2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷03（含解析）

2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷03
一．选择题（共8小题）
1．下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（　　）
A．1 B． C． D．
3．抛物线y＝2（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
4．已知⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
5．在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x+3）2 B．y＝﹣（x﹣3）2 C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣x2﹣3
7．若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则最短的线段MP的长为（　　）
A．（﹣1）cm B．cm C．（3﹣）cm D．cm
8．某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.69环，甲的方差是0.21，乙的方差是0.26，则下列说法中正确的是（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
二．填空题（共8小题）
9．数据93 68 95 85 71 61 78 94的极差是　 　．
10．已知|x+3y﹣4|+（2y﹣x﹣6）2＝0，则＝　 　．
11．在三张完全相同的卡片上，分别画有正三角形、正方形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是 　 　．
12．已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 　 　．
13．⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是　 　cm．
14．在今年的体育中考前，甲、乙两名同学练习投掷实心球，每人投10次．平均成绩均为9.8米，方差分别为s2甲＝0.1，s2乙＝0.02，则成绩较稳定的是 　 　（填“甲“或“乙”）．
15．如图，等腰△ABC的周长是36cm，底边为10cm，则底角的正弦值是　 　．
16．如图，将等边三角形ABC绕顶点B顺时针方向旋转，使边AB与BC重合得三角形CBD，AC的中点E的对应点为F，则∠EBF的度数是 　 　．
三．解答题（共9小题）
17．计算：．
18．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小明购买门票在A区观赛的概率为 　 　；
（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
19．第一届全国学生（青年）运动会将于2023年11月5日在南宁市开幕，广西将因体育盛会引来全国乃至全球的目光．为了解学生对本次学青会的关注程度，某校组织七、八年级学生举行了“学青会”知识竞赛，现从这两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】：
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，76，85，75，74，89，79，74，69，95；
八年级10名同学测试成绩统计如下：90，80，71，84，80，72，92，74，75，82；
【整理数据】两组数据各分数段如表所示：
成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
七年级 1 5 3 a
八年级 0 4 4 2
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 74 58.2
八年级 80 80 c 47
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）若竞赛成绩不低于90分，则认定该学生对学青会关注程度高．该校七年级学生有800人，八年级学生有600人，请估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
20．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标　 　；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为　 　．
21．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
22．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
23．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿西北方向行驶8.4千米至B地，再沿北偏东37°方向行驶一段距离到达古镇C，小明通过导航又发现古镇C恰好在A地的正北方向，当地正在修建一条快速公路，建好后可从A地直达C地，求正在修建公路AC的长度（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.4）．
24．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．
（1）求证：∠DCE＝∠ABC；
（2）若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．
25．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下：
如图，在Rt△ABC中，满足条件：∠ACB＝90° CD是斜边AB上的高，则有如下结论成立：
①CD2＝AD DB
②BC2＝BD BA
③AC2＝AD AB
④AC BC＝AB CD
（1）自主探究：请证明结论③AC2＝AD AB
已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，求证：AC2＝AD AB
（2）直接运用：运用射影定理解决下面的问题：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，若AC＝6，BD＝9，求CD的长．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．下面四个图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由图可知，∵BC＝4，AC＝3，
∴，
∴，
故选：B．
3．抛物线y＝2（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
【答案】A
【解答】解：因为抛物线y＝2（x﹣2）2+5，
所以抛物线y＝2（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．
故选：A．
4．已知⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，则点P（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵⊙O的半径是5cm，线段OP的长为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在⊙O内．
故选：C．
5．在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是：＝，
故选：C．
6．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x+3）2 B．y＝﹣（x﹣3）2 C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣x2﹣3
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣（x﹣3）2；
故选：B．
7．若线段MN的长为2cm，点P是线段MN的黄金分割点，则最短的线段MP的长为（　　）
A．（﹣1）cm B．cm C．（3﹣）cm D．cm
【答案】C
【解答】解：较长的线段MP的长为x cm，则较短的线段长是（2﹣x）cm．
则x2＝2（2﹣x），
解得x＝﹣1或﹣﹣1（舍去）．
较短的线段长是2﹣（﹣1）＝3﹣（cm）
故选：C．
8．某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.69环，甲的方差是0.21，乙的方差是0.26，则下列说法中正确的是（　　）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
【答案】A
【解答】解：∵甲的方差是0.21，乙的方差是0.26，
∴，
∴甲的成绩比乙的成绩稳定；
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．数据93 68 95 85 71 61 78 94的极差是　34　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：数据中最大数是95，最小数是61，所以极差＝95﹣61＝34．
故填34．
10．已知|x+3y﹣4|+（2y﹣x﹣6）2＝0，则＝　2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|x+3y﹣4|+（2y﹣x﹣6）2＝0，
∴，
解得：，
则＝＝2，
故答案为：2．
11．在三张完全相同的卡片上，分别画有正三角形、正方形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是 　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵正三角形、正方形、正五边形中是中心对称图形的有正方形，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：．
故答案为：．
12．已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 　　．
【答案】．
【解答】解：圆锥的底面周长是：2π×4＝8π（cm），
则n＝120°，
即圆锥侧面展开图的圆心角是120°，
如图所示，
∴∠APB＝60°，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等边三角形，
∵C是PB的中点，
∴AC⊥PB，
∴∠ACB＝90°，
∵在圆锥侧面展开图中AP＝12cm，PC＝6cm，
∴在圆锥侧面展开图中：，
∴蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是：，
故答案为：．
13．⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是　7或1　cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OF⊥AB，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴F、E分别为AB、CD的中点，
∴AF＝BF＝AB＝4，CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△COE中，
∵OC＝5，CE＝3，
∴OE＝＝4，
在Rt△AOF中，OA＝5，AF＝4，
∴OF＝＝3，
∴EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4+3＝7，
综上，弦AB与CD的距离为7或1．
故答案为：7或1．
14．在今年的体育中考前，甲、乙两名同学练习投掷实心球，每人投10次．平均成绩均为9.8米，方差分别为s2甲＝0.1，s2乙＝0.02，则成绩较稳定的是 　乙　（填“甲“或“乙”）．
【答案】乙．
【解答】解：∵s2甲＝0.1，s2乙＝0.02，
∴s2甲＞s2乙，
∴成绩较稳定的是乙，
故答案为：乙．
15．如图，等腰△ABC的周长是36cm，底边为10cm，则底角的正弦值是　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为等腰三角形ABC的周长是36cm，底边为10cm，
所以AB＝AC＝13cm
过点A做AD⊥BC，垂足为D．
∴BD＝BC＝5cm
在Rt△ABD中，AD＝
＝
＝12（cm）
sinB＝＝．
故答案为：
16．如图，将等边三角形ABC绕顶点B顺时针方向旋转，使边AB与BC重合得三角形CBD，AC的中点E的对应点为F，则∠EBF的度数是 　60°　．
【答案】60°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵将等边△ABC绕顶点B顺时针方向旋转，使边AB与BC重合得△BCD，AC的中点E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EBF的度数为：60°．
故答案为：60°．
三．解答题（共9小题）
17．计算：．
【答案】．
【解答】解：原式＝
＝．
18．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小明购买门票在A区观赛的概率为 　　；
（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）由题意得，小明购买门票在A区观赛的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为＝．
19．第一届全国学生（青年）运动会将于2023年11月5日在南宁市开幕，广西将因体育盛会引来全国乃至全球的目光．为了解学生对本次学青会的关注程度，某校组织七、八年级学生举行了“学青会”知识竞赛，现从这两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】：
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，76，85，75，74，89，79，74，69，95；
八年级10名同学测试成绩统计如下：90，80，71，84，80，72，92，74，75，82；
【整理数据】两组数据各分数段如表所示：
成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
七年级 1 5 3 a
八年级 0 4 4 2
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 74 58.2
八年级 80 80 c 47
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　1　，b＝　77.5　，c＝　80　；
（2）若竞赛成绩不低于90分，则认定该学生对学青会关注程度高．该校七年级学生有800人，八年级学生有600人，请估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
【答案】（1）1，77.5，80；
（2）200人；
（3）见解析．
【解答】解：（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，74，74，75，76，79，84，85，89，95，其中在90≤x＜100范围内的数据有1个，
故a＝1，
中位数b＝＝77.5，
将八年级抽样成绩中80分的最多，
所以众数c＝80，
故答案为：1，77.5，80；
（2）800×+600×＝200（人），
答：估计这两个年级对学青会关注程度高的学生总人数有200人；
（3）可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
20．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标　（0，﹣2）　；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为　（﹣a，﹣b）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：点P（0，﹣2）；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，点M对应点的坐标为：（﹣a，﹣b）．
故答案为：（1）（0，﹣2）；（2）（﹣a，﹣b）．
21．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
22．中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为y＝kx+b，
把（1，220）和（2，240）代入可得：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝20x+200（1≤x≤28）；
（2）设总利润为w元，
则w＝y（z﹣20）＝（20x+200）（﹣2x+80）＝﹣40x2+1200x+16000＝﹣40（x﹣15）2+25000，
∵﹣40＜0，1≤x≤28，
∴当x＝15时，w最大，最大值25000，
答：第15天利润最大，最大值为25000元；
（3）由题意可得：
第20天开始每件商品的单价为（﹣2x+100﹣a）元，
每件商品的利润为：﹣2x+100﹣a﹣20＝（﹣2x+80﹣a）元，
设此时利润为w1元，
则w1＝（20x+200）（﹣2x+80﹣a）＝﹣40x2+（1200﹣20a）x+200（80﹣a），
对称轴，
又∵a＝﹣40＜0且20≤x≤28，
∴w1随x的增大而减小，
当x＝20时，w1有最大值为20250，
∴（20×20+200）（﹣2×20+80﹣a）＝20250，
解得：a＝6.25．
综上：第20天时，利润最大为20250元时，此时a＝6.25．
23．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿西北方向行驶8.4千米至B地，再沿北偏东37°方向行驶一段距离到达古镇C，小明通过导航又发现古镇C恰好在A地的正北方向，当地正在修建一条快速公路，建好后可从A地直达C地，求正在修建公路AC的长度（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.4）．
【答案】13.72千米．
【解答】解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB sin∠BAD＝8.4×＝≈5.88（千米），
∵BM∥AC，
∴∠C＝∠MBC＝37°，
∴CD＝≈≈7.84（千米），
∴AC＝AD+DC＝5.88+7.84＝13.72（千米）．
答：正在修建公路AC的长度大约是13.72千米．
24．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．
（1）求证：∠DCE＝∠ABC；
（2）若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．
【答案】（1）证明见解析．
（2）7．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵CE与⊙O相切，
∴OC⊥CE，
∴∠OEC＝90°．
即∠OCB+∠ECB＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ECB+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠OCB．
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠DCE＝∠ABC．
（2）解：∵OA＝3，
∴AB＝2OA＝6，
∵∠AOD＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，
即，
解得AD＝9，
∴CD＝AD﹣AC＝9﹣2＝7．
25．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下：
如图，在Rt△ABC中，满足条件：∠ACB＝90° CD是斜边AB上的高，则有如下结论成立：
①CD2＝AD DB
②BC2＝BD BA
③AC2＝AD AB
④AC BC＝AB CD
（1）自主探究：请证明结论③AC2＝AD AB
已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，求证：AC2＝AD AB
（2）直接运用：运用射影定理解决下面的问题：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的高，若AC＝6，BD＝9，求CD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）CD＝3．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AD AB；
（2）解：如图，
设AD长为x，则AB＝x+9，
由（1）知AC2＝AD AB，
∴x（x+9）＝62，
解得：x1＝3，x2＝﹣12（不合题意，舍去），
∴AD＝3，
又∵CD2＝AD DB，
∴CD＝＝＝3．
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