人教A版（2019）必修二8.2立体图形的直观图
1． 用斜二测画法画边长为的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由直观图与原图的面积的关系得.
故答案为：A.
【分析】利用可得答案.
2． 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，易知梯形的高为，下底是，所以，故.
故答案为：D.
【分析】先求出直观图中梯形的面积，由可得答案.
3． 已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：D.
【分析】先求出，再利用计算即可.
4．如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知，且的面积为，过点作轴于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为轴，所以在中，， 又的面积为 ，，
所以，解得，所以，故.
故答案为：A.
【分析】根据 的面积为 求得AB，结合可得答案.
5．如图，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，还原后（ ）
A．它是一个等腰三角形
B．它是一个钝角三角形
C．它是一个直角三角形，是斜边
D．它是一个直角三角形，是斜边
【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为，所以还原后有，
因为，所以，故是一个直角三角形，是斜边 .
故答案为：D.
【分析】利用直观图与原图的关系即可得到答案.
6．如图是水平放置的的直观图，，，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】在水平放置的的直观图中，有，，
所以，所以是 直角三角形.
故答案为：C
【分析】利用直观图与原图的关系可得答案.
7． 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．简单的窗花通常只需“折纸、剪刻”两个步骤即可完成制作．现有一张正方形纸片（图1），将其沿对角线对折得图2，再沿图2中的虚线对折得图3，然后用剪刀沿图3虚线裁剪，则图3展开后所得窗花形状应是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】构成空间几何体的基本元素
【解析】【解答】由剪折纸过程如下，
故答案为：C
【分析】本题考查空间想象能力，只需一次次展开还原即可得到答案.
8． 下列命题中正确的是（ ）
A．两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台
B．三棱柱的侧面为三角形
C．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】对于A， 两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体不一定是棱台，要侧棱延长相交于同一点才是，故A错误；
对于B，三棱柱的侧面为平行四边形，故B错误；
对于C，棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故C错误；
对于D， 棱锥的侧面和底面可以都是三角形，如三棱锥，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据柱体、锥体、台体的定义可得答案.
9． 已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是，则该正方体的体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设正方体的棱长为a，则内切球的半径为，
因为内切球的体积是，所以，解得，
所以该正方体的体积为.
故答案为：D
【分析】设正方体的棱长为a，利用正方体棱长与内切球半径的关系结合体积是可得a，从而得到正方体体积.
10．（棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积）若正方体的棱长为 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，
高为 的四棱锥的侧面积之和，如图，
四棱锥的侧棱长l= ，
∴以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积：
S=8× ．
故选：B．
【分析】所求八面体体积是两个底面边长为1，高为 的四棱锥的侧面积之和．
11．如图所示，是水平放置的的直观图，则在的三边及中线中，最长的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】画出原图形如图所示，
是直角三角形，AC最长.
故答案为：D.
【分析】将直观图还原，可得是斜边为AC的直角三角形即可找到最长边.
12． 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时；把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使 (或 ，它们确定的平面表示 ，
已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于 ，
已知恩形中平行于轴的线段，“在直观图中 ，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的 .
【答案】；；水平面；轴或轴的线段；保持原长度不变；一半
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 画直观图时；把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使，或，
它们确定的平面表示水平面，已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段，已知恩形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变， 平行手轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
故答案为：，，水平面，轴或轴的线段， 保持原长度不变 ，一半.
【分析】直接根据斜二测画法的画直观图的步骤即可作答.
13． 有一个长为，宽为的矩形，则其直观图的面积为 ．
【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由题，，所以.
故答案为：.
【分析】利用原图和直观图的面积的关系作答即可.
14．如图是三角形的直观图，，，，则的平面图形是 （填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形、等腰三角形或者等腰直角三角形）．
【答案】直角三角形
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为，，，所以在原平面图中，又，
所以，所以 不是等腰三角形，是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【分析】根据斜二测画法的定义可得答案.
15．已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，则原的面积为 ．
【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】在原平面图形中，，所以，
，且，所以.
故答案为：.
【分析】根据斜二测画法确定原平面图中BC，AO的长度与关系，再利用面积公式计算即可.
16．如图所示为一个水平面放置的矩形在直角坐标系中，点的坐标为，则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点到轴的距离为 ．
【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由题意，，在直观图中，
，，
所以顶点到轴的距离为.
故答案为：.
【分析】根据斜二测画法的定义得到以及即可得到顶点到轴的距离.
17． 已知正三角形边长为，请选择不同的坐标系作出直观图．（保留作图痕迹）
【答案】解：第一种，
如图，以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，
第一步：画对应的轴，轴，使得，
第二步：在轴上取，，在轴上取，
第三步：连接，即可得到的直观图.
第二种，以A为原点，AB所在直线为x轴，
第一步：过C作x轴的垂线，垂足为E，作y轴的垂线，垂足为F，
第二步：画对应的轴，轴，使得，
第三步：在轴上取，，在轴上取，
第四步：过分别作轴，轴的平行线，交点为，
第五步：连接，即可得到的直观图.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】直接利用斜二测画法的定义可得.
18． 画一个底面边长为，高为的正五棱锥的直观图，比例尺为，并写出画法．
【答案】解：
画法 ：①画轴，画轴、轴、z'轴，记坐标原点为，使，使；
②画底面，轴、y'轴画边长为lcm正五边形的直观图ABCDE并使正五边行的中心对应与点；
③画顶点，在轴上取cm.
④连线成图，顺次连结SA，SB，SC， SD，SE ，并加以整理就可得到直观图.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】画正五棱锥的直观图只需根据斜二侧画法，选择恰当的坐标系画出正五边形的直观图，进而确定出正五棱锥的顶点即可.
19． 已知点为坐标原点，点在轴上，等边三角形的面积为，其斜二测画法的直观图为，求点到的距离．
【答案】解：如图，取AO中点C，连接BC，且，在直观图中，，
过作轴，垂足为． 又，所以.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】先画出平面图形的直观图，再结合线段间的比例关系可得答案.
1 / 1人教A版（2019）必修二8.2立体图形的直观图
1． 用斜二测画法画边长为的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
2． 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3． 已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知，且的面积为，过点作轴于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，还原后（ ）
A．它是一个等腰三角形
B．它是一个钝角三角形
C．它是一个直角三角形，是斜边
D．它是一个直角三角形，是斜边
6．如图是水平放置的的直观图，，，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7． 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．简单的窗花通常只需“折纸、剪刻”两个步骤即可完成制作．现有一张正方形纸片（图1），将其沿对角线对折得图2，再沿图2中的虚线对折得图3，然后用剪刀沿图3虚线裁剪，则图3展开后所得窗花形状应是（ ）
A． B．
C． D．
8． 下列命题中正确的是（ ）
A．两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体是棱台
B．三棱柱的侧面为三角形
C．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形
9． 已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是，则该正方体的体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
10．（棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积）若正方体的棱长为 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，是水平放置的的直观图，则在的三边及中线中，最长的线段是（ ）
A． B． C． D．
12． 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时；把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使 (或 ，它们确定的平面表示 ，
已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于 ，
已知恩形中平行于轴的线段，“在直观图中 ，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的 .
13． 有一个长为，宽为的矩形，则其直观图的面积为 ．
14．如图是三角形的直观图，，，，则的平面图形是 （填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形、等腰三角形或者等腰直角三角形）．
15．已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，则原的面积为 ．
16．如图所示为一个水平面放置的矩形在直角坐标系中，点的坐标为，则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中，顶点到轴的距离为 ．
17． 已知正三角形边长为，请选择不同的坐标系作出直观图．（保留作图痕迹）
18． 画一个底面边长为，高为的正五棱锥的直观图，比例尺为，并写出画法．
19． 已知点为坐标原点，点在轴上，等边三角形的面积为，其斜二测画法的直观图为，求点到的距离．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由直观图与原图的面积的关系得.
故答案为：A.
【分析】利用可得答案.
2．【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，易知梯形的高为，下底是，所以，故.
故答案为：D.
【分析】先求出直观图中梯形的面积，由可得答案.
3．【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为，所以.
故答案为：D.
【分析】先求出，再利用计算即可.
4．【答案】A
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为轴，所以在中，， 又的面积为 ，，
所以，解得，所以，故.
故答案为：A.
【分析】根据 的面积为 求得AB，结合可得答案.
5．【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为，所以还原后有，
因为，所以，故是一个直角三角形，是斜边 .
故答案为：D.
【分析】利用直观图与原图的关系即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】在水平放置的的直观图中，有，，
所以，所以是 直角三角形.
故答案为：C
【分析】利用直观图与原图的关系可得答案.
7．【答案】C
【知识点】构成空间几何体的基本元素
【解析】【解答】由剪折纸过程如下，
故答案为：C
【分析】本题考查空间想象能力，只需一次次展开还原即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】对于A， 两个底面平行且相似，其余各面是梯形的多面体不一定是棱台，要侧棱延长相交于同一点才是，故A错误；
对于B，三棱柱的侧面为平行四边形，故B错误；
对于C，棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故C错误；
对于D， 棱锥的侧面和底面可以都是三角形，如三棱锥，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据柱体、锥体、台体的定义可得答案.
9．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】设正方体的棱长为a，则内切球的半径为，
因为内切球的体积是，所以，解得，
所以该正方体的体积为.
故答案为：D
【分析】设正方体的棱长为a，利用正方体棱长与内切球半径的关系结合体积是可得a，从而得到正方体体积.
10．【答案】B
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，
高为 的四棱锥的侧面积之和，如图，
四棱锥的侧棱长l= ，
∴以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积：
S=8× ．
故选：B．
【分析】所求八面体体积是两个底面边长为1，高为 的四棱锥的侧面积之和．
11．【答案】D
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】画出原图形如图所示，
是直角三角形，AC最长.
故答案为：D.
【分析】将直观图还原，可得是斜边为AC的直角三角形即可找到最长边.
12．【答案】；；水平面；轴或轴的线段；保持原长度不变；一半
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】 画直观图时；把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使，或，
它们确定的平面表示水平面，已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段，已知恩形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变， 平行手轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
故答案为：，，水平面，轴或轴的线段， 保持原长度不变 ，一半.
【分析】直接根据斜二测画法的画直观图的步骤即可作答.
13．【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由题，，所以.
故答案为：.
【分析】利用原图和直观图的面积的关系作答即可.
14．【答案】直角三角形
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】因为，，，所以在原平面图中，又，
所以，所以 不是等腰三角形，是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【分析】根据斜二测画法的定义可得答案.
15．【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】在原平面图形中，，所以，
，且，所以.
故答案为：.
【分析】根据斜二测画法确定原平面图中BC，AO的长度与关系，再利用面积公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】平面图形的直观图
【解析】【解答】由题意，，在直观图中，
，，
所以顶点到轴的距离为.
故答案为：.
【分析】根据斜二测画法的定义得到以及即可得到顶点到轴的距离.
17．【答案】解：第一种，
如图，以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，
第一步：画对应的轴，轴，使得，
第二步：在轴上取，，在轴上取，
第三步：连接，即可得到的直观图.
第二种，以A为原点，AB所在直线为x轴，
第一步：过C作x轴的垂线，垂足为E，作y轴的垂线，垂足为F，
第二步：画对应的轴，轴，使得，
第三步：在轴上取，，在轴上取，
第四步：过分别作轴，轴的平行线，交点为，
第五步：连接，即可得到的直观图.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】直接利用斜二测画法的定义可得.
18．【答案】解：
画法 ：①画轴，画轴、轴、z'轴，记坐标原点为，使，使；
②画底面，轴、y'轴画边长为lcm正五边形的直观图ABCDE并使正五边行的中心对应与点；
③画顶点，在轴上取cm.
④连线成图，顺次连结SA，SB，SC， SD，SE ，并加以整理就可得到直观图.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】画正五棱锥的直观图只需根据斜二侧画法，选择恰当的坐标系画出正五边形的直观图，进而确定出正五棱锥的顶点即可.
19．【答案】解：如图，取AO中点C，连接BC，且，在直观图中，，
过作轴，垂足为． 又，所以.
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【分析】先画出平面图形的直观图，再结合线段间的比例关系可得答案.
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