2024年中考数学专题复习讲义——　定义新运算题型之四边形（含解析）

二(2) 定义新运算题型之四边形
★ 四边形 ★
【范例详解】
例1.（定义“新概念”）
阅读下列材料，并解答其后的问题：
定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做等补四边形．如图91，若AB=AD，∠A+∠C=180 ，则四边形ABCD是等补四边形．
（1）理解：如图92，已知Rt△ABC中，∠ACB=90 ．请用尺规作图法作出点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是等补四边形；（只需作出一个满足条件的点D即可．要求不用写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）探究：如图93，等补四边形ABCD 中，AB=BC，∠A+∠C=180 ，BD是对角线．求证：BD平分∠ADC；
（3）运用：将斜边相等的两块三角板如图94放置，其中含45 角的三角板ABC的斜边与含30 角的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，AB=BC=4，连接BD．则BD的长为__________．
【解析】（1）在直线AB的上方作∠BAM=∠BAC，在AM上截取AD，使AD=AC，连接BD，D点即为所求；
（说明：解法一是作一个筝形；解法二是作等腰直角三角形ABD；解法三是作等腰△BCD，并作∠DBC=∠ABC．本题答案不唯一．）
（2）数学典型模型“对角互补模型”，解题方法：作垂线段构造全等三角形，利用全等性质解题。
证明：过点B作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，∴∠AEB=∠BFC=90 ，∵∠A+∠BCD=180 ，∠BCF+∠BCD=180 ，∴∠A=∠BCF，∵AB=BC，∴△AEB≌△CFB，∴BE=BF， ∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴点B在∠ACD的平分线上，即BD平分∠ACD．
(3)作AP⊥BC于点P，可证明四边形ABCD是等补四边形，由（2）得BD平分∠ADC，则∠ADB=45°，可得∠ABD=30°，由特殊角的边角关系即可求出BD的长；
解：如图4，作AP⊥BD于点P，则∠APB=∠APD=90°,∵∠ADC=∠ABC=90°,∠DAC=60°,∠BAC=45°,∴∠BAD=60°+45°=105°,∵∠DAB+∠DCB=360°-(∠ADC+∠ABC)=180°,∵AB=BC=4,∴四边形ABCD是等补四边形，由（2）得DB平分∠ADC，∴∠PDA=∠ADC=45°,∴∠PAD=45°,∴∠PDA=∠PAD,∴PD=PA,∠PAB=105°-45°=60°,∴∠ABP=30°,∴PD=PA=AB=2,∴BP=∴BD=BP+PD=
例2.（定义“新方法”）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入想补”原理复原了《海岛算经》九题上古证。
（1）请根据图1完成这个推论的证明过程。
证明：证明：, ,
∵,_________=__________,____________=_______________,∴,
（2）【变形】如图2，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB、CD于点E、F，连接PB、PD，若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为___________
【解析】（1）利用矩形性质“对角线将矩形分成面积相等的两个三角形”解题.
证明：, ,
∵,, ,∴,
（2）作PM⊥AD于点M，交BC于点N，则四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形，
∴,, ,∴,∵, ,∴,∴
【巩固练习】
1.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，若AD=2,BC=4,则AB2+CD2=_______
2.给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针旋转60 得到△DBE，连接AD、DC、CE，已知∠DCB=30 .
①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形.
3．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；
（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．
4.定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．
5.阅读短文，解决问题
定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”．例如：如图1，四边形AEFD为菱形，∠BAC与∠DAE重合，点F在BC上，则称菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”．
如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AF平分∠BAC，交BC于点F，过点F作FD∥AC，EF∥AB．
（1）求证：四边形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；
（2）若AC＝12，FC＝2，求四边形AEFD的周长；
（3）如图3，M、N分别是DF、AC的中点，连接MN．若MN＝3，求AD2+CF2的值．
6.阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：
（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形　 　．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是　 　 命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．
7.如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .
(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2)如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.
8.如图1，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边相等的四边形叫做筝形.
(1)试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；
(2)如图2，在筝形ABCD中，已知DC=AD=10,AB=CB,BC>CD,BD、AC为对角线，AC=16，若存在一个圆使得A、B、C、D四个点都在这个圆上，试求出这个圆的半径；
(3)如图，将正方形ABCD绕点B逆时针旋转30 ，得到正方形GBEF，AD与EF交于点K，延长DA交GF于点H.①证明四边形KABE是筝形；②若AB=2,求AH的长.
9.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形。(1)如图1，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是等邻边四边形；
(2)如图2，Rt△ABC中，∠ABC=90 ,AB=2,BC=1,将△ABC沿∠ABC的角平分线BB`方向平移，得到△A`B`C`，连接AA`、BC`，若平移后的四边形ABC`A`是等邻边四边形，且满足BC`=AB，求平移的距离；
(3)如图3，在等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90 ,AC和BD为四边形对角线，△BCD为等边三角形，试探究AC和AB的数量关系.
10.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.
(1)请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
(2)如图1，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，AD//BE,∠D=80 ,∠C=40 ,探究四边形ABCD是否为等邻角四边形，并说明理由；
(3)如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90 ,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕点A顺时针旋转角（0 <<∠BAC）得到△AB`D`，如图3，当凸四边形AD`BC为等邻角四边形时，求出它的面积.
【参考答案】
1.【解析】∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=∠AOD=∠COD=∠BOC=90 ,
∴AB2=AO2+BO2,CD2=OD2+OC2,AD2=OA2+OD2,BC2=OB2+OC2,∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2=AD2+BC2=22+42=20
2.【解析】(1)正方形、矩形、直角梯形均可以；(2)①证明：∵△ABC≌△DBE,∴BC=BE,∵∠CBE=60 ,∴△BCE是等边三角形.②∵△BCE为等边三角形，∴BC=CE,∠BCE=60 ,∵∠DCB=30 ,∴∠DCE=90 ,在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2,∴DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
3．【解析】（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；
（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）解：连接CG、BE，如图3所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，CG＝AC＝4，BE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，∵AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．
4.【解析】（1）∵∠A=∠B=∠C，∴3∠A+∠ADC=360°，∴∠ADC=360°﹣3∠A．∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，∴60°＜∠A＜120°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．∵DE=DA，DF=DC，
∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，
∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，∴四边形ABCD是三等角四边形
5.【解析】（1）证明：∵FD∥AC，EF∥AB，∴四边形AEFD是平行四边形，∴∠DAF＝∠AFE，∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠EAF，∴∠AFE＝∠EAF，∴AE＝EF，∴四边形AEFD是菱形，而菱形AEFD的∠DAE与△ABC的∠BAC重合，F在BC上，∴四边形AEFD为△ABC的“亲密菱形”（注意，这句话在解题步骤中一定要有）；
（2）解：由（1）知四边形AEFD是菱形，设AE＝EF＝DF＝AD＝x，∵AC＝12，∴CE＝12﹣x，
∵∠B＝90°，EF∥AB，∴∠EFC＝90°，∴EF2+CF2＝CE2，∴x2+（2）2＝（12﹣x）2，
解得x＝5，∴四边形AEFD的周长为5×4＝20；
（3）解：过F作FG//MN交AC于G，如图：∵FD∥AC，FG//MN，∴四边形MNGF是平行四边形，
∴FG＝MN＝3，MF＝NG，∵M、N分别是DF、AC的中点，∴CN＝AC，MF＝DF，∴NG＝DF，
∴CG＝CN﹣NG＝AC﹣DF＝（AC﹣DF）＝（AC﹣AE）＝CE，∴G为CE中点，∵∠EFC＝90°，
∴CE＝2FG＝6，EF2+CF2＝CE2，∴EF2+CF2＝36，∴AD2+CF2＝36．
6.【解析】（1）由和谐四边形的定义，即可得到菱形是和谐四边形；
（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，举出反例即可；
（3）首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质，即可求出∠ABC的度数．
解：（1）∵菱形的四条边相等，∴连接对角线能得到两个等腰三角形，∴菱形是和谐四边形；故选C；
（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，如图所示：∠C＝45°，直角梯形ABCD是和谐四边形，但不是轴对称图形，
故答案为：假；
（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，∴△ACD是等腰三角形，∵在等腰Rt△ABD中，AB＝AD，∴AB＝AD＝BC，
①如图1，当AD＝AC时，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°；
②如图2，当DA＝DC时，∴AB＝AD＝BC＝CD．∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°；
③如图3，当CA＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，∵AC＝CD，CE⊥AD，∴AE＝ED，∠ACE＝∠DCE．∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴BF＝AE．∵AB＝AD＝BC，∴BF＝BC，
∴∠BCF＝30°．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ACB＝∠BAC＝∠BCF＝15°，
∴∠ABC＝150°．
7.【解析】（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 .
证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c .∴L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，而 ab>S，a>b，∴ L1- L2>0，即L1> L2 .同理可得，L2> L3 .∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小.
8.【解析】(1)OT垂直平分MN，理由如下：∵OM=ON,∴点O在MN的垂直平分线上，∵TM=TN，∴点T在MN的垂直平分线上，∴OT垂直平分MN；
(2)由(1)可知，BD垂直平分AC，∴四边形ABCD的外接圆圆心O在BD上，∴CE=AC=8,在Rt△CDE中，由勾股定理得DE=6,设OC=OD=x，则OE=x-6，∴(x-6)2+82=x2,解得x=,∴这个圆的半径为；
(3)①连接BK，∵将正方形ABCD绕点B逆时针旋转30 ，得到正方形GBEF，∴BE=AB,∵BK=BK,∴Rt△ABK≌Rt△EBK(HL),∴AK=KE,∴四边形KABE是筝形；②由①可知，∠ABK=30 ,∴AK=2,∴KE=AK=2,∴KF=EF-KE=2-2.∵∠FHK=30 ,∴HK=2FK=4-4,∴AH=HK-AK=4-6.
9.【解析】(1)∵∠BAC=∠DAC,∠B=∠D,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,∴AB=AD,∴四边形ABCD是等邻边四边形；
(2)如图2，延长C`B`交AB于点D，∵△A`B`C`由△ABC平移得到，∴A`B`//AB,∠A`B`C`=∠ABC=90 ,C`B`=CB=1,∴B`D⊥AB,∵BB`平分∠ABC，∴∠B`BD=45 ,∴B`D=BD,设B`D=BD=x，∴C`D=1+x，∵BC`=AB=2,∴Rt△BDC`中，x2+(1+x)2=4,解得x=或x= (舍去)，∴等腰Rt△BB`D中，BB`=x=,∴平移距离为.
(3)AC=AB，理由是：如图3，作AE⊥AB，且AE=AB，连接ED、EB，∵AE⊥AB，∴∠EAD+∠BAD=90 ,∵∠BAD+∠BCD=90 ,△BCD为等边三角形，∴∠EAD=∠DCB=60 ,∵AE=AB,AB=AD,∴AE=AD,∴△AED为等边三角形，∴AD=ED,∠EDA=∠BDC=60 ,∴∠BDE=∠CDA,∵ED=AD,BD=CD,∴△BDE≌△CDA,∴AC=BE,∵AE=BE,∠BAE=90 ,∴BE=AB,∴AC=AB.
10.【解析】(1)矩形或正方形；(2)四边形ABCD是等邻角四边形，理由是：∵AD//BE,∠D=80 ,∴∠BEC=∠D=80 ,∵∠C=40 ,∴∠CBE=180 -∠C-∠BEC=180 -40 -80 =60 ,∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBE=120 ,在四边形ABCD中，∠A=360 -∠D-∠C-∠ABC=120 ,∴∠A=∠ABC,∴四边形ABCD是等邻角四边形；
(3)∵Rt△ABD绕点A顺时针旋转角（0 <<∠BAC）得到△AB`D`，∴∠CAD`<90 ,∠AD`B>90 ,∵凸四边形AD`BC为等邻角四边形,∴只存在以下两种情况：
①当∠AD`B=∠D`BC时，延长AD`、CB交于点E，如图1，∠ED`B=EBD`，∴EB=ED`，设EB=ED`=x，则CE=BC+BE=3+x,AE=AD`+D`E=4+x,在Rt△ACE中，由勾股定理可得42+(3+x)2=(4+x)2,解得x=4.5，在Rt△ABD中，AB=5,BD=3,则AD=4，由旋转性质可得AD`=AD=4，则ED`=x=4.5,AE=4+x=8.5，过点D`作D`F⊥CE于点F，则D`F//AC，∴D`F:AC=ED`:AE，即D`F:4=4.5:8.5，解得D`F=,∴, ,则 ;
②当∠D`BC=∠ACB=90 时，过点D`作D`E⊥AC于点E，如图2，∴∠CED`=∠ACB=∠D`BC=90 ,∴四边形ECBD`是矩形，∴ED`=BC=3，在Rt△AED`中，AE=,在Rt△ABD中，由AB=5,BD=3可得AD=4，由旋转性质可得AD`=AD=4,在Rt△ABC中，由AB=5,BC=3可得AC=4,∴CE=AC-AE=4-,∴,, ,则;