2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷06（含解析）

2023-2024学年江苏省九年级数学期末突击模拟卷06
一．选择题（共8小题）
1．下列函数中，是二次函数的有（　　）
①y＝3（x﹣1）2+1；②y＝x+；③y＝8x2+1；④y＝3x3+2x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．我校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为（　　）
A．9 B．7 C．8 D．10
3．某农户，用26m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长12m），且面积为80m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，如图所示，若可列方程为x×★＝80，则★表示的是（　　）
A．（26﹣2x） B．（27﹣2x） C． D．
4．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣3（x+4）2+2 B．y＝﹣3（x﹣4）2+2
C．y＝﹣3（x+4）2 D．y＝﹣3（x﹣4）2
5．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）
A． B． C．4 D．2+
6．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（　　）
A． B．3 C．6 D．
8．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段AB上运动，AB∥x轴，B（1，﹣1），AB＝3，则下列结论中正确的是（　　）
A．b2﹣4ac＜0
B．当x＞0时，一定有y随x的增大而增大
C．0≤c≤3
D．若点C的坐标为（m，0），则点D的坐标为（m+2，0）
二．填空题（共10小题）
9．二次函数y＝（x+1）2+2的顶点坐标为 　 　．
10．少年强，则国强、为增强青少年科技创新能力，我市将举行“青少年机器人大赛”，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人代表学校参赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90分，方差分别是，，＝10.5，则派 　 　代表学校参赛比较合适．
11．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是 　 　．（结果不取近似值）．
12．圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面积为 　 　．
13．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2，若x1x2＝5，则k的值为 　 　．
14．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x+3）和y＝x+3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x+3）＝x+3的解的个数为 　 　；若m，n分别满足方程x2（x+3）＝5和x+3＝5，则m，n的大小关系是 　 　．
15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是 　 　．
16．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是　 　s．
17．已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝　 　．
18．如图，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝52°，则∠EFA＝　 　．
三．解答题（共10小题）
19．解下列方程：
（1）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝x﹣1．
20．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
（2）证明：PA+PB＝PC．
21．把y＝﹣x2的图象向上平移2个单位，向左平移1个单位．
（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
（2）画出图象；
（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
22．阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长（单位：小时）的情况，对全班40名学生进行问卷调查．
所得的结果如图所示．
（1）这40名学生上周阅读时间的众数为 　 　小时，中位数为 　 　小时；
（2）求这40名学生上周在家阅读的平均时长？
23．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x12+x22＝4，求m值．
25．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，求AE的长；
26．我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1600万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理．销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：
销售单价x（元） 200 230 250
年销售量y（万件） 14 11 9
（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
27．党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P满足到两坐标轴的距离之和等于4，则称点P为“高质量发展点”．
（1）判断下列各点是否是“高质量发展点”，并说明理由：
A（3，1），，C（﹣5，1）；
（2）一次函数y＝﹣2x+3上是否存在“高质量发展点”，若存在，求出所有“高质量发展点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“高质量发展点”，求r的取值范围．
28．抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4交y轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，OB＝OC．
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接PO，连接PA交y轴于E，设P点横坐标为t，△PEO面积为S，试用t表示S；
（3）在（2）的条件下，直线y＝﹣x+4﹣t交x轴于点F，交y轴于点D，点N在DF的延长线上，连接BE和BN，若BE＝BN，∠BND＝∠POC，求点P点的坐标．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．下列函数中，是二次函数的有（　　）
①y＝3（x﹣1）2+1；②y＝x+；③y＝8x2+1；④y＝3x3+2x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①y＝3（x﹣1）2+1，是二次函数，故此选项符合题意；
②y＝x+，不是二次函数，故此选项不符合题意；
③y＝8x2+1，是二次函数，故此选项符合题意；
④y＝3x3+2x2，不是二次函数，故此选项不合题意．
故选：B．
2．我校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为（　　）
A．9 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：由题意可得，＝9（分），
故选：A．
3．某农户，用26m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长12m），且面积为80m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，如图所示，若可列方程为x×★＝80，则★表示的是（　　）
A．（26﹣2x） B．（27﹣2x） C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得：平行于墙的一边为：（26﹣2x+1），
即为：（27﹣2x）．
故选：B．
4．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣3（x+4）2+2 B．y＝﹣3（x﹣4）2+2
C．y＝﹣3（x+4）2 D．y＝﹣3（x﹣4）2
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
∵这个抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴平移后的顶点坐标为（4，2），
∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣4）2+2，
故选：B．
5．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）
A． B． C．4 D．2+
【答案】B
【解答】解：如图：
BC＝AB＝AC＝1，
∠BCB′＝120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′＝2×＝，
故选：B．
6．设A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+a的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣5，y1）离直线x＝﹣1的距离最远，B（﹣1，y2）点离直线x＝﹣1最近，
∴y1＜y2＜y3．
故选：C．
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（　　）
A． B．3 C．6 D．
【答案】C
【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵⊙O的周长等于12π，
∴⊙O的半径OB＝OC＝＝6，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝6，
即正六边形的边长为6，
故选：C．
8．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段AB上运动，AB∥x轴，B（1，﹣1），AB＝3，则下列结论中正确的是（　　）
A．b2﹣4ac＜0
B．当x＞0时，一定有y随x的增大而增大
C．0≤c≤3
D．若点C的坐标为（m，0），则点D的坐标为（m+2，0）
【答案】D
【解答】解：图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故选项A错误；
∵抛物线开口向上，顶点的纵坐标为﹣1，且横坐标在﹣2与1之间，
∴当对称轴在y轴右边、x＞0时，不是y随x的增大而增大，
故选项B错误；
∵顶点为（0，﹣1）时，c＝﹣1，
故C错误；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝，点C在点D的左侧，
∴＝＝﹣1，
∴c＝﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣bx+c为y＝x2﹣bx+﹣1，
当y＝0时，x2﹣bx+﹣1＝0，
解得x＝±1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），D（+1，0），
若点C坐标为（m，0），则﹣1＝m．
∴+1＝m+2，
∴点D坐标为（m+2，0），
故D正确．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
9．二次函数y＝（x+1）2+2的顶点坐标为 　（﹣1，2）　．
【答案】（﹣1，2）．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+2，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
10．少年强，则国强、为增强青少年科技创新能力，我市将举行“青少年机器人大赛”，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人代表学校参赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90分，方差分别是，，＝10.5，则派 　甲　代表学校参赛比较合适．
【答案】甲．
【解答】解：∵，，＝10.5，
∴S甲2＜S乙2＜S丙2，
∴甲的成绩稳定，
∴甲参加决赛比较合适，
故答案为：甲．
11．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．下图是其中的一个图形，六边形ABCDEF是⊙O的外切正六边形，现随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是 　　．（结果不取近似值）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设⊙O的半径为r，则正六边形的边长为，
∴正六边形的面积为：6××r＝2r2，
∴随机向该图形掷一枚小针，则针尖落在⊙O内的概率是＝，
故答案为：．
12．圆锥的底面半径是3cm，母线长10cm，则它的侧面积为 　30πcm2　．
【答案】30πcm2．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×10÷2＝30π（cm2）．
故答案为：30πcm2．
13．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2，若x1x2＝5，则k的值为 　2　．
【答案】2．
【解答】解：根据题意得x1 x2＝k2+1，
则k2+1＝5，
解得k＝±2．
∵x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
∴k，
故答案为：2．
14．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x+3）和y＝x+3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x+3）＝x+3的解的个数为 　3　；若m，n分别满足方程x2（x+3）＝5和x+3＝5，则m，n的大小关系是 　m＜n　．
【答案】3；m＜n．
【解答】解：由函数图象可知，函数y＝x2（x+3）和y＝x+3的图象有3个交点，
所以方程x2（x+3）＝x+3的解的个数为3；
作直线y＝5，
如图，函数y＝x2（x+3）的图象与直线y＝5，
y＝x+3的图象与直线y＝5的交点（2，5），
则m＜n．
故答案为：3；m＜n．
15．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是 　①②③④　．
【答案】①②③④
【解答】解：①∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故结论①正确；
②如图，连接BE，CE，
∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故结论②正确；
③如图，连接BE，OB，OC，OD，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故结论③正确；
④∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴BD＝DC，OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，
∴BG⊥GD，故结论④正确．
综上所述，一定正确的结论为①②③④，
故答案为：①②③④．
16．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是　6　s．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵h＝30t﹣5t2，
∴当h＝0时，t＝0或t＝6，
∴水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：6﹣0＝6，
故答案为：6．
17．已知一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝　5　．
【答案】5．
【解答】解：∵x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1x2＝4﹣（﹣1）＝5．
故答案为：5．
18．如图，AE＝AB，∠E＝∠B，EF＝BC，若∠EAB＝52°，则∠EFA＝　64°　．
【答案】64°．
【解答】解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴AF＝AC，∠EFA＝∠C，∠EAF＝∠BAC，
∴∠FAC＝∠EAB＝52°，
∵AF＝AC，
∴，
∴∠EFA＝∠C＝64°，
故答案为：64°．
三．解答题（共10小题）
19．解下列方程：
（1）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝x﹣1．
【答案】（1），；
（2）x1＝1，x2＝﹣2．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
解得：，；
（2）（x+3）（x﹣1）＝x﹣1，
（x+3）（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+3﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+2）＝0，
x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2．
20．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．
（2）证明：PA+PB＝PC．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：在PC上截取PH＝PA，
∵∠APC＝60°，
∴△APH为等边三角形，
∴AP＝AH，∠AHP＝60°，
在△APB和△AHC中，
，
∴△APB≌△AHC（AAS）
∴PB＝HC，
∴PC＝PH+HC＝PA+PB．
21．把y＝﹣x2的图象向上平移2个单位，向左平移1个单位．
（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
（2）画出图象；
（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．
【答案】（1）解析式为y＝﹣（x+1）2+2，顶点坐标为（﹣1，2），对称轴为x＝﹣1；
（2）见解析；
（3）当x＝﹣1时，函数存在最大值，最大值为2．
【解答】解：（1）平移后的抛物线对应的函数解析式为y＝﹣（x+1）2+2，其顶点坐标为（﹣1，2），对称轴为x＝﹣1．
（2）列表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y＝﹣（x+1）2+2 ﹣2 1 2 1 ﹣2
描点连线：
（3）如图所示：当x＝﹣1时，函数存在最大值，最大值为2．
22．阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长（单位：小时）的情况，对全班40名学生进行问卷调查．
所得的结果如图所示．
（1）这40名学生上周阅读时间的众数为 　7　小时，中位数为 　6.5　小时；
（2）求这40名学生上周在家阅读的平均时长？
【答案】（1）7，6.5；（2）6.375小时．
【解答】解：（1）∵40名学生中阅读时间为7小时的有15人，最多，
∴众数为7小时；
中位数为第20和21名学生阅读的平均数，
即＝6.5小时，
故答案为：7，6.5；
（2）40名学生上周在家阅读的平均时长＝＝6.375小时．
23．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）列表如下：
1 2 3 4
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
（2）因为，方程x2﹣5x+6＝0的解是：x1＝2，x2＝3，
所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果，其中两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解有4次，两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解有2次，
所以，P（甲胜）＝＝，P（乙胜）＝，
所以，此游戏甲获胜的概率大．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x12+x22＝4，求m值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＞0，x1+x2＝2（m﹣1），x1 x2＝m2﹣1，
∴m＜1，
∵x12+x22＝4，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4，即4（m﹣1）2﹣2（m2﹣1）＝4，
解得m1＝+2（舍去），m2＝2﹣．
综上所述，m的值是2﹣．
25．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，求AE的长；
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OC、BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，AO＝OB，
∵AB⊥CD，
∴AB平分弦CD，AB平分，
∴CH＝HD，，∠CHA＝90°＝∠CHE，
∴∠BAD＝∠BAC＝∠DCB，
∵∠ECD＝2∠BAD，
∴∠ECD＝2∠BAD＝2∠BCD，
∵∠ECD＝∠ECB+∠BCD，
∴∠BCE＝∠BCD，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠ECB＝∠OCA，
∵∠ACB＝90°＝∠OCA+∠OCB，
∴∠ECB+∠OCB＝90°，
∴半径CO⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝10，CD＝6，
在（1）的结论中有AO＝OB＝5，CH＝HD＝3，
在Rt△OCH中，，
同理利用勾股定理，可求得，，
∴BH＝OB﹣OH＝5﹣4＝1，HA＝OA+OH＝4+5＝9，
即HE＝BH+BE，
在Rt△ECH中，EC2＝HC2+HE2＝32+（1+BE）2，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCB＝90°，
在Rt△ECO中，EC2＝OE2﹣OC2＝（OB+BE）2﹣52＝（5+BE）2﹣52，
∴（5+BE）2﹣52＝32+（1+BE）2，
解得：，
∴．
26．我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1600万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理．销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：
销售单价x（元） 200 230 250
年销售量y（万件） 14 11 9
（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
【答案】（1）y＝﹣0.1x+34（200≤x≤300）；
（2）盈利，盈利160万元．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y＝﹣0.1x+34（200≤x≤300）；
（2）盈利160万元，
由题意可知，W＝（x﹣40）（﹣0.1x+34）＝﹣0.1x2+38x﹣1360，
其对称轴x＝﹣＝190，
∵200≤x≤300，a＝﹣0.1＜0，
∴x＝200时，W取得最大值，最大值为2240万元，
∴800+1600﹣2240＝160（万元），
∴赚了160万元．
27．党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P满足到两坐标轴的距离之和等于4，则称点P为“高质量发展点”．
（1）判断下列各点是否是“高质量发展点”，并说明理由：
A（3，1），，C（﹣5，1）；
（2）一次函数y＝﹣2x+3上是否存在“高质量发展点”，若存在，求出所有“高质量发展点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“高质量发展点”，求r的取值范围．
【答案】（1）点A（3，1），是“高质量发展点”，点C（﹣5，1）不是“高质量发展点”；
（2）一次函数y＝﹣2x+3上存在“高质量发展点”，坐标为或；
（3）r的取值范围为．
【解答】解：（1）∵|3|+|1|＝3+1＝4，，|﹣5|+|1|＝5+1＝6，
∴点A（3，1），是“高质量发展点”，点C（﹣5，1）不是“高质量发展点”；
（2）假设一次函数y＝﹣2x+3上存在“高质量发展点”，并设一次函数y＝﹣2x+3上存的“高质量发展点”的坐标为（a，﹣2a+3），
根据题意得：|a|+|﹣2a+3|＝4，
当时，﹣2a+3＜0，
∴a﹣（﹣2a+3）＝4，
∴，
∴此时发展点的坐标为，
当时，﹣2a+3≥0，
∴a+（﹣2a+3）＝4，
∴a＝﹣1，不满足，故舍去，
当a＜0时，﹣2a+3＞0，
∴﹣a+（﹣2a+3）＝4，
∴，
∴此时发展点的坐标为，
∴综上所述，一次函数y＝﹣2x+3上存在“高质量发展点”，坐标为或；
（3）设“高质量发展点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4，
当x≥0，y≥0时，x+y＝4，即y＝﹣x+4（0≤x≤4），
当x＜0，y≥0时，﹣x+y＝4，即y＝x+4（﹣4≤x＜0），
当x＜0，y＜0时，﹣x﹣y＝4，即y＝﹣x﹣4（﹣4＜x＜0），
当x≥0，y＜0时，x﹣y＝4，即y＝x﹣4（0≤x＜4），
画出该函数图象，如图所示：
，
由图象可知OD＝OE＝OF＝OM＝4，OT＝1，
∵∠DOE＝90°，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴∠ODE＝45°，
当⊙T与DE相切时，此时⊙T的半径最小，作TN⊥DE交直线DE于N，此时r＝TN，
∴∠TND＝90°，
∵∠ODE＝45°，
∴△TND是等腰直角三角形，
∵TD＝OD﹣OT＝4﹣1＝3，TN2+DN2＝TD2，TN＝DN，
∴，
当⊙T经过F点时，此时⊙T的半径最大，r＝OF+OT＝4+1＝5，
∴若⊙T上存在“高质量发展点”，则r的取值范围为．
28．抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4交y轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，OB＝OC．
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，点P是第四象限抛物线上一点，连接PO，连接PA交y轴于E，设P点横坐标为t，△PEO面积为S，试用t表示S；
（3）在（2）的条件下，直线y＝﹣x+4﹣t交x轴于点F，交y轴于点D，点N在DF的延长线上，连接BE和BN，若BE＝BN，∠BND＝∠POC，求点P点的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）S＝；
（3）点P的坐标为（2，﹣6）．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝ax2﹣3ax﹣4，得y＝﹣4，即点C的坐标为（0，﹣4），
∵OB＝OC，点B在x轴正半轴，
∴点B的坐标为（4，0），
把B（4，0）代入y＝ax2﹣3ax﹣4，解得a＝1，
得抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）把x＝t代入y＝x2﹣3x﹣4，得y＝t2﹣3t﹣4，
得点P的坐标为（t，t2﹣3t﹣4），
把y＝0代入y＝x2﹣3x﹣4，解得x＝﹣1，x＝4（点B横坐标，舍去），
得点A的坐标为（﹣1，0），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，代入A（﹣1，0），P（t，t2﹣3t﹣4），
解得，则直线AP的解析式为y＝（t﹣4）x+t﹣4，
把x＝0代入y＝（t﹣4）x+t﹣4，解得y＝t﹣4，
∴点E的坐标为（0，t﹣4），
∵点P是第四象限抛物线上的点，
∴点E是y轴负半轴上的点，且0＜t＜4，
∴OE＝4﹣t，
∴S＝＝＝；
（3）连接EF，作PG∥DN，
把x＝0代入直线DF的解析式为y＝﹣x+4﹣t，得y＝4﹣t，把y＝0代入得x＝4﹣t，
∴点D的坐标为（0，4﹣t），点F的坐标为（4﹣t，0），
∵点E的坐标为（0，t﹣4），
∴OD＝OE＝OF，
∴△DOF，△EOF，△DEF是等腰直角三角形，
∴∠ODF＝∠DFO＝∠OEF＝∠OFE＝45°，BD＝BE＝BN，
∴∠BND＝∠BDN＝∠BEF＝∠POG，且∠EBF＝45°﹣∠BEF，
∵PG∥DN，
∴∠PGC＝NDC＝45°，
∴∠OPG＝45°﹣∠POG，
∴∠EBF＝∠OPG，
∴△POG∽△BEF，
∴，
∵OE＝OF＝4﹣t，
∴EF＝，
设直线PG的解析式为y＝﹣x+m，
将P（t，t2﹣3t﹣4）代入y＝﹣x+m，得t2﹣3t﹣4＝﹣t+m，解得m＝t2﹣2t﹣4，
∴直线PG的解析式为y＝﹣x+t2﹣2t﹣4，
把x＝0代入y＝﹣x+t2﹣2t﹣4，得y＝t2﹣2t﹣4，
∴点G的坐标为（0，t2﹣2t﹣4），
∴，OG＝﹣t2+2t+4，
∵BF＝4﹣（4﹣t）＝t，
∴，
解得t＝2，
∴点P的坐标为（2，﹣6）．
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