高二第三次阶段性数学试题答案
一．选择题【答案】：1-5 A C D B A 6-8 D A A 9.ABD 10.ACD 11.AC 12.BC
12.【分析】根据斐波那契数列满足的条件，结合累加法，逐项计算判断即得.
【详解】斐波那契数列中，，，，
，A错误；
当时，，，三个式子相加，得：，B正确；
当时，，则
，C正确；
当时，，则
，D错误.
故选：BC
三．填空题： 13. 14. 15. 16.
16.【解】由数列满足，，
可得，
又由，所以
因为，可得，
所以，
由，可得，所以，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，可得，
所以，则，
因为，适合上式，所以，
所以数列的前20项的和为：.
17.【解】（1）由条件设，因为所在的直线和垂直，
∴，∴. ∴，.
（2）设，，因为，∴，
∴.
∴，，因为在，∴.
∴，∴，
∴的方程为，即.
18.【解】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
①-②得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 故数列的通项公式为.
（2）根据题意可知，故，.
所以取出的项就是原数列的偶数项，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
19.【解】（1）设圆心，由得：，
解得，所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相切，符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
20.【解】（1）证明：∵平面平面，，平面，平面平面，∴平面，又平面，∴，
∵四边形为菱形，∴，
又，平面，∴⊥平面；
（2）设，由（1）可知，平面，则直线在面内的射影为，
故直线与平面所成的角为，∴，
和均为边长为2的等边三角形，
以为原点，，为，轴建立空间直角坐标系，如下图：
由⊥平面，可得平面的法向量为，
而，，，∴，，
设平面的法向量，则，
取，可得，故，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
21.【解】（1）由题意可知第年的使用费为，
，
（2）设的前项和为，则，
若采用第一种方案，则总收入最大，根据二次函数的对称轴公式
，可得或，，，，
当时，即第年时总利润最大为（万元），
若采用第二种方案，令，
，当且仅当时取等号，
第的平均利润最大，此时的总利润为（万元），故最大利润为（万元），
综上所述，两种方案的最终利润一样，但是第二种方案只用了的时间，因此选择第二种方案合理.
22.【解】（1）椭圆：的离心率为，长轴的右端点为，
可得，解得，所以椭圆标准方程为.
（2）①当直线的斜率存在是，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
可得，
设，所以，
由题意得，即，
可得
，
所以，解得或，
当时，直线方程为，此时过，不符合题意（舍去）；
当时，直线方程为，此时过，符合题意，
当直线的斜率不存在时，设直线，则点，
于是，解得，直线过点，
综上可得，直线过定点.新泰市2023-2024学年高二上学期第三次阶段性考试数学试题
时间：2024.1.11
（时间 120 分钟 满分 150 分）
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 设a∈R，则“a＝－2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）
A. 3 B. C. D.
3. 设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点是的中点．已知，，，则
A． B．
C． D．
5. 如果椭圆和双曲线的离心率互为倒数，那么就称这组椭圆与双曲线互为“有缘曲线”．已知椭圆的方程为，中心在原点、焦点在轴上的双曲线是椭圆的“有缘曲线”，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A． B． C． D．
6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则数列的前2020项和为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在圆内，过点有条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项，最长的弦长为，若公差，那么的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底
B. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则
C. 直线l的方向向量，平面α的法向量，则
D. 若，，，则P点在平面内
10. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 当时，
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 当最小时，切线与准线的交点坐标为
11．如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点是棱的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在点使得平面
B．当时，存在点使得直线与平面所成的角为
C．当时，满足的点有且仅有一个
D．当时，满足的点的轨迹长度为
12. 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二.填空题（共4个小题，每题5分，共20分）
13. 点与圆上任一点连结线段的中点的轨迹方程__________；
14．已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 .
15. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为 .
16．已知数列满足，，则 ；数列的前20项和 ．
三.解答题（共6个小题，共70分，请将详细解答过程写在答题卡相应位置.）
17.（10分）已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，，所在的直线方程为.
(1)求点的坐标； (2)求直线的方程.
18.（12分）已知数列的前项和为，满足.
(1)求；
(2)将中满足的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.
19. （12分）已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程;（2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程.
20. （12分）在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面.
(1)证明：⊥平面；
(2)若直线与平面所成的角为60°，求平
面与平面所成角的余弦值.
21．（12分）某卫材公司年初投资300万元，购置口罩生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第年该设备产生的利润（利润=该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为.
（1）写出的表达式；
（2）在该设备运行若干整年后，该卫材公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案：①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置口罩生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备；
②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备.
请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由.
22. （12分）已知椭圆C:的离心率为长轴的右端点为.
（1）求C的方程；
（2）不经过点A的直线与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点，试证明直线过一定点，并求出此定点；
