【基础卷】3.4圆周角和圆心角的关系—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、填空题
1．与圆有关的角有哪些？ 。同弧所对的圆周角等于圆心角的 。
【答案】圆心角，圆周角；一半
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：与圆有关的角有：圆心角、圆周角，
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
故答案为：圆心角、圆周角，一半.
【分析】根据圆的相关性质和圆周角性质及其推论，即可求解.
2．顶点在圆上，角的两边都和圆 的角叫作圆周角．圆周角和圆心的相对位置有三种：圆心在圆周角内，圆心在圆周角的 ，圆心在圆周角 。
【答案】相交；边上；外
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 顶点在圆上，角的两边都和圆相交的角叫作圆周角．圆周角和圆心的相对位置有三种：圆心在圆周角内，圆心在圆周角的边上，圆心在圆周角外；
故答案为：相交，边上，外；
【分析】根据圆周角的定义进行填空即可.
3．在同圆或等圆中，同弧或 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也 .
【答案】等弧；相等
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等；
故答案为：等弧，相等.
【分析】 根据圆周角定理的推论回答即可.
4．半圆(或 ) 所对的圆周角是 ，反之，90°的圆周角所对的弦是 ，所对的弧是 ，在圆中，常常构造直径所对圆周角得到直角．
【答案】直径；直角；直径；半圆
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 半圆(或直径) 所对的圆周角是直角，反之，90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆；
故答案为：直径，直角，直径，半圆，
【分析】根据圆周角定理的推论进行填空即可.
5．
（1）已知一条弧所对的圆心角的度数是84°，则这条弧的度数是 ，它所对的圆周角的度数是 .
（2）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上任意一点(异于A，B两点)，则∠ACB的度数是 .
【答案】（1）84°；42°
（2）90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：（1） ∵一条弧所对的圆周角的度数是84°，
∴这条弧的度数是84°，
∴它所对的圆周角的度数为×84°=42°．
（2） ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
故答案为：84°，42°，90°.
【分析】(1)根据一条弧所对的圆心角的度数就是这条弧的度数可解答，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可解答即可.
(2)由直径所对的圆周角是直角，可得出∠ACB的度数.
6．如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，这个四边形叫作圆的 ，这个圆叫作
【答案】内接四边形；四边形的外接圆
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，这个四边形叫作圆的内接四边形； 这个圆叫作四边形的外接圆.
故答案为：内接四边形； 四边形的外接圆.
【分析】根据圆的内接四边形和四边形的外接圆的定义可求解.
7．圆内接四边形的对角 ．如果一个平行四边形内接于圆，它必定是 。
【答案】互补；矩形
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 圆内接四边形的对角互补.如果一个平行四边形内接于圆，它必定是矩形.
故答案为：互补；矩形.
【分析】根据圆内接四边形的性质回答即可.
8．在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是
【答案】120°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∵∠A：∠B：∠C=4：3：5，
∴设∠A=4k，∠B=3k，∠C=5k，
∴4k+5k=180°，解得：k=20°，
∴∠B=3×20°=60°，
∴∠D=180°-60°=120°.
故答案为：120°.
【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，由已知条件可设∠A=4k，∠B=3k，∠C=5k，于是可得关于k的方程，解方程求出k的值，然后可求得∠D的度数.
9．如图，在⊙O中，∠ACB=30°，则∠AOB= ，的度数是 .
【答案】60°；60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 在⊙O中，∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，
∴的度数是60°.
故答案为：60°， 60°.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，即可求∠AOB的度数，然后根据一条弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数即可求的度数.
10．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BOC=100°，则∠BAC的度数是 ，∠BDC的度数是 ．
【答案】50°；130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOC=100°，
∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠BDC+∠BOC=180°，
∴∠BDC=180° -50°=130°.
故答案为：50° ，130° .
【分析】(1)由圆周角定理可得∠BAC=∠BOC即可求出∠BAC的度数.
(2)由圆内接四边形的性质可求出∠BDC的度数即可解答.
二、选择题
11．（2023九上·西山期中）如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．55° C．75° D．70°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】AB是⊙O的直径
(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等)
故选：B
【分析】灵活应用圆周角定理，直径AB所对的圆周角是90°，根据已知角度可计算出它的余角；观察图形，根据在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等定理，发现所求角同已知角的余角相等，故∠D度数可求。
12．（2023九上·石家庄月考）如图，点都在上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】连接CO，如图所示：
∵，
∴，
∴∠AOB=∠AOC=40°，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
故答案为：A.
【分析】利用垂径定理可得∠AOB=∠AOC=40°，再利用圆周角的性质可得∠ADC=∠AOC=20°.
13．（2023九上·鹿城月考）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D=180°，
又∠D=100°
∴∠B=80°
故答案为：B.
【分析】由圆的内接四边形，对角互补，可求解.
14．（2023九上·五华期中）如图，四边形是的内接四边形，若，，则所对圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OD，OC
∵∠B+∠ADC=180°
∴∠ADC=180°-58°=122°
∵
∴
故答案为：D
【分析】连接OD，OC，根据四边形内角性质可得∠ADC=122°，再根据三角形内角和定理可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
15．（2021九上·上城期中）四边形ABCD的内角，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比如下，则四边形是圆内接四边形的是（ ）
A．4：2：2：5 B．3：1：2：5 C．4：1：1：5 D．3：1：2：4
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是3：1：2：4.
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可得∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，据此判断.
三、解答题
16．如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=100°.若点E在上，求∠E的度数.
【答案】解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD=180°-∠C=80°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=50°，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠E=180°-∠ABD=130°.
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的对角互补计算出∠BAD=80°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=50°， 然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数.
17．（2022九上·沭阳月考）如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP．
【答案】证明：∵DA＝DP，
∴∠P＝∠A．
又∵∠C＝∠A，
∴∠P＝∠C．
∴BC＝BP．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠P＝∠A，由圆周角定理可得∠C＝∠A，则∠P＝∠C，据此证明.
18．（2024九上·丰台期中） 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．
【答案】解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据题意，利用矩形的性质得到 AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， 进一步得到 OA＝OB＝OC＝OD，从而得出结论.
19．（2023九上·通榆期中）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
【答案】证明：根据圆周角的性质可得：∠ABC=∠CPB=60°，∠CAB=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；圆周角定理
【解析】【分析】利用圆周角的性质可得∠ABC=∠CPB=60°，∠CAB=∠CPB=60°，从而可得△ABC是等边三角形．
20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，BD．求BC，AD，BD的长．
【答案】解：∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm，
∴BC2=AB2-AC2=102-62=64，
∴BC==8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴=，
∴AD=BD，
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∴AD2+BD2=102
∴AD=BD==（cm）．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 由圆周角定理的推论可得直径所对的圆周角是90°，因此得出△ABC和△ABD是直角三角形，根据勾股定理可求出BC的值，又由CD是∠ACB的平分线，可得出△ADB为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求出AD和BD的值．
1 / 1【基础卷】3.4圆周角和圆心角的关系—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、填空题
1．与圆有关的角有哪些？ 。同弧所对的圆周角等于圆心角的 。
2．顶点在圆上，角的两边都和圆 的角叫作圆周角．圆周角和圆心的相对位置有三种：圆心在圆周角内，圆心在圆周角的 ，圆心在圆周角 。
3．在同圆或等圆中，同弧或 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也 .
4．半圆(或 ) 所对的圆周角是 ，反之，90°的圆周角所对的弦是 ，所对的弧是 ，在圆中，常常构造直径所对圆周角得到直角．
5．
（1）已知一条弧所对的圆心角的度数是84°，则这条弧的度数是 ，它所对的圆周角的度数是 .
（2）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上任意一点(异于A，B两点)，则∠ACB的度数是 .
6．如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，这个四边形叫作圆的 ，这个圆叫作
7．圆内接四边形的对角 ．如果一个平行四边形内接于圆，它必定是 。
8．在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是
9．如图，在⊙O中，∠ACB=30°，则∠AOB= ，的度数是 .
10．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BOC=100°，则∠BAC的度数是 ，∠BDC的度数是 ．
二、选择题
11．（2023九上·西山期中）如图，已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝35°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．55° C．75° D．70°
12．（2023九上·石家庄月考）如图，点都在上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023九上·鹿城月考）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023九上·五华期中）如图，四边形是的内接四边形，若，，则所对圆心角为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021九上·上城期中）四边形ABCD的内角，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比如下，则四边形是圆内接四边形的是（ ）
A．4：2：2：5 B．3：1：2：5 C．4：1：1：5 D．3：1：2：4
三、解答题
16．如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=100°.若点E在上，求∠E的度数.
17．（2022九上·沭阳月考）如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP．
18．（2024九上·丰台期中） 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上．
19．（2023九上·通榆期中）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm．∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，BD．求BC，AD，BD的长．
答案解析部分
1．【答案】圆心角，圆周角；一半
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：与圆有关的角有：圆心角、圆周角，
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
故答案为：圆心角、圆周角，一半.
【分析】根据圆的相关性质和圆周角性质及其推论，即可求解.
2．【答案】相交；边上；外
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 顶点在圆上，角的两边都和圆相交的角叫作圆周角．圆周角和圆心的相对位置有三种：圆心在圆周角内，圆心在圆周角的边上，圆心在圆周角外；
故答案为：相交，边上，外；
【分析】根据圆周角的定义进行填空即可.
3．【答案】等弧；相等
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等；
故答案为：等弧，相等.
【分析】 根据圆周角定理的推论回答即可.
4．【答案】直径；直角；直径；半圆
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 半圆(或直径) 所对的圆周角是直角，反之，90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆；
故答案为：直径，直角，直径，半圆，
【分析】根据圆周角定理的推论进行填空即可.
5．【答案】（1）84°；42°
（2）90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：（1） ∵一条弧所对的圆周角的度数是84°，
∴这条弧的度数是84°，
∴它所对的圆周角的度数为×84°=42°．
（2） ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
故答案为：84°，42°，90°.
【分析】(1)根据一条弧所对的圆心角的度数就是这条弧的度数可解答，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可解答即可.
(2)由直径所对的圆周角是直角，可得出∠ACB的度数.
6．【答案】内接四边形；四边形的外接圆
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，这个四边形叫作圆的内接四边形； 这个圆叫作四边形的外接圆.
故答案为：内接四边形； 四边形的外接圆.
【分析】根据圆的内接四边形和四边形的外接圆的定义可求解.
7．【答案】互补；矩形
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 圆内接四边形的对角互补.如果一个平行四边形内接于圆，它必定是矩形.
故答案为：互补；矩形.
【分析】根据圆内接四边形的性质回答即可.
8．【答案】120°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∵∠A：∠B：∠C=4：3：5，
∴设∠A=4k，∠B=3k，∠C=5k，
∴4k+5k=180°，解得：k=20°，
∴∠B=3×20°=60°，
∴∠D=180°-60°=120°.
故答案为：120°.
【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，由已知条件可设∠A=4k，∠B=3k，∠C=5k，于是可得关于k的方程，解方程求出k的值，然后可求得∠D的度数.
9．【答案】60°；60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 在⊙O中，∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，
∴的度数是60°.
故答案为：60°， 60°.
【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，即可求∠AOB的度数，然后根据一条弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数即可求的度数.
10．【答案】50°；130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOC=100°，
∴∠BAC=∠BOC=×100°=50°，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠BDC+∠BOC=180°，
∴∠BDC=180° -50°=130°.
故答案为：50° ，130° .
【分析】(1)由圆周角定理可得∠BAC=∠BOC即可求出∠BAC的度数.
(2)由圆内接四边形的性质可求出∠BDC的度数即可解答.
11．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】AB是⊙O的直径
(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等)
故选：B
【分析】灵活应用圆周角定理，直径AB所对的圆周角是90°，根据已知角度可计算出它的余角；观察图形，根据在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等定理，发现所求角同已知角的余角相等，故∠D度数可求。
12．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】连接CO，如图所示：
∵，
∴，
∴∠AOB=∠AOC=40°，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
故答案为：A.
【分析】利用垂径定理可得∠AOB=∠AOC=40°，再利用圆周角的性质可得∠ADC=∠AOC=20°.
13．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B+∠D=180°，
又∠D=100°
∴∠B=80°
故答案为：B.
【分析】由圆的内接四边形，对角互补，可求解.
14．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OD，OC
∵∠B+∠ADC=180°
∴∠ADC=180°-58°=122°
∵
∴
故答案为：D
【分析】连接OD，OC，根据四边形内角性质可得∠ADC=122°，再根据三角形内角和定理可得，再根据圆周角定理即可求出答案.
15．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵圆的内接四边形对角互补，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是3：1：2：4.
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可得∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，据此判断.
16．【答案】解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD=180°-∠C=80°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=50°，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠E=180°-∠ABD=130°.
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的对角互补计算出∠BAD=80°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=50°， 然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数.
17．【答案】证明：∵DA＝DP，
∴∠P＝∠A．
又∵∠C＝∠A，
∴∠P＝∠C．
∴BC＝BP．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠P＝∠A，由圆周角定理可得∠C＝∠A，则∠P＝∠C，据此证明.
18．【答案】解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据题意，利用矩形的性质得到 AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， 进一步得到 OA＝OB＝OC＝OD，从而得出结论.
19．【答案】证明：根据圆周角的性质可得：∠ABC=∠CPB=60°，∠CAB=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；圆周角定理
【解析】【分析】利用圆周角的性质可得∠ABC=∠CPB=60°，∠CAB=∠CPB=60°，从而可得△ABC是等边三角形．
20．【答案】解：∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm，
∴BC2=AB2-AC2=102-62=64，
∴BC==8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴=，
∴AD=BD，
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∴AD2+BD2=102
∴AD=BD==（cm）．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】 由圆周角定理的推论可得直径所对的圆周角是90°，因此得出△ABC和△ABD是直角三角形，根据勾股定理可求出BC的值，又由CD是∠ACB的平分线，可得出△ADB为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求出AD和BD的值．
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