2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷02（含解析）

2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷02
一．选择题（共8小题）
1．下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（　　）
A．1 B． C． D．
3．抛物线y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（4，1） B．（﹣4，1） C．（1，4） D．（1，﹣4）
4．已知⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
5．在“河南美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳酸浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，参赛的甲、乙二人从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则两人恰好选中同一种美食的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x+3）2 B．y＝﹣（x﹣3）2 C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣x2﹣3
7．在设计人体雕像时，使雕像下部（腰部以下）与全部的高度比等于黄金比，可以增加视觉美感，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的上部设计高度是（　　）
A． B． C． D．
8．某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.69环，甲的方差是0.21，乙的方差是0.26，则下列说法中正确的是（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
二．填空题（共8小题）
9．一组数据1，2，3，4，10的极差是 　 　．
10．已知|x+3y﹣4|+（2y﹣x﹣6）2＝0，则＝　 　．
11．在三张完全相同的卡片上，分别画有正三角形、正方形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是 　 　．
12．已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 　 　．
13．⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB与CD的距离为 　 　．
14．在今年的体育中考前，甲、乙两名同学练习投掷实心球，每人投10次．平均成绩均为9.8米，方差分别为s2甲＝0.1，s2乙＝0.02，则成绩较稳定的是 　 　（填“甲“或“乙”）．
15．已知等腰三角形的腰与底边之比为3：2，那么这个等腰三角形底角的余弦值为 　 　．
16．如图，将等边三角形ABC绕顶点B顺时针方向旋转，使边AB与BC重合得三角形CBD，AC的中点E的对应点为F，则∠EBF的度数是 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．计算：．
18．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小明购买门票在A区观赛的概率为 　 　；
（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
19．第一届全国学生（青年）运动会将于2023年11月5日在南宁市开幕，广西将因体育盛会引来全国乃至全球的目光．为了解学生对本次学青会的关注程度，某校组织七、八年级学生举行了“学青会”知识竞赛，现从这两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】：
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，76，85，75，74，89，79，74，69，95；
八年级10名同学测试成绩统计如下：90，80，71，84，80，72，92，74，75，82；
【整理数据】两组数据各分数段如表所示：
成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
七年级 1 5 3 a
八年级 0 4 4 2
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 74 58.2
八年级 80 80 c 47
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若竞赛成绩不低于90分，则认定该学生对学青会关注程度高．该校七年级学生有800人，八年级学生有600人，请估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
20．如图所示，在平面直角坐标系中已作出△ABC的位似图形△A1B1C1．
（1）在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；
（2）若以点A1为位似中心，请在图中给定的网格内画出△A1B1C1的位似图形△A1B2C2，且△A1B1C1与△A1B2C2的位似比为2：1．
21．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
22．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
23．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿西北方向行驶8.4千米至B地，再沿北偏东37°方向行驶一段距离到达古镇C，小明通过导航又发现古镇C恰好在A地的正北方向，当地正在修建一条快速公路，建好后可从A地直达C地，求正在修建公路AC的长度（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.4）．
24．如图，⊙O经过A，B两点，圆心O在BC上，CA是⊙O的切线，延长BA到D，过D作DE⊥BC于E，DE与AC交于F．
（1）若∠C＝30°，求∠D的度数；
（2）若AB＝AC，求证：DA＝DF．
25．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下：
如图，在Rt△ABC中，满足条件：∠ACB＝90° CD是斜边AB上的高，则有如下结论成立：
①CD2＝AD DB
②BC2＝BD BA
③AC2＝AD AB
④AC BC＝AB CD
（1）自主探究：请证明结论③AC2＝AD AB
已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，求证：AC2＝AD AB
（2）直接运用：运用射影定理解决下面的问题：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，若AC＝6，BD＝9，求CD的长．
2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷02
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列图案是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、既不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由图可知，∵BC＝4，AC＝3，
∴，
∴，
故选：B．
3．抛物线y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（4，1） B．（﹣4，1） C．（1，4） D．（1，﹣4）
【答案】A
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标是（4，1）．
故选：A．
4．已知⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：C．
5．在“河南美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳酸浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，参赛的甲、乙二人从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则两人恰好选中同一种美食的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设A，B，C，D分别代表“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳酸浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一美食的结果有4种，
则两人恰好选中同一美食的概率为．
故选：C．
6．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x+3）2 B．y＝﹣（x﹣3）2 C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣x2﹣3
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣（x﹣3）2；
故选：B．
7．在设计人体雕像时，使雕像下部（腰部以下）与全部的高度比等于黄金比，可以增加视觉美感，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的上部设计高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设该雕像的上部设计高度是xm，则雕像下部设计高度是（2﹣x）m，
根据题意得：，
解得：，
即该雕像的上部设计高度是．
故选：B．
8．某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.69环，甲的方差是0.21，乙的方差是0.26，则下列说法中正确的是（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
【答案】A
【解答】解：∵甲的方差是0.21，乙的方差是0.26，
∴，
∴甲的成绩比乙的成绩稳定；
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．一组数据1，2，3，4，10的极差是 　9　．
【答案】9．
【解答】解：因为1，2，3，4，10中最大为10，最小为1，
故极差为10﹣1＝9，
故答案为：9．
10．已知|x+3y﹣4|+（2y﹣x﹣6）2＝0，则＝　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|x+3y﹣4|+（2y﹣x﹣6）2＝0，
∴，
解得：，
则＝＝2，
故答案为：2．
11．在三张完全相同的卡片上，分别画有正三角形、正方形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是 　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵正三角形、正方形、正五边形中是中心对称图形的有正方形，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：．
故答案为：．
12．已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 　　．
【答案】．
【解答】解：圆锥的底面周长是：2π×4＝8π（cm），
则n＝120°，
即圆锥侧面展开图的圆心角是120°，
如图所示，
∴∠APB＝60°，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等边三角形，
∵C是PB的中点，
∴AC⊥PB，
∴∠ACB＝90°，
∵在圆锥侧面展开图中AP＝12cm，PC＝6cm，
∴在圆锥侧面展开图中：，
∴蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是：，
故答案为：．
13．⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB与CD的距离为 　14cm或2cm　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）如图①；Rt△OAE中，OA＝10cm，AE＝6cm；
根据勾股定理，得OE＝8cm；
同理可得：OF＝6cm；
故EF＝OE﹣OF＝2cm；
（2）如图②；同（1）可得：OE＝8cm，OF＝6cm；
故EF＝OE+OF＝14cm；
所以AB与CD的距离是14cm或2cm．
14．在今年的体育中考前，甲、乙两名同学练习投掷实心球，每人投10次．平均成绩均为9.8米，方差分别为s2甲＝0.1，s2乙＝0.02，则成绩较稳定的是 　乙　（填“甲“或“乙”）．
【答案】乙．
【解答】解：∵s2甲＝0.1，s2乙＝0.02，
∴s2甲＞s2乙，
∴成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
15．已知等腰三角形的腰与底边之比为3：2，那么这个等腰三角形底角的余弦值为 　　．
【答案】．
【解答】解：设等腰三角形的腰为3a，底边为2a，
，
如图，即AB＝AC＝3a，BC＝2a，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AD＝AD，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴BD＝CD＝a，∠B＝∠C，
在Rt△ABD中，cos∠B＝cos∠C＝＝，
故答案为：．
16．如图，将等边三角形ABC绕顶点B顺时针方向旋转，使边AB与BC重合得三角形CBD，AC的中点E的对应点为F，则∠EBF的度数是 　60°　．
【答案】60°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵将等边△ABC绕顶点B顺时针方向旋转，使边AB与BC重合得△BCD，AC的中点E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EBF的度数为：60°．
故答案为：60°．
三．解答题（共9小题）
17．计算：．
【答案】．
【解答】解：原式＝
＝．
18．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小明购买门票在A区观赛的概率为 　　；
（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）由题意得，小明购买门票在A区观赛的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为＝．
19．第一届全国学生（青年）运动会将于2023年11月5日在南宁市开幕，广西将因体育盛会引来全国乃至全球的目光．为了解学生对本次学青会的关注程度，某校组织七、八年级学生举行了“学青会”知识竞赛，现从这两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】：
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，76，85，75，74，89，79，74，69，95；
八年级10名同学测试成绩统计如下：90，80，71，84，80，72，92，74，75，82；
【整理数据】两组数据各分数段如表所示：
成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
七年级 1 5 3 a
八年级 0 4 4 2
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 74 58.2
八年级 80 80 c 47
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　1　，b＝　77.5　，c＝　80　；
（2）若竞赛成绩不低于90分，则认定该学生对学青会关注程度高．该校七年级学生有800人，八年级学生有600人，请估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
【答案】（1）1，77.5，80；
（2）200人；
（3）见解析．
【解答】解：（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，74，74，75，76，79，84，85，89，95，其中在90≤x＜100范围内的数据有1个，
故a＝1，
中位数b＝＝77.5，
将八年级抽样成绩中80分的最多，
所以众数c＝80，
故答案为：1，77.5，80；
（2）800×+600×＝200（人），
答：估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数有200人；
（3）可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
20．如图所示，在平面直角坐标系中已作出△ABC的位似图形△A1B1C1．
（1）在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标；
（2）若以点A1为位似中心，请在图中给定的网格内画出△A1B1C1的位似图形△A1B2C2，且△A1B1C1与△A1B2C2的位似比为2：1．
【答案】（1）见解答，M（0，2）；
（2）见解答．
【解答】解：（1）作图如下；
M（0，2）；
（2）作图如下：
21．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
22．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为y＝kx+b，
把（1，220）和（2，240）代入可得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝20x+200（1≤x≤28）；
（2）设总利润为w元，
则w＝y（z﹣20）＝（20x+200）（﹣2x+80）＝﹣40x2+1200x+16000＝﹣40（x﹣15）2+25000，
∵﹣40＜0，1≤x≤28，
∴当x＝15时，w最大，最大值25000，
答：第15天利润最大，最大值为25000元；
（3）由题意可得：
第20天开始每件商品的单价为（﹣2x+100﹣a）元，
每件商品的利润为：﹣2x+100﹣a﹣20＝（﹣2x+80﹣a）元，
设此时利润为w1元，
则w1＝（20x+200）（﹣2x+80﹣a）＝﹣40x2+（1200﹣20a）x+200（80﹣a），
对称轴，
又∵a＝﹣40＜0且20≤x≤28，
∴w1随x的增大而减小，
当x＝20时，w1有最大值为20250，
∴（20×20+200）（﹣2×20+80﹣a）＝20250，
解得：a＝6.25．
综上：第20天时，利润最大为20250元时，此时a＝6.25．
23．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿西北方向行驶8.4千米至B地，再沿北偏东37°方向行驶一段距离到达古镇C，小明通过导航又发现古镇C恰好在A地的正北方向，当地正在修建一条快速公路，建好后可从A地直达C地，求正在修建公路AC的长度（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.4）．
【答案】13.72千米．
【解答】解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB sin∠BAD＝8.4×＝≈5.88（千米），
∵BM∥AC，
∴∠C＝∠MBC＝37°，
∴CD＝≈≈7.84（千米），
∴AC＝AD+DC＝5.88+7.84＝13.72（千米）．
答：正在修建公路AC的长度大约是13.72千米．
24．如图，⊙O经过A，B两点，圆心O在BC上，CA是⊙O的切线，延长BA到D，过D作DE⊥BC于E，DE与AC交于F．
（1）若∠C＝30°，求∠D的度数；
（2）若AB＝AC，求证：DA＝DF．
【答案】（1）60°；
（2）见解答．
【解答】（1）解：连接OA，如图，
∵CA是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝30°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠D＝90°﹣30°＝60°；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∴∠C＝∠OAB，
∵∠OAB+∠DAF＝90°，∠C+∠EFC＝90°，
∴∠DAF＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DA＝DF．
25．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下：
如图，在Rt△ABC中，满足条件：∠ACB＝90° CD是斜边AB上的高，则有如下结论成立：
①CD2＝AD DB
②BC2＝BD BA
③AC2＝AD AB
④AC BC＝AB CD
（1）自主探究：请证明结论③AC2＝AD AB
已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，求证：AC2＝AD AB
（2）直接运用：运用射影定理解决下面的问题：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，若AC＝6，BD＝9，求CD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）CD＝3．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AD AB；
（2）解：如图，
设AD长为x，则AB＝x+9，
由（1）知AC2＝AD AB，
∴x（x+9）＝62，
解得：x1＝3，x2＝﹣12（不合题意，舍去），
∴AD＝3，
又∵CD2＝AD DB，
∴CD＝＝＝3．
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