
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数.
18.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1、x2（x1(1)若方程为x2=3x，写出该一元二次方程的奇特点M的坐标；
(2)若关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+2m=0(m<0)的奇特点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；
(3)是否存在b,c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的奇特点M始终在直线y=3kx-2(k-2)上，若存在，请算出b、c的值；若不存在，请说明理由.
19.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，且满足数轴上x1、x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则你这样的方程为“关于2的等距方程”，以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有______(填序号)
①方程x2-4x=0是关于2的等距方程；②当5m=-n时，关于x的方程(x+1)(mx+n)=0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c=0是关于2的等距方程，则必有b=-4a(a≠0);④当两根满足x1=3x2,关于x的方程px2-x+=0是关于2的等距方程.
20.阅读理解：
材料一：若三个非零实数x、y、z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x、y、z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2，则x1+x2=,x1x2=.
问题解决：
(1)请写出三个能构成“和谐三数组”的实数_________________;
(2)若x1、x2是关于x的方程ax2+bx+c(a、b、c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c(b、c均不为0)的解，求证：x1、x2、x3可以构成“和谐三数组”
【参考答案】
1.【解析】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键．
设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
解:设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为,由这两个奇数得到的“幸福数”
为,观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4,即
故选：D．
2.【解析】本题以集合为背景考查代数式的求值，解题关键是根据集合的定义 和性质（确定性、互异性、无序性）对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可．
解：∵A=B,a≠0,≠0,∴，，|a|=a或，，|a|=1,∴b=0,a=1(舍去)或b=0,a=-1,∴b-a=1,选C.
3．【解析】根据“伴生数列”的定义依次取n＝1，2，3，4，求出对应的yn即可．
解：当n＝1时，x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，当n＝2时，x1≠x3，∴y2＝1，当n＝3时，x2＝x4，∴y3＝0，
当n＝4时，x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生数列”B是：0，1，0，1.
4.【解析】此题主要考查了带余数的除法运算，本题用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数是解决本题的关键．
（1）直接根据“差一数”的定义计算即可；
（2）根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9；被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可求得大于300且小于400的所有“差一数”．
解：（1）∵；，∴49不是“差一数”，∵；，∴74是“差一数”；
（2）∵“差一数”这个数除以5余数为4，∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，∵“差一数”这个数除以3余数为2，∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
5.【解析】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键．
（1）根据“好数”的定义进行判断即可；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”定义逐一判断即可．
解：（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”．∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”；
（2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5．当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617。当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7．
6．【解析】考查整数问题的综合运用，二元一次方程的应用，正确理解“陌生数”的定义是解题关键
（1）M（125）＝（521+512+215+251+125+152）÷111＝16，M（361）＝（316+361+136+163+613+631）÷111＝20；
（2）∵s和t都是“陌生数”，a＝100x+42，b＝205+10y，∴M（s）＝（200x+42+24+20x+402+204+2x+420+240）÷111＝2x+12，M（t）＝（205+10y+502+10y+250+x+520+y+100y+25+100y+52）÷111＝2y+14．
∵13M（s）+14M（t）＝458，∴13（2x+12）+14（2y+14）＝26x+28y+352＝458，∴13x+14y＝53，又∵x＝y+2，
∴,解得，∴．
7．【解析】解题关键：正确理解“攀登数”的定义，根据定义列出关系式。
（1）∵3＜6＜9，3+6＝9，故369是“攀登数”，∵1＜4＜7，1+4≠7，故147不是“攀登数”，
（2）设t的百位，十位，个位数分别为x，y，z，由题意可得，
设M＝3t+z＝3（100x+10y+z）+z＝300x+30y+4z＝300x+30y+4（x+y）＝304x+34y＝（301x+28y）+（3x+6y）
＝（301x+28y）+3（x+2y）∵t的3倍与t的个位数字的和能被7整除，要使M能被7整除，则x+2y能被7整除，
又∵x＜y＜z，∴x+y＜9，∴（x，y）的可能组合有（1，3），（2，6），则t的取值为134，268，
P（134）＝42﹣32﹣12＝6，P（268）＝82﹣62﹣22＝24，∴P（t）的最大值＝24．
8.【解析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，6437是否为“共生数”；
（2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n的式子，找出满足要求的结果即可．
解：（1）∵5+3＝2×（3+1），∴5313是”共生数“，∵6+7≠2×（3+4），∴6437不是“共生数”；
（2）∵n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），设n的百位上的数字为b，∵个位和百位都是0﹣9的数字，∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，∴0≤b≤4∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b；∴F（n）＝＝340a+33b+3，
由于n是“共生数”，∴a+9﹣b＝2×（2a+b），即a+b＝3，可能的情况有：，
∴n的值为1227或2148或3069，各位数和为偶数的有2148和3069，∴n的值是2148或3069．
9.【解析】解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力．
（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数M的个位数字不为C，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，再判断168，621是否是“合和数”；
（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示A个位及十位上的数，同时也可以用来表示B．然后整理出：G(M)=，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的M．
解：（1）168不是“合和数”，621是“合和数”．
∵168=12×14,2+4≠10,∴168不是“合和数”，∵621=23×27，十位数字相同，且个位数字3+7=10，∴621
是“合和数”．
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n（m，n为自然数，且3≤m≤9,1≤n≤9），则A=10m+n,B=10m+10-n,
∴P(M)=m+n+m+10-n=2m+10,Q(M)=|(m+n)-(m+10-n)|=|2n-10|,∴G(M)=（k是整数）．
∵3≤m≤9,∴8≤m+5≤14,∵k是整数，∴m+5=8或m+5=12，
①当m+5=8时，或，∴M=36×34=1224或M=37×33=1221;
②当m+5=12时，或，∴M=76×74=5623或M=78×72=5616;．
综上，满足条件的M有1224，1221，5624，5616．
10．【解析】（1）∵n＝1111，∴m＝1111，∴f（1111）＝＝0，∵n＝5025，∴m＝2550，∴f（5025）＝＝25，设任意一个四位数n＝，（a，b，c，d为正整数，且a≠0，c≠0），∴m＝，
∴n﹣m＝﹣＝1000a+100b+10c+d﹣（1000c+100d+10a+b）＝990a+99b﹣990c﹣99d＝99（10a+b﹣10c﹣d），
∴f（n）＝＝＝10a+b﹣10c﹣d，∵a，b，c，d为正整数，且a≠0，c≠0，
∴f（n）均为整数，对任意一个四位数n，f（n）均为整数．故答案为：0，25；
（2）∵s＝1200+10a+b且1≤a≤5，∴m＝1000a+100b+12，
∴s﹣m＝1200+10a+b﹣（1000a+100b+12）＝﹣990a﹣99b+1188＝99（﹣10a﹣b+12），∴f（s）＝＝12﹣10a﹣b∵t＝1000b+100a+14且1≤b≤5，∴m'＝1400+10b+a，∴t﹣m'＝1000b+100a+14﹣（1400+10b+a）＝990b+99a﹣1386＝99（10b+a﹣14）∴f（t）＝＝10b+a﹣14，∴f（s）+f（t）＝12﹣10a﹣b+10b+a﹣14＝9（b﹣a）﹣2，∵f（s）+f（t）是一个完全平方数，∴9（b﹣a）﹣2是一个完全平方数，∵1≤a≤5，1≤b≤5，∴b﹣a＝1或2或3或4，当b﹣a＝1时，f（s）+f（t）＝7，不是完全平方数，当b﹣a＝2时，f（s）+f（t）＝16，是完全平方数，∵s＝1200+10a+b，且s要越大，∴a越大，∴a＝3，b＝5，此时，s＝1200+30+5＝1235，
当b﹣a＝3时，f（s）+f（t）＝25，是完全平方数，∵s＝1200+10a+b，且s要越大，∴a越大，∴a＝2，b＝5，此时，s＝1200+20+5＝1225，当b﹣a＝4时，f（s）+f（t）＝34，不是完全平方数，
即：当f（s）+f（t）是一个完全平方数时，满足条件s的最大值1235．
11．【解析】（1）①∵=10m+n，∴若+=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．
②若–=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．
③由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若+=，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．
（2）∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则+一定能被11整除，
∵–=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴–一定能被9整除．
∵ –mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）
∴ –mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，972–279=693，963–369=594，
954–459=495，954–459=495，…故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．
12．【解析】本题主要考查了“顺数”、“逆数”、“最佳拍档数”的定义及应用，熟练掌握几位数的表示方法，理解新定义，计算“顺数”与“逆数”之差，分解因式是解题的关键．
（1）根据定义表示31568的“顺数”与“逆数”，计算它们的差能否被17整除，可判断31568是“最佳拍档数”；根据定义设这个首位是5的四位“最佳拍档数”N，并表示出来，计算的它的“顺数”与“逆数”之差，根据“最佳拍档数”的定义，分情况讨论可得结论；
（2）先证明三位的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，再证明四位的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理可得结论．
【解答】（1）31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，31568的“顺数”与“逆数”之差为361568﹣315668＝45900，45900÷17＝2700，所以31568是“最佳拍档数”；设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，∵N是四位“最佳拍档数”，∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，＝5940﹣90x﹣900y＝90（66﹣x﹣10y），∴66﹣x﹣10y能被17整除，
①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；
②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；
③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；
④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；
⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；
⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；
综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；故答案为：是；
（2）证明：设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，它的“顺数”：1000z+600+10y+x，它的“逆数”：1000z+100y+60+x，∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）＝540﹣90y＝90（6﹣y），
∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，千位数字为a，∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）＝5940﹣900z﹣90y＝90（66﹣10z﹣y），∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理得：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．
13．【解析】（1）根据题意代入就可以解决．
（2）根据题意列出方程，再根据解的整数性解出a，b，c的值，再代入G（m，n）可求值．
解：（1）∵30+2×4＝38，38÷19＝2，∴（F304）＝2，∵205+2×2＝209，209÷19＝11，∴F（2052）＝11，
∴F（304）+F（2052）＝13；
（2）∵m＝3030+101a＝3000+100a+30+a，∴F(m)=，∵m是魅力数，∴是整数，∵0≤a≤9，且a是偶数，∴a＝0，2，4，6，8．
当a＝0时，不符合题意，当a＝2时，不符合题意，
当a＝4时，当不符合题意，当a＝6时，当不符合题意，
当a＝8时，当符合题意，∴a＝8，此时m＝3838，F（m）＝F（3838）＝21，
又∵F（m）+F（n）＝24，∴F（n）＝3，∵n＝400+10b+c，∴F(n)=，
∴b+2c＝17，∵n是魅力数，∴c是偶数，又∵0≤c≤9，∴c＝0，2，4，6，8，
当c＝0时，b＝17不符合题意，当c＝2时，b＝13不符合题意，
当c＝4时，b＝9符合题意，此时G(m,n)=，当c＝6时，b＝5符合题意，此时G(m,n)=，当c＝8时，b＝1符合题意，此时G(m,n)=．故G（m，n）的值为或或0．
14.【解析】（1）对于任意一个完全平方数m，设m=n(n为正整数)，∵|n-n|=0,∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m），
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝18，∴y＝x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足条件的t为：13，24，35，46，57，68，79；∴F（13），F（24），F（35），F（46），F（57），F（68），F（79），∵，∴所有“吉祥数”中F（t）的最大值为；
15.【解析】（1）仿照样例进行计算便可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”的确定出x与y的关系式，进而求出所有的两位数，进而确定出F（t）的最大值即可；
（3）根据样例计算便可．
解：（1）6可分解成1×6，2×3，∵6﹣1＞3﹣2，∴2×3是6的最佳分解，∴f（6），
9可分解成1×9，3×3，∵9﹣1＞3﹣3，∴3×3是9的最佳分解，∴f（9）1，故答案为：；1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a，根据题意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54，∴b＝a+6，∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，∴满足条件的t为：17，28，39；
∵F（17），F（28），F（39），∵，∴F（t）的最大值为；
（3）①∵22×3×5×7的是最佳分解为20×21，∴f（22×3×5×7），故答案为：；
②∵23×3×5×7的最佳分解为24×35，∴f（23×3×5×7），故答案为；
③∵24×3×5×7的最佳分解是35×48，∴f（24×3×5×7），故答案为：；
④∵25×3×5×7的最佳分解是48×70，∴f（25×3×5×7），故答案为：．
16.【解析】先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式3m+2[3m+(2n-1)]去括号合并同类项化简得，然后整体代入计算即可．
解：∵是“相随数对”，∴，整理得9m+4n=0，3m+2[3m+(2n-1)]=3m+6m+4n-2=9m+4n-2=-2,选A．
17.【解析】(1)①③④；(2)原式=
(3)原式=,∴当x+1=或∴x=1、-3、0或-2,∵x≠0、x≠-1、x≠-2、x≠1，∴只有当x=-3时，该式的值为整数.
18.【解析】(1)∵x2=3x,∴x1=0,x2=3,∴奇特点M的坐标为(0,3);
(2)在x2-(2m+1)x+2m=0(m<0)中，∵m<0,∴2m<0,∴x1=2m,x2=1,∴x2-(2m+1)x+2m=0(m<0)的奇特点M(2m,1),∴点M在第二象限内且纵坐标为1，而过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴、y轴恰好围成一个正方形，∴2m=-1,∴m=;
(3)存在，理由是：∵直线y=3kx-2(k-2)=k(3x-2)+4，∴过定点M(,4),∴x2+bx+c=0两个根为x1=,x2=4,∴+4=-b, ×4=c,∴b=,c=.
19.【解析】(1)∵x2-4x=0,∴x(x-4)=0,∴x1=0,x2=4,∴则|x1-2|=|x2-2|，①正确；
(2)当m≠0,n≠0时，(x+1)(mx+n)=0,则x1=-1,x2=,∵5m=-n,∴x2=5,∴|x1-2|=|x2-2|;当m=n=0时，原方程x+1=0不是一元二次方程，②错误；
(3)对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，由韦达定理可得x1+x2=,∵方程是2的等距方程，∴|x1-2|=|x2-2|，则x1-2=x2-2或x1-2=2-x2，∴x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=,不能判断a与b间的关系，当x1+x2=4时，=4,∴b=-4a，∴若方程ax2+bx+c=0是关于2的等距方程，b=-4a(a≠0)不一定成立;③错误；
(4)∵关于x的方程px2-x+=0的两根满足x1=3x2,由韦达定理得x1x2=,x1+x2=,∴x1x2=(x1+x2),∴3,∴x2=1或x2=2(舍去)，∴x1=3x2=3,∴|x1-2|=|x2-2|，即关于x的方程px2-x+=0是关于2的等距方程，④正确，正确的序号是①④
20.【解析】(1)∵，∴、2、3是“和谐三数组”（答案不唯一）
(2)证明：∵x1、x2是关于x的方程ax2+bx+c(a、b、c均不为0)的两根，∴x1+x2=,x1x2=，
∴,∵x3是关于x的方程bx+c(b、c均不为0)的解，∴x3=,∴,∴,∴x1、x2、x3可以构成“和谐三数组”.