【基础卷】3.3 垂径定理—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、填空题
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ，这里的“弧"包括弦所对的两条弧．
2．⑴垂径定理由圆的轴对称性得到．
⑵用垂径定理进行计算或证明时，常常通过作半径和 构造直角三角形．
⑶“平分弦”“平分弧”“垂直弦”等条件常可联系到垂径定理的条件和结论的关系．
3．⑴平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且平分弦 .
⑵平分弧的直径 弧所对的弦．定理中直径平分的弧可以是弦所对的两条弧中的任意一条．
⑶圆的任意一条弦的 必定经过圆心．
⑷垂径定理及其逆定理跟圆的轴对称性密切相关．
4．平分弦(不是 )的直径 于弦，并且 弦所对的弧.
5．①弦心距指圆心到圆的一条 的距离．在同一个圆中，弦长越大，弦心距越小；弦长越小，弦心距 .
②弦长、弦心距、半径这三个量中，只要知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
6．如图，在⊙O中，直径AB交弦CD(不是直径)于点E．根据条件写出你认为正确的结论：
（1）若AB⊥CD，则有
（2）若CE=ED，则有
（3）若 =，则有
7．在⊙O中，弦AB的弦心距为4，∠AOB=90°，则⊙O的直径长为
二、选择题
8．（2023九上·诸暨月考）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
9．（2023九上·洞头期中） 如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2022九上·上城期中）一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心O到水面的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2024九上·天津市期中）如图，为的直径，弦于点，已知，则的长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OC=5 cm，CD=6 cm，则AE=（ ）．
A．4cm B．3cm C．9cm D．8cm
13．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为( )
A．1 cm B．7cm C．3 cm或4 cm D．1cm 或7cm
14．（2023九上·石家庄期中） 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面的宽度为，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，AB是半圆O的直径，AC、BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD=1.5，则BC=（ ）
A．4.5 B．3 C．2 D．1.5
16．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( )
A．3 B．4 C． D．
三、解答题
17．一根排水管的截面如图所示．已知水面宽AB=8dm，测得排水管内水的最大深度为2dm，求排水管截面的半径．
18．如图，⊙O为一张直径为6的圆形纸片，现将⊙O上任意一点P与圆心O重合折叠，得折痕AB．求折痕AB的长．
19．已知：如图，⊙O的直径EF分别交弦AB，CD于点G，H，且AG=BG，CH=DH．求证：AB∥CD．
20．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D．问：AC与BD相等吗？为什么？
21．（2023九上·余姚期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．求残片所在圆的面积．
22．（2023九上·吉林期中）如图①是从正面看到的一个面碗的形状示意图．是⊙O的一部分． D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于C．连接OA、OB．已知AB=24cm．碗深CD=8cm，问⊙O的半径OA是多少？
答案解析部分
1．【答案】这条弦；弦所对的弧
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，这里的“弧"包括弦所对的两条弧．
故答案为：这条弦 ， 弦所对的弧.
【分析】根据垂径定理填空即可.
2．【答案】弦心距
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：用垂径定理进行计算或证明时，常常通过作半径和弦心距构造直角三角形.
故答案为：弦心距.
【分析】根据垂径定理解题的一般方法：构造直角三角形，即可求解.
3．【答案】垂直；所对的弧；垂直平分；垂直平分线
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： ⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
⑵平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．定理中直径平分的弧可以是弦所对的两条弧中的任意一条．
⑶圆的任意一条弦的垂直平分线必定经过圆心．
⑷垂径定理及其逆定理跟圆的轴对称性密切相关
故答案为：垂直，所对的弧，垂直平分，垂直平分线.
【分析】利用垂径定理的推论，可得答案.
4．【答案】直径；垂直；平分
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
故答案为：直径，垂直，平分.
【分析】根据垂径定理的推论即可填出答案.
5．【答案】弦；越大
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 弦心距指圆心到圆的一条弦的距离．在同一个圆中，弦长越大，弦心距越小；弦长越小，弦心距越大 .
故答案为：弦，越大.
【分析】 根据弦心距的意义填写，半弦长、弦心距、半径三者可构成直角三角形，可知当弦长越长，弦心距越短；弦长越短，弦心距长.
6．【答案】（1）CE= ED；；
（2）CD⊥AB；；
（3）CD⊥AB；CE= ED；
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：（1）∵AB是直径，AB⊥CD，
∴CE= ED；；；
故答案为：CE= ED；；
（2）∵AB是直径，CE=DE，CD不是直径，
∴CD⊥AB；；.
（3）∵AB是直径， =，
∴CD⊥AB；CE= ED；.
【分析】（1）利用垂径定理可得答案.
（2）利用垂径定理的推论，可得答案.
（3）利用垂径定理的推论，可得答案.
7．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，
∴AC=BC.
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴OC为斜边AB上的中线，
∴OC=AC，
∵弦AB的弦心距为4，
∴CO=4，
∴AC=4，
∴OA==4，
∴⊙O的直径长为8.
故答案为：B．
【分析】先说明OC为斜边AB上的中线，这样可得OC=AC，结合弦AB的弦心距为4，可求得AC的长，再利用勾股定理可求得半径OA，从而可得直径的长.
8．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A、垂直于弦（不是直径）的直线平分弦所对的两条弧，则本项错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则本项错误，不符合题意；
C、垂直于直径的弦（不是直径）平分这条直径，则本项错误，不符合题意；
D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，则本项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，及其推论逐项分析即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 弦心距.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理和勾股定理，代入求解.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC是圆心O到水面的距离
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得BC=4，从而利用勾股定理即可算出答案.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】∵ CD⊥AB 与点 E ∴ CE＝DE=CD ∠OED＝90° ∴ DE＝＝＝8 ∴CD＝2DE＝16
故答案为：A。
【分析】先由垂径定理得到CE=DE=CD 由勾股定理求出DE=8 ，即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴
在中，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理求出CE的长，结合勾股定理即可得到OE的长，最后根据线段间的数量关系即可求解.
13．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】设与这两条平行的弦有一条直径，当这两条线位于直径的同侧时候根据垂径定理和勾股定理可以得出两条平行弦之间的距离为1.当位居直径的两侧时候，那么答案为7.
【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点，注意相应的问题要具体分析.
14．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB交AB于点D，交圆O于点C，连接OA
∵OC⊥AB，AB=24
∴
∵圆直径为26
∴OA=OC=13
∴
∴CD=OC-OD=8
故答案为：D
【分析】过点O作OC⊥AB交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可求出OD=5，再根据CD=OC-OD即可求出答案.
15．【答案】B
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
点是的中点，
点是的中点，，
.
故答案为：B.
【分析】利用垂径定理可得点是的中点，进而证得OD是的中位线，故可得.
16．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，
∴BD=AB=×4=2
在Rt△BOD中，.
故选C.
17．【答案】解：如图，过点O作OD⊥AB，垂足为C，且交圆O于点D，连接OB，
由题意得CD= 2dm ，
∵ AB=8dm ，OD⊥AB，
∴BC=AC=4dm，
设半径OB=x，则OC=x-2，
∴（x-2）2+42=x2，
解得：x=5，
∴排水管截面的半径为5dm．
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】过点O作OD⊥AB，垂足为C，且交圆O于点D，连接OB，由垂径定理可得BC=AC=4dm，设半径OB=x，则OC=x-2，利用勾股定理建立方程并解之即可.
18．【答案】解：如图，连接OB，OP交AB于点C，
由折叠知：OP与AB互相垂直平分，
∵ ⊙O的直径为6 ，
∴OC=，OB=3，
∴BC==，
∴AB=2BC=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】连接OB，OP交AB于点C，由折叠可得OP与AB互相垂直平分，从而得出OC=，OB=3，利用勾股定理求出BC的长，继而求出AB即可.
19．【答案】证明：∵EF是⊙O的直径，AG=BG，
∴EF⊥AB；
又∵CH=DH，
∴EF⊥CD；
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定；垂径定理
【解析】【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得EF⊥AB；EF⊥CD；根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行即可证明．
20．【答案】解：相等，理由：如图，作OE⊥AB，
∴CE=DE，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴AE-CE=BE-DE，
即AC=BD.
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【分析】作OE⊥AB，根据垂径定理及等腰三角形的性质可得CE=DE，AE=BE，从而得出AE-CE=BE-DE，继而得解.
21．【答案】解：设点O是此残片所在的圆的圆心，由垂径定理可得点O一定在直线CD上，如图，
连接OA，设OA＝xcm，则OD＝（x﹣8）cm，
∵弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，
∴AD＝AB=12cm，∠ADO=90°，
则根据勾股定理列方程：x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13，
∴圆的半径为13cm，
∴圆的面积为：π×132＝169πcm2．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】设点O是此残片所在的圆的圆心，连接OA，设OA＝xcm，得出OD＝（x﹣8）cm，再根据线段垂直平分线的定义得出AD＝12cm，∠ADO=90°，利用勾股定理列方程，解方程求出x的值，再根据圆的面积公式进行计算，即可得出答案.
22．【答案】解：∵ 是⊙O的一部分，D是的中点，AB=24cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=- AB=12cm，
设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm，
在Rt△OAC中，∠OCA=90° ，
∴r2=122+（r -8）2，
解得r= 13，
∴⊙O的半径OA=13．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm，利用勾股定理可得r2=122+（r -8）2，再求出r的值即可.
1 / 1【基础卷】3.3 垂径定理—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、填空题
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ，这里的“弧"包括弦所对的两条弧．
【答案】这条弦；弦所对的弧
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，这里的“弧"包括弦所对的两条弧．
故答案为：这条弦 ， 弦所对的弧.
【分析】根据垂径定理填空即可.
2．⑴垂径定理由圆的轴对称性得到．
⑵用垂径定理进行计算或证明时，常常通过作半径和 构造直角三角形．
⑶“平分弦”“平分弧”“垂直弦”等条件常可联系到垂径定理的条件和结论的关系．
【答案】弦心距
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：用垂径定理进行计算或证明时，常常通过作半径和弦心距构造直角三角形.
故答案为：弦心距.
【分析】根据垂径定理解题的一般方法：构造直角三角形，即可求解.
3．⑴平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且平分弦 .
⑵平分弧的直径 弧所对的弦．定理中直径平分的弧可以是弦所对的两条弧中的任意一条．
⑶圆的任意一条弦的 必定经过圆心．
⑷垂径定理及其逆定理跟圆的轴对称性密切相关．
【答案】垂直；所对的弧；垂直平分；垂直平分线
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： ⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
⑵平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．定理中直径平分的弧可以是弦所对的两条弧中的任意一条．
⑶圆的任意一条弦的垂直平分线必定经过圆心．
⑷垂径定理及其逆定理跟圆的轴对称性密切相关
故答案为：垂直，所对的弧，垂直平分，垂直平分线.
【分析】利用垂径定理的推论，可得答案.
4．平分弦(不是 )的直径 于弦，并且 弦所对的弧.
【答案】直径；垂直；平分
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
故答案为：直径，垂直，平分.
【分析】根据垂径定理的推论即可填出答案.
5．①弦心距指圆心到圆的一条 的距离．在同一个圆中，弦长越大，弦心距越小；弦长越小，弦心距 .
②弦长、弦心距、半径这三个量中，只要知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
【答案】弦；越大
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 弦心距指圆心到圆的一条弦的距离．在同一个圆中，弦长越大，弦心距越小；弦长越小，弦心距越大 .
故答案为：弦，越大.
【分析】 根据弦心距的意义填写，半弦长、弦心距、半径三者可构成直角三角形，可知当弦长越长，弦心距越短；弦长越短，弦心距长.
6．如图，在⊙O中，直径AB交弦CD(不是直径)于点E．根据条件写出你认为正确的结论：
（1）若AB⊥CD，则有
（2）若CE=ED，则有
（3）若 =，则有
【答案】（1）CE= ED；；
（2）CD⊥AB；；
（3）CD⊥AB；CE= ED；
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：（1）∵AB是直径，AB⊥CD，
∴CE= ED；；；
故答案为：CE= ED；；
（2）∵AB是直径，CE=DE，CD不是直径，
∴CD⊥AB；；.
（3）∵AB是直径， =，
∴CD⊥AB；CE= ED；.
【分析】（1）利用垂径定理可得答案.
（2）利用垂径定理的推论，可得答案.
（3）利用垂径定理的推论，可得答案.
7．在⊙O中，弦AB的弦心距为4，∠AOB=90°，则⊙O的直径长为
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，
∴AC=BC.
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴OC为斜边AB上的中线，
∴OC=AC，
∵弦AB的弦心距为4，
∴CO=4，
∴AC=4，
∴OA==4，
∴⊙O的直径长为8.
故答案为：B．
【分析】先说明OC为斜边AB上的中线，这样可得OC=AC，结合弦AB的弦心距为4，可求得AC的长，再利用勾股定理可求得半径OA，从而可得直径的长.
二、选择题
8．（2023九上·诸暨月考）下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A、垂直于弦（不是直径）的直线平分弦所对的两条弧，则本项错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则本项错误，不符合题意；
C、垂直于直径的弦（不是直径）平分这条直径，则本项错误，不符合题意；
D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，则本项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧，及其推论逐项分析即可.
9．（2023九上·洞头期中） 如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 弦心距.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理和勾股定理，代入求解.
10．（2022九上·上城期中）一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径， 水面宽， 则截面圆心O到水面的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC是圆心O到水面的距离
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得BC=4，从而利用勾股定理即可算出答案.
11．（2024九上·天津市期中）如图，为的直径，弦于点，已知，则的长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】∵ CD⊥AB 与点 E ∴ CE＝DE=CD ∠OED＝90° ∴ DE＝＝＝8 ∴CD＝2DE＝16
故答案为：A。
【分析】先由垂径定理得到CE=DE=CD 由勾股定理求出DE=8 ，即可得出答案。
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OC=5 cm，CD=6 cm，则AE=（ ）．
A．4cm B．3cm C．9cm D．8cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴
在中，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理求出CE的长，结合勾股定理即可得到OE的长，最后根据线段间的数量关系即可求解.
13．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为( )
A．1 cm B．7cm C．3 cm或4 cm D．1cm 或7cm
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】设与这两条平行的弦有一条直径，当这两条线位于直径的同侧时候根据垂径定理和勾股定理可以得出两条平行弦之间的距离为1.当位居直径的两侧时候，那么答案为7.
【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点，注意相应的问题要具体分析.
14．（2023九上·石家庄期中） 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面的宽度为，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB交AB于点D，交圆O于点C，连接OA
∵OC⊥AB，AB=24
∴
∵圆直径为26
∴OA=OC=13
∴
∴CD=OC-OD=8
故答案为：D
【分析】过点O作OC⊥AB交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可求出OD=5，再根据CD=OC-OD即可求出答案.
15．如图，AB是半圆O的直径，AC、BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD=1.5，则BC=（ ）
A．4.5 B．3 C．2 D．1.5
【答案】B
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
点是的中点，
点是的中点，，
.
故答案为：B.
【分析】利用垂径定理可得点是的中点，进而证得OD是的中位线，故可得.
16．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是( )
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，
∴BD=AB=×4=2
在Rt△BOD中，.
故选C.
三、解答题
17．一根排水管的截面如图所示．已知水面宽AB=8dm，测得排水管内水的最大深度为2dm，求排水管截面的半径．
【答案】解：如图，过点O作OD⊥AB，垂足为C，且交圆O于点D，连接OB，
由题意得CD= 2dm ，
∵ AB=8dm ，OD⊥AB，
∴BC=AC=4dm，
设半径OB=x，则OC=x-2，
∴（x-2）2+42=x2，
解得：x=5，
∴排水管截面的半径为5dm．
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】过点O作OD⊥AB，垂足为C，且交圆O于点D，连接OB，由垂径定理可得BC=AC=4dm，设半径OB=x，则OC=x-2，利用勾股定理建立方程并解之即可.
18．如图，⊙O为一张直径为6的圆形纸片，现将⊙O上任意一点P与圆心O重合折叠，得折痕AB．求折痕AB的长．
【答案】解：如图，连接OB，OP交AB于点C，
由折叠知：OP与AB互相垂直平分，
∵ ⊙O的直径为6 ，
∴OC=，OB=3，
∴BC==，
∴AB=2BC=.
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】连接OB，OP交AB于点C，由折叠可得OP与AB互相垂直平分，从而得出OC=，OB=3，利用勾股定理求出BC的长，继而求出AB即可.
19．已知：如图，⊙O的直径EF分别交弦AB，CD于点G，H，且AG=BG，CH=DH．求证：AB∥CD．
【答案】证明：∵EF是⊙O的直径，AG=BG，
∴EF⊥AB；
又∵CH=DH，
∴EF⊥CD；
∴AB∥CD．
【知识点】平行线的判定；垂径定理
【解析】【分析】根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得EF⊥AB；EF⊥CD；根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行即可证明．
20．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D．问：AC与BD相等吗？为什么？
【答案】解：相等，理由：如图，作OE⊥AB，
∴CE=DE，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴AE-CE=BE-DE，
即AC=BD.
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【分析】作OE⊥AB，根据垂径定理及等腰三角形的性质可得CE=DE，AE=BE，从而得出AE-CE=BE-DE，继而得解.
21．（2023九上·余姚期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．求残片所在圆的面积．
【答案】解：设点O是此残片所在的圆的圆心，由垂径定理可得点O一定在直线CD上，如图，
连接OA，设OA＝xcm，则OD＝（x﹣8）cm，
∵弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，
∴AD＝AB=12cm，∠ADO=90°，
则根据勾股定理列方程：x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13，
∴圆的半径为13cm，
∴圆的面积为：π×132＝169πcm2．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】设点O是此残片所在的圆的圆心，连接OA，设OA＝xcm，得出OD＝（x﹣8）cm，再根据线段垂直平分线的定义得出AD＝12cm，∠ADO=90°，利用勾股定理列方程，解方程求出x的值，再根据圆的面积公式进行计算，即可得出答案.
22．（2023九上·吉林期中）如图①是从正面看到的一个面碗的形状示意图．是⊙O的一部分． D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于C．连接OA、OB．已知AB=24cm．碗深CD=8cm，问⊙O的半径OA是多少？
【答案】解：∵ 是⊙O的一部分，D是的中点，AB=24cm，
∴OD⊥AB，AC=BC=- AB=12cm，
设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm，
在Rt△OAC中，∠OCA=90° ，
∴r2=122+（r -8）2，
解得r= 13，
∴⊙O的半径OA=13．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm，利用勾股定理可得r2=122+（r -8）2，再求出r的值即可.
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