【B卷】第二章 二次函数—北师大版九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·路北期中）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故答案为：D．
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
2．（2023九上·金华月考） 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2） 是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上的两点，
∴y1=ax12-4ax1+c，y2=ax22-4ax2+c，
∴y1-y2=（ax12-4ax1+c）-（ax22-4ax2+c）
=ax12-4ax1+c-ax22+4ax2-c
=a（x12-x22）-4a（x1-x2）
=a(x1-x2)(x1+x2)-4a(x1-x2)
=a(x1-x2)(x1+x2-4)
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
当a(x1+x2-4)＜0时，a(x1-x2)(x1+x2-4)＞0，
∴y1＞y2.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线上点的坐标特点可得y1=ax12-4ax1+c，y2=ax22-4ax2+c，进而利用作差法可得y1-y2=a(x1-x2)(x1+x2-4)，由于x1＜x2，故x1-x2＜0，则当a(x1+x2-4)＜0时，a(x1-x2)(x1+x2-4)＞0，据此可得答案.
3．（2023九上·泸州月考） 如图， 正方形OABC有三个顶点在抛物线 上， 点 是原点， 顶点 在 轴上则顶点 的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：连接AC，∠OB于D
∵ 正方形OABC
∴ CA⊥BO，CD=AD=OD
∵ 点A，C在抛物线 上
∴ C，A关于y轴对称
∴ 设A（m，m）
∴
解得m=4或m=-4（舍）
∴A（4，4）
故答案为：C.
【分析】本题考查抛物线的图象性质和正方形的性质，熟悉抛物线的对称性和正方形对角线相等、垂直且互相平分的性质是解题关键。由“正方形OABC”得CD=AD=OD，根据抛物线 的对称性得C，A关于y轴对称，设A（m，m）代入抛物线得m=4，可得A（4，4）.
4．（2021·南通模拟）在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴ ＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣ x上，
∴m＝﹣ x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故答案为：D.
【分析】由抛物线解析式可得＝m+1，则x2+x3=2m+2，由点A在直线上可得m＝- x1，得到x1＝-2m，据此解答.
5．（2023九上·阜阳期中）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（1，2023），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设 该抛物线对应的函数表达式为 y=a（x-h）2+k，
∵某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a=5，
∵抛物线 的顶点坐标为（1，2023），
∴h=1，k=2023，
∴该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
故答案为：A.
【分析】首先根据抛物线与二次函数的图象的关系可以求得a=5，然后根据顶点坐标，即可得出该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
6．设函数是实数，，当时，；当时，.据此可知（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 当时，；当时，，
∴
解之：a（9-2h）=1，
A、当h=4时
a（9-8）=1，
解之：a=1＞0，故A不符合题意；
B、当h=5时
a（9-10）=1，
解之：a=-1＜0，故B不符合题意；
C、当h=6时
a（9-12）=1，
解之：a=＜0，故C符合题意；
D、当h=7时
a（9-14）=1，
解之：a=＜0，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将x，y的两组对应值分别代入函数解析式，可得到a（9-2h）=1，再分别将各选项中的h的值代入a（9-2h）=1，求出对应的a的值，据此可得答案.
7．（2023九上·黄浦期中）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】
解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，
将A点坐标代入y=ax2，
﹣4=100a，
∴a=
∴y=，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B.
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax ，由此可得A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，即可求函数解析式，再将y=1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长.
8．（2023九上·浙江月考）如图，正方形的边长为，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，，则，，
由勾股定理可知，
由正方形的面积公式可知，，即，
又∵，
∴；
则二次函数的性质，y关于x的函数图象为：
故答案为：B.
【分析】根据，可得，，先利用勾股定理可得，再根据正方形的边长可知，即可得出y关于x的图像.
9．（2023九上·宣化期中）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（ ）
甲：当时，该方程没有实数根；
乙：当时，该方程有两个相等实数根；
丙：当时，该方程有两个不相等的实数根.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：是把 向上或向下平移｜m｜个单位得到的
当m=1时，把向上平移1个单位长度得到，结合图像可知此时图像与x轴没有交点。
故甲正确；
当m=3时，把向上平移3个单位长度得到，结合图像可知此时图像与x轴有两个交点。并不是一个交点，故乙错误；
当m=5时，把向上平移5个单位长度得到，结合图像可知此时图像与x轴有两个交点。故丙正确。
故答案为：C.
【分析】
是把 向上或向下平移｜m｜个单位得到的。 方程方程 的解的个数，即当y=0时时图像与x轴的交点个数。结合图像说明即可。
10．（2023九上·宣化期中）题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点B.点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围.”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：
把A（2，0）分别代入抛物线和直线解析式中得，
，解得，
∴抛物线为，直线为y=-x+2，
联立解得，或
∴点B的坐标为（-1，3）
情形1：当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M， N的距离为3，而A、B的水平距离是3， 若线段MN与抛物线只有一个公共点，故此时只有一个交点，即-1≤ <2；
情形2：当点M在点B的左侧时，即时，线段MN与抛物线没有公共点；
情形3：当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和MN交于抛物线的顶点(1，-1)， 即时，线段MN与抛物线只有一个公共点。
综上，当线段MN与抛物线只有一个公共点时，-1≤<2或=3.
故答案为：B.
【分析】先根据抛物线与直线交于点4(2， 0)求出函数解析式，进而得出点B坐标，分类求解确定MN的位置。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·游仙月考）已知函数是二次函数，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意
是二次函数
解得m=1
故填：1
【分析】根据二次函数的定义，最高项二次项须存在，根据这个条件可找到m的取值。
12．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图①，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点（点在点的左侧），根据对称性知恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．如图②，抛物线的“完美三角形”的斜边的长为 ．
①②
【答案】2
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：过点B作BN⊥x轴于点N，如图所示：
根据题意可得：△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵AB//x轴，
∴∠BON=45°，
∴△BON是等腰直角三角形，
设点B的坐标为（m，m），
∵点B在抛物线上，
∴，
解得：m1=1，m2=0（舍掉），
∴点B的坐标为（1，1），
∴点A的坐标为（-1，1），
∴AB=1-（-1）=2，
故答案为：2.
【分析】过点B作BN⊥x轴于点N，先证出△BON是等腰直角三角形，设点B的坐标为（m，m），将其代入解析式可得，求出m的值，再求出点A、B的坐标，最后求出AB的长即可.
13．（2020·荆州）我们约定： 为函数 的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为 的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为 .
【答案】（1，0）或（2，0）或（0，2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将关联数为 代入函数 得到：
，
∵关联数为 的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即 ，
因式分解得 ，
又∵关联数为 的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴ ，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为 或 ，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为 ，
∴这个函数图象上整交点的坐标为 或 或 ；
故答案为： 或 或 .
【分析】将关联数为 代入函数 得到： ，由题意将y=0和x=0代入即可.
14．（2023九上·北京市月考）已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：
若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过；
若此函数的图象为抛物线，且经过，则该抛物线开口向下；
若此函数的解析式为，且经过原点，则；
若此函数的解析式为，开口向下，且，则的范围是．
所有合理推断的序号是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：①、设直线解析式为y=kx+b，过 ，两点，
所以直线解析式为y=x-3，当x=0时，y=-3，故直线经过（0，-3）
②、同理（待定系数法）可求得抛物线二次项系数大于零，故开口向上。
③、把 ， 和原点（0，0）代入 ，可得，
④、把A（2，-1），B（4，1）代入函数解析式 ，可得
解得：
∵ 开口向下，且
∴
故①④正确，②③错误。
故答案为：①④.
【分析】总体而言考查待定系数法确定函数解析式，然后利用所学函数的性质判定推断是否正确，其中①易知是一次函数，判断直线是否经过点，只要把点的坐标代入所求直线解析式，成立即过，不成立不过；②三点确定抛物线解析式，根据二次项系数正负来判断抛物线开口方向；③同样由三点确定抛物线解析式，从而确定h的值；④把已知两点代入抛物线解析式得a、h、k的方程组，消元可得a与h的关系，又已知h的取值范围，且抛物线开口向下，综合可得a的取值范围。
15．（2023九上·朝阳期中）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 米．
【答案】19
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：根据题意得，
设抛物线解析式为：，将代入得
，
解得：，
，
消防车同时后退米，根据对称性，平移后的左边抛物线解析式为：，
令，解得：，
故答案为：．
【分析】待定系数法求出原来抛物线的解析式，然后求得平移后的抛物线解析式，再令，即可求解．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023九上·涪城期中）如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h，k+），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m，垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．
（1）直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标以及直径的长．
（2）求抛物线y＝（x-3）2+2的焦点坐标以及直径的长．
（3）已知抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的直径为，求a的值．
（4）①已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
②直接写出抛物线y＝（x-3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2-2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2，
∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：0+＝1，
∴抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1），
将y＝1代入y＝x2，得x1＝-2，x2＝2，
∴此抛物线的直径是：2-（-2）＝4；
（2）解：∵y＝（x-3）2+2，
∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：2+＝3，
∴焦点坐标为（3，3），
将y＝3代入y＝（x-3）2+2，得，
3＝（x-3）2+2，
解得，x1＝5，x2＝1，
∴此抛物线的直径时5-1＝4；
（3）解：∵焦点A（h，k+），
∴k+＝a（x-h）2+k，
解得x1＝h+，x2＝h-，
∴直径为：h+-（h-）＝＝，
解得，a＝±，
即a的值是±；
（4）解：①由（3）得，BC＝，
又CD＝A'A＝，
所以，S＝BC CD＝×＝＝2，
解得，a＝±；
②当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点，
理由：由（2）知抛物线y＝（x-3）2+2的焦点矩形顶点坐标分别为：
B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1），
当y＝x2-2mx+m2+1＝（x-m）2+1过B（1，3）时，m＝1-或m＝1+（舍去），
过C（5，3）时，m＝5-（舍去）或，m＝5+，
∴当m＝1-或m＝5+，时，1个公共点；
当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点．
由图可知，公共点个数随m的变化关系为：
当m＜1-时，无公共点；
当m＝1-时，1个公共点；
当1-＜m≤1时，2个公共点；
当1＜m＜5时，3个公共点；
当5≤m＜5+时，2个公共点；
当m＝5+时，1个公共点；
当m＞5+时，无公共点；
由上可得，当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点．
【知识点】矩形的性质；图形的旋转；中心对称及中心对称图形；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据题意可求得抛物线y＝x2， 的焦点坐标以及直径的长；
（2）根据题意可求得抛物线 y＝（x-3）2+2， 的焦点坐标以及直径的长：
（3）根据抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的直径为，且焦点A，可求得a的值：
（4）①利用矩形的性质和抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，即可求得a的值；
②当1-＜m≤1或5≤m＜5+时， 根据（2）的结果和图形可得抛物线 y＝（x-3）2+2的焦点矩形 与抛物线 y＝x2-2mx+m2+1 有两个公共点时，即可求得m的取值范围.
17．（2023九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+2经过点A、C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点M （m，y1）、N （m+2，y2）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y1y2<0，则m的取值范围为
（3）点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标．
（4）若点P为抛物线上的点，H点P的横坐标为m，已知点E（m-1，1），F （1-m，1），G （3-m，-2），H（m+1，-2），当点P在四边形EFGH的内部时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：当x=0时，y=2，
∴C (0， 2)，
当y=0时，x=4，
∴A (4，0)，
将A、C点代入y=ax2+x+c(a≠0)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+x+2；
（2）2（3）解：当y=0时，x2+x+2=0
解得x=4或x=-1，
∴A (- 1，0)，
∵OA=1，OC=2，BO=4，
∴AB=5，AC=2，BC=，
∵AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BCO=∠BAC，
∵∠DCA=∠BCO，
∴∠DCA=∠BAC，
当CD∥x轴时，∠DCA=∠BAC，此时D(3，2)；
在OA上截取CP=AP，则∠CAO=∠ACP，
∴D点在直线CP上，
在Rt△COP中，CP2= CO2+OP2，
∴(4- OP)2=4+OP2，
解得OP=
．P (，0)，
设直线CP的解析式为y=kx+2，
k+2=0，
解得k=
直线CP的解析式为y=x+2，
当x+2=x2+x+2时， 解得x=0或x=
∴D (，)
综上所述： D点坐标为(3，2)或(，)
（4）解：【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）∵m+2＞m＞-1，
∴点N在M点的右侧，
∵ y1y2<0，
∴ y1＞0，y2＜0，
∴-1＜m＜4，m+2＞4，
解得： 2故答案为： 2（4）∵ E（m-1，1），F （1-m，1） ， G （3-m，-2），H（m+1，-2）
∴EF∥x轴，GH∥x轴，
∴EF=，GH=，
∴EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
由P（m，），
当点P在EF上时，=1，解得m=，m=，
当点P在GH上时，=-2，解得m=，m=，
当点P在EH上时，设EH的直线解析式为y=kx+b，
∴解得k=，b=，
∴EH的直线解析式为y=x+，
当m+=时，解得m=或，
∴当 【分析】（1） 由y=x+2求出A、C的坐标，再将A、C的坐标代入解析式中求出a、c的值即可；
（2）由 y1y2<0可得 y1＞0，y2＜0，即-1＜m＜4，m+2＞4，据此求出m的范围即可；
（3）先求出A、B的坐标，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形， 当CD∥x轴时，∠DCA=∠BAC，此时D(3，2)； 在OA上截取CP=AP，则∠CAO=∠ACP，由D点在直线CP上，利用勾股定理求出P的坐标，再利用待定系数法求出直线CP的解析式，再求出直线CP与抛物线的交点即可；
（4）根据所给点的坐标可得四边形EFGH是平行四边形，分别求出当点P在EF上时和点P在GH上时m的值，再求出点P在EH上时，先求出直线EH的解析式，再求出直线EH与抛物线交点的横坐标，继而得解.
18．（2023九上·萧山月考）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生第一次在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
【答案】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）C1的表达式为y=ax2-2ax，含有一个未知字母，恰好题目已知点A32，38在C1上，代入解析式即可求得a的值；
（2）由（1）可知C1：y=-12x2+x，转化成顶点式为y=-12x-12+12，故顶点为1，12，距离x轴米，距离地面1+12=32<2，高度未达到要求；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，C3顶点纵坐标需大于等于1；由a=-12，可得抛物线C3表达式为，顶点坐标为b2，b24，故，得；由点B的横坐标为-32，得yB=-94-32b，当b=-2时，yB有最小值，最小值为，故抛球点离地面的高度至少为1+34=1.75米．
19．（2023九上·朝阳期中）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25
根据上述数据，直接写出k的值为 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
【答案】（1）11.25；y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25
（2）＜
（3）解：y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴B（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上无法完成此动作，
∴她当天的比赛不能成功完成此动作．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25），
∴h＝＝3.5，
∴y＝a（x﹣3.5）2+k，
∴，
解得：，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案为：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）+11.25，
（2）∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x＝5或x＝2（不合题意，舍去）；
∴d1＝5米；
∵y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时：﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合题意，舍去）；
∴d2＝+4＞5，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求出两个解析式当y=0时，解方程得出x的值，即可求解；
（3）先求出c的值，再求出t=1.6时的y值，然后进行判断，即可求解．
20．（2023九上·宣城月考）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点，，如图所示.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点的坐标和的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出点的坐标.
【答案】（1）解：解方程，得，.
由，有，.
所以点A，B的坐标分别为，.
将，的坐标分别代入，
得解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为.
（2）解：由，令，得.
解这个方程，得，.
所以点C的坐标为，由顶点坐标公式计算，得点.
过D作轴的垂线交轴于，如图所示.
则.
，.
所以
（3）或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）设点的坐标为
因为线段过B，C两点，所以所在的直线方程为.
那么，与直线的交点坐标为，与抛物线的交点坐标为.
由题意，得
①，即
解这个方程，得或（舍去）.
②，得.
解这个方程，得或（舍去）.
点的坐标为或.
【分析】（1）根据方程的解析式求出m和n的值，即可得到点A和点B的坐标，代入抛物线解析式求出答案即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式求出点C以及点D的坐标，结合三角形的面积公式，利用作差法求出△BCD的面积即可；
（3）根据待定系数法求出直线BC的解析式，根据等高三角形面积比为底边的比分类讨论，求出p点的坐标。
21．（2023九上·广州月考）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
写出该函数的一条性质： ；
方程的解为： ；
若方程有四个实数根，则的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）函数图象关于轴对称或最大值为0等（答案不唯一）；x=-2或x=0或x=2；
（2）解：如图，将函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位可得到函数的图象，
由图可知：当时，自变量的取值范围是且．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1）由函数图象可得： 函数图象关于轴对称或最大值为0等（答案不唯一）；
x=-2或x=0或x=2；
；
（2）如图，将函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位可得到函数的图象，
由图可知：当时，自变量的取值范围是且．
【分析】（1） 根据图象即可求得；
（2）根据“左加右减，上加下减”平移规律得到平移过程，画出函数y1的图象，再根据函数图象可得自变量的取值范围.
22．（2023·临沂）综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
（1） 数据整理
请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
（2） 模型建立
分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
（3） 拓广应用
根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【答案】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
（2）解：由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
（3）解：①设：定价应为元，由题意，得：
，
整理得：，
解得：，
∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；
②设每天的利润为，由题意，得：
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为元．
答：售价定为元时，每天能够获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题中的数据填表即可；
（2）观察表格求出售价每涨价2元，日销售量少卖4盆即可作答；
（3）①利用利润公式求出， 再解方程即可；
②利用利润公式求出 ， 再利用函数的性质求解即可。
1 / 1【B卷】第二章 二次函数—北师大版九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·路北期中）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
2．（2023九上·金华月考） 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
3．（2023九上·泸州月考） 如图， 正方形OABC有三个顶点在抛物线 上， 点 是原点， 顶点 在 轴上则顶点 的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
4．（2021·南通模拟）在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2023九上·阜阳期中）已知某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（1，2023），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数是实数，，当时，；当时，.据此可知（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2023九上·黄浦期中）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．4米 B．10米 C．4米 D．12米
8．（2023九上·浙江月考）如图，正方形的边长为，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·宣化期中）已知抛物线的位置如图所示，甲、乙、丙三人关于x的一元二次方程的根的情况判断如下，其中正确的有（ ）
甲：当时，该方程没有实数根；
乙：当时，该方程有两个相等实数根；
丙：当时，该方程有两个不相等的实数根.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2023九上·宣化期中）题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点B.点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围.”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·游仙月考）已知函数是二次函数，则 ．
12．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图①，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点（点在点的左侧），根据对称性知恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．如图②，抛物线的“完美三角形”的斜边的长为 ．
①②
13．（2020·荆州）我们约定： 为函数 的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为 的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为 .
14．（2023九上·北京市月考）已知某函数的图象过，两点，下面有四个推断：
若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过；
若此函数的图象为抛物线，且经过，则该抛物线开口向下；
若此函数的解析式为，且经过原点，则；
若此函数的解析式为，开口向下，且，则的范围是．
所有合理推断的序号是 ．
15．（2023九上·朝阳期中）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面 米．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023九上·涪城期中）如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h，k+），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m，垂足为E、D．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．
（1）直接写出抛物线y＝x2的焦点坐标以及直径的长．
（2）求抛物线y＝（x-3）2+2的焦点坐标以及直径的长．
（3）已知抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的直径为，求a的值．
（4）①已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
②直接写出抛物线y＝（x-3）2+2的焦点矩形与抛物线y＝x2-2mx+m2+1有两个公共点时m的取值范围．
17．（2023九上·长春月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+2经过点A、C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点M （m，y1）、N （m+2，y2）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y1y2<0，则m的取值范围为
（3）点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标．
（4）若点P为抛物线上的点，H点P的横坐标为m，已知点E（m-1，1），F （1-m，1），G （3-m，-2），H（m+1，-2），当点P在四边形EFGH的内部时，直接写出m的取值范围．
18．（2023九上·萧山月考）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生第一次在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
19．（2023九上·朝阳期中）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 3 3.5 4 4.5
竖直高度y/m 10 10 k 10 6.25
根据上述数据，直接写出k的值为 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
20．（2023九上·宣城月考）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点，，如图所示.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点的坐标和的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出点的坐标.
21．（2023九上·广州月考）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
写出该函数的一条性质： ；
方程的解为： ；
若方程有四个实数根，则的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．
22．（2023·临沂）综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
（1） 数据整理
请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
（2） 模型建立
分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
（3） 拓广应用
根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，
解得：m＝－3，
故答案为：D．
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P1（x1，y1），P2（x2，y2） 是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上的两点，
∴y1=ax12-4ax1+c，y2=ax22-4ax2+c，
∴y1-y2=（ax12-4ax1+c）-（ax22-4ax2+c）
=ax12-4ax1+c-ax22+4ax2-c
=a（x12-x22）-4a（x1-x2）
=a(x1-x2)(x1+x2)-4a(x1-x2)
=a(x1-x2)(x1+x2-4)
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
当a(x1+x2-4)＜0时，a(x1-x2)(x1+x2-4)＞0，
∴y1＞y2.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线上点的坐标特点可得y1=ax12-4ax1+c，y2=ax22-4ax2+c，进而利用作差法可得y1-y2=a(x1-x2)(x1+x2-4)，由于x1＜x2，故x1-x2＜0，则当a(x1+x2-4)＜0时，a(x1-x2)(x1+x2-4)＞0，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】
解：连接AC，∠OB于D
∵ 正方形OABC
∴ CA⊥BO，CD=AD=OD
∵ 点A，C在抛物线 上
∴ C，A关于y轴对称
∴ 设A（m，m）
∴
解得m=4或m=-4（舍）
∴A（4，4）
故答案为：C.
【分析】本题考查抛物线的图象性质和正方形的性质，熟悉抛物线的对称性和正方形对角线相等、垂直且互相平分的性质是解题关键。由“正方形OABC”得CD=AD=OD，根据抛物线 的对称性得C，A关于y轴对称，设A（m，m）代入抛物线得m=4，可得A（4，4）.
4．【答案】D
【知识点】一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，
在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣ x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），
∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，
∴ ＝m+1，
∴x2+x3＝2m+2，
∵A（x1，m）在直线y＝﹣ x上，
∴m＝﹣ x1，
∴x1＝﹣2m，
∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，
故答案为：D.
【分析】由抛物线解析式可得＝m+1，则x2+x3=2m+2，由点A在直线上可得m＝- x1，得到x1＝-2m，据此解答.
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设 该抛物线对应的函数表达式为 y=a（x-h）2+k，
∵某抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a=5，
∵抛物线 的顶点坐标为（1，2023），
∴h=1，k=2023，
∴该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
故答案为：A.
【分析】首先根据抛物线与二次函数的图象的关系可以求得a=5，然后根据顶点坐标，即可得出该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 当时，；当时，，
∴
解之：a（9-2h）=1，
A、当h=4时
a（9-8）=1，
解之：a=1＞0，故A不符合题意；
B、当h=5时
a（9-10）=1，
解之：a=-1＜0，故B不符合题意；
C、当h=6时
a（9-12）=1，
解之：a=＜0，故C符合题意；
D、当h=7时
a（9-14）=1，
解之：a=＜0，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将x，y的两组对应值分别代入函数解析式，可得到a（9-2h）=1，再分别将各选项中的h的值代入a（9-2h）=1，求出对应的a的值，据此可得答案.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】
解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，
将A点坐标代入y=ax2，
﹣4=100a，
∴a=
∴y=，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B.
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax ，由此可得A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，即可求函数解析式，再将y=1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，，则，，
由勾股定理可知，
由正方形的面积公式可知，，即，
又∵，
∴；
则二次函数的性质，y关于x的函数图象为：
故答案为：B.
【分析】根据，可得，，先利用勾股定理可得，再根据正方形的边长可知，即可得出y关于x的图像.
9．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：是把 向上或向下平移｜m｜个单位得到的
当m=1时，把向上平移1个单位长度得到，结合图像可知此时图像与x轴没有交点。
故甲正确；
当m=3时，把向上平移3个单位长度得到，结合图像可知此时图像与x轴有两个交点。并不是一个交点，故乙错误；
当m=5时，把向上平移5个单位长度得到，结合图像可知此时图像与x轴有两个交点。故丙正确。
故答案为：C.
【分析】
是把 向上或向下平移｜m｜个单位得到的。 方程方程 的解的个数，即当y=0时时图像与x轴的交点个数。结合图像说明即可。
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：
把A（2，0）分别代入抛物线和直线解析式中得，
，解得，
∴抛物线为，直线为y=-x+2，
联立解得，或
∴点B的坐标为（-1，3）
情形1：当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M， N的距离为3，而A、B的水平距离是3， 若线段MN与抛物线只有一个公共点，故此时只有一个交点，即-1≤ <2；
情形2：当点M在点B的左侧时，即时，线段MN与抛物线没有公共点；
情形3：当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和MN交于抛物线的顶点(1，-1)， 即时，线段MN与抛物线只有一个公共点。
综上，当线段MN与抛物线只有一个公共点时，-1≤<2或=3.
故答案为：B.
【分析】先根据抛物线与直线交于点4(2， 0)求出函数解析式，进而得出点B坐标，分类求解确定MN的位置。
11．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意
是二次函数
解得m=1
故填：1
【分析】根据二次函数的定义，最高项二次项须存在，根据这个条件可找到m的取值。
12．【答案】2
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：过点B作BN⊥x轴于点N，如图所示：
根据题意可得：△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∵AB//x轴，
∴∠BON=45°，
∴△BON是等腰直角三角形，
设点B的坐标为（m，m），
∵点B在抛物线上，
∴，
解得：m1=1，m2=0（舍掉），
∴点B的坐标为（1，1），
∴点A的坐标为（-1，1），
∴AB=1-（-1）=2，
故答案为：2.
【分析】过点B作BN⊥x轴于点N，先证出△BON是等腰直角三角形，设点B的坐标为（m，m），将其代入解析式可得，求出m的值，再求出点A、B的坐标，最后求出AB的长即可.
13．【答案】（1，0）或（2，0）或（0，2）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将关联数为 代入函数 得到：
，
∵关联数为 的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即 ，
因式分解得 ，
又∵关联数为 的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴ ，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为 或 ，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为 ，
∴这个函数图象上整交点的坐标为 或 或 ；
故答案为： 或 或 .
【分析】将关联数为 代入函数 得到： ，由题意将y=0和x=0代入即可.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：①、设直线解析式为y=kx+b，过 ，两点，
所以直线解析式为y=x-3，当x=0时，y=-3，故直线经过（0，-3）
②、同理（待定系数法）可求得抛物线二次项系数大于零，故开口向上。
③、把 ， 和原点（0，0）代入 ，可得，
④、把A（2，-1），B（4，1）代入函数解析式 ，可得
解得：
∵ 开口向下，且
∴
故①④正确，②③错误。
故答案为：①④.
【分析】总体而言考查待定系数法确定函数解析式，然后利用所学函数的性质判定推断是否正确，其中①易知是一次函数，判断直线是否经过点，只要把点的坐标代入所求直线解析式，成立即过，不成立不过；②三点确定抛物线解析式，根据二次项系数正负来判断抛物线开口方向；③同样由三点确定抛物线解析式，从而确定h的值；④把已知两点代入抛物线解析式得a、h、k的方程组，消元可得a与h的关系，又已知h的取值范围，且抛物线开口向下，综合可得a的取值范围。
15．【答案】19
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：根据题意得，
设抛物线解析式为：，将代入得
，
解得：，
，
消防车同时后退米，根据对称性，平移后的左边抛物线解析式为：，
令，解得：，
故答案为：．
【分析】待定系数法求出原来抛物线的解析式，然后求得平移后的抛物线解析式，再令，即可求解．
16．【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2，
∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：0+＝1，
∴抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，1），
将y＝1代入y＝x2，得x1＝-2，x2＝2，
∴此抛物线的直径是：2-（-2）＝4；
（2）解：∵y＝（x-3）2+2，
∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：2+＝3，
∴焦点坐标为（3，3），
将y＝3代入y＝（x-3）2+2，得，
3＝（x-3）2+2，
解得，x1＝5，x2＝1，
∴此抛物线的直径时5-1＝4；
（3）解：∵焦点A（h，k+），
∴k+＝a（x-h）2+k，
解得x1＝h+，x2＝h-，
∴直径为：h+-（h-）＝＝，
解得，a＝±，
即a的值是±；
（4）解：①由（3）得，BC＝，
又CD＝A'A＝，
所以，S＝BC CD＝×＝＝2，
解得，a＝±；
②当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点，
理由：由（2）知抛物线y＝（x-3）2+2的焦点矩形顶点坐标分别为：
B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1），
当y＝x2-2mx+m2+1＝（x-m）2+1过B（1，3）时，m＝1-或m＝1+（舍去），
过C（5，3）时，m＝5-（舍去）或，m＝5+，
∴当m＝1-或m＝5+，时，1个公共点；
当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点．
由图可知，公共点个数随m的变化关系为：
当m＜1-时，无公共点；
当m＝1-时，1个公共点；
当1-＜m≤1时，2个公共点；
当1＜m＜5时，3个公共点；
当5≤m＜5+时，2个公共点；
当m＝5+时，1个公共点；
当m＞5+时，无公共点；
由上可得，当1-＜m≤1或5≤m＜5+时，2个公共点．
【知识点】矩形的性质；图形的旋转；中心对称及中心对称图形；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据题意可求得抛物线y＝x2， 的焦点坐标以及直径的长；
（2）根据题意可求得抛物线 y＝（x-3）2+2， 的焦点坐标以及直径的长：
（3）根据抛物线y＝a（x-h）2+k（a≠0）的直径为，且焦点A，可求得a的值：
（4）①利用矩形的性质和抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，即可求得a的值；
②当1-＜m≤1或5≤m＜5+时， 根据（2）的结果和图形可得抛物线 y＝（x-3）2+2的焦点矩形 与抛物线 y＝x2-2mx+m2+1 有两个公共点时，即可求得m的取值范围.
17．【答案】（1）解：当x=0时，y=2，
∴C (0， 2)，
当y=0时，x=4，
∴A (4，0)，
将A、C点代入y=ax2+x+c(a≠0)，
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+x+2；
（2）2（3）解：当y=0时，x2+x+2=0
解得x=4或x=-1，
∴A (- 1，0)，
∵OA=1，OC=2，BO=4，
∴AB=5，AC=2，BC=，
∵AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BCO=∠BAC，
∵∠DCA=∠BCO，
∴∠DCA=∠BAC，
当CD∥x轴时，∠DCA=∠BAC，此时D(3，2)；
在OA上截取CP=AP，则∠CAO=∠ACP，
∴D点在直线CP上，
在Rt△COP中，CP2= CO2+OP2，
∴(4- OP)2=4+OP2，
解得OP=
．P (，0)，
设直线CP的解析式为y=kx+2，
k+2=0，
解得k=
直线CP的解析式为y=x+2，
当x+2=x2+x+2时， 解得x=0或x=
∴D (，)
综上所述： D点坐标为(3，2)或(，)
（4）解：【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）∵m+2＞m＞-1，
∴点N在M点的右侧，
∵ y1y2<0，
∴ y1＞0，y2＜0，
∴-1＜m＜4，m+2＞4，
解得： 2故答案为： 2（4）∵ E（m-1，1），F （1-m，1） ， G （3-m，-2），H（m+1，-2）
∴EF∥x轴，GH∥x轴，
∴EF=，GH=，
∴EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
由P（m，），
当点P在EF上时，=1，解得m=，m=，
当点P在GH上时，=-2，解得m=，m=，
当点P在EH上时，设EH的直线解析式为y=kx+b，
∴解得k=，b=，
∴EH的直线解析式为y=x+，
当m+=时，解得m=或，
∴当 【分析】（1） 由y=x+2求出A、C的坐标，再将A、C的坐标代入解析式中求出a、c的值即可；
（2）由 y1y2<0可得 y1＞0，y2＜0，即-1＜m＜4，m+2＞4，据此求出m的范围即可；
（3）先求出A、B的坐标，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形， 当CD∥x轴时，∠DCA=∠BAC，此时D(3，2)； 在OA上截取CP=AP，则∠CAO=∠ACP，由D点在直线CP上，利用勾股定理求出P的坐标，再利用待定系数法求出直线CP的解析式，再求出直线CP与抛物线的交点即可；
（4）根据所给点的坐标可得四边形EFGH是平行四边形，分别求出当点P在EF上时和点P在GH上时m的值，再求出点P在EH上时，先求出直线EH的解析式，再求出直线EH与抛物线交点的横坐标，继而得解.
18．【答案】（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）C1的表达式为y=ax2-2ax，含有一个未知字母，恰好题目已知点A32，38在C1上，代入解析式即可求得a的值；
（2）由（1）可知C1：y=-12x2+x，转化成顶点式为y=-12x-12+12，故顶点为1，12，距离x轴米，距离地面1+12=32<2，高度未达到要求；
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，C3顶点纵坐标需大于等于1；由a=-12，可得抛物线C3表达式为，顶点坐标为b2，b24，故，得；由点B的横坐标为-32，得yB=-94-32b，当b=-2时，yB有最小值，最小值为，故抛球点离地面的高度至少为1+34=1.75米．
19．【答案】（1）11.25；y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25
（2）＜
（3）解：y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，
∴B（4，12），
∴c＝12，
∴y＝﹣5t2+12，
当t＝1.6时，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，
∵﹣0.8＜0，
即她在水面上无法完成此动作，
∴她当天的比赛不能成功完成此动作．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，图象过点（3，10），（4，10），（4.5，6.25），
∴h＝＝3.5，
∴y＝a（x﹣3.5）2+k，
∴，
解得：，
∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；
故答案为：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）+11.25，
（2）∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
当y＝0时：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，
解得：x＝5或x＝2（不合题意，舍去）；
∴d1＝5米；
∵y＝﹣5x2+40x﹣68，
当y＝0时：﹣5x2+40x﹣68＝0，
解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合题意，舍去）；
∴d2＝+4＞5，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求二次函数解析式；
（2）分别求出两个解析式当y=0时，解方程得出x的值，即可求解；
（3）先求出c的值，再求出t=1.6时的y值，然后进行判断，即可求解．
20．【答案】（1）解：解方程，得，.
由，有，.
所以点A，B的坐标分别为，.
将，的坐标分别代入，
得解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为.
（2）解：由，令，得.
解这个方程，得，.
所以点C的坐标为，由顶点坐标公式计算，得点.
过D作轴的垂线交轴于，如图所示.
则.
，.
所以
（3）或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）设点的坐标为
因为线段过B，C两点，所以所在的直线方程为.
那么，与直线的交点坐标为，与抛物线的交点坐标为.
由题意，得
①，即
解这个方程，得或（舍去）.
②，得.
解这个方程，得或（舍去）.
点的坐标为或.
【分析】（1）根据方程的解析式求出m和n的值，即可得到点A和点B的坐标，代入抛物线解析式求出答案即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式求出点C以及点D的坐标，结合三角形的面积公式，利用作差法求出△BCD的面积即可；
（3）根据待定系数法求出直线BC的解析式，根据等高三角形面积比为底边的比分类讨论，求出p点的坐标。
21．【答案】（1）函数图象关于轴对称或最大值为0等（答案不唯一）；x=-2或x=0或x=2；
（2）解：如图，将函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位可得到函数的图象，
由图可知：当时，自变量的取值范围是且．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：（1）由函数图象可得： 函数图象关于轴对称或最大值为0等（答案不唯一）；
x=-2或x=0或x=2；
；
（2）如图，将函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位可得到函数的图象，
由图可知：当时，自变量的取值范围是且．
【分析】（1） 根据图象即可求得；
（2）根据“左加右减，上加下减”平移规律得到平移过程，画出函数y1的图象，再根据函数图象可得自变量的取值范围.
22．【答案】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
（2）解：由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
（3）解：①设：定价应为元，由题意，得：
，
整理得：，
解得：，
∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；
②设每天的利润为，由题意，得：
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为元．
答：售价定为元时，每天能够获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题中的数据填表即可；
（2）观察表格求出售价每涨价2元，日销售量少卖4盆即可作答；
（3）①利用利润公式求出， 再解方程即可；
②利用利润公式求出 ， 再利用函数的性质求解即可。
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