【基础卷】3.2圆的对称性—北师大版数学九年级下册同步测试
一、填空题
1．顶点在 的角叫作圆心角．
2． 相等的圆叫作等圆；同心圆的 相同， 不同．
能 的圆弧叫作相等的弧，简称“等弧”，等弧只可能存在于同圆或 中．
3．圆既是 对称图形，又是 对称图形，它的对称轴是 ，对称中心是 .
4．根据圆的旋转不变性，得到了圆心角与 、弦、 之间的关系．
5．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 、两条 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．
6．（2016九上·营口期中）一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ．
二、选择题
7．下列命题正确的是（ ）．
A．相等的圆心角所对的弦相等 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．相等的弦所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等
8．（2023九上·路北期中）在⊙O中，则弦AB与弦CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD
9．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
10．已知AB是⊙O的直径，的度数为60°，⊙O的半径为2cm，则弦AC的长为（ ）
A．2cm B．cm C．1cm D．cm
11．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上一点．若∠BOC=40° ，则∠D的度数为（ ）．
A．100° B．110° C．120° D．130°
12．若和所对的圆心角，则下列命题中，正确的是（ ）.
A．=
B．所对的弦和所对的弦相等
C．与的长度相等
D．与的度数相等
三、解答题
13．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OC．已知AB=AC，的度数为100°，求∠AOC和的度数．
14．已知：如图，在⊙O中，∠AOD=∠BOC．求证：AB=CD．
15．已知：如图，∠APC的顶点P在⊙O外，角的两边分别交⊙O于点A，B和点C，D，且PA=PC．求证： =．
答案解析部分
1．【答案】圆心
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解： 顶点在圆心的角是圆心角.
故答案为：圆心.
【分析】 根据圆心角的定义来判断.
2．【答案】半径；圆心；半径；完全重合；等圆
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】 解： 半径相等的圆叫作等圆；同心圆的圆心相同，半径不同．能完全重合的圆弧叫作相等的弧，简称“等弧”，等弧只可能存在于同圆或等圆中．
故答案为： 半径 ；圆心；半径；完全重合；等圆.
【分析】根据等圆、 同心圆 和 等弧 的定义求解.
3．【答案】轴；中心；直径所在的直线；圆心
【知识点】圆的相关概念；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的对称轴是直径所在的直线，对称中心是圆心.
故答案为：轴，中心，直径所在的直线，圆心.
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义可得答案.
4．【答案】弧；弦心距
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 根据圆的旋转不变性，得到了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，
故答案为：弧、弦心距.
【分析】根据圆旋转不变性，即可得出答案.
5．【答案】弧；弦；弦心距
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等 .
故答案为：弧，弦，弦心距.
【分析】利用圆心角、弧、弦、弦心距的关系，可得答案.
6．【答案】72°或108°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB．
弦AB将⊙O分为2：3两部分，
则∠AOB= ×360°=144°；
∴∠ACB= ∠AOB=72°，
∠ADB=180°﹣∠ACB=108°；
故这条弦所对的圆周角的度数为72°或108°．
【分析】先求出这条弦所对圆心角的度数，然后分情况讨论这条弦所对圆周角的度数．
7．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故A不符合题意；
B、在同圆和等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等 ，故B不符合题意；
C、在同圆和等圆中， 相等的弦所对的弧相等 ，故C不符合题意；
D、 等弧所对的圆心角相等，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可对A作出判断；在同圆和等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，可对B作出判断；在同圆和等圆中， 相等的弦所对的弧相等，可对C作出判断；根据等弧所对的圆心角相等，可对D作出判断.
8．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 取的中点E，连接、，则，
，
在中，，即，
则，
故答案为：C．
【分析】根据两弧的关系，作出 的中点E，则，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论．
9．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
10．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由题意得：∠AOC=60°，OA=OC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=2cm.
故答案为：2cm.
【分析】由题知的度数可得弧所对圆心角的度数，得出∠AOC=60°，又由半径相等，可得△OAC是等边三角形，从而求出AC的长即可解答.
11．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据邻补角的定义求出∠AOC的度数，再利用圆周角定理求解即可.
12．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，弧所对的弦相等，
∴A，B，C不符合题意；
∵圆心角的度数和它所对的弧的度数相等， 若和所对的圆心角
∴和的度数相等，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可对A，C，B作出判断；再根据圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可对D作出判断.
13．【答案】解：∵的度数是100°，
即∠BOC=100°，
∵AB=AC，
∴∠AOC=∠AOB，
则
即∠AOC的度数为130°，
∴的度数是130°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角与弧的关系求出∠BOC=100°，根据在同圆中等弦所对的圆心角相等可得∠AOC=∠AOB，求出∠AOC=130°，即可求解．
14．【答案】解：∵∠AOD=∠BOC ，
∴∠AOD-∠AOC=∠BOC-∠AOC，
即∠AOB=∠COD，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，据此解答即可.
15．【答案】解：连结OP ，OA，OC，作OE⊥PA于点E，OF⊥PC于点F．
∵OA=OC，PA=PB，OP=OP
∴△APO≌△CPO（SSS）
∴∠APO=∠CPO，
∴OE=OF ，
∴．
【知识点】角平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】连结OP ，OA，OC，作OE⊥PA于点E，OF⊥PC于点F，利用SSS可证得△APO≌△CPO，利用全等三角形的性质可证得∠APO=∠CPO；再利用角平分线的性质可得到OE=OF ；然后利用弧，圆心角，弦，弦心距的关系，可证得结论.
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一、填空题
1．顶点在 的角叫作圆心角．
【答案】圆心
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解： 顶点在圆心的角是圆心角.
故答案为：圆心.
【分析】 根据圆心角的定义来判断.
2． 相等的圆叫作等圆；同心圆的 相同， 不同．
能 的圆弧叫作相等的弧，简称“等弧”，等弧只可能存在于同圆或 中．
【答案】半径；圆心；半径；完全重合；等圆
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】 解： 半径相等的圆叫作等圆；同心圆的圆心相同，半径不同．能完全重合的圆弧叫作相等的弧，简称“等弧”，等弧只可能存在于同圆或等圆中．
故答案为： 半径 ；圆心；半径；完全重合；等圆.
【分析】根据等圆、 同心圆 和 等弧 的定义求解.
3．圆既是 对称图形，又是 对称图形，它的对称轴是 ，对称中心是 .
【答案】轴；中心；直径所在的直线；圆心
【知识点】圆的相关概念；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的对称轴是直径所在的直线，对称中心是圆心.
故答案为：轴，中心，直径所在的直线，圆心.
【分析】利用轴对称图形和中心对称图形的定义可得答案.
4．根据圆的旋转不变性，得到了圆心角与 、弦、 之间的关系．
【答案】弧；弦心距
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 根据圆的旋转不变性，得到了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，
故答案为：弧、弦心距.
【分析】根据圆旋转不变性，即可得出答案.
5．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 、两条 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．
【答案】弧；弦；弦心距
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等 .
故答案为：弧，弦，弦心距.
【分析】利用圆心角、弧、弦、弦心距的关系，可得答案.
6．（2016九上·营口期中）一条弦把圆分为2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ．
【答案】72°或108°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB．
弦AB将⊙O分为2：3两部分，
则∠AOB= ×360°=144°；
∴∠ACB= ∠AOB=72°，
∠ADB=180°﹣∠ACB=108°；
故这条弦所对的圆周角的度数为72°或108°．
【分析】先求出这条弦所对圆心角的度数，然后分情况讨论这条弦所对圆周角的度数．
二、选择题
7．下列命题正确的是（ ）．
A．相等的圆心角所对的弦相等 B．相等的圆心角所对的弧相等
C．相等的弦所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故A不符合题意；
B、在同圆和等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等 ，故B不符合题意；
C、在同圆和等圆中， 相等的弦所对的弧相等 ，故C不符合题意；
D、 等弧所对的圆心角相等，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可对A作出判断；在同圆和等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，可对B作出判断；在同圆和等圆中， 相等的弦所对的弧相等，可对C作出判断；根据等弧所对的圆心角相等，可对D作出判断.
8．（2023九上·路北期中）在⊙O中，则弦AB与弦CD的大小关系是（ ）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 取的中点E，连接、，则，
，
在中，，即，
则，
故答案为：C．
【分析】根据两弧的关系，作出 的中点E，则，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论．
9．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
10．已知AB是⊙O的直径，的度数为60°，⊙O的半径为2cm，则弦AC的长为（ ）
A．2cm B．cm C．1cm D．cm
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由题意得：∠AOC=60°，OA=OC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=2cm.
故答案为：2cm.
【分析】由题知的度数可得弧所对圆心角的度数，得出∠AOC=60°，又由半径相等，可得△OAC是等边三角形，从而求出AC的长即可解答.
11．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上一点．若∠BOC=40° ，则∠D的度数为（ ）．
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据邻补角的定义求出∠AOC的度数，再利用圆周角定理求解即可.
12．若和所对的圆心角，则下列命题中，正确的是（ ）.
A．=
B．所对的弦和所对的弦相等
C．与的长度相等
D．与的度数相等
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，弧所对的弦相等，
∴A，B，C不符合题意；
∵圆心角的度数和它所对的弧的度数相等， 若和所对的圆心角
∴和的度数相等，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可对A，C，B作出判断；再根据圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，可对D作出判断.
三、解答题
13．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OC．已知AB=AC，的度数为100°，求∠AOC和的度数．
【答案】解：∵的度数是100°，
即∠BOC=100°，
∵AB=AC，
∴∠AOC=∠AOB，
则
即∠AOC的度数为130°，
∴的度数是130°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角与弧的关系求出∠BOC=100°，根据在同圆中等弦所对的圆心角相等可得∠AOC=∠AOB，求出∠AOC=130°，即可求解．
14．已知：如图，在⊙O中，∠AOD=∠BOC．求证：AB=CD．
【答案】解：∵∠AOD=∠BOC ，
∴∠AOD-∠AOC=∠BOC-∠AOC，
即∠AOB=∠COD，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，据此解答即可.
15．已知：如图，∠APC的顶点P在⊙O外，角的两边分别交⊙O于点A，B和点C，D，且PA=PC．求证： =．
【答案】解：连结OP ，OA，OC，作OE⊥PA于点E，OF⊥PC于点F．
∵OA=OC，PA=PB，OP=OP
∴△APO≌△CPO（SSS）
∴∠APO=∠CPO，
∴OE=OF ，
∴．
【知识点】角平分线的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】连结OP ，OA，OC，作OE⊥PA于点E，OF⊥PC于点F，利用SSS可证得△APO≌△CPO，利用全等三角形的性质可证得∠APO=∠CPO；再利用角平分线的性质可得到OE=OF ；然后利用弧，圆心角，弦，弦心距的关系，可证得结论.
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