2024年中考数学专题复习讲义——　定义“新方法”题型之二元一次方程(组)（含答案）

一(7) 定义“新方法”题型之二元一次方程(组)
★ 二元一次方程(组) ★
【范例详解】
例.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方
程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．
【解析】考查高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出的值.
解：令，则原方程组可化为：，整理得：，②-①得：
，解得：，代入②可得：b=4，∴方程组的解为：或，
，当a=5时，=6，当a=-5时，=26，因此的值为6或26.
【巩固练习】
1．定义一种新的运算“※”，规定：x※y＝mx+ny2，其中m、n为常数，已知2※3＝﹣1，3※2＝8，
则m※n＝________．
2．对于实数a、b，定义关于“ ”的一种运算：a b=2a+b，例如3 4=2×3+4=10．
（1）求4 （–3）的值；（2）若x （–y）=2，（2y） x=–1，求x+y的值．
3.【阅读感悟】有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组，则________，________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．
4.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．
5.阅读理解：a,b,c,d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并规定：，例如：，二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：，其中，，，
问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 时，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D. 方程组的解为
6.对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y= ．
7.阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
将方程②变形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③,把方程①带入③得：2×3+y=5,∴y=-1，把y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为。请你解决以下问题
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x,y满足方程组,(ⅰ)求x2+4y2的值；(ⅱ)求的值;
8.算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，在算筹计数法中，以“立”、“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推.《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法。如图1，从左到右的符号中，前两个符号分别代表未知数x,y的系数，因此，根据此图可以列出方程：x+10y=26.请你根据图2列出方程组为______________.
9.对于有理数x,y，定义一种新的运算“*”:x*y=ax+by+c，其中a,b,c为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知3*5=15，4*7=28，求1*1的值.
10.把1---9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”，则x-y=_____
11.对于任意的有理数a,b,c,d，我们规定，根据这一规定，解答以下问题：若x,y同时满足, ，求的值.
12.定义一种运算：x#y=ax+by(a,b为常数)，若3#4=2,5#(-1)=11,则2#6=______
13.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c，对应密文为a+1,-a+2b+4,b+3c+9,如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A. 6,2,7 B. 2,6,7 C. 6,7,2 D. 7,2,6
14.下图中3个天平左盘中“△”“□”分别表示 两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为_____.
15.规定：形如关于x,y的方程x+ky=b与kx+y=b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1;由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组.
(1)方程3x+y=5的共轭二元一次方程是________________;
(2)若关于x,y的方程组为共轭方程组，则a=______,b=_______;
(3)若方程x+ky=b中x,y的值满足下表,求这个方程的共轭二元一次方程.
x -1 0
y 0 2
(4)直接写出下列方程组的解：的解为__________;的解为__________;
的解为__________;
结论：若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系
16.当实数m,n满足m-2n=1，则称点P(m+2,)为创新点，若关于x,y的方程组的解为坐标的点Q(x,y)为创新点，则a的值为_______
17.阅读例子：已知关于x,y的方程组的解是，求关于x,y的方程组的解.
解：方程组可化为，∵方程组的解是，∴,∴,∴方程组的解是.
通过对上面材料的阅读后，解决下列问题：
已知关于x,y的方程组的解是，求关于x,y的方程组的解.
18.我们定义一个关于非零常数a,b的新运算，规定：a⊙b=ax+by，如3⊙2=3x+2y;
(1)若x=-5,2⊙4=-18,求y的值；(2)1⊙1=8，4⊙2=20,求x,y的值;
19.定义一种运算：x y=ax+bxy(a,b为常数)，若1 2=4,2 (-1)=5,则a+b=______
20.阅读理解：解方程组时，如果设=m，=n，则原方程组可变形为关于m,n的方程组，解这个方程组得到它的解为，由=5，=-4,求得原方程组的解为，利用上述方法解方程组：.
【参考答案】
1．【解析】依条件“2※3＝﹣1，3※2＝8”得：，
解得：，则x※y＝4x﹣y2，∴4※（﹣1）＝4×4﹣（﹣1）2＝15，
2．【解析】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）根据题中的新定义得：原式=8–3=5；
（2）根据题中的新定义化简得：，①+②得：3x+3y=1，则x+y=．
3.【解析】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值．
（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；
（3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值．
解：（1），①-②，得x-y=-1，①+②，得3x+3y=15，∴x+y=5.
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则，，
①×2，得40x+6y+4z=64③，③-②，得x+y+z=6，∴5(x+y+z)=30，
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元，
（3）∵，∴①，②，，
∴②-①，得③，∴④，①+②，得⑤，⑤-④，得，∴.
4.【解析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．
解：如图，根据题意，可得第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m，可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4，
第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4，第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6，第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得 ∴
5.【解答】(1)由题意可得，A选项正确；(2)由题意可得，选项B正确；
(3)由题意可得,选项C错误；(4)方程组的解：x= y=选项D正确，故选C.
6.【解析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
解：由题意可知：，解得：∵x＜y，∴原式=5×12=60
7.【解析】(1)解：把方程②变形：3(3x-2y)+2y=19③,把①代入③得：15+2y=19,即y=2，把y=2代入①得：x=3，∴方程组的解为.
(2)(ⅰ)解：由①得：3(x2+4y2)=47+2xy，即x2+4y2=③,把③代入②得：2×=36-xy,解得xy=2，则x2+4y2=17;
(ⅱ)∵x2+4y2=17,∴(x+2y)=x2+4y2+4xy=17+8=25.∴x+2y=5或x+2y=-5，则
8.【解析】由题意得：
9.【解析】∵x*y=ax+by+c，3*5=15，4*7=28，∴，可得a=13-2b，c=-24+b，
∴1*1=a+b+c=13-2b+(-24+b)+b=-11.
10.【解析】由题意可得：,解得,∴x-y=-8.
11.【解析】由题可知：①, ②，①×2得：10x+2y=26③,②×3得：9x+12y=12④,③+④得：x=2，将x=2代入①得：y=,∴
12.【解析】由3#4=2,5#(-1)=11可得，解得，∴2#6=2×2+6×（-1）=-2
13.【解析】由题意可得，解得，故选C.
14.【解析】设“△”的质量为x，“□”的质量为y，由题可得，解得，所以2x+y=10，
即第三个天平右盘中砝码的质量为10g.
15.【解析】(1)x+3y=5;(2)a=1,b=1;(3)解：方程x+ky=b中，当x=-1时，y=0,当x=0时y=2，可得，解得，∴这个方程的共轭二元一次方程为；(4) 、、；m=n
16.【解析】解方程组可得：,∴Q(a+1,),∵点Q为创新点，∴m=a-1,n=-2a,∴m-2n=1,∴a-1+2a=1,∴a=
17.【解析】方程组可化为，∵方程组的解是，∴,∴,∴方程组的解是.
18.【解析】(1)∵2⊙4=-18, ∴2x+4y=-18,∵x=-5,∴-10+4y=-18,解得y=-2;
(2)∵1⊙1=8，4⊙2=20,∴，由②-①×2得：4x-2y=20-16,解得x=2，∴2+y=8,解得y=6,∴
19.【解析】由1 2=4,2 (-1)=5可得，解得，∴a+b=3.5
20.【解析】设=m，=n，则原方程组可变形为关于m,n的方程组，①+②得8m=24,解得m=3，将m=3代入①，得n=-2，这个方程组的解为，由=3，=-2,求得原方程组的解为.