【培优卷】3.3 垂径定理—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）如图，是的弦，点是上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，，，则弦的长（ ）
A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关
C．只与的值有关 D．只与，(或，)的值有关
2．（2023九上·浙江期中）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示简车的一个盛水桶．如图2，当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心0为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）m．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023九上·杭州期中）如图，圆心在轴的负半轴上，半径为5的与轴的正半轴交于点，过点的直线与相交于C，D两点.则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023九上·石家庄期中）如图所示，在中，为弦，交于点．且．为上任意一点，连接，，若的半径为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
6．（2023九上·乐清期中）△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·和平期中）如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
8．（2017·蜀山模拟）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
二、填空题
9．（2023九上·石家庄月考）圆O的半径为5，为两条平行的弦，．则这两条平行弦之间的距离为 ．
10．（2023九上·萧山月考）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为 米，所在圆的半径 为．米．
11．（2023·静安模拟）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ．
12．（2020·福田模拟）如图所示，抛物线 与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为 .
三、解答题
13．（2023九上·路北期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
（1）作OC⊥MN于点C，求OC的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少．
14．
（1）如图①，过⊙O上一点P作两条弦PA，PB．若PA=PB，则PO平分∠APB．为什么？
（2）如图②，若点P在⊙O内，过点P的两条弦AC，DB相等，则PO平分∠APB吗？为什么？
（3）如图③，若点P在⊙O外，过点P作PA，PB，分别交⊙O于点A，C和B，D，且AC=BD，则PO平分∠APB吗？为什么？
四、实践探究题
15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载(如图①)：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”
阅读完这段文字后，聪聪画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求“间径”就是要求⊙O的直径．根据上面记载的文字，发现AB= 寸，CD= 寸(一尺等于十寸)．运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助聪聪求出⊙O的直径．
16．（2022·龙游模拟）如图
（1）【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，AC2＝AD AB.求证：∠ACD＝∠B.
（2）【尝试应用】
如图2，在平行四边形ABCD中，E是AB上一点，连结AC，EC.已知AE＝4，AC＝6，CD＝9.求证：2AD＝3EC.
（3）【拓展提高】
如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD相交于点E，已知⊙O的半径为2，AE＝CE，AB＝AE，BD=，求△ABD的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，连接OE，过点O作OH⊥AB于点H.
则AH=，
∴OH2=OA2-AH2=r2-
∵HC=HB-CB=12a-b
∴OC2=OH2+HC2=r2-+12a-b2
∴CE2=OE2-OC2=r2-[r2-+12a-b2 ]=14a2-12a-b2=ab-b2
可以看出CE的值与r无关，与a 、b的值有关.
而DE=2CE，则DE的值也与r无关，与a 、b的值有关.
故答案为：B.
【分析】垂径定理是圆章节中重要的定理，利用垂径定理结合勾股定理可以求线段长；本题过点O作OH⊥AB，连接OA，连接OE，构造了两个直角三角形△AHO以及△ECO，借助勾股定理可以表示出CE2=ab-b2，可以看出CE的值与r无关，与a 、b的值有关，而DE=2CE，DE的值也与r无关，只与a 、b的值有关.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点 O作半径于E，如图，
根据垂径定理得，
在中，，
∴
即简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米.
故答案为：B.
【分析】过点 O作半径于E，根据垂径定理得，再根据勾股定理求得，然后即可得到，即可得解.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：因为点A的坐标为（0，1），的 半径为5，所以点B的坐标为（0，-4），又因为点P的坐标为（0，-7），所以BP=3.
当CD垂直圆的直径AB时，CD的值最小，连接BC，在中，故CD=8；
当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=10，所以故满足题意的数值有8，9，10三个。
故答案为：C.
【分析】根据已知得到BP的值，根据勾股定理求出CD的值，当CD垂直圆的直径AB时，CD的值最小，当CD经过圆心时，CD的值最大，即为直径。
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OA
∵OC⊥AB
∴AD=BD，
∴
∴
∴
∴
∴
当点P为优弧AB的中点时，△APB的面积最大，此时△APB为等边三角形
∴△APB的面积的最大值为
故答案为：A
【分析】连接OA，根据垂径定理可得AD=BD，，则，再根据锐角三角形函数定义可得，，则当点P为优弧AB的中点时，△APB的面积最大，此时△APB为等边三角形，再根据三角形面积即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点C，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故答案为：D
【分析】先利用垂径定理和线段的和差求出，再利用勾股定理求出OP的长即可。
6．【答案】C
【知识点】垂径定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AE，
，，，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】过点C作CF⊥AE，先利用勾股定理算出AB，再利用等面积法求得直角三角形斜边上的高线CF的长度，再通过垂径定理可得AE=2AF，再利用勾股定理算出AF的长，此题得解.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接OC，设AB和CD交于点P，
由作图可知：CD垂直平分OB，
∵AB=4，
∴OP=OB==1，OC=AB=2，CP=PD，
∴CP==，
∴CD=2CP=.
故答案为：C.
【分析】连接OC，设AB和CD交于点P，由垂直平分线的性质及垂径定理可得OP=OB==1，OC=AB=2，CP=PD，利用勾股定理求出CP的长，利用CD=2CP即可求解.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB= OA=2 ，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB CD+ AB CE= AB（CD+CE）= AB DE= ×2 ×4=4 ．
故选C．
【分析】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理推出△OAB为等腰直角三角形，求得AB= OA=2 ，根据已知条件即可得到结论．
9．【答案】1或7
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB//CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=AB=4，CF=CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=，OF=，
∴EF=OF-EO=4-3=1，
②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，OC，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=AB=4，CF=CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=，OF=，
∴EF=OF+EO=4+3=7，
综上，这两条平行弦之间的距离为1或7，
故答案为：1或7.
【分析】分类讨论：①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，再分别画出图象并利用垂径定理及勾股定理求解即可.
10．【答案】5；
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AD于点G，则点A、E、D所在圆的圆心必在EG上，
如图取圆心O，连接AO，
∵ 米， 米
∴AG=12AD=4.8米，EG=AE2-AG2=82-4.82=6.4米
设 所在圆的半径为r米，则AO=EO=r米，OG=6.4-r（米）
在Rt△AOG中，AG2+OG2=AO2，即4.82+(6.4-r)2=r2
解得：r=5米，即半径为5米；
延长GE交大圆于点H，则 所在圆的圆心必在HG上，
如图记大圆圆心为O1，作O1M⊥AC于点M，连接O1C，
∵米， 米
∴AF=9.6+2.4=12米
∵
∴EG//CF
∴，即
∴AC=20米
∴AM=CM=10米，EM=10-8=2米
∵△AEG∽△O1EM
∴，即
∴O1M=
∴O1C=
故答案为：5，4092.
【分析】垂直于弦的直径必经过圆心，过点E作AD的垂线，大小圆的圆心均在这条垂线上；借助垂径定理，以半径、弦心距、弦长一半三条线段构成直角三角形，用勾股定理列方程求或直接计算线段长度是圆中常见的解题方法；本题先借助Rt△AOG，求得小圆半径等于5米，再通过平行线分线段成比例求得AC=20米，由△AEG∽△O1EM，求得O1M的长，再利用Rt△O1MC ，通过勾股定理求得O1C的长.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴x+y=2x+3，x-y=-3，
∴点A（x，y）的“关联点”为点B（2x+3，-3），
过点C（0，-3）作垂线AD⊥y轴交圆O于点A、D，连接OA，如图所示：
∴点B在AD上运动，
由勾股定理得，
∴CD=AC=3，
∴点的横坐标的取值范围是，
故答案为：
【分析】先根据题意得到点A（x，y）的“关联点”为点B（2x+3，-3），过点C（0，-3）作垂线AD⊥y轴交圆O于点A、D，连接OA，接着根据勾股定理求出AC的长，再运用垂径定理结合题意即可求解。
12．【答案】(5，3)
【知识点】二次函数的三种形式；全等三角形的判定与性质；垂径定理；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=x2-6x+8=（x-2）（x-4），故A（2，0），B（4，0），
根据垂径定理可知点M在AB的中垂线上，设M（3，a）.
连接MC，过点M作ME∥x轴，过点B作BF垂直ME于点F，过点C作CE⊥ME于点E，
∵MB=MC，∠MBC=45°，
∴∠NCB=45°，
∴∠BMC=90°，
∵∠MEC=∠BFM=90°，
∴∠BMF=∠MCE，
∴△BMF≌△MCE，
∴ME=BF，MF=CE，
∵B（4，0），M（3，a）.
∴CE=MF=1，EF=a-1，
∴C（4+a-1，a+1）即C（3+a，a+1），
由于点C在抛物线上，则有
a+1=（3+a）2-6（3+a）+8
解得a1=2，a2=-1，
根据圆心M在第一象限可得a2=-1不符合题意，故a=2，
∴C（5，3）.
【分析】首先将解析式改写成两点式，即可得到A、B两点的坐标，根据垂径定理可得点M在AB的中垂线上，即可得到点M的横坐标，连接MC，过点M作ME∥x轴，过点B作BF垂直ME于点F，过点C作CE⊥ME于点E，易证△BMF≌△MCE，设M（3，a），根据全等三角形的性质即可用a表示出点C的坐标，再根据点C在抛物线上，即将点C的坐标代入抛物线解析式得到关于a的方程，求解舍去不符合题意的值，进而可得点C的坐标.
13．【答案】（1）解：连接OM，
∵O为圆心，OC⊥MN，MN＝48cm，
∴，
∵AB＝52cm，
∴，
在 Rt△OMC 中，，
∴OC的长为10cm；
（2）解：过O作 OD⊥EF，连接OE，
由题得，OD＝10+14＝24cm，
在 Rt△OED 中，ED＝＝＝10cm，
∴EF＝2ED＝20cm，
∴48﹣20＝28cm
∴水面截线减少了28cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接OM，根据垂径定理得出MC=24cm，根据勾股定理计算即可；
（2） 过O作 OD⊥EF，连接OE ，根据勾股定理求出ED，再利用垂径定理得出EF=2ED=20cm，MN与EF相减即可得出答案．
14．【答案】（1）解：如图，作直径PQ，
∵PA=PB，
∴，
∴，
∴∠APQ=∠BPQ，
∴PO平分∠APB；
（2）解：PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图，
∵OM⊥AC，ON⊥BD，
∴，，
∵AC=DB，
故AM=BN，
在Rt△AOM中，OM2=OA2-AM2，
在Rt△BON中，ON2=OB2-BN2，
故OM=ON，
∴PO平分∠APB.
（3）解： PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图：
∵OM⊥AC，ON⊥BD，
∴，，
∵AC=DB，
故AM=BN，
在Rt△AOM中，OM2=OA2-AM2，
在Rt△BON中，ON2=OB2-BN2，
故OM=ON，
∴PO平分∠APB.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）如图，作直径PQ，根据圆心角、弧、弦的关系，由PA=PB得到，所以，则根据圆周角定理得∠APQ=∠BPQ；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON；结合题意根据垂直于弦的直径平分这条弦可得AM=BN；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可推得OM=ON，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上可得PO是∠APB的角平分线；
（3）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON；结合题意根据垂直于弦的直径平分这条弦可得AM=BN；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可推得OM=ON，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上可得PO是∠APB的角平分线.
15．【答案】1；10；
∵以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
∴AB=1，CD=10.
如图，连结CO．
∵BO⊥CD，∴CA=CD=5 寸．
设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸．
在Rt△CAO中，AO2+CA2=CO2，
即(x-1)2+52=x2，
解得x=13，
∴⊙O的直径为26寸．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】利用已知可得到AB，CD的长；连结CO．利用垂径定理求出AC的长，设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆的直径.
16．【答案】（1）证明：∵AC2＝AD AB，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B.
（2）证明：∵，
∴AB＝CD，
∵AE＝4，AC＝6，CD＝9，
∴AC2＝AE AB，
同（1）得：△ACE∽△ABC，
∴，即，
∵BC=AD
∴2AD＝3EC.
（3）解：连结OA交BD于点F，连结OB，
∵AE＝CE，AB＝AE，
∴AB2＝AE·AC，
同（1）得：△ABE∽△ACB，
∴∠ABD＝∠ACB，
∴点A是弧BD的中点，
∴OA⊥BD，
∵OA＝OB＝2，BD＝，
∴AF＝OF＝1，
∴S△ABD＝＝.
【知识点】平行四边形的性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 由AC2＝AD AB可得， 由于∠A是公共角，可证△ACD∽△ABC，可得∠ACD＝∠B；
（2）由平行四边形的性质可得AB＝CD， 从而得出AC2＝AE AB，同（1）可证△ACE∽△ABC， 可得 ，结合BC=AD，可得2AD＝3EC；
（3）连结OA交BD于点F，连结OB，由AE＝CE，AB＝AE，可得AB2＝AE·AC，同（1）可得：△ABE∽△ACB，可得∠ABD＝∠ACB， 即得点A是弧BD的中点，由垂径定理得出OA⊥BD， 易求 AF＝OF＝1， 根据S△ABD＝即可求解.
1 / 1【培优卷】3.3 垂径定理—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·萧山月考）如图，是的弦，点是上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，，，则弦的长（ ）
A．与，，的值均有关 B．只与，的值有关
C．只与的值有关 D．只与，(或，)的值有关
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，连接OE，过点O作OH⊥AB于点H.
则AH=，
∴OH2=OA2-AH2=r2-
∵HC=HB-CB=12a-b
∴OC2=OH2+HC2=r2-+12a-b2
∴CE2=OE2-OC2=r2-[r2-+12a-b2 ]=14a2-12a-b2=ab-b2
可以看出CE的值与r无关，与a 、b的值有关.
而DE=2CE，则DE的值也与r无关，与a 、b的值有关.
故答案为：B.
【分析】垂径定理是圆章节中重要的定理，利用垂径定理结合勾股定理可以求线段长；本题过点O作OH⊥AB，连接OA，连接OE，构造了两个直角三角形△AHO以及△ECO，借助勾股定理可以表示出CE2=ab-b2，可以看出CE的值与r无关，与a 、b的值有关，而DE=2CE，DE的值也与r无关，只与a 、b的值有关.
2．（2023九上·浙江期中）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示简车的一个盛水桶．如图2，当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心0为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）m．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点 O作半径于E，如图，
根据垂径定理得，
在中，，
∴
即简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米.
故答案为：B.
【分析】过点 O作半径于E，根据垂径定理得，再根据勾股定理求得，然后即可得到，即可得解.
3．（2023九上·杭州期中）如图，圆心在轴的负半轴上，半径为5的与轴的正半轴交于点，过点的直线与相交于C，D两点.则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：因为点A的坐标为（0，1），的 半径为5，所以点B的坐标为（0，-4），又因为点P的坐标为（0，-7），所以BP=3.
当CD垂直圆的直径AB时，CD的值最小，连接BC，在中，故CD=8；
当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=10，所以故满足题意的数值有8，9，10三个。
故答案为：C.
【分析】根据已知得到BP的值，根据勾股定理求出CD的值，当CD垂直圆的直径AB时，CD的值最小，当CD经过圆心时，CD的值最大，即为直径。
4．（2023九上·石家庄期中）如图所示，在中，为弦，交于点．且．为上任意一点，连接，，若的半径为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OA
∵OC⊥AB
∴AD=BD，
∴
∴
∴
∴
∴
当点P为优弧AB的中点时，△APB的面积最大，此时△APB为等边三角形
∴△APB的面积的最大值为
故答案为：A
【分析】连接OA，根据垂径定理可得AD=BD，，则，再根据锐角三角形函数定义可得，，则当点P为优弧AB的中点时，△APB的面积最大，此时△APB为等边三角形，再根据三角形面积即可求出答案.
5．（2022·安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点C，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故答案为：D
【分析】先利用垂径定理和线段的和差求出，再利用勾股定理求出OP的长即可。
6．（2023九上·乐清期中）△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AE，
，，，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】过点C作CF⊥AE，先利用勾股定理算出AB，再利用等面积法求得直角三角形斜边上的高线CF的长度，再通过垂径定理可得AE=2AF，再利用勾股定理算出AF的长，此题得解.
7．（2023九上·和平期中）如图，是的直径，分别以点O和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线与相交于C，D两点，若，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：连接OC，设AB和CD交于点P，
由作图可知：CD垂直平分OB，
∵AB=4，
∴OP=OB==1，OC=AB=2，CP=PD，
∴CP==，
∴CD=2CP=.
故答案为：C.
【分析】连接OC，设AB和CD交于点P，由垂直平分线的性质及垂径定理可得OP=OB==1，OC=AB=2，CP=PD，利用勾股定理求出CP的长，利用CD=2CP即可求解.
8．（2017·蜀山模拟）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB= OA=2 ，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB= AB CD+ AB CE= AB（CD+CE）= AB DE= ×2 ×4=4 ．
故选C．
【分析】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理推出△OAB为等腰直角三角形，求得AB= OA=2 ，根据已知条件即可得到结论．
二、填空题
9．（2023九上·石家庄月考）圆O的半径为5，为两条平行的弦，．则这两条平行弦之间的距离为 ．
【答案】1或7
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB//CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=AB=4，CF=CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=，OF=，
∴EF=OF-EO=4-3=1，
②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，如图所示：
过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，OC，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=AB=4，CF=CD=3，
∵OA=OC=5，
∴EO=，OF=，
∴EF=OF+EO=4+3=7，
综上，这两条平行弦之间的距离为1或7，
故答案为：1或7.
【分析】分类讨论：①当弦AB和弦CD在圆心同侧时，②当弦AB和弦CD在圆心异侧时，再分别画出图象并利用垂径定理及勾股定理求解即可.
10．（2023九上·萧山月考）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为 米，所在圆的半径 为．米．
【答案】5；
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥AD于点G，则点A、E、D所在圆的圆心必在EG上，
如图取圆心O，连接AO，
∵ 米， 米
∴AG=12AD=4.8米，EG=AE2-AG2=82-4.82=6.4米
设 所在圆的半径为r米，则AO=EO=r米，OG=6.4-r（米）
在Rt△AOG中，AG2+OG2=AO2，即4.82+(6.4-r)2=r2
解得：r=5米，即半径为5米；
延长GE交大圆于点H，则 所在圆的圆心必在HG上，
如图记大圆圆心为O1，作O1M⊥AC于点M，连接O1C，
∵米， 米
∴AF=9.6+2.4=12米
∵
∴EG//CF
∴，即
∴AC=20米
∴AM=CM=10米，EM=10-8=2米
∵△AEG∽△O1EM
∴，即
∴O1M=
∴O1C=
故答案为：5，4092.
【分析】垂直于弦的直径必经过圆心，过点E作AD的垂线，大小圆的圆心均在这条垂线上；借助垂径定理，以半径、弦心距、弦长一半三条线段构成直角三角形，用勾股定理列方程求或直接计算线段长度是圆中常见的解题方法；本题先借助Rt△AOG，求得小圆半径等于5米，再通过平行线分线段成比例求得AC=20米，由△AEG∽△O1EM，求得O1M的长，再利用Rt△O1MC ，通过勾股定理求得O1C的长.
11．（2023·静安模拟）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴x+y=2x+3，x-y=-3，
∴点A（x，y）的“关联点”为点B（2x+3，-3），
过点C（0，-3）作垂线AD⊥y轴交圆O于点A、D，连接OA，如图所示：
∴点B在AD上运动，
由勾股定理得，
∴CD=AC=3，
∴点的横坐标的取值范围是，
故答案为：
【分析】先根据题意得到点A（x，y）的“关联点”为点B（2x+3，-3），过点C（0，-3）作垂线AD⊥y轴交圆O于点A、D，连接OA，接着根据勾股定理求出AC的长，再运用垂径定理结合题意即可求解。
12．（2020·福田模拟）如图所示，抛物线 与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为 .
【答案】(5，3)
【知识点】二次函数的三种形式；全等三角形的判定与性质；垂径定理；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：y=x2-6x+8=（x-2）（x-4），故A（2，0），B（4，0），
根据垂径定理可知点M在AB的中垂线上，设M（3，a）.
连接MC，过点M作ME∥x轴，过点B作BF垂直ME于点F，过点C作CE⊥ME于点E，
∵MB=MC，∠MBC=45°，
∴∠NCB=45°，
∴∠BMC=90°，
∵∠MEC=∠BFM=90°，
∴∠BMF=∠MCE，
∴△BMF≌△MCE，
∴ME=BF，MF=CE，
∵B（4，0），M（3，a）.
∴CE=MF=1，EF=a-1，
∴C（4+a-1，a+1）即C（3+a，a+1），
由于点C在抛物线上，则有
a+1=（3+a）2-6（3+a）+8
解得a1=2，a2=-1，
根据圆心M在第一象限可得a2=-1不符合题意，故a=2，
∴C（5，3）.
【分析】首先将解析式改写成两点式，即可得到A、B两点的坐标，根据垂径定理可得点M在AB的中垂线上，即可得到点M的横坐标，连接MC，过点M作ME∥x轴，过点B作BF垂直ME于点F，过点C作CE⊥ME于点E，易证△BMF≌△MCE，设M（3，a），根据全等三角形的性质即可用a表示出点C的坐标，再根据点C在抛物线上，即将点C的坐标代入抛物线解析式得到关于a的方程，求解舍去不符合题意的值，进而可得点C的坐标.
三、解答题
13．（2023九上·路北期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH．
（1）作OC⊥MN于点C，求OC的长；
（2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少．
【答案】（1）解：连接OM，
∵O为圆心，OC⊥MN，MN＝48cm，
∴，
∵AB＝52cm，
∴，
在 Rt△OMC 中，，
∴OC的长为10cm；
（2）解：过O作 OD⊥EF，连接OE，
由题得，OD＝10+14＝24cm，
在 Rt△OED 中，ED＝＝＝10cm，
∴EF＝2ED＝20cm，
∴48﹣20＝28cm
∴水面截线减少了28cm．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】（1）连接OM，根据垂径定理得出MC=24cm，根据勾股定理计算即可；
（2） 过O作 OD⊥EF，连接OE ，根据勾股定理求出ED，再利用垂径定理得出EF=2ED=20cm，MN与EF相减即可得出答案．
14．
（1）如图①，过⊙O上一点P作两条弦PA，PB．若PA=PB，则PO平分∠APB．为什么？
（2）如图②，若点P在⊙O内，过点P的两条弦AC，DB相等，则PO平分∠APB吗？为什么？
（3）如图③，若点P在⊙O外，过点P作PA，PB，分别交⊙O于点A，C和B，D，且AC=BD，则PO平分∠APB吗？为什么？
【答案】（1）解：如图，作直径PQ，
∵PA=PB，
∴，
∴，
∴∠APQ=∠BPQ，
∴PO平分∠APB；
（2）解：PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图，
∵OM⊥AC，ON⊥BD，
∴，，
∵AC=DB，
故AM=BN，
在Rt△AOM中，OM2=OA2-AM2，
在Rt△BON中，ON2=OB2-BN2，
故OM=ON，
∴PO平分∠APB.
（3）解： PO平分∠APB．理由如下：
作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON，如图：
∵OM⊥AC，ON⊥BD，
∴，，
∵AC=DB，
故AM=BN，
在Rt△AOM中，OM2=OA2-AM2，
在Rt△BON中，ON2=OB2-BN2，
故OM=ON，
∴PO平分∠APB.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）如图，作直径PQ，根据圆心角、弧、弦的关系，由PA=PB得到，所以，则根据圆周角定理得∠APQ=∠BPQ；
（2）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON；结合题意根据垂直于弦的直径平分这条弦可得AM=BN；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可推得OM=ON，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上可得PO是∠APB的角平分线；
（3）作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA、ON；结合题意根据垂直于弦的直径平分这条弦可得AM=BN；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可推得OM=ON，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上可得PO是∠APB的角平分线.
四、实践探究题
15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载(如图①)：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”
阅读完这段文字后，聪聪画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求“间径”就是要求⊙O的直径．根据上面记载的文字，发现AB= 寸，CD= 寸(一尺等于十寸)．运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助聪聪求出⊙O的直径．
【答案】1；10；
∵以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
∴AB=1，CD=10.
如图，连结CO．
∵BO⊥CD，∴CA=CD=5 寸．
设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸．
在Rt△CAO中，AO2+CA2=CO2，
即(x-1)2+52=x2，
解得x=13，
∴⊙O的直径为26寸．
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】利用已知可得到AB，CD的长；连结CO．利用垂径定理求出AC的长，设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆的直径.
16．（2022·龙游模拟）如图
（1）【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，AC2＝AD AB.求证：∠ACD＝∠B.
（2）【尝试应用】
如图2，在平行四边形ABCD中，E是AB上一点，连结AC，EC.已知AE＝4，AC＝6，CD＝9.求证：2AD＝3EC.
（3）【拓展提高】
如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD相交于点E，已知⊙O的半径为2，AE＝CE，AB＝AE，BD=，求△ABD的面积.
【答案】（1）证明：∵AC2＝AD AB，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B.
（2）证明：∵，
∴AB＝CD，
∵AE＝4，AC＝6，CD＝9，
∴AC2＝AE AB，
同（1）得：△ACE∽△ABC，
∴，即，
∵BC=AD
∴2AD＝3EC.
（3）解：连结OA交BD于点F，连结OB，
∵AE＝CE，AB＝AE，
∴AB2＝AE·AC，
同（1）得：△ABE∽△ACB，
∴∠ABD＝∠ACB，
∴点A是弧BD的中点，
∴OA⊥BD，
∵OA＝OB＝2，BD＝，
∴AF＝OF＝1，
∴S△ABD＝＝.
【知识点】平行四边形的性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 由AC2＝AD AB可得， 由于∠A是公共角，可证△ACD∽△ABC，可得∠ACD＝∠B；
（2）由平行四边形的性质可得AB＝CD， 从而得出AC2＝AE AB，同（1）可证△ACE∽△ABC， 可得 ，结合BC=AD，可得2AD＝3EC；
（3）连结OA交BD于点F，连结OB，由AE＝CE，AB＝AE，可得AB2＝AE·AC，同（1）可得：△ABE∽△ACB，可得∠ABD＝∠ACB， 即得点A是弧BD的中点，由垂径定理得出OA⊥BD， 易求 AF＝OF＝1， 根据S△ABD＝即可求解.
1 / 1
