【培优卷】3.2圆的对称性—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·期末）如图所示，AB是的弦，于点，交于点.下列说法中，错误的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AD=BD，，故A，C不符合题意；
∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，
∵，
∴∠ACB=∠AOB，
∴∠ACB=∠AOE，故B不符合题意；
不能证明OD=DE，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用垂径定理可证得AD=BD，，可对A，C作出判断；再利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可证得∠AOE=∠BOE，利用圆周角定理可证得∠ACB=∠AOB，由此可证得∠ACB=∠AOE，可对B作出判断；利用已知不能证明OD=DE，可对D作出判断.
2．（2023九上·西山期中）如图，AB是⊙O的直径，已知，，那么∠COE的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】
同理，
故选：C
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等定理，先判定OE和OC是所在角的平分线，再根据图中角的提示进行等量代换，计算的度数。
3．如图，在⊙O中，=．有下列结论：
①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=．
其中正确的有（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，，
∴AB=CD，①正确；
∵为公共弧，
∴，
即，④正确；
∴AC=BD，②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：B.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD；结合题意可得；根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AC=BD，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，即可得出答案.
4．如图所示，C，D为半圆的三等分点，有下列说法：①；②∠AOD=∠DOC=∠BOC；③AD=CD=OC；④△AOD沿OD翻折后与△COD重合.其中正确的是（ ）.
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ C，D为半圆的三等分点，
∴，故①正确；
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②正确；
∵OD=OC，
∴△DOC是等边三角形，
∴AD=CD=OC，故③正确；
同理可知△AOD和△DOC是等边三角形，
∴△AOD沿OD翻折后与△COD重合，故④正确；
∴故答案为：A.
【分析】利用C，D为半圆的三等分点，可知，可对①作出判断；利用圆心角，弧，弦之间的关系定理，可对②③作出判断；利用折叠的性质，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
5．（2023·宁乡市模拟） 如图，是的直径，点为圆上一点，是弧的中点，与交于点若是的中点，半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD交AC与点F
由题意可得：OD⊥AC
在和中
在中，
故答案为：B
【分析】连接OD交AC与点F，根据圆性质，直线平行性质可得，在根据全等三角形性质，勾股定理即可求出答案。
6．（2022九上·武义期末）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理"在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、弦这三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等"并结合题意即可判断求解.
7．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时位于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（ ）．
A．52° B．60° C．72° D．76°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠BAO=∠CBO=α，
∴∠AOB=∠COB=∠COD=∠DOE，
∵ ∠AOE=56° ，
∴∠AOB=（360°-56°）÷4=76°，
∴α=∠BAO=（180°-∠AOB）=52°，
故答案为：A.
【分析】可通过求出∠AOB的度数进而求出α，由已知条件，可知∠AOB=∠COB=∠COD=∠DOE，进而可求解.
8．（2023·河北）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：连接 ，
∵点 是 的八等分点，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 的周长为 ，
∴四边形 的周长为 ，
∴
∵，
∴
故答案为：A
【分析】连接 ，先根据题意得到，进而根据相等的弧对等的弦的相等即可得到 ， ，从而得到，再根据题意结合三角形三边关系即可求解。
二、填空题
9．如图所示，AB是的直径，，点在上，是弧MB的中点，是直径AB上的一动点，若，则的周长的最小值为 .
【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接M'N交AB于点P'，当点P运动到点P'的位置时，△PMN的周长最小，再连接MP'与ON、OM'，
∵M、M'关于AB对称，
∴弧MB=弧M'B，
∵∠MAB=20°，
∴弧MB与弧M'B的度数都是40°，
∴∠M'OB=40°，
∵点N是弧MB的中点，
∴弧NB的度数为20°，
∴∠NOB=20°，
∴∠NOM'=∠NOB+∠M'OB=60°，
又∵ON=OM'，
∴△ONM'是等边三角形，
∴M'N=ON=4，
∵点M与点M'关于AB对称，
∴M'P=MP，
∴M'P+NP'=MP'+NP'=M'N=4，
∴△MNP'的周长的最小值为MP'+NP'+MN=4+1=5.
故答案为：5.
【分析】作点M关于AB的对称点M'，连接M'N交AB于点P'，当点P运动到点P'的位置时，△PMN的周长最小，再连接MP'与ON、OM'，根据轴对称的性质及弧、弦、圆心角的关系可得∠M'OB=40°，∠NOB=20°，进而判断出△ONM'是等边三角形，得M'N=ON=4，再根据轴对称的性质得M'P=MP，即M'P+NP'=MP'+NP'=M'N=4，从而即可求出△MNP的周长的最小值了.
10．如图所示，MN是的直径，是半圆的一个三等分点，是的中点，点是点关于MN的对称点，的半径为1，则的长等于 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OB，OB′，
∵点A是半圆O的一个三等分点，
∴∠AOB=×180°=60°，
∵点B 是的中点，
∴，
∴∠BON=∠AOB=30°，
∵ 点是点关于MN的对称点，
∴，
∴∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴
故答案为：.
【分析】连接OB，OB′，利用已知可得到∠AOB=60°，根据点B 是的中点，可证得，由此求出∠BON的度数；再利用轴对称的性质可推出∠B′ON=∠BON=30°，即可求出∠AOB′的度数，可证得△AOB′是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出AB′的长.
11．（2023·荔湾模拟）如图，是的弦，交于点P，过点B的直线交的延长线于点C，若，，，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
设，则，
在中，，，
∵，
∴，
解得：，
即的长为4．
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．（2023·泉州模拟）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点D.若，，则＝ .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设翻折前点D的对应点是点，连接、、、、，如图：
则：
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】设翻折前点D的对应点是点D′，连接DD′、AD′、BD′、BD、BC，根据弧、弦的关系可得AD′=AD=BD′=BD，推出四边形ADBD′是菱形，∠BAD=∠BAD′=∠DAD′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠BDC=∠ABC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的性质可得AD=CD，据此求解.
三、解答题
13．如图，A 是⊙O上的一个六等分点，B是的中点，P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1．
（1） 找出当AP+BP取最小值时，点P的位置．
（2）求AP+BP的最小值．
【答案】（1）解：如图，过点A作弦AA'⊥MN于点E，连结BA'，交MN于点P．
根据圆的轴对称性，AP= PA'，∴AP+BP=PA'+BP．
根据两点之间线段最短，当A'，P，B三点共线时，PA'+BP取得最小值BA'，
即AP+BP=BA'，∴点P位于A'B与MN的交点处．
（2）解：由题意，得∠AON=∠A'ON=60°，∠BON=30°，∴∠BOA'=90°．
又∵OB=OA'=1，∴BA'= ，即AP+BP的最小值为．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）过点A作弦AA'⊥MN于点E，连结BA'，交MN于点P，画出图形；利用圆的轴对称性，可推出AP+BP=PA'+BP，当A'，P，B三点共线时，PA'+BP取得最小值BA'，可得到点P位于A'B与MN的交点处.
（2）利用作图去证明∠BOA'=90°，利用勾股定理求出BA'的长即可.
14．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°．以B为圆心，AB为半径作圆，交AC于点D，交BC于点E．
（1）求的度数．
（2）求证：D是AC的中点．
【答案】（1）解：如图，连结BD．
∵ 在△ABC中，∠B=90°，∠C=30° ，
∴∠A=60°，
∵BA= BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD= 60°，
∴∠DBE=∠ABC-∠ABD= 30°，
∴的度数为30°；
（2）证明：由（1）得△ABD为等边三角形，
∴DB=AD，
∵∠DBC=∠C=30°，
∴DC=DB，
∴DC=AD，即D为AC的中点．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）如图，连结BD，由三角形的内角和得∠A=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质得∠ABD= 60°，进而根据角的和差求出∠DBE的度数，最后根据圆心角、弧的关系可得答案；
（2）由等边三角形的性质得DB=AD，由等角对等边得DC=DB，从而由等量代换得DC=AD，即D为AC的中点．
15．在中，AB和CD是的两条弦.
（1）如图甲所示，AB，CD相交于圆内点，求证：.
（2）如图乙所示，若AB，CD相交于圆外一点，上述结论还成立吗 若不成立，写出一个类似的结论，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，BO，BD
∴
同理
∵∠APC=∠ADC+∠BAD，
∴；
（2）解：（1）的结论不成立，类似的结论为：；
如图，连接AC，AO，DO
∴
同理
∵∠APC=∠ACD-∠CAP，
∴.
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先将两弧的夹角利用三角形外角性质转换为圆周角关系，进而结合同弧所对圆心角和圆周角关系即推得该结论；
（2）方法同(1)转化类似推理；
1 / 1【培优卷】3.2圆的对称性—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·期末）如图所示，AB是的弦，于点，交于点.下列说法中，错误的是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023九上·西山期中）如图，AB是⊙O的直径，已知，，那么∠COE的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
3．如图，在⊙O中，=．有下列结论：
①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=．
其中正确的有（ ）
A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③
4．如图所示，C，D为半圆的三等分点，有下列说法：①；②∠AOD=∠DOC=∠BOC；③AD=CD=OC；④△AOD沿OD翻折后与△COD重合.其中正确的是（ ）.
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
5．（2023·宁乡市模拟） 如图，是的直径，点为圆上一点，是弧的中点，与交于点若是的中点，半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·武义期末）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时位于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是（ ）．
A．52° B．60° C．72° D．76°
8．（2023·河北）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．a，b大小无法比较
二、填空题
9．如图所示，AB是的直径，，点在上，是弧MB的中点，是直径AB上的一动点，若，则的周长的最小值为 .
10．如图所示，MN是的直径，是半圆的一个三等分点，是的中点，点是点关于MN的对称点，的半径为1，则的长等于 .
11．（2023·荔湾模拟）如图，是的弦，交于点P，过点B的直线交的延长线于点C，若，，，则的长为 ．
12．（2023·泉州模拟）如图，是的弦（不是直径），将沿翻折交于点D.若，，则＝ .
三、解答题
13．如图，A 是⊙O上的一个六等分点，B是的中点，P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1．
（1） 找出当AP+BP取最小值时，点P的位置．
（2）求AP+BP的最小值．
14．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°．以B为圆心，AB为半径作圆，交AC于点D，交BC于点E．
（1）求的度数．
（2）求证：D是AC的中点．
15．在中，AB和CD是的两条弦.
（1）如图甲所示，AB，CD相交于圆内点，求证：.
（2）如图乙所示，若AB，CD相交于圆外一点，上述结论还成立吗 若不成立，写出一个类似的结论，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AD=BD，，故A，C不符合题意；
∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，
∵，
∴∠ACB=∠AOB，
∴∠ACB=∠AOE，故B不符合题意；
不能证明OD=DE，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用垂径定理可证得AD=BD，，可对A，C作出判断；再利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可证得∠AOE=∠BOE，利用圆周角定理可证得∠ACB=∠AOB，由此可证得∠ACB=∠AOE，可对B作出判断；利用已知不能证明OD=DE，可对D作出判断.
2．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】
同理，
故选：C
【分析】根据同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等定理，先判定OE和OC是所在角的平分线，再根据图中角的提示进行等量代换，计算的度数。
3．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，，
∴AB=CD，①正确；
∵为公共弧，
∴，
即，④正确；
∴AC=BD，②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确．
故答案为：B.
【分析】根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AB=CD；结合题意可得；根据在同圆中，等弧所对的弦相等可得AC=BD，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ C，D为半圆的三等分点，
∴，故①正确；
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②正确；
∵OD=OC，
∴△DOC是等边三角形，
∴AD=CD=OC，故③正确；
同理可知△AOD和△DOC是等边三角形，
∴△AOD沿OD翻折后与△COD重合，故④正确；
∴故答案为：A.
【分析】利用C，D为半圆的三等分点，可知，可对①作出判断；利用圆心角，弧，弦之间的关系定理，可对②③作出判断；利用折叠的性质，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD交AC与点F
由题意可得：OD⊥AC
在和中
在中，
故答案为：B
【分析】连接OD交AC与点F，根据圆性质，直线平行性质可得，在根据全等三角形性质，勾股定理即可求出答案。
6．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意.
故答案为：D
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理"在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、弦这三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等"并结合题意即可判断求解.
7．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接OD，
∵∠BAO=∠CBO=α，
∴∠AOB=∠COB=∠COD=∠DOE，
∵ ∠AOE=56° ，
∴∠AOB=（360°-56°）÷4=76°，
∴α=∠BAO=（180°-∠AOB）=52°，
故答案为：A.
【分析】可通过求出∠AOB的度数进而求出α，由已知条件，可知∠AOB=∠COB=∠COD=∠DOE，进而可求解.
8．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：连接 ，
∵点 是 的八等分点，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 的周长为 ，
∴四边形 的周长为 ，
∴
∵，
∴
故答案为：A
【分析】连接 ，先根据题意得到，进而根据相等的弧对等的弦的相等即可得到 ， ，从而得到，再根据题意结合三角形三边关系即可求解。
9．【答案】5
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点M关于AB的对称点M'，连接M'N交AB于点P'，当点P运动到点P'的位置时，△PMN的周长最小，再连接MP'与ON、OM'，
∵M、M'关于AB对称，
∴弧MB=弧M'B，
∵∠MAB=20°，
∴弧MB与弧M'B的度数都是40°，
∴∠M'OB=40°，
∵点N是弧MB的中点，
∴弧NB的度数为20°，
∴∠NOB=20°，
∴∠NOM'=∠NOB+∠M'OB=60°，
又∵ON=OM'，
∴△ONM'是等边三角形，
∴M'N=ON=4，
∵点M与点M'关于AB对称，
∴M'P=MP，
∴M'P+NP'=MP'+NP'=M'N=4，
∴△MNP'的周长的最小值为MP'+NP'+MN=4+1=5.
故答案为：5.
【分析】作点M关于AB的对称点M'，连接M'N交AB于点P'，当点P运动到点P'的位置时，△PMN的周长最小，再连接MP'与ON、OM'，根据轴对称的性质及弧、弦、圆心角的关系可得∠M'OB=40°，∠NOB=20°，进而判断出△ONM'是等边三角形，得M'N=ON=4，再根据轴对称的性质得M'P=MP，即M'P+NP'=MP'+NP'=M'N=4，从而即可求出△MNP的周长的最小值了.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接OB，OB′，
∵点A是半圆O的一个三等分点，
∴∠AOB=×180°=60°，
∵点B 是的中点，
∴，
∴∠BON=∠AOB=30°，
∵ 点是点关于MN的对称点，
∴，
∴∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴
故答案为：.
【分析】连接OB，OB′，利用已知可得到∠AOB=60°，根据点B 是的中点，可证得，由此求出∠BON的度数；再利用轴对称的性质可推出∠B′ON=∠BON=30°，即可求出∠AOB′的度数，可证得△AOB′是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出AB′的长.
11．【答案】4
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
设，则，
在中，，，
∵，
∴，
解得：，
即的长为4．
故答案为：4．
【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设翻折前点D的对应点是点，连接、、、、，如图：
则：
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：
∴，
∴
∵，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】设翻折前点D的对应点是点D′，连接DD′、AD′、BD′、BD、BC，根据弧、弦的关系可得AD′=AD=BD′=BD，推出四边形ADBD′是菱形，∠BAD=∠BAD′=∠DAD′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠BDC=∠ABC，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的性质可得AD=CD，据此求解.
13．【答案】（1）解：如图，过点A作弦AA'⊥MN于点E，连结BA'，交MN于点P．
根据圆的轴对称性，AP= PA'，∴AP+BP=PA'+BP．
根据两点之间线段最短，当A'，P，B三点共线时，PA'+BP取得最小值BA'，
即AP+BP=BA'，∴点P位于A'B与MN的交点处．
（2）解：由题意，得∠AON=∠A'ON=60°，∠BON=30°，∴∠BOA'=90°．
又∵OB=OA'=1，∴BA'= ，即AP+BP的最小值为．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）过点A作弦AA'⊥MN于点E，连结BA'，交MN于点P，画出图形；利用圆的轴对称性，可推出AP+BP=PA'+BP，当A'，P，B三点共线时，PA'+BP取得最小值BA'，可得到点P位于A'B与MN的交点处.
（2）利用作图去证明∠BOA'=90°，利用勾股定理求出BA'的长即可.
14．【答案】（1）解：如图，连结BD．
∵ 在△ABC中，∠B=90°，∠C=30° ，
∴∠A=60°，
∵BA= BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD= 60°，
∴∠DBE=∠ABC-∠ABD= 30°，
∴的度数为30°；
（2）证明：由（1）得△ABD为等边三角形，
∴DB=AD，
∵∠DBC=∠C=30°，
∴DC=DB，
∴DC=AD，即D为AC的中点．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）如图，连结BD，由三角形的内角和得∠A=60°，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质得∠ABD= 60°，进而根据角的和差求出∠DBE的度数，最后根据圆心角、弧的关系可得答案；
（2）由等边三角形的性质得DB=AD，由等角对等边得DC=DB，从而由等量代换得DC=AD，即D为AC的中点．
15．【答案】（1）证明：连接AD，BO，BD
∴
同理
∵∠APC=∠ADC+∠BAD，
∴；
（2）解：（1）的结论不成立，类似的结论为：；
如图，连接AC，AO，DO
∴
同理
∵∠APC=∠ACD-∠CAP，
∴.
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先将两弧的夹角利用三角形外角性质转换为圆周角关系，进而结合同弧所对圆心角和圆周角关系即推得该结论；
（2）方法同(1)转化类似推理；
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