2024年中考数学专题复习讲义——　定义新运算题型之圆（含解析）

二(4) 定义新运算题型之圆
★ 圆 ★
【范例详解】
例1.（定义“新概念”）
定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，∥，，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．
【解析】考查了四边形性质与圆的垂径定理应用，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键．
（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；
（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得结果；
（3）过点O作，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理即可得到答案．
解:（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形对角线相等但不垂直；③菱形的对角线互相垂直但不相等；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
（2）∵，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵∥，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC=DE，又∵，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD=DE，∴BD=AC，∴四边形是垂等四边形．
（3）如图，过点O作，∵四边形是垂等四边形，∴AC=BD，又∵垂等四边形的面积是24，,根据垂等四边形的面积计算方法得：，又∵，∴，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD=r，DE=，∴，∴的半径为4．
例2.（定义“新方法”）
已知点和直线y=kx+b，求点P到直线y=kx+b的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为y=-2x+6，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. 2
【解析】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.
解：过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，∵点C到直线l的距离，半径为1，∴的最小值是，故选：B.
【巩固练习】
1．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称圆形
A被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”．如果边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆
“覆盖”，那么R的取值范围为________．
2.对于一个三角形，设其三个内角的度数分别为x 、y 和z ，若x、y、z满足x2+y2=z2，我们定义这个三角形为美好三角形．
（1）△ABC中，若∠A=50 ，∠B=70 ，则△ABC （填“是”或“不是” ）美好三角形；
（2）如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=60 ，AC=4， ⊙O的直径是4， 求证：△ABC是美好三角形;
（3）当△ABC是美好三角形，且∠A=30 ，则∠C为 .
3．我们预定：对角线相等的凸四边形称之为“等线四边形”．
（1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是________；
②如图1，若四边形ABCD是“等线四边形”，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，依次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH，请判断四边形EFGH的形状；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，0）、B（8，0）、P（9，﹣8），以AB为直径作圆，该圆与y轴的正半轴交于点C，若Q为坐标系中一动点，且四边形AQBC为“等线四边形”，当PQ的长度最短时，求经过A、B、Q三点抛物线的解析式；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等线四边形”，A在x负半轴上，D在y轴的负半轴上，且AD=，点B、C分别是一次函数y=与y、x轴的交点，动点P从点D开始沿y轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为t秒，以点P为圆心，半径R=单位长度作圆，问：
①当⊙P与直线BC初次相切时，求此时运动的时间t0；
②当运动的时间t满足t＞t0且CP≤4时，⊙P与直线BC相交于点M、N，求弦长MN的最大值．
4.在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O 的弦BC（B`,C`分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O 的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横 纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是______________；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O 的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O 的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
5.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是_______________；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点_________的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线yx+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
6.我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
7．定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形．
（1）已知∠A＝120°，∠B＝50°，∠C＝α，请直接写出一个α的值________，使四边形ABCD为幸福四边形；
（2）如图1，△ABC中，D、E分别是边AB，AC上的点，AE＝DE．求证：四边形DBCE为幸福四边形；
（3）在（2）的条件下，如图2，过D，E，C三点作⊙O，与边AB交于另一点F，与边BC交于点G，且BF＝FC．
①求证：EG是⊙O的直径；
②连接FG，若AE＝1，BG＝7，∠BGF﹣∠B＝45°，求EG的长和幸福四边形DBCE的周长．
8．对于平面内的⊙和⊙外一点，给出如下定义：若过点的直线与⊙存在公共点，记为点，，设
，则称点（或点）是⊙的“相关依附点”，特别地，当点和点重合时，规定
，（或）．已知在平面直角坐标系中，，，⊙的半径为．
（1）如图，当时，
①若是⊙的“相关依附点”，则的值为__________．
②是否为⊙的“相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．
（2）若⊙上存在“相关依附点”点，
①当，直线与⊙相切时，求的值．②当时，求的取值范围．
（3）若存在的值使得直线与⊙有公共点，且公共点时⊙的“相关依附点”，直接写出的取值范围．
9.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点 （填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为 ；
②若直线n的函数表达式为yx+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．
10．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称 ；
（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接DE，若四
边形ABED为圆美四边形，求的值；
（3）如图2，在△ABC中，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连结AE、BD交于点F，若在四边形
ABED的内部存在一点P，使得∠PBC＝∠ADP＝α，连结PE交BD于点G，连结PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．
①求证：四边形ABED为圆美四边形；
②若α＝30°，PA+PE＝8，．求DE的最小值．
11.已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”．
（1）已知⊙O的半径为1，在点E（1，1），F（﹣，），M（0，-1）中，⊙O的“关联点”为_____________；
（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为，求n的值；
（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆”，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围．
12.数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整：
【定义概念】顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角．
（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；
【提出猜想】
（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角 这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角 这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）
【推理证明】
（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；
【问题解决】经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．
（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）
13.平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2＝0，y1﹣y2＝0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中， 与点C互为反等点：D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
14.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
15.定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
【理解】（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为 ；
【证明】（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；
【探究】（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
16.阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝
例如：求点(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离．
解：由直线4x＋3y－3＝0知，A＝4，B＝3，C＝－3，∴点(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离为d＝
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P1(3，4)到直线的距离为_____；
问题2：已知⊙C是以点C(2，1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝－x＋b相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两点，且AB＝2，请求出的最大值和最小值.
17.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．
(1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
(2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．
18.唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
（1）观察发现:再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB＝CD＝AD＝2，∠D＝120°，点E.F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为_______．
（2）实践运用:如图3，已知⊙O的直径MN＝1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
（3）拓展迁移:如图4，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴交于另一点B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x＝1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
19．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 __________，其内切圆的半径长为____________；
（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝＝3，可得h1+h2+h3＝____________；（结果用含a的式子表示）
②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈，tan54°≈）
（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为 _______________；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其
中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由
20.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a:b:c；
(3)如图，AB是☉O的直径，∠ACB=∠ADB=90 ,C是☉O上一点(不与A,B两点重合)，D是半圆的中点，C,D两点在直径AB的两侧，若在☉O内存在点E，使AE=AD,CB=CE，求证：△ACE是奇异三角形.
【参考答案】
1．【解析】∵正六边形的边长等于它的外接圆半径，∴边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆“覆盖”，
那么R的取值范围为：R≥1．
2.【解析】（1）∵∠A=50 ，∠B=70 ，∴∠C=60 ，∵502+602≠702,∴不是
（2）连接OA、OC,∵AC=4,OA=OC= 2,∴△OAC是直角三角形，即∠AOC=90°,∴∠B=45°,∵∠C=60°,
∴∠A=75°,∵即三个内角满足752=452+ 602关系,∴△ABC是美好三角形.
(3)设∠C=x ，则∠B=(150-x) ，若∠C为最大角，则x2=(150-x)2+302,解得x=78;若∠B为最大角，
则(150-x)2=x2+302,解得x=72,综上所述，∠C=78°或72°
3．【解析】（1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是矩形、正方形,
故答案为:矩形、正方形；
②四边形EFGH是菱形，理由如下:如图1，∵四边形ABCD是“等线四边形”,∴AC＝BD,∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝GH＝AC,EH＝FG＝BD,∴EF＝GH＝EH＝FG,∴四边形EFGH是菱形；
（2）如图2,设以AB为直径的圆心为E,连接CP，与⊙E交于一点，连接CE，∵A（﹣2，0）、B（8，0）,
∴圆心E的坐标为(3,0),CE＝AE＝＝5,在Rt△COE中，由勾股定理得:OC＝＝4,∴点C的坐标为（0,4）,设直线PC的解析式为y＝kx+4,将P(9,﹣8)代入得:﹣8＝9k+4,解得k＝﹣,∴直线PC的解析式为y＝﹣x+4,∴圆心E在直线PC上，当点Q在线段CP上时,PQ最小，此时点Q在第四象限，
∴,解得,∴点Q的坐标为(6,﹣4),设过点A和点B的抛物线解析式为y＝a(x+2)(x﹣8),将Q(6,﹣4)代入，得﹣4＝﹣16a,∴a＝,∴y＝(x+2)(x﹣8)＝x2﹣x﹣4．∴经过A、B、Q三点抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（3）如图3，画出⊙P,在直线y＝﹣x+3中，令x＝0,得y＝3；令y＝0,得x＝4,∴B(0,3),C(4,0),设点A的坐标为(﹣a,0),∵AC＝BD,∴点D的坐标为(0,﹣a﹣1),在Rt△AOD中，AD2＝a2+(a+1)2＝41,解得a1＝﹣5(舍去),a2＝4,∴点A和点D的坐标分别为A(﹣4,0),B(0,﹣5),∴点P的坐标为(0,2t﹣5)．
①当⊙P与直线BC初次相切时(t＜4),过点P作PE⊥直线BC于点E，当PE＝R时，⊙P与直线BC相切,
在Rt△BPE中,PE＝BP sin∠OBC,B(0,3),P(0,2t﹣5),∴BP＝|8﹣2t|,sin∠OBC＝＝,∴PE＝|8﹣2t|,
∴|8﹣2t|＝t+,解得t＝2或t＝10,∴当⊙P与直线BC初次相切时，此时运动的时间t0＝2秒；
②过P作PQ⊥BC于Q，当2＜t＜4时,MN逐渐增大,当CP＝4时,OP＝＝8,此时t＝6.5；
当4≤t≤6.5时,BP＝DP﹣BD＝2t﹣8,则PQ＝BP sin∠OBC＝(2t﹣8)×＝t﹣,∴MN＝2MQ＝2
＝2＝,∴当t＝6时,MN有最大值，最大值为．
4.【解析】考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．
（1）以点A为圆心，分别以AB1,AC1,AB2,AC2,AB3,AC3为半径画圆，进而观察是否与⊙O有交点即可；
（2）由旋转的性质可得△AB`C`是等边三角形，且B`C`是⊙O的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；
（3）由BC是⊙O 的以点A为中心的“关联线段”，则可知B`,C`都在⊙O 上，且AB`=AB=`,AC`=AC=2，然后由题意可根据图象来进行求解即可．
解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段B2C2能绕点A旋转90°得到⊙O的“关联线段”，B1C1,B3C3都不能绕点A进行旋转得到；故答案为B2C2；
（2）由题意可得：当BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”时，则有△AB`C`是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：设B`C`与y轴的交点为D，连接OB`，易得B`C`⊥y轴，∴B`D=DC`=，∴OD=，AD=，∴OA=，∴t=；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：
同理可得此时的OA=，∴t=-；
（3）由BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，则可知B`,C`都在⊙O上，且AB`=AB=1,AC`=AC=2，则有当以B`为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在⊙O上时为最小，最小值为1，此时AC`为⊙O的直径，∴∠AB`C`=90°，∴∠AC`B`=30°，
∴BC=B`C`=AC`cos30°=；由以上情况可知当点A,B`,O三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：
连接OC`,B`C`，过点C`作C`P⊥OA于点P，∴OC`=1,AC`=OA=2，设OP=x，则有AP=2-x，∴由勾股定理可得：C`P2=AC`2-AP2=OC`2-OP2，即22-(2-x)2=1-x2，解得：x=，∴C`P=，∴B`P=OB`-OP=，在Rt△B`PC`中，B`C`=，∴BC=；综上所述：当时，此时BC=；当时，此时BC=．
5.【解析】（1）根据平移的性质，以及线段AB到⊙O的“平移距离”的定义判断即可．
（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线yx+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2），过点E作EH⊥MN于H，解直角三角形求出EH即可判断．
（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′和等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，点A′与M重合时，AA′的值最小，当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．解直角三角形求出AA′即可．
解：（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是P1P2∥P3P4；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点P3的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”．故答案为：P1P2∥P3P4，P3．
（2）如图1中，作等边△OEF，点E在x轴上，OE＝EF＝OF＝1，设直线yx+2交x轴于M，交y轴于N．则M（﹣2，0），N（0，2），过点E作EH⊥MN于H，∵OM＝2，ON＝2，∴tan∠NMO，∴∠NMO＝60°，
∴EH＝EM sin60°，观察图象可知，线段AB到⊙O的“平移距离”为d1的最小值为．
（3）如图2中，以A为圆心1为半径作⊙A，作直线OA交⊙O于M，交⊙A于N，以OA，AB为邻边构造平行四边形ABDO，以OD为边构造等边△ODB′，等边△OB′A′，则AB∥A′B′，AA′的长即为线段AB到⊙O的“平移距离”，当点A′与M重合时，AA′的值最小，最小值＝OA﹣OM1，当点B与N重合时，AA′的长最大，如图3中，过点A′作A′H⊥OA于H．由题意A′H，AH3，∴AA′的最大值，∴d2．
6.【解析】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.
解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，∵A（2，1），∴OA==，∵圆O的半径为1，∴AB=OA-OB=，∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，
7．【解析】（1）解：∵∠A＝120°，∠B＝50°，∠C＝α，∴∠D＝360°﹣120°﹣50°﹣α＝190°﹣α，
若∠A＝∠B﹣∠D，则120°＝50°﹣（190°﹣α），解得：α＝260°（舍），
若∠A＝∠D﹣∠B，则120°＝（190°﹣α）﹣50°，解得：a＝20°，
若∠B＝∠A﹣∠C，则50°＝120°﹣α，解得：α＝70°，
若∠B＝∠C﹣∠A，则50°＝α﹣120°，解得：α＝170°，
若∠C＝∠B﹣∠D，则α＝50°﹣（190°﹣α），无解，
若∠C＝∠D﹣∠B，则α＝（190°﹣α）﹣50°，解得：α＝70°，
若∠D＝∠A﹣∠C，则190°﹣α＝120°﹣α，无解，
若∠D＝∠C﹣∠A，则190°﹣α＝α﹣120°，解得：α＝155°，
综上，α的值是20°或70°或170°或155°（写一个即可），
（2）证明：如图1，设∠A＝x，∠C＝y，则∠B＝180°﹣x﹣y，∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠A＝x，
∴∠BDE＝180°﹣x，在四边形DBCE中，∠B＝180°﹣x﹣y＝∠BDE﹣∠C，∴四边形DBCE为幸福四边形；
（3）①证明：如图2，∵D、F、G、E四点都在⊙O上，∴∠ADE＝∠FGE，∵∠ADE＝∠A，∴∠FGE＝∠A，
∵∠FGE＝∠ACF，∴∠A＝∠ACF，∵BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵∠A+∠B+∠BCA＝180°，∴∠ACF+∠BCF＝90°，即∠ACB＝90°，∴EG是⊙O的直径；
②如图3，过E作EH⊥AB于H，连接DG，∵BF＝CF，∴∠B＝∠BCF＝∠BDG，∴BG＝DG＝7，∵EG是⊙O的直径，∴∠GDE＝90°，∵DE＝AE＝1，∴EG＝＝5，∵∠BGF﹣∠B＝45°，∠BGF﹣∠BCF＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠CEG＝45°，∴△ECG是等腰直角三角形，∴CE＝CG＝5，∴BC＝7+5＝12，AC＝5+1＝6，
∴AB＝＝＝6，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AHE∽△ACB，∴，即，∴AH＝，∵AE＝DE，EH⊥AD，∴AD＝2AH＝，
∴幸福四边形DBCE的周长＝BD+ED+CE+BC＝6﹣+1+5+12＝18+．
8．【解析】（1）①．②是．
（2）①如图，当时，不妨设直线与⊙相切的切点在轴上方（切点在轴下方时同理），
连接，则，∵，，，∴，，∴，此时，
②如图，若直线与⊙不相切，设直线与⊙的另一个交点为（不妨设，点，在轴下方时同理），作于点，则，∴，∵，
∴，∴当时，，此时，假设⊙经过点，此时，∵点早⊙外，∴的取值范围是．
（3）．
9.【解析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．
②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．
（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．
解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB DE＝2×5＝20，故答案为D，20．
②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线yx+4交x轴于F（，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF∴tan∠FEO，∴∠FEO＝30°，∴OHOE＝2，
∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ PH＝2×3＝6．
（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．
由题意，EN＝2，EN NH＝4，∴NH，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN2，
∴HM，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），
∴KN＝HK＝KM，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，
解得，∴直线l的解析式为yx，当k＜0时，同法可知直线i经过H′（2，1），可得直线l的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为yx或y＝﹣3x+7．
10．【解析】（1）根据圆美四边形的定义直接得出结论；
（2）先判断出∠BED＝∠CED＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，AC＝（+1）AD
（3）①先判断出△APD∽△EPB，得出，进而判断出△APE∽△DPB，得出∠AEP＝∠DBP，即可得出结论；
②先判断出AD2+BE2＝AB2+DE2，进而得出，即可得出y2+（y）2＝（2x）2+[2（8﹣x）]2，即可得出
结论．
解：（1）根据圆美四边形的定义知，正方形是圆美四边形
（2）连结BD，AE，∵∠BAC＝90°∴BD为⊙O的直径，∴∠BED＝∠CED＝90 ，∵四边形ABED为圆美四边形，
∴BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAE＝90 ，∵∠CAE+∠BAE＝90 ，∴∠ABD＝∠CAE，∴，∴AD＝DE
∴在等腰直角△CDE中，CD＝DE，∴CD＝AD，∴AC＝（+1）AD，∵AB＝AC，AD＝DE，∴＝+1，
（3）①∵PA⊥PD，PB⊥PE，∴∠APD＝∠BPE＝90 ，∵∠PBC＝∠ADP，∴△APD∽△EPB，∴,
∴，又∵∠APD+∠DPE＝∠BPE+∠DPE，即∠APE＝∠DPB,∴△APE∽△DPB，∴∠AEP＝∠DBP，
又∵∠DBP+∠PGB＝90 ，∠PGB＝∠EGF，∴∠AEP+∠EGF＝90 即∠BFE＝90 ，∴BD⊥AE，又∵A，B，E，D在
同一个圆上，∴四边形ABED为圆美四边形；
②∵BD⊥AE，∴AD2+BE2＝AF2+FD2+BF2+EF2，AB2+DE2＝AF2+BF2+DF2+EF2,∴AD2+BE2＝AB2+DE2，∵A，B，E，D在同一
个圆上，∴∠CDE＝∠CBA，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴,设PA＝x，PE＝8﹣x，DE＝y，AB＝y,∵α＝30 ，∠APD＝∠BPE＝90 ∴AD＝2x，BE＝2（8﹣x），∴y2+（y）2＝（2x）2+[2（8﹣x）]2，
∴y2＝x2+（8﹣x）2＝2x2﹣16x+64＝2（x﹣4）2+32，∵2＞0,∴当x＝4时，y取到最小值4，
即DE的最小值为4
11.【解析】（1）∵OF＝OM＝1，∴点F、点M在⊙上，∴F、M是⊙O的“关联点”，故答案为F，M．
（2）如图1，过点Q作QH⊥x轴于H．∵PH＝1，QH＝n，PQ＝.∴由勾股定理得，PH2+QH2＝PQ2，
即12+n2=()2,解得，n＝2或﹣2．
（3）由y＝﹣x+4，知A（3，0），B（0，4）∴可得AB＝5,
①如图2（1），当⊙D与线段AB相切于点T时，连接DT．则DT⊥AB，∠DTB＝90°,∵sin∠OBA=,
∴可得DT＝DH1＝,∴m1=,
②如图2（2），当⊙D过点A时，连接AD．由勾股定理得DA＝＝DH2＝．
综合①②可得：≤m≤或≤m≤．
12.【解析】（1）在⊙O内任取一点M，连接AM，BM；
（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角，此问得解；
（3）（i）BM与⊙O相交于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠ACB＝∠M+∠MAC，进而可证出∠ACB＞∠M；（ii）延长BM交⊙O于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠AMB＝∠ACB+∠CAM，进而可证出∠AMB＞∠ACB；
（4）由（2）的结论，可知：当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．
解：（1）如图2所示．
（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角．故答案为：小于；大于．
（3）证明：（i）如图1，BM与⊙O相交于点C，连接AC．∵∠ACB＝∠M+∠MAC，∴∠ACB＞∠M；
（ii）如图4，延长BM交⊙O于点C，连接AC．∵∠AMB＝∠ACB+∠CAM，∴∠AMB＞∠ACB．
（4）如图3，当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．
13.【解析】（1）根据互为反等点的意义，得结论；
（2）因为点P、Q是线段CG上的互反等点，根据（1）的结论，可确定点P的横坐标xP的取值范围；
（3）根据圆与线段CG相离、相切、相交情况及互为反等点的定义，讨论得出圆的半径的取值范围．
解：（1）因为3+（﹣3）＝0，4﹣4＝0，所以点（﹣3，4）与点（3，4）互为相反等点．故答案为：点F．
（2）由于点C与点F互为反等点．又因为点P，Q是线段CG上的反等点，所以点P的横坐标xP的取值范围
为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）如图所示，当⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；当⊙O与CG相切时，此时r＝4，⊙O与线段CG没有互为反等点；⊙O与CG相交于点C时，此时r＝＝5．⊙O与线段CG有互为反等
点；当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
14.【解析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD（∠ACD﹣∠ABC）α，
（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°， ∴△EGA∽△ADC，
∴，∵在Rt△ABG中，AG，在Rt△ADE中，AEAD，∴，∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x，∴ED＝AD，∴CE＝CD+DE，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EMCE，∴DM＝DE﹣EM，
∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM，∴S△DEFDE FM．
15.【解析】（1）对余四边形的定义即可得出结果；
（2）由圆周角定理得出∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，即可得出结论；
（3）对余四边形的定义得出∠ADC＝30°，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，则△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，得出BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，则△BFD是等边三角形，得出BF＝BD＝DF，易证∠BFA+∠ADB＝30°，由∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，得出∠AFD+∠ADF＝90°，则∠FAD＝90°，由勾股定理即可得出结果．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：90°或270°；
（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°，∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2．
16.【解析】(1)根据点到直线的距离公式计算；
(2)根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题；
问题2：直线y＝－x＋b整理，得3x＋4y－4b＝0，故A＝3，B＝4，C＝－4b.∵⊙C与直线相切，∴点C到直线的距离等于半径，即 整理得|10－4b|＝5，解得
(3)求出圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离，求出⊙C上点P到直线3x＋4y＋5＝0的距离的最大值以及最小值即可解决问题
问题3：如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵在3x＋4y＋5＝0中，A＝3，B＝4，C＝5，
∴圆心C(2，1)到直线AB的距离CD＝ ＝3，∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3＋1＝4，最小距离为3－1＝2，∴的最大值为×2×4＝4，最小值为×2×2＝2.
17.【解析】（1）①根据反称点的定义，可得当⊙O的半径为1时，点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；
②由OP≤2r=2，得出OP2≤4，设P（x，﹣x+2），由勾股定理得出OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，解不等式得出0≤x≤2．再分别将x=2与0代入检验即可；
(2）先由y=﹣x+2，求出A（6，0），B（0，2），则=，∠OBA=60°，∠OAB=30°．再设C（x，0），分两种情况进行讨论：①C在OA上；②C在A点右侧．
解：（1）当⊙O的半径为1时．
①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；
T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；
②∵OP≤2r=2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2），∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4，∴2x2﹣4x≤0，
x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2．
当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意；
当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意；∴0＜x＜2；
(2）∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（6，0），B（0，2），∴=，∴∠OBA=60°，∠OAB=30°．设C（x，0）．
①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2，所以AC≤4，C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；
②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，所以C点横坐标x≤8．
综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8
18.【解析】（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，且∠BAD＝∠D＝120°，∴∠ABC＝60°；在△ADC中，AD＝CD＝2，∠D＝120°，所以∠DAC＝∠DCA＝30°；∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，即△BAC为直角三角形；
在Rt△BAC中，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°﹣60°＝30°，AB＝2，所以AC＝AB tan60°＝2；由于B.C关于直线EF对称，根据阅读资料可知BP+AP的最小值为线段AC的长，即2．
（2）如图（2），作点A关于直径MN的对称点C，连接BC，则BC与直径MN的交点为符合条件的点P，BC的长为BP+AP的最小值；连接OA，则∠AON＝2∠AMN＝60°；∵点B是的中点，∴∠BON＝∠AON＝30°；
∵A.C关于直径MN对称，∴＝，则∠CON＝∠AON＝60°；∴∠BOC＝∠BON+∠CON＝90°，又OC＝OB＝MN＝，在等腰Rt△BOC中，BC＝OB＝；即：BP+AP的最小值为．
（3）①依题意，有：，解得,∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
②取点C关于抛物线对称轴x＝1的对称点D，根据抛物线的对称性，得：D（2，﹣3）；连接AD，交抛物线的对称轴于点M，如图（3）﹣②；设直线AD的解析式为y＝kx+b，代入A（﹣1，0）、D（2，﹣3），得：，解得,∴直线AD：y＝﹣x﹣1，M（1，﹣2）；∴△ACM的周长最小值：lmin＝AC+AD＝+3．
19．【解析】（1）先求出斜边长为5，由等面积法可得斜边上高为，设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：，从而可得内切圆半径r＝1；
（2）①易知△ABC的面积为a=a2 ，由等面积法可得：易知a（h1+h2+h3）＝＝a2，所以h1+h2+h3＝a，
②运用类比①的方法可得：（h1+h2+h3+h4+h5）＝，设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，易知＝5，过O作OQ⊥AB于点Q，由多边形内角和公式可得∠EAB＝108°，故∠OAQ＝54°，故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××tan54°，解得h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．
（3）①根据等面积法，有=，则图中阴影部分的面积即为扇形OCB的面积．可证明扇形OCB圆心角度数为60°，则＝＝＝阴影面积，
②连接DF，过点E作EG∥DF交AF的延长线于点G，则点G即为所求，连接DG．运用等面积法即可证明．
解：（1）如图所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝5，设斜边上高为h，由等面积法可知：
AC BC＝h AB，．设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：．即3×4÷2＝AC r+BC r+AB r，即＝6，∴r＝＝＝1．
（2）①：由已知中图可知，△ABC的面积为为a=a2，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝a2，
解得：h1+h2+h3＝a．
②：类比①中方法可知（h1+h2+h3+h4+h5）＝，设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，如图2．易知＝5，过O作OQ⊥AB于点Q，∠EAB＝＝108°，故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ tan54°＝tan54°，故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××tan54°，从而得到：h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．
（3）①：若以BC作为△OCB和△ACB的底，则△OCB和△ACB等高，∴=．∴图中阴影部分的面积即为扇形OCB的面积．∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA＝90°，又OB＝2，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，∵BC∥OA，
∴∠OBC＝∠AOB＝60°，∴△OCB为等边三角形．∴∠COB＝60°，∴＝＝．故阴影部分面积为．
②如图3，连接DF，过点E作EG∥DF交AF的延长线于点G，则点G即为所求．连接DG，∵＝+，∵EG∥DF，∴，∴＝+＝．
20.【解析】(1)因为等边三角形的边长相等，不妨设边长为x，则x2+x2=2x2，所以符合奇异三角形的定义，故原命题是真命题；
(2)∵∠ACB=90 ,∴①,∵Rt△ABC是奇异三角形，且b>a,∴②,联立①②得，
解得，∴a:b:c=1::
(3)∵AB是☉O的直径，∠ACB=∠ADB=90 ,∴Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2,在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵D是半圆的中点，∴,∴AD=BD,∴AB2=AD2+BD2=2AD2,∴AC2+BC2=2AD2,∵CB=CE,AE=AD,∴AC2+CE2=2AE2,∴△ACE是奇异三角形.