重庆市2023-2024学年高一上学期期末联合检测数学试卷（PDF版含答案）

2023 年秋高一(上)期末联合检测试卷
数 学
数学测试卷共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的
“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作
答。若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合M {x | x2 3x 4 0}， N {x | y ln(x 1)}，则M N
A． (1， 4) B．[1， 4) C． ( 1， 4) D．[ 1， 4)
1 2
2． “cos ”是“ ”的
2 3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3． 已知扇形的面积为4 cm2 ，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
3 3 3
4． 设a log 20.3 ，b log ，c 2 ，则 2 0.2 2
A．a b c B．a c b C．c a b D．c b a
5． 已知函数 f (x) Asin( x )(A 0， 0， 0≤ ≤ ) 的部分图象如图所示，则 f (x) 的解析式是
y
A． f (x) 2sin(x )
6 2

B． f (x) 2sin(x )
3
π
O π x 6 3
C． f (x) 2sin(2x )
6

D． f (x) 2sin(2x )
3
高一（上）期末联合检测试卷（数学）第 1 页 共 4 页
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1
6 2．锐角△ ABC 中，若sin Acos A cos A ，则 A
2

A． B． C． D．
12 8 6 4
7 x． 定义在R上的函数 f (x) 为奇函数，且 f (x 1)为偶函数，当 x [0， 1]时， f (x) 2 1，则 f (3) f (8)
A． 1 B．0 C．1 D．2
4
8． 已知函数 f (x) x (x 0)，记该函数在区间[t 1，t](t 1)上的最大值与最小值的差值为 g(t)，则 g(t)
x
的最小值为
1
A． 17 2 B．1 C． D． 17 4
3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9． 下列函数中，在定义域内既为奇函数又为增函数的是
A． y x3 B y ex x． e C． y ln(x2 1) D． y sin x
10 2．已知函数 f (x) lg(x 5x 4) ，则下列结论正确的是
A．函数 f (x) 的定义域是R B．函数 f (x) 的值域是R
C．函数 f (x) 的单调递增区间是 (4， ) D．不等式 f (x) 1的解集是 ( 1， 6)

11．已知函数 f (x) sin( x ) ( 0)，则下列结论正确的是
3

A．函数 f (x) 的初相为
3
3
B．若 ，则函数 f (x) 的图象关于 x 对称
2 2

C．若函数 f (x) 的图象关于点 ( ， 0) 对称，则 可以为3
6

D．若函数 f (x) 在[0， ]上有且仅有4个零点，则 的范围是[11， 14)
3
| ln x |，x 0
12．已知函数 f (x) ，若存在四个不同的值 x1， x2 ， x3 ， x4 使得 f (x1) f (x2 ) f (x3) f (x )
2|x 1|
4
，x≤0
(x1 x2 x3 x4 )，则下列结论正确的是
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A． 2≤ x1 1 B．0≤ x1x2 1 C． x3x4 e D． x3 x e 4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13 a．已知幂函数 y x 是奇函数，且在 (0， )上单调递减，则实数a的值可以是 ．
1

14．0.001 3 lg5 lg 2 ．
2 3 2 1215．已知 ， 满足 0， ，sin( ) ，cos( ) ，则
3 3 3 6 5 3 13
sin( ) ．
2
16．已知函数 f (x) 1 log 2
ex 1 2
( 1 x x)，x R．点 P(x0，y0 ) (x0 0) 是单位圆上的动点，若不等
式 f (m 2x0 y0 1) f (x0 y0 m 1) 0恒成立，则实数m 的范围为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知集合 A {x | (x 3)(x 2) 0}，集合B {x | 2a 3 x 2a 1}．
（1）当a 2时，求 A B；
（2）若 A B A ，求a的取值范围．
18．（12 分）
cos x sin( x) tan( x)
已知 f (x) ．
3
sin( x) cos( x)
2 2
（1）化简函数 f (x) ；
cos sin （2）若 f ( ) 2 ，求 的值．
cos 2sin
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19．（12 分）

已知函数 f (x) sin x( 0)在[ ， ]上单调递增．
3 4
（1）求 的取值范围；

（2）当 取最大值时，将 f (x) 的图象向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，
9

得到 g(x) 的图象，求 g(x) 在[ ， ]内的值域．
3 2
20．（12 分）
已知定义在 (0， )上的函数 f (x) 满足 f (xy) f (x) f (y) 2023，且对任意 x 1， f (x) 2023．
（1）证明： f (x) 在 (0， )上单调递减；
（2）解不等式 f (x) f (x 2) 4046．
21．（12 分）
如图，半径为1的扇形圆心角为60 ，点P 在弧上运动，连结 PA，PB ，得四边形OAPB．
A
（1）求四边形OAPB面积的最大值；
（2）求四边形OAPB周长的最大值． P
B
O
22．（12 分）
已知函数 f (x) loga (x 2) 3， (a 0，a 1)．
（1）证明函数 f (x) 的图象过定点；
（2）设m R，且m 4 ，讨论函数 f (x) 在[4，m]上的最小值．
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2023 年秋高一(上)期末联合检测试卷
数学 参考答案
一、选择题
1~8 ABAD DBAD
7 题解析：因为 f (x) 为奇函数，所以 f (x) f ( x) ，因为 f (x 1)为偶函数，所以 f (1 x) f (1 x) ，即
f (2 x) f ( x) ． 从 而 f (2 x) f (x) ，
f (x 4) f (x 2) f (x) ． f (3) f ( 1) f (1) 1 ， f (8) f (0) 0 ， 所 以
f (3) f (8) 1．
8 题解析：若1 t 2 ，则 f (x) 在[t 1，t]上单调递减，
4
所以 g(t) f (t 1) f (t) 1，此时 g(t)的最小值为1．
t(t 1)
若 t 3 ，则 f (x) 在[t 1，t]上单调递增，
4 1
所以 g(t) f (t) f (t 1) 1 ，此时 g(t)的最小值为 ．
t(t 1) 3
1 17
若 2 t ，则 f (x) 在[t 1，2]上单调递减，在[2，t]上单调递增，且 f (t 1) f (t)，所以
2
4
g(t) f (t 1) f (2) t 5 ，此时 g(t)的最小值为 17 4．
t 1
1 17
若 t 3，则 f (x) 在[t 1，2]上单调递减，在[2，t]上单调递增，且 f (t) f (t 1)，所以
2
4
g(t) f (t) f (2) t 4，此时 g(t)的最小值为 17 4．综上， g(t)的最小值为 17 4．
t
二、选择题
9. AB 10.BC 11.AD 12.ABD
12 2 1 2题解析：画出 f (x) 的图象，可以得到 2 x1 1， 1 x2 0，e x3 e ，e x4 e 且 x1 x2 2，
x3x4 1．
| x1 | | x 2
| 2 x1 x 2 2 1 1所以0 x1x2 ( ) ( ) 1， x3 x4 x4 e e． 2 2 x4 e
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三、填空题
63 5
13. 1 14. 11 15. 16. m
65 8
16 题解析： f (x) 在R上是奇函数且是增函数，
由 f (m 2x0 y0 1) f (x0 y0 m 1) 0，
得 f (x0 y0 m 1) f (m 2x0 y0 1) f ( m 2x0 y0 1)，x0 y0 m 1 m 2x0 y0 1，
2m 2x0 y0 (x0 y0 ) ，
因为P(x0，y0 ) (x0 0) 是单位圆上的动点，

设 x0 cos ，y0 sin ( )，则2x y (x y ) 2sin cos (sin cos )，2 2 0 0 0 0
令 t sin cos ，
则 1 t 2 ，且2sin 1 5 5cos (sin cos ) t 2 t 1 (t )2 ，所以2m ，
2 4 4
5
m ．
8
四、解答题
17.（10 分）
解： A {x | 2 x 3}． ……2 分
（1）当a 2时，B {x |1 x 5}， A B {x |1 x 3}． ……5 分
（2）若 A B A ，则B A
所以2a 3 2，且2a 1 3，
1
故 a 1． ……10 分
2
18.（12 分）
cos x sin( x) tan( x)
解：（1） f (x) 3
sin( x) cos( x)
2 2
cos x( sin x)( tan x)
tan x ． ……5 分
( cos x)sin x
（2）因为 f ( ) 2 ，所以 tan 2，
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cos sin 1 tan 3
． ……12 分
cos 2sin 1 2 tan 5
19. （12 分）
3
解：（1）令 ， ，解得
3 2 4 2 2
3
因为 0 ，所以0 ． ……4 分
2
3 3（2）由（1）知 的最大值为 ，此时 f (x) sin x．
2 2
1
根据题意， g(x) sin( x )， ……7 分
2 6
1
当 x [ , ]时，0 x ，
3 2 2 6 6 4
2 6 2 6
所以0 g(x) sin( ) ，故值域为[0, ]．……12 分
6 4 4 4
20. （12 分）
解：（1）任取 x1，x2 (0， ) ，且 x1 x2 ．
x
则 f (x2 ) f (x ) f (
2
1 ) 2023． x1
x
因为0 x1 x2 ，所以
2 1．
x1
x
由题意， f ( 2 ) 2023 ，
x1
x
所以 f (x 22 ) f (x1) f ( ) 2023 0， f (x2 ) f (xx 1
)．
1
故 f (x) 在 (0， )上单调递减． ……5 分
（2）由 f (xy) f (x) f (y) 2023，令 x y 1，得 f (1) 2023．
因为 f (x) f (x 2) f [x(x 2)] 2023 4046，
所以 f [x(x 2)] 2023 f (1) ．
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由（1）得， x 0 ， x 2 0， x(x 2) 1，
解得2 x 1 2 ． ……12 分
21. （12 分）
解：（1）设 POB , 0 ，过点 P 做 PC 1OB ，交OB 于点C ，有 PC sin ，从而 S sin ，
3 POB 2
1
同理 S POA sin( ) ， 2 3
1 1
从而四边形OAPB 面积 S (sin sin( )) sin( ) ，
2 3 2 3
1从而当 时四边形OAPB 面积最大，最大值为 ……5 分
6 2

（2）过点O 做OP PB ，交 PB 于点 D ， PB 2 sin ，
2

同理 PA 2 sin( ) ，
6 2

从而四边形OAPB 周长 L 2 2 sin 2 sin( )
2 6 2
5
2 2 sin 2 sin( ) ( 6 2 ) sin( ) 2
2 6 2 2 12

当 时四边形OAPB 周长最大，最大值为 6 2 2 ……12 分
6
22. （12 分）
解：（1）当 x 3时， f (3) | loga 1 3 | 3，故函数 f (x) 的图象过定点 (3,3) ……4 分
log (x 2) 3,2 x 2 a3
（2 a）当0 a 1时， f (x) ， 2 a3 3 ，
3 loga (x 2), x 2 a
3
所以 f (x) 在[4, m]上单调递增，故其最小值为 f (4) 3 loga 2
3 loga (x 2),2 x 2 a
3
当a 1时， f (x) ，
loga (x 2) 3, x 2 a
3
若1 a 3 2 ，2 a3 4， f (x) 在[4, m]上单调递增，
故其最小值为 f (4) loga 2 3
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若a 3 2 ，2 a3 4，当m 2 a3 时， f (x) 在[4, m]上单调递减，
故其最小值为 f (m) 3 loga (m 2)
当m 2 a3 3时， f (x) 最小值为 f (2 a ) 0
综上，当0 a 1时， f (x) 最小值为3 loga 2
当1 a 3 2 时， f (x) 最小值为 loga 2 3
当a 3 2 ，m 2 a3 时， f (x) 最小值为3 loga (m 2)
当a 3 2 ，m 2 a3 时， f (x) 最小值为0 ……12 分
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