【提升卷】3.2圆的对称性—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·太和期中）下列说法：
①直径是最长的弦；
②弦是直径；
③半径相等的两个半圆是等弧；
④长度相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆；
其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在⊙O中，已知 =2，则AB与2CD的大小关系是（ ）．
A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．不确定
3．（2022九上·永康月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70° B．55° C．35° D．20°
4．如图，圆心角∠AOB=25°．将∠AOB绕点O旋转n°得到∠COD，则的度数为（ ）．
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
5．如图所示，在中，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
6．（2023·西和模拟） 利用圆的等分，在半径为的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·隆昌模拟）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
8．（2023·武功模拟）如图，，是的弦，连接，，，延长交于点E，连接，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，AB，CD是⊙O的直径．若∠AOC=70°，则的度数是 ，的度数是 ，的度数是 .
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点．若∠BOC=40°，则∠AOE的大小是 ．
11．如图所示，的半径，点在上，且，连结 ，弦AD的长为 .
12．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是
三、作图题
13．（2023·长安模拟）如图，已知扇形，请用尺规作图，在上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）.
四、解答题
14．已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD．求证：AD=BC．
15．如图所示，在中，，求和的度数.
16．如图所示，AB是的弦，C，D是弦AB上的两点，且，延长OC，OD分别交于点E，F.求证：.
17．如图所示，在中，C是的中点，D，E分别是OA，OB上的点，且AD=BE，弦CM，CN分别过点D，E.求证：
（1）CD=CE.
（2）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】
①直径是最长的弦； 正确
②弦是直径；错误；
③半径相等的两个半圆是等弧；正确；
④长度相等的两条弧是等弧；错误；
⑤半径相等的两个圆是等圆；正确；
说法正确的是①③⑤，共3个
故答案为：C
【分析】本题考查圆的基础知识。直径是最长的弦，但弦可以不是直径。半径相等的两个半圆是等弧，半径相等的两个圆是等圆，弧长涉及圆心角和半径，则弧长相等不一定是等弧线。熟悉基础知识是关键。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，
∴ =，
∵ =2，
∴，
∴CD=BE=AE，
∵AE+BE＞BA，
∴2CD＞AB.
故答案为：C.
【分析】取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，结合已知条件，可证得，利用在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得CD=BE=AE，利用三角形的三边关系，可得到AB与2CD的大小关系.
3．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠B＝70°，
∴ 的度数是140°，
∵D是 的中点，
∴ 和 的度数都是70°，
∴∠CAD＝ 70°＝35°，
故答案为：C．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可得弧ADC的度数，进而根据中点的定义可得弧AD与弧CD的度数，最后根据圆周角的度数等于所对弧的度数的一半即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：∵圆心角∠AOB=25°，将∠AOB绕点O旋转n°得到∠COD，
∴∠COD=∠AOD-∠DOB=25°+n°-n°=25°.
∴的度数为25°.
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质，结合∠AOB，求出∠COD，即可求得的度数.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=（180°-30°）=75°.
故答案为B：.
【分析】利用同圆和等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得AB=AC，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B的度数.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】
连接OA，OB，AB，则OA＝OB，
根据题意可知∠AOB＝360°÷6＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3
故答案为：A
【分析】
根据题意可知圆周被6等分，连接OA，OB，AB，△AOB为等边三角形。
7．【答案】C
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵BD是的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠B=∠D=45°，
∵∠COD=126°，
∴∠DAC=∠COD=×126°=63°，
∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°，
故答案为：C.
【分析】先求出∠B=∠D=45°，再利用角的运算求出∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°即可。
8．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠COD=2∠E=70°，
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠AOB=∠COD=70°.
故答案为：C.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠COD的度数，然后根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等可得答案.
9．【答案】70°；70°；110°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在⊙O中，若∠AOC=70°，则的度数是70°，
∵∠BOD=∠AOC=70°，
∴的度数是70°，∠AOD=180°-∠BOD=110°，
∴的度数是110°，
故答案为：70°，70°，110°.
【分析】在圆中，1°的弧所对的圆心角为1°，据此求解即可.
10．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ C，D是的三等分点，∠BOC=40°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=40°，
∴∠BOE=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°，
故答案为：60°.
【分析】在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，据此可求出∠AOE的度数，再利用邻补角的定义求解即可.
11．【答案】30°；4
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOD+∠DOC=90°，
∵，
∴∠AOD=2∠COD，
∴2∠COD+∠DOC=90°，
解之：∠COD=30°，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=4.
故答案为：30°，4.
【分析】利用垂直的定义可知∠AOD+∠DOC=90°，利用圆心角和它所对的弧的度数之间的关系，可求出∠COD，∠AOD，再利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证△AOD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AD的长.
12．【答案】120°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点O作OG⊥AB，交圆O于点G，交AB于点H，连接AG，AO，BO，
由折叠得GH=OH，
∴AG=AO，
∵AO=OG，
∴AO=OG=AG，
∴△AGO是等边三角形，
∴∠AOG=60°，
同理∠BOG=60°，
∴∠BOA=120°，
∴弧AB的度数是120°.
故答案为：120°.
【分析】过点O作OG⊥AB，交圆O于点G，交AB于点H，连接AG，AO，BO，由折叠得GH=OH，根据线段垂直平分线性质可得AG=AO，结合同圆半径相等可推出△AGO是等边三角形，则∠AOG=60°，同理∠BOG=60°，进而由角的和差及圆心角、弧的关系可得答案.
13．【答案】解：作的角平分线：以点A，点B分别为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点O，交与点P，连接，，如图，
则，
∴.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】利用尺规作图法作出∠AOB的角平分线OP，交弧AB于点P，点P就是所求的点，根据相等的圆心角所对的弧相等得弧AP=弧BP，由等弧所对的弦相等即可得出PA=PB.
14．【答案】证明：由AB=CD，得，
则，
∴，
∴AD= BC．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】利用在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等，可证得，即可推出，由此可证得结论.
15．【答案】解：连接OC，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠DOC+∠BOC=90°，
∴∠B=90°-∠A=90°-35°=55°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB=55°，
∴∠BOC=180°-∠B-∠OCB=180°-55°-55°=70°，
∴∠DOC=90°-70°=20°，
∴的度数为20°，的度数为70°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OC，利用垂直的定义可知∠DOC+∠BOC=90°，利用直角三角形的两锐角互余可求出∠B的度数，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠BOC，∠DOC的度数，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，分别求出和的度数.
16．【答案】证明：如图，过点作于点.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】过点O作OG⊥AB于点G，利用等腰三角形的性质可证得∠COG=∠DOG，∠AOG=∠BOG，由此可推出∠AOE=∠BOF，利用再同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，可证得结论.
17．【答案】（1）解：连结OC.
∵C是的中点，
.
（2）解：连结OM，ON.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用弧的中点可证得，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得∠COD=∠COE，由AD=BE，可证得OD=OE，利用SAS证明△COD≌△COE，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）连接OM，ON，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质及三角形的外角的性质去证明∠MOD=∠NOE，再利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得结论.
1 / 1【提升卷】3.2圆的对称性—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·太和期中）下列说法：
①直径是最长的弦；
②弦是直径；
③半径相等的两个半圆是等弧；
④长度相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆；
其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】
①直径是最长的弦； 正确
②弦是直径；错误；
③半径相等的两个半圆是等弧；正确；
④长度相等的两条弧是等弧；错误；
⑤半径相等的两个圆是等圆；正确；
说法正确的是①③⑤，共3个
故答案为：C
【分析】本题考查圆的基础知识。直径是最长的弦，但弦可以不是直径。半径相等的两个半圆是等弧，半径相等的两个圆是等圆，弧长涉及圆心角和半径，则弧长相等不一定是等弧线。熟悉基础知识是关键。
2．如图，在⊙O中，已知 =2，则AB与2CD的大小关系是（ ）．
A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．不确定
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，
∴ =，
∵ =2，
∴，
∴CD=BE=AE，
∵AE+BE＞BA，
∴2CD＞AB.
故答案为：C.
【分析】取劣弧AB的中点E，连接AE，BE，结合已知条件，可证得，利用在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得CD=BE=AE，利用三角形的三边关系，可得到AB与2CD的大小关系.
3．（2022九上·永康月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70° B．55° C．35° D．20°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠B＝70°，
∴ 的度数是140°，
∵D是 的中点，
∴ 和 的度数都是70°，
∴∠CAD＝ 70°＝35°，
故答案为：C．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可得弧ADC的度数，进而根据中点的定义可得弧AD与弧CD的度数，最后根据圆周角的度数等于所对弧的度数的一半即可得出答案.
4．如图，圆心角∠AOB=25°．将∠AOB绕点O旋转n°得到∠COD，则的度数为（ ）．
A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 解：∵圆心角∠AOB=25°，将∠AOB绕点O旋转n°得到∠COD，
∴∠COD=∠AOD-∠DOB=25°+n°-n°=25°.
∴的度数为25°.
故答案为：A.
【分析】根据旋转的性质，结合∠AOB，求出∠COD，即可求得的度数.
5．如图所示，在中，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=（180°-30°）=75°.
故答案为B：.
【分析】利用同圆和等圆中，相等的弧所对的弦相等，可证得AB=AC，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B的度数.
6．（2023·西和模拟） 利用圆的等分，在半径为的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】
连接OA，OB，AB，则OA＝OB，
根据题意可知∠AOB＝360°÷6＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝3
故答案为：A
【分析】
根据题意可知圆周被6等分，连接OA，OB，AB，△AOB为等边三角形。
7．（2023·隆昌模拟）如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
【答案】C
【知识点】角的运算；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵BD是的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴∠B=∠D=45°，
∵∠COD=126°，
∴∠DAC=∠COD=×126°=63°，
∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°，
故答案为：C.
【分析】先求出∠B=∠D=45°，再利用角的运算求出∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°即可。
8．（2023·武功模拟）如图，，是的弦，连接，，，延长交于点E，连接，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠COD=2∠E=70°，
∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠AOB=∠COD=70°.
故答案为：C.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠COD的度数，然后根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等可得答案.
二、填空题
9．如图，AB，CD是⊙O的直径．若∠AOC=70°，则的度数是 ，的度数是 ，的度数是 .
【答案】70°；70°；110°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： 在⊙O中，若∠AOC=70°，则的度数是70°，
∵∠BOD=∠AOC=70°，
∴的度数是70°，∠AOD=180°-∠BOD=110°，
∴的度数是110°，
故答案为：70°，70°，110°.
【分析】在圆中，1°的弧所对的圆心角为1°，据此求解即可.
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是的三等分点．若∠BOC=40°，则∠AOE的大小是 ．
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ C，D是的三等分点，∠BOC=40°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=40°，
∴∠BOE=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°，
故答案为：60°.
【分析】在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，据此可求出∠AOE的度数，再利用邻补角的定义求解即可.
11．如图所示，的半径，点在上，且，连结 ，弦AD的长为 .
【答案】30°；4
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOD+∠DOC=90°，
∵，
∴∠AOD=2∠COD，
∴2∠COD+∠DOC=90°，
解之：∠COD=30°，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=4.
故答案为：30°，4.
【分析】利用垂直的定义可知∠AOD+∠DOC=90°，利用圆心角和它所对的弧的度数之间的关系，可求出∠COD，∠AOD，再利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证△AOD是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AD的长.
12．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是
【答案】120°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点O作OG⊥AB，交圆O于点G，交AB于点H，连接AG，AO，BO，
由折叠得GH=OH，
∴AG=AO，
∵AO=OG，
∴AO=OG=AG，
∴△AGO是等边三角形，
∴∠AOG=60°，
同理∠BOG=60°，
∴∠BOA=120°，
∴弧AB的度数是120°.
故答案为：120°.
【分析】过点O作OG⊥AB，交圆O于点G，交AB于点H，连接AG，AO，BO，由折叠得GH=OH，根据线段垂直平分线性质可得AG=AO，结合同圆半径相等可推出△AGO是等边三角形，则∠AOG=60°，同理∠BOG=60°，进而由角的和差及圆心角、弧的关系可得答案.
三、作图题
13．（2023·长安模拟）如图，已知扇形，请用尺规作图，在上求作一点P，使（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】解：作的角平分线：以点A，点B分别为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点O，交与点P，连接，，如图，
则，
∴.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】利用尺规作图法作出∠AOB的角平分线OP，交弧AB于点P，点P就是所求的点，根据相等的圆心角所对的弧相等得弧AP=弧BP，由等弧所对的弦相等即可得出PA=PB.
四、解答题
14．已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD．求证：AD=BC．
【答案】证明：由AB=CD，得，
则，
∴，
∴AD= BC．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】利用在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等，可证得，即可推出，由此可证得结论.
15．如图所示，在中，，求和的度数.
【答案】解：连接OC，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠DOC+∠BOC=90°，
∴∠B=90°-∠A=90°-35°=55°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB=55°，
∴∠BOC=180°-∠B-∠OCB=180°-55°-55°=70°，
∴∠DOC=90°-70°=20°，
∴的度数为20°，的度数为70°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OC，利用垂直的定义可知∠DOC+∠BOC=90°，利用直角三角形的两锐角互余可求出∠B的度数，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠BOC，∠DOC的度数，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，分别求出和的度数.
16．如图所示，AB是的弦，C，D是弦AB上的两点，且，延长OC，OD分别交于点E，F.求证：.
【答案】证明：如图，过点作于点.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】过点O作OG⊥AB于点G，利用等腰三角形的性质可证得∠COG=∠DOG，∠AOG=∠BOG，由此可推出∠AOE=∠BOF，利用再同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，可证得结论.
17．如图所示，在中，C是的中点，D，E分别是OA，OB上的点，且AD=BE，弦CM，CN分别过点D，E.求证：
（1）CD=CE.
（2）.
【答案】（1）解：连结OC.
∵C是的中点，
.
（2）解：连结OM，ON.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用弧的中点可证得，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得∠COD=∠COE，由AD=BE，可证得OD=OE，利用SAS证明△COD≌△COE，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）连接OM，ON，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质及三角形的外角的性质去证明∠MOD=∠NOE，再利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得结论.
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