2024年中考数学专题复习讲义——　定义新运算题型之有理数（含答案）

一(2) 定义新运算题型之有理数
★ 有理数 ★
【范例详解】
例1.（有理数）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A. 1335天 B. 516天 C. 435天 D. 54天
【解析】本题考查了有理数的混合运算，理解“满七进一”是解题的关键．根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解．
解：绳结表示的数为,故选B
【巩固练习】
1.某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是___________．
2算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：
数字形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 | || ||| |||| |||||
横式
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是_______________．
3.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10.在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位.根据符号记数的方法，右下图符号表示一个两位数，则这个两位数是___________
4.一种新运算,规定以下两种变换:
①②
按照以上变换有那么________.
5.已知符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)=1+,f(2)=1+,f(3)=1+,f(4)=1+……，
(1)利用以上运算的规律写出f(n)=_________(n为正整数)；
(2)计算f(1)f(2)f(3)f(100)的值；
(3)计算f(1)f(2)f(3)f(n)的值；
6．生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；
计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（ ）
A．28 B．62 C．238 D．334
7.智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义．例如，符号“”有刚毅的含义，符号“”有愉快的含义．符号中的“”表示“阴”，“”表示“阳”，类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义．所有这些三行符号中，每一行只有一个阴或一个阳，且出现阴、阳的可能性相同．
（1）所有这些三行符号共有______种；
（2）若随机画一个这样的三行符号，求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率．
8．利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，
序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（ ）
A． B． C． D．
9.我们常用的数是十进制，如4657=4×103+6×102+5×101+7×100，数要用10个数字，而电子计算机用的二进制，只要两个数字：0和1，如二进制中110=1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，等于十进制的数53，那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
10．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）是将字母
表A、B、C、…、Y、Z这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个自然数，加密的过程是这样的：将
明文字母对应的数字设为x，将加密后的密文字母对应的数字设为y，当1≤x≤8时，y＝3x；当9≤x≤17时，
y＝3x﹣25；当18≤x≤26时，y＝3x﹣53．如：D对应为4，经过加密4→4×3＝12，12对应L，即D变为L；
又如K对应11，经过加密11→3×11﹣25＝8，8对应H，即K变为H．
（1）按上述方法将明文Y译为密文．
（2）若按上述方法译成的密文为YUAN，请找出它的明文．
A B C D E F G H I J K L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
11.“！”是一种运算符号,并且1！=1,2！=2×1=2,3！=3×2×1=6,4！=4×3×2×1=24,则的值为（ ）
A. 2022 B. 2021 C. 2022! D. 2021!
12.若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（ ）
A. 5 B. 2 C. 1 D. 0
13.用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下：M(1)=-2,M(2)=-1,M(3)=0,M(4)=1……,M()=- ,M()=- ,M()=-……利用以上规律计算：(1)M(28)×M();(2)-1÷M(39)÷[-M()]
14.记Sn＝a1，+a2+…an，令Tn＝，则称Tn为a1，a2，…，an这列数的“凯森和”，已知a1，a2，…a500的“凯森和”为2004，那么1，a1，a2，…a500的“凯森和”为___________．
15．若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：
第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…
第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…
（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；
（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．
16.定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：
lgM+lgN＝lg（M N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．
根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2 lg5+lg5的结果为（ ）
A． 5 B． 2 C． 1 D． 0
17.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，理由如下：设，则．．由对数的定义得,又∵m+n=,∴ ．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②____________，③=___________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．
18.定义一种运算，可以使a b=n(n为常数)时，得(a+1) b=n+3,a (b+1)=n-2,已知1 1=2，则2021 2022=___
19.规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，又如(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作,读作“-3的圈4次方”。请你阅读以上材料并完成下列问题：
(1)直接写出计算结果：=________；;
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？仔细思考，将下列运算结果直接写成幂的形式. =________；=________；;
(3)计算：
20.已知x，y为有理数，现规定一种新运算“*”，满足x * y=x2y2-5.例如：1*2=12×22-5=-1.
（1）请计算下列各题：① 2 *（-3）；②[（4*5）+5]*(- ).
(2)任意选择两个有理数，分别填入下列□和○中进行运算，并比较它们的运算结果的大小，则□*○________○*□(用“>”“<”或“=”填空).
【参考答案】
1.【解析】根据题中密码规律确定所求即可. 根据题意得出规律并熟练掌握运算法则是解题关键.
解：532=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=151025
924=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，
863=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，
∴725=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.
2 【解析】理解算筹计数法，根据题中的新定义将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值．解：根据算筹计数法，表示的数是：9167
3.【解析】理解题中的符号表示的意义是解题关键。
解：由题可知：十位上表示2个10，个位上表示5个1，所以这个两位数是25.
4.【解析】g[f(5,-6)]=g(5,6)=(-5,-6)
5.【解析】(1)f(n)= 1+;(2)原式=;
(3)原式=;
6．【解析】由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．故选：D．
7.【解析】（1）用列举法举出所有等可能的结果数即可；
（2）根据（1）列举的结果数和概率公式即可得出答案．
解：（1）共有8种等可能的情况数，分别是：阴，阴，阴；阴，阳，阴；阴，阴，阳；阳，阴，阴；阳，阳，阴；阳，阴，阳；阴，阳，阳；阳、阳、阳；故答案为：8；
（2）根据第（1）问一个阴、两个阳的共有3种，则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是．
8．【解析】根据规定的运算法则分别计算出每个选项第一行的数即可作出判断．
解：A、第一行数字从左到右依次为1、0、1、0，序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10，不符合题意；
B、第一行数字从左到右依次为0，1，1，0，序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6，符合题意；
C、第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9，不符合题意；
D、第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7，不符合题意；故选：B．
9.【解析】101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=32+0+8+0+2+1=43
10．【解析】（1）由表知“Y”对应的数字x＝25，将其代入y＝3x﹣53计算，再由表可得对应字母；
（2）先根据表格找到字母对应的数字，即y的值，找到合适的解析式求出对应的x的值，从而得出其对应的明文字母，据此可得．
解：（1）“Y”对应的数字x＝25，则y＝3×25﹣53＝22，所以明文Y对应密文是V；
（2）Y对应数字为25，当3x﹣53＝25时，x＝26，对应明文为Z；
U对应数字为21，当2x＝21时，x＝7，对应明文为G；
A对应数字为1，当3x﹣53＝1时，x＝18，对应明文为R；
N对应数字为14，当3x﹣25＝14时，x＝13，对应明文为M；
所以密文为YUAN的对应明文为ZGRM．
11.【解析】,故选B.
12.【解析】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案．
解：，
故选C
13.【解析】（1）原式=（28-3）×[-（）2]=25×(-)=-1
(2)原式=-1÷（39-3）÷{-[-()2]}=-1××36=-1
14.【解析】先根据已知求出T500的值，再设出新的凯森和Tx，列出式子，把得数代入，即可求出结果．
解：∵Tn＝，∴T500＝2004，设新的“凯森和”为Tx，501×Tx＝1×501+500×T500，
Tx＝（1×501+500×T500）÷501＝（1×501+500×2004）÷501＝1+500×4＝2001．
15．【解析】本题考查了勾股数，读懂表格，从表格中获取有用信息进而发现规律是解题的关键．
（1）根据勾股数的定义即可得到结论；
（2）当a为奇数时，当a为偶数时，根据勾股数的定义即可得到结论．
解：（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；
（2）当a为奇数时，b=，c=；当a为偶数时，b=，c=；，；
证明：当a为奇数时，a2+b2＝，∴（a，b，c）是“勾股数”．
当a为偶数时，a2+b2＝，∴（a，b，c）是“勾股数“．”
16.【解答】（lg2）2+lg2 lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．故选：C．
17.【解析】（1）①∵，∴5，②∵，∴，③∵，∴=0；
（2）设logaM=m，logaN=n，∴，，∴，∴，
∴；
（3）=2
18.【解析】由定义可得2 1=2+3=5，2 2=5-2=3，3 2=3+3=6，3 3=6-2=4，4 4=5，5 5=6，∴2021 2021=2022，∴2021 2022=2022-2=2020
19.【解析】(1) =3÷3÷3÷3÷3÷3÷3÷3=；
(2) =5÷5÷5÷5÷5÷5÷5=；
=
(3)原式=
20.【解析】（1）①根据题中的新运算，得2*（-3）=22×（-3）2-5=36-5=31.
②根据题中的新运算，得
[（4*5 ）+5]*(- )=（42×52-5+5）*（- ）=400*（- ）=4002×（- ）2-5=- 5=
（2）可选0与1，则0*1=02×12-5=-5，1*0=12×02-5=-5，故答案是“=”