【A卷】第二章 二次函数—北师大版九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0
2．（2023九上·萧山月考）二次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
3．（2023九上·赵县月考）已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·长沙开学考）将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·杭州期中）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
6．（2023九上·霍邱月考）若点在二次函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·涪城期中）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2x D．y＝5000x2
8．（2023九上·天长期中）如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（ ）
A．150 B． C． D．
9．（2023九上·青龙期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标与x轴的一个交点．有下列结论：①；②；③方程有两个不等的实数根；④当时，，其中正确的是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③④
10．（2023九上·市南区期中）根据下表中的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（二次函数(234)+—+根据实际问题列二次函数关系式（普通））正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是 ．
12．（2020九上·哈尔滨期末）抛物线 的顶点坐标为 ．
13．（2020九上·舒城期末）请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式 ．
14．（2020九上·甘州月考）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
15．（2023九上·天河期中）二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标在-2和0之间（不包括-2和0），则a的取值范围是 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） y=x2-7．
（2） y=(x+1)2．
（3） y=1-(-x)2
17．在如图直角坐标系中，用描点法画出下列函数的图象．
①y=x2．
②y=x2
（1）列表：
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y=x2 …… ……
y=x2 …… ……
（2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点．
18．（2023九上·通州期中） 已知二次函数在和时的函数值相等.
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N.当时，求b的值.
19．（2023九上·从江期中） 已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解.
20．（2023九上·定海月考） 在二次函数中：
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为-2，求出t的值：
（3）如果A，B，C都在这个二次函数的图象上，且求m的取值范围。
21．（2023九上·路北期中）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．已知一名男生投实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4m，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
22．（2023九上·涪城期中）某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数关系，其对应数据如表：
x（天） …… 1 3 5 7 ……
y（件） …… 35 45 55 65 ……
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？
（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；
B、x2+y﹣2=0可变为y=﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确；
C、y2﹣ax=﹣2不是二次函数，故此选项错误；
D、x2﹣y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；
故选：B．
【分析】利用二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数解答．
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵
∴函数图象的开口向下，且与y轴的交点为（0，-3）
又∵对称轴为直线x=＜0
∴对称轴在y轴左侧
∴二次函数图象一定不经过第一象限
故答案为：A.
【分析】观察函数图象的位置，一般观察其开口方向、与坐标轴的交点位置以及对称轴的位置；本题结合已知条件可推导出，开口向下，对称轴在y轴左侧，并且与y轴交点在负半轴上，画草图观察可知，图象一定不经过第一象限.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线 经过点 ，且对称轴为直线
关于直线x=2对称的点为（5，2），
该抛物线必然还经过点（5，2），
故答案为：D.
【分析】先求出该抛物线的对称性，直接利用对称性得出结论.
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故答案为：A．
【分析】 根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象过点 （﹣2，﹣3），
∴即，
∴，
∴当时，.
故答案为：C.
【分析】由待定系数法求得，即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】把 点代入二次函数，
得：，
解得：a=-3，
故答案为：C。
【分析】把抛物线上的点的坐标代入抛物线的解析式，组成方程或方程组可以求出解析式中的系数参数。
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，
由题意得： y＝5000（1+x）2
故答案为：B.
【分析】先表示出第二年的销售量为5000（1+x），再表示出第三年的销售量为5000（1+x）2，进而得出结论.
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形ABCD的面积为S，AB=x，则AD=，
根据题意可得：S=x×=，
∴当x=10时，S有最大值=150，
故答案为：A.
【分析】设矩形ABCD的面积为S，AB=x，则AD=，利用矩形的面积公式求出S=x×=，再利用二次函数的性质分析求解即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ 顶点坐标，∴对称轴直线，即b+2a=0，所以①正确；
由图知抛物线开口向下，∴a<0，∵b+2a=0，∴b>0，
抛物线交y轴于正半轴，∴c>0，∴abc<0，所以②错误；
由图知抛物线与x轴有两个交点，所以 方程有两个不等的实数根，所以③正确；
由抛物线的对称性易知，当y=0时，x1=4，x2=-2，2-x=4或-2，所以④错误；
故B正确，A、C、D错误.
故答案为：B.
【分析】二次函数图象与系数的关系，抛物线开口方向判断a的正负，根据对称轴的位置可以判定a和b同号还是异号，以及a和b之间的数量关系；抛物线与y轴交点的纵坐标就是c的值；抛物线与x轴交点个数也即对应一元二次方程 根的情况，由抛物线对称性可以明确抛物线与x轴两交点的横坐标等。
10．【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据表格数据：
当x=3.25时，y=0.03，
当x=3.26时，y=0.09，且0.03＜0.05＜0.09，
∴方程（为常数）一个解的范围是 ：。
故答案为：D。
【分析】根据表格数据：当x=3.25时，y=0.03，当x=3.26时，y=0.09，且0.03＜0.05＜0.09，即可得出一个解的范围是 ：。
11．【答案】y=x2+4x
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：新正方形的边长为x+2，原正方形的边长为2．
∴新正方形的面积为（x+2）2，原正方形的面积为4，
∴y=（x+2）2﹣4=x2+4x，
故答案为y=x2+4x．
【分析】增加的面积=新正方形的面积﹣原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
12．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，
∴抛物线 的顶点坐标为： ．
故答案为： ．
【分析】根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标即可。
13．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，抛物线是 形式， 值为负即可，
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】根据题意，顶点在y轴上，一次项系数为0，开口向下，二次项系数为负数，如：。
14．【答案】22
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
【分析】根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∵两个交点的横坐标在-2和0之间（不包括-2和0），
∴和的函数值的符号相同，
∵当时，，
∴当时，，
∴；
∴；
故答案为：．
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，得到对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据交点的横坐标在在-2和0之间（不包括-2和0），得到到和时的函数值的符号相同，列出不等式进行求解即可．
16．【答案】（1）解：y=x2-7的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-7）；
（2）解：y=(x+1)2开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，0）；
（3）解：y=1-(-x)2开口向下，对称轴为x=，顶点坐标为（，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的开口方向是由a决定：当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下；利用二次函数y=ax2+b的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，b），即可求解.
（2）二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，即可求解.
（3）二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；即可求解.
17．【答案】（1）解：如下表所示；
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y=x2 …… 6 0 6 ……
y=x2 …… -6 0 -6 ……
（2）解：y=x2和y=x2的图象如图所示；
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【分析】（1）先列表，分别求出两函数中x，y的7组对应值.
（2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点，可画出两函数图象.
18．【答案】（1）解：∵二次函数在和时函数值相等，
∴对称轴为直线.
（2）解：∵过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，
∵对称轴为直线，，
∴点M的坐标为，点N的坐标为
∴，，
∴，
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据 二次函数在和时的函数值相等，利用中点坐标公式，即可求得对称轴；
（2） 过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N， 设点M在点N的左侧， 根据对称轴为 直线，， 即可求得点M、N的坐标，进而求出a、b的值.
19．【答案】（1）解：∵一元二次方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即1+4m>0.
∴m>-.
∴m的取值范围为m>-.
（2）解：二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为直线x=-，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x=-对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为(1，0).
∴另一个交点为(-2，0).
∴一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2.
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，求解m的取值范围即可。
（2）根据二次函数图象与x轴交点的横坐标就是当y=0时，对应一元二次方程的解，故将x=1代入方程中求出m的值，在代入一元二次方程中解方程即可求解。
20．【答案】（1）解：将（2，1）代入y=x2-2tx+3得1=4-4t+3；
解得；
（2）解：抛物线y=x2-2tx+3的对称轴为直线x=t.
若0∴t2-2t2+3=-2，解得t=（负值已舍去）；
若t≥3，当x=3时函数取最小值，
∴9-6t+3=-2，解得t=（不符合题意，舍去）.
综上所述，t的值为；
（3）解：∵A（m-2，a），C（m，a）的纵坐标相等，
∴两点关于对称轴对称，
∴，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧.
∵t>0，
∴m-1>0，
解得m>1.
在y=x2-2tx+3中，令x=0得y=3，
∴抛物线y=x3-2tx+3
与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴x=m-1的对称点为（2m-2，3）.
∵b<3，
∴4<2m-2，
解得m>3.
①当B（4，b）在对称轴左侧时，
∵a∴4解得m>6，
此时m满足的条件为m>6；
②当B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a∴B（4，b）到对称轴直线x=m-1的距离大于A（m-2，a）到对称轴直线x=m-1的距离，
∴4-（m-1）＞m-1-（m-2）
∴m<4，
此时m满足的条件是3综上所述，m的取值范围为36.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象上的点的坐标特点，将（2，1）代入y=x2-2tx+3可得关于字母t的方程，求解可得t的值；
（2）抛物线y=x2-2tx+3的对称轴为直线x=t，由于图象开口向上，若0（3）由A、C两点的纵坐标相等可得两点关于对称轴对称，据此可得该抛物线的对称轴直线为，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；由t>0，得m＞1；求出抛物线与与y轴交点为（0，3），其关于对称轴x=m-1的对称点为（2m-2，3），由b＜3，得m>3；①当B（4，b）在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有46；②当B（4，b）在对称轴右侧时，点B到对称轴直线t=m-1的距离大于点A到对称轴直线的距离，故4-（m-1）＞m-1-（m-2），此时m满足的条件是321．【答案】（1）解：根据题意设y关于x的函数表达式为：
，
把（0，2）代入解析式得，
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：该生在此项考试中得不到满分，理由：
当y＝0，则，，
解得：x1＝12，x2＝﹣1（舍去），
∵12＜12.4，
∴该生在此项考试中得不到满分．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意设出关于y的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
22．【答案】（1）解：设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（1.35），（3，45）分别代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；
（2）解：根据题意得：（130-x-60-4）（5x+30）＝6235，
整理得：x2-60x+851＝0，
解得：x＝23或x＝37（舍），
∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；
（3）解：由题意得：
W＝（130-x-60-4）（5x+30
＝-5x2+300x+1980
＝-5（x-30）2+6480，
∵a＝-5＜0，
∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．
∴W与x之间的函数关系式是W＝-5（x-30）2+6480，第30天的利润最大，最大利润是6480元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将表格中 （1，35），（3，45） 代入求出k、b的值进而得出结论；
（2）根据 商品进价每件60元，售价每件130元，且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动 且去掉捐款后的利润是6235元 列出方程，解得x的值并取适合的x的值即可；
（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，根据 商品进价每件60元，售价每件130元，且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动列出关于x的二次函数，结合二次函数的性质即可求解.
1 / 1【A卷】第二章 二次函数—北师大版九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；
B、x2+y﹣2=0可变为y=﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确；
C、y2﹣ax=﹣2不是二次函数，故此选项错误；
D、x2﹣y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；
故选：B．
【分析】利用二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数解答．
2．（2023九上·萧山月考）二次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵
∴函数图象的开口向下，且与y轴的交点为（0，-3）
又∵对称轴为直线x=＜0
∴对称轴在y轴左侧
∴二次函数图象一定不经过第一象限
故答案为：A.
【分析】观察函数图象的位置，一般观察其开口方向、与坐标轴的交点位置以及对称轴的位置；本题结合已知条件可推导出，开口向下，对称轴在y轴左侧，并且与y轴交点在负半轴上，画草图观察可知，图象一定不经过第一象限.
3．（2023九上·赵县月考）已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线 经过点 ，且对称轴为直线
关于直线x=2对称的点为（5，2），
该抛物线必然还经过点（5，2），
故答案为：D.
【分析】先求出该抛物线的对称性，直接利用对称性得出结论.
4．（2022九上·长沙开学考）将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故答案为：A．
【分析】 根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
5．（2023九上·杭州期中）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（ ）
A．（﹣3，﹣2） B．（2，3）
C．（2，﹣3） D．（﹣2，3）
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象过点 （﹣2，﹣3），
∴即，
∴，
∴当时，.
故答案为：C.
【分析】由待定系数法求得，即可得到答案.
6．（2023九上·霍邱月考）若点在二次函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】把 点代入二次函数，
得：，
解得：a=-3，
故答案为：C。
【分析】把抛物线上的点的坐标代入抛物线的解析式，组成方程或方程组可以求出解析式中的系数参数。
7．（2023九上·涪城期中）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为（ ）
A．y＝5000（1+2x） B．y＝5000（1+x）2
C．y＝5000+2x D．y＝5000x2
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 设每年的销售量比上一年增加相同的百分率x，
由题意得： y＝5000（1+x）2
故答案为：B.
【分析】先表示出第二年的销售量为5000（1+x），再表示出第三年的销售量为5000（1+x）2，进而得出结论.
8．（2023九上·天长期中）如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（ ）
A．150 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形ABCD的面积为S，AB=x，则AD=，
根据题意可得：S=x×=，
∴当x=10时，S有最大值=150，
故答案为：A.
【分析】设矩形ABCD的面积为S，AB=x，则AD=，利用矩形的面积公式求出S=x×=，再利用二次函数的性质分析求解即可.
9．（2023九上·青龙期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标与x轴的一个交点．有下列结论：①；②；③方程有两个不等的实数根；④当时，，其中正确的是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ 顶点坐标，∴对称轴直线，即b+2a=0，所以①正确；
由图知抛物线开口向下，∴a<0，∵b+2a=0，∴b>0，
抛物线交y轴于正半轴，∴c>0，∴abc<0，所以②错误；
由图知抛物线与x轴有两个交点，所以 方程有两个不等的实数根，所以③正确；
由抛物线的对称性易知，当y=0时，x1=4，x2=-2，2-x=4或-2，所以④错误；
故B正确，A、C、D错误.
故答案为：B.
【分析】二次函数图象与系数的关系，抛物线开口方向判断a的正负，根据对称轴的位置可以判定a和b同号还是异号，以及a和b之间的数量关系；抛物线与y轴交点的纵坐标就是c的值；抛物线与x轴交点个数也即对应一元二次方程 根的情况，由抛物线对称性可以明确抛物线与x轴两交点的横坐标等。
10．（2023九上·市南区期中）根据下表中的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据表格数据：
当x=3.25时，y=0.03，
当x=3.26时，y=0.09，且0.03＜0.05＜0.09，
∴方程（为常数）一个解的范围是 ：。
故答案为：D。
【分析】根据表格数据：当x=3.25时，y=0.03，当x=3.26时，y=0.09，且0.03＜0.05＜0.09，即可得出一个解的范围是 ：。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（二次函数(234)+—+根据实际问题列二次函数关系式（普通））正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是 ．
【答案】y=x2+4x
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：新正方形的边长为x+2，原正方形的边长为2．
∴新正方形的面积为（x+2）2，原正方形的面积为4，
∴y=（x+2）2﹣4=x2+4x，
故答案为y=x2+4x．
【分析】增加的面积=新正方形的面积﹣原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
12．（2020九上·哈尔滨期末）抛物线 的顶点坐标为 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线 ，
∴抛物线 的顶点坐标为： ．
故答案为： ．
【分析】根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标即可。
13．（2020九上·舒城期末）请写出一个顶点在原点且开口向下的抛物线解析式 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意，抛物线是 形式， 值为负即可，
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】根据题意，顶点在y轴上，一次项系数为0，开口向下，二次项系数为负数，如：。
14．（2020九上·甘州月考）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【答案】22
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
【分析】根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
15．（2023九上·天河期中）二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标在-2和0之间（不包括-2和0），则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∵两个交点的横坐标在-2和0之间（不包括-2和0），
∴和的函数值的符号相同，
∵当时，，
∴当时，，
∴；
∴；
故答案为：．
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，得到对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据交点的横坐标在在-2和0之间（不包括-2和0），得到到和时的函数值的符号相同，列出不等式进行求解即可．
三、解答题（共7题，共55分）
16．说出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） y=x2-7．
（2） y=(x+1)2．
（3） y=1-(-x)2
【答案】（1）解：y=x2-7的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-7）；
（2）解：y=(x+1)2开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，0）；
（3）解：y=1-(-x)2开口向下，对称轴为x=，顶点坐标为（，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的开口方向是由a决定：当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下；利用二次函数y=ax2+b的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，b），即可求解.
（2）二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，即可求解.
（3）二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；即可求解.
17．在如图直角坐标系中，用描点法画出下列函数的图象．
①y=x2．
②y=x2
（1）列表：
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y=x2 …… ……
y=x2 …… ……
（2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点．
【答案】（1）解：如下表所示；
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y=x2 …… 6 0 6 ……
y=x2 …… -6 0 -6 ……
（2）解：y=x2和y=x2的图象如图所示；
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【分析】（1）先列表，分别求出两函数中x，y的7组对应值.
（2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点，可画出两函数图象.
18．（2023九上·通州期中） 已知二次函数在和时的函数值相等.
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N.当时，求b的值.
【答案】（1）解：∵二次函数在和时函数值相等，
∴对称轴为直线.
（2）解：∵过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，
∵对称轴为直线，，
∴点M的坐标为，点N的坐标为
∴，，
∴，
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据 二次函数在和时的函数值相等，利用中点坐标公式，即可求得对称轴；
（2） 过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N， 设点M在点N的左侧， 根据对称轴为 直线，， 即可求得点M、N的坐标，进而求出a、b的值.
19．（2023九上·从江期中） 已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解.
【答案】（1）解：∵一元二次方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即1+4m>0.
∴m>-.
∴m的取值范围为m>-.
（2）解：二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为直线x=-，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x=-对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为(1，0).
∴另一个交点为(-2，0).
∴一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2.
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，求解m的取值范围即可。
（2）根据二次函数图象与x轴交点的横坐标就是当y=0时，对应一元二次方程的解，故将x=1代入方程中求出m的值，在代入一元二次方程中解方程即可求解。
20．（2023九上·定海月考） 在二次函数中：
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当时，y的最小值为-2，求出t的值：
（3）如果A，B，C都在这个二次函数的图象上，且求m的取值范围。
【答案】（1）解：将（2，1）代入y=x2-2tx+3得1=4-4t+3；
解得；
（2）解：抛物线y=x2-2tx+3的对称轴为直线x=t.
若0∴t2-2t2+3=-2，解得t=（负值已舍去）；
若t≥3，当x=3时函数取最小值，
∴9-6t+3=-2，解得t=（不符合题意，舍去）.
综上所述，t的值为；
（3）解：∵A（m-2，a），C（m，a）的纵坐标相等，
∴两点关于对称轴对称，
∴，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧.
∵t>0，
∴m-1>0，
解得m>1.
在y=x2-2tx+3中，令x=0得y=3，
∴抛物线y=x3-2tx+3
与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴x=m-1的对称点为（2m-2，3）.
∵b<3，
∴4<2m-2，
解得m>3.
①当B（4，b）在对称轴左侧时，
∵a∴4解得m>6，
此时m满足的条件为m>6；
②当B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a∴B（4，b）到对称轴直线x=m-1的距离大于A（m-2，a）到对称轴直线x=m-1的距离，
∴4-（m-1）＞m-1-（m-2）
∴m<4，
此时m满足的条件是3综上所述，m的取值范围为36.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象上的点的坐标特点，将（2，1）代入y=x2-2tx+3可得关于字母t的方程，求解可得t的值；
（2）抛物线y=x2-2tx+3的对称轴为直线x=t，由于图象开口向上，若0（3）由A、C两点的纵坐标相等可得两点关于对称轴对称，据此可得该抛物线的对称轴直线为，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；由t>0，得m＞1；求出抛物线与与y轴交点为（0，3），其关于对称轴x=m-1的对称点为（2m-2，3），由b＜3，得m>3；①当B（4，b）在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有46；②当B（4，b）在对称轴右侧时，点B到对称轴直线t=m-1的距离大于点A到对称轴直线的距离，故4-（m-1）＞m-1-（m-2），此时m满足的条件是321．（2023九上·路北期中）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．已知一名男生投实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4m，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意设y关于x的函数表达式为：
，
把（0，2）代入解析式得，
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：该生在此项考试中得不到满分，理由：
当y＝0，则，，
解得：x1＝12，x2＝﹣1（舍去），
∵12＜12.4，
∴该生在此项考试中得不到满分．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意设出关于y的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
22．（2023九上·涪城期中）某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数关系，其对应数据如表：
x（天） …… 1 3 5 7 ……
y（件） …… 35 45 55 65 ……
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？
（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（1.35），（3，45）分别代入得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；
（2）解：根据题意得：（130-x-60-4）（5x+30）＝6235，
整理得：x2-60x+851＝0，
解得：x＝23或x＝37（舍），
∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；
（3）解：由题意得：
W＝（130-x-60-4）（5x+30
＝-5x2+300x+1980
＝-5（x-30）2+6480，
∵a＝-5＜0，
∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．
∴W与x之间的函数关系式是W＝-5（x-30）2+6480，第30天的利润最大，最大利润是6480元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将表格中 （1，35），（3，45） 代入求出k、b的值进而得出结论；
（2）根据 商品进价每件60元，售价每件130元，且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动 且去掉捐款后的利润是6235元 列出方程，解得x的值并取适合的x的值即可；
（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，根据 商品进价每件60元，售价每件130元，且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动列出关于x的二次函数，结合二次函数的性质即可求解.
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