【提升卷】3.3 垂径定理—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2020九上·湖州期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BD B．AD⊥OC
C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
3．（2023九上·右玉期中）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·通榆期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是 （ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
5．（2023九上·杭州期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则这根圆柱形木材的直径是（ ）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
6．已知⊙O的半径为5cm，在圆心O的同侧有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两条平行弦之间的距离是（ ）
A．1cm． B．2cm． C．3cm． D．4cm．
7．如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弦AB的长为（ ）．
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
8．如图所示，AC是的直径，弦于点，连结BC，过点作BC于点.若，则OF的长为（ ）.
A．3 B． C．2.5 D．
二、填空题
9．（2023九上·鹿城月考）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，且圆心在水面上方．若水面宽，则水的最大深度为 ．
10．（2023九下·义乌月考）如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为 .
11．（2024九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=AE=8cm，则OC的长为 cm.
12．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图①所示，图②是脸盆架的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 cm．
三、作图题
13．如图，一座石拱桥的形状是以点O为圆心，OA为半径的一段弧．
（1）确定的中点C．(要求：尺规作图，只需保留作图痕迹，不必写作法和证明)
（2）若的度数为120° ，OA=10m，求石拱桥桥拱的高度．
四、解答题
14．（2023九上·柯桥月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
15．（2023九上·玉环期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）若∠ACO=25°，求∠BCD的度数．
（2）若EB=4cm，CD=16cm，求⊙O的半径．
16．（2023九上·绍兴期中）如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m，宽AB为3m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m．
（1）求圆弧AED所在圆的半径；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6m，宽3.3m，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
2．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴ ，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】由题意易得 ，则根据垂径定理及推论可进行排除选项.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点的坐标为，
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理，结合垂直平分线的性质求解。连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案．
4．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，如图所示：
设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1，
∵AB=10寸，CD⊥AB，
∴AE=BE=AB=5寸，
在Rt△AOE中，AE2+OE2=AO2，
∴52+（r-1）2=r2，
解得：r=13，
∴CD=2r=26寸，
故答案为：D.
【分析】设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1，利用勾股定理可得AE2+OE2=AO2，再将数据代入求出r的值，最后求出CD的长即可.
5．【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图：，延长DE，则DE过圆心，设圆心为O，DE的延长线与圆相交于一点，连接AO，则EO⊥AE于E，△AEO为直角三角形， DE＝1 ，设圆的半径为r，则EO=r-1，AE=，AO=r，则，解之得2r=26，
故这根圆柱形木材的直径是26寸，
故选：D.
【分析】如图，作辅助线：延长DE，设圆心为O，DE的延长线与圆相交于一点，连接AO，则由题意和垂径定理得DE过圆心，设圆心为O，则EO⊥AE于E，△AEO为直角三角形，又DE＝1 ，设圆的半径为r，则EO=r-1，AE=5，AO=r，由勾股定理可得，解之可求得这根圆柱形木材的直径2r.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，EF=6cm，CD=8cm，
过点O作OG⊥EF交CD于点H，连接OC，OF，则OC=OF=5cm，
∵EF∥CD，
∴OH⊥CD，
∴FG=EF=3cm，HC=CD=4cm，
∴OG==4cm，
OH==3cm，
∴GH=OG-OH=4-3=1cm，
故答案为：A.
【分析】如图，过点O作OG⊥EF交CD于点H，连接OC，OF，则OC=OF=5cm，由勾股定理分别求出OG，OH的长，再利用GH=OG-OH即可求解.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB，∠BDO=90°，
∵CD=8，OC=OB=13，
∴OD=13-8=5，
∴，
∴AB=2BD=24.
故答案为：C.
【分析】连接OB，利用垂径定理可证得BD=AB，∠BDO=90°，利用已知求出OD的长，再利用勾股定理求出BD的长，即可得到AB的长.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵BD⊥AO，
∴BE=BD=4，
设圆的半径为r，则OE=OA-AE=r-2，
在Rt△BOE中，由勾股定理得OE2+BE2=OB2，即42+（r-2）2=r2，
解得r=5，即OB=OC=5，
∴OE=OA-AE=3，
∴CE=OC+OE=8，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
∵OF⊥BC，
∴CF=BC=，
在Rt△CFO中，由勾股定理得.
故答案为：D.
【分析】连接OB，由垂径定理得BE=BD=4，设圆的半径为r，则OE=OA-AE=r-2，在Rt△BOE中，由勾股定理建立方程可求出半径的长，在Rt△BCE中，由勾股定理算出BC，再根据垂径定理得CF=BC=，在Rt△CFO中，由勾股定理可算出OF的长.
9．【答案】18
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OB，
由已知直径为50cm，AB=48cm
根据垂径定理：CB=24 cm
在Rt△OBC中，OC=
∴CD=25-7=18cm
故答案为：18.
【分析】垂径定理是初中阶段圆中的重要定理，是求圆的半径、弦长、弦心距、弓高的重要依据，常常利用引垂线后构造的直角三角形求相关线段长，由直接求值或用勾股定理列方程.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接、，交于，如图，
∵，
，
设⊙的半径为，则，，
在中，，解得，
∵，
，，
在中，，①
在中，，②
解由①②组成的方程组得到，
.
故答案为.
【分析】连接、，交于，由垂径定理可得，设⊙的半径为，则，，在中，利用勾股定理建立关于r方程并解之，即得OA=5，由可得，，在中，①，在中，②，联立①②可得AG的长，继而得解.
11．【答案】5
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，则，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的长为，
故答案为：5．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解。设圆的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
12．【答案】25
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设脸盆所在圆的圆心为O，连接OC交AB于点D，连接OA，如图：
∴
设脸盆的半径为xcm，则
在中，
即
解得：
则该脸盆的半径为25cm.
故答案为：25.
【分析】设圆心为O，连接OC交AB于点D，连接OA，根据垂径定理得AD=BD=AB=20cm，设脸盆的半径为xcm，则OD=(x-10)cm，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
13．【答案】（1）解：如图，点C即为所求的中点，
（2）解：设OC与AB相交于点D，
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
又∵OA=OB，
∴∠AOC=∠AOB=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD= AO=5m，
∴CD=OC-OD=5m，即石拱桥桥拱的高度为5m.
【知识点】垂径定理的实际应用；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）分别以点A、B为圆心，大于AB的长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点O和两弧的交点作射线OE交于点C；
（2）设OC与AB相交于点D，由垂径定理可得OC⊥AB，由等腰三角形的三线合一得∠AOC=∠AOB=60°，根据三角形的内角和定理得∠OAD=30°，由含30°角直角三角形的性质OD= AO=5m，最后根据CD=OC-OD即可求出石拱桥桥拱的高度.
14．【答案】（1）解：解：作，垂足为E，
由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：连接，
∵在中，，
∴．
在中，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）作，垂足为E，根据垂径定理求出AE和CE的长度，最后根据线段间的数量关系即可求出AC的长；
（2）连接，在中利用勾股定理求出OE的长度，在中，利用勾股定理即可求出OC的长度.
15．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，CB= BD，
∴∠BCD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=25° ，
∴∠BCD=25° ；
（2）解：设⊙O的半径为Rcm， ．
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，CD=16cm，
∴CE=CD=×16=8 (cm)，在Rt△CEB中，EB2=BC2-CE2，EB=4cm，
∴OE= (R-4) cm，
在Rt△CEO中，OC2=OE2+CE2，
∴R2= (R-4) 2+82，
∴R=10，∴⊙O的半径为10cm
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质可求解；
（2）设⊙O的半径为Rcm，在Rt△CEO中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程可求解.
16．【答案】（1）解：设圆心为点O，半径为R，连接OE交AD于点F，连接OD，OA，如图，
∵OE⊥AD，OE平分AD，
∴△AFO是直角三角形，
∵ AF=AD=BC=6，OF=OE-EF=R-4，
∴ AF2+OF2=AO2， 即62+(R-4)2=R2，
解得：R=6.5，即 圆弧AED所在圆的半径为6.5m.
（2）解：能，取GF=3m，过点G作GH⊥EO，如图，
在Rt△GHO中，OG=GF+OF=5.5m，OH=6.5m，
GH==≈3.46>3.3，
所以这辆货运卡车能否通过该隧道 .
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得OE垂直平分AD，再根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理算出隧道达到车高时隧道的宽度，与车宽比较即可.
1 / 1【提升卷】3.3 垂径定理—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
2．（2020九上·湖州期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OC∥BD B．AD⊥OC
C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴ ，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】由题意易得 ，则根据垂径定理及推论可进行排除选项.
3．（2023九上·右玉期中）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．
∵点的坐标为，
∴该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理，结合垂直平分线的性质求解。连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案．
4．（2023九上·通榆期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长度是 （ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，如图所示：
设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1，
∵AB=10寸，CD⊥AB，
∴AE=BE=AB=5寸，
在Rt△AOE中，AE2+OE2=AO2，
∴52+（r-1）2=r2，
解得：r=13，
∴CD=2r=26寸，
故答案为：D.
【分析】设圆的半径AO的长为r，则AO=CO=r，OE=r-1，利用勾股定理可得AE2+OE2=AO2，再将数据代入求出r的值，最后求出CD的长即可.
5．（2023九上·杭州期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则这根圆柱形木材的直径是（ ）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图：，延长DE，则DE过圆心，设圆心为O，DE的延长线与圆相交于一点，连接AO，则EO⊥AE于E，△AEO为直角三角形， DE＝1 ，设圆的半径为r，则EO=r-1，AE=，AO=r，则，解之得2r=26，
故这根圆柱形木材的直径是26寸，
故选：D.
【分析】如图，作辅助线：延长DE，设圆心为O，DE的延长线与圆相交于一点，连接AO，则由题意和垂径定理得DE过圆心，设圆心为O，则EO⊥AE于E，△AEO为直角三角形，又DE＝1 ，设圆的半径为r，则EO=r-1，AE=5，AO=r，由勾股定理可得，解之可求得这根圆柱形木材的直径2r.
6．已知⊙O的半径为5cm，在圆心O的同侧有两条互相平行的弦，长度分别为6cm和8cm，则这两条平行弦之间的距离是（ ）
A．1cm． B．2cm． C．3cm． D．4cm．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，EF=6cm，CD=8cm，
过点O作OG⊥EF交CD于点H，连接OC，OF，则OC=OF=5cm，
∵EF∥CD，
∴OH⊥CD，
∴FG=EF=3cm，HC=CD=4cm，
∴OG==4cm，
OH==3cm，
∴GH=OG-OH=4-3=1cm，
故答案为：A.
【分析】如图，过点O作OG⊥EF交CD于点H，连接OC，OF，则OC=OF=5cm，由勾股定理分别求出OG，OH的长，再利用GH=OG-OH即可求解.
7．如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弦AB的长为（ ）．
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB，∠BDO=90°，
∵CD=8，OC=OB=13，
∴OD=13-8=5，
∴，
∴AB=2BD=24.
故答案为：C.
【分析】连接OB，利用垂径定理可证得BD=AB，∠BDO=90°，利用已知求出OD的长，再利用勾股定理求出BD的长，即可得到AB的长.
8．如图所示，AC是的直径，弦于点，连结BC，过点作BC于点.若，则OF的长为（ ）.
A．3 B． C．2.5 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵BD⊥AO，
∴BE=BD=4，
设圆的半径为r，则OE=OA-AE=r-2，
在Rt△BOE中，由勾股定理得OE2+BE2=OB2，即42+（r-2）2=r2，
解得r=5，即OB=OC=5，
∴OE=OA-AE=3，
∴CE=OC+OE=8，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
∵OF⊥BC，
∴CF=BC=，
在Rt△CFO中，由勾股定理得.
故答案为：D.
【分析】连接OB，由垂径定理得BE=BD=4，设圆的半径为r，则OE=OA-AE=r-2，在Rt△BOE中，由勾股定理建立方程可求出半径的长，在Rt△BCE中，由勾股定理算出BC，再根据垂径定理得CF=BC=，在Rt△CFO中，由勾股定理可算出OF的长.
二、填空题
9．（2023九上·鹿城月考）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，且圆心在水面上方．若水面宽，则水的最大深度为 ．
【答案】18
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OB，
由已知直径为50cm，AB=48cm
根据垂径定理：CB=24 cm
在Rt△OBC中，OC=
∴CD=25-7=18cm
故答案为：18.
【分析】垂径定理是初中阶段圆中的重要定理，是求圆的半径、弦长、弦心距、弓高的重要依据，常常利用引垂线后构造的直角三角形求相关线段长，由直接求值或用勾股定理列方程.
10．（2023九下·义乌月考）如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接、，交于，如图，
∵，
，
设⊙的半径为，则，，
在中，，解得，
∵，
，，
在中，，①
在中，，②
解由①②组成的方程组得到，
.
故答案为.
【分析】连接、，交于，由垂径定理可得，设⊙的半径为，则，，在中，利用勾股定理建立关于r方程并解之，即得OA=5，由可得，，在中，①，在中，②，联立①②可得AG的长，继而得解.
11．（2024九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=AE=8cm，则OC的长为 cm.
【答案】5
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，则，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的长为，
故答案为：5．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解。设圆的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
12．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图①所示，图②是脸盆架的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为 cm．
【答案】25
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设脸盆所在圆的圆心为O，连接OC交AB于点D，连接OA，如图：
∴
设脸盆的半径为xcm，则
在中，
即
解得：
则该脸盆的半径为25cm.
故答案为：25.
【分析】设圆心为O，连接OC交AB于点D，连接OA，根据垂径定理得AD=BD=AB=20cm，设脸盆的半径为xcm，则OD=(x-10)cm，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
三、作图题
13．如图，一座石拱桥的形状是以点O为圆心，OA为半径的一段弧．
（1）确定的中点C．(要求：尺规作图，只需保留作图痕迹，不必写作法和证明)
（2）若的度数为120° ，OA=10m，求石拱桥桥拱的高度．
【答案】（1）解：如图，点C即为所求的中点，
（2）解：设OC与AB相交于点D，
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
又∵OA=OB，
∴∠AOC=∠AOB=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD= AO=5m，
∴CD=OC-OD=5m，即石拱桥桥拱的高度为5m.
【知识点】垂径定理的实际应用；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）分别以点A、B为圆心，大于AB的长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点O和两弧的交点作射线OE交于点C；
（2）设OC与AB相交于点D，由垂径定理可得OC⊥AB，由等腰三角形的三线合一得∠AOC=∠AOB=60°，根据三角形的内角和定理得∠OAD=30°，由含30°角直角三角形的性质OD= AO=5m，最后根据CD=OC-OD即可求出石拱桥桥拱的高度.
四、解答题
14．（2023九上·柯桥月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．
（1）求的长；
（2）若大圆半径为，求小圆的半径．
【答案】（1）解：解：作，垂足为E，
由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：连接，
∵在中，，
∴．
在中，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）作，垂足为E，根据垂径定理求出AE和CE的长度，最后根据线段间的数量关系即可求出AC的长；
（2）连接，在中利用勾股定理求出OE的长度，在中，利用勾股定理即可求出OC的长度.
15．（2023九上·玉环期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）若∠ACO=25°，求∠BCD的度数．
（2）若EB=4cm，CD=16cm，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，CB= BD，
∴∠BCD=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=25° ，
∴∠BCD=25° ；
（2）解：设⊙O的半径为Rcm， ．
∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，CD=16cm，
∴CE=CD=×16=8 (cm)，在Rt△CEB中，EB2=BC2-CE2，EB=4cm，
∴OE= (R-4) cm，
在Rt△CEO中，OC2=OE2+CE2，
∴R2= (R-4) 2+82，
∴R=10，∴⊙O的半径为10cm
【知识点】圆的相关概念；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质可求解；
（2）设⊙O的半径为Rcm，在Rt△CEO中，用勾股定理可得关于R的方程，解方程可求解.
16．（2023九上·绍兴期中）如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m，宽AB为3m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m．
（1）求圆弧AED所在圆的半径；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6m，宽3.3m，通过计算问这辆货运卡车能否通过该隧道，写出理由．
【答案】（1）解：设圆心为点O，半径为R，连接OE交AD于点F，连接OD，OA，如图，
∵OE⊥AD，OE平分AD，
∴△AFO是直角三角形，
∵ AF=AD=BC=6，OF=OE-EF=R-4，
∴ AF2+OF2=AO2， 即62+(R-4)2=R2，
解得：R=6.5，即 圆弧AED所在圆的半径为6.5m.
（2）解：能，取GF=3m，过点G作GH⊥EO，如图，
在Rt△GHO中，OG=GF+OF=5.5m，OH=6.5m，
GH==≈3.46>3.3，
所以这辆货运卡车能否通过该隧道 .
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得OE垂直平分AD，再根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理算出隧道达到车高时隧道的宽度，与车宽比较即可.
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