【提升卷】3.4圆周角和圆心角的关系—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2022·柳南模拟）如图，点在上，，则（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： 点在上，，
故答案为：D.
【分析】根据弧、弦的关系结合AB=CD可得，由圆周角定理可得∠AOB=2∠CED，据此计算.
2．（2022·枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86° 30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠AOB＝86° 30°＝56°，再求解即可。
3．（2023·铜川模拟）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵点A是中优弧的中点，
∴
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等得∠ADB=∠ABD=70°，根据三角形的内角和定理得∠A=40°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求∠BCD的度数.
4．（2023九上·西山期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（ ）
A．3 B．8 C．2 D．10
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，
(圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等)
AD为⊙O的直径，
（圆周角定理的推论3：直径所对的圆周角是直角）
即⊙O的半径
故选：A．
【分析】本题的关键在于正确作出辅助线；已知的45°角和弦长在图中都不关联所求的半径或直径，故尝试连接OA或OB，根据圆周角定理，如果延长半径作出直径可得到直角和与相等的45°角，这样，已知的弦长和特殊角都在一个直角三角形中，特殊角也能发挥作用，故延长半径做出直径，很明显根据勾股定理可以求得直径，进而求得半径的长。
5．（2023九上·杭州期中）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：接BC，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵四边形ADCB是圆的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD=∠BOC= x°，
∴x+y+90=180，即x+y=90.
故答案为：A.
【分析】连接BC，由圆内接四边形的性质可得∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°，
又因为∠BAD=∠BOC= y°，即有x+y=90.
6．（2023九上·东阳期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为的中点，若∠A＝50°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O ，
∴ ∠A+∠C=180°，
∵ ∠A=50°，
∴ ∠C=130°，
∵点C为的中点 ，即，
∴ BC=CD，
∴ ∠CBD=∠CDB==25°.
故答案为：D.
【分析】根据圆内接四边形的性质得∠C=130°，根据等弧对等弦得BC=BD，再根据等腰三角形的性质即可求得.
7．（2023九上·通榆期中）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF的大小是 （ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=72°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠DCE=72°，
∴∠DCE=180°-72°=108°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°，
故答案为：B.
【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠DCE=180°-72°=108°，再利用角的运算求出∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°即可.
8．（2024九上·天津市期中）如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接BD ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABD=180°-∠ACD=80° ∵AB直径∴BD⊥AD ∵ OC⊥AD ，则∠DCO= =50° ∴ BD∥OC ∴∠EDB=∠DCO=50° ∴ ∠E=∠DBA-∠BDE=80°-50°=30°
故答案为：B .
【分析】连接BD，根据圆内接四边形得出∠ABD=180°-∠ACD=80° ， 根据AB直径得出BD⊥AD BD∥OC ，根据垂径定理得出∠DCO= =50° 根据平行线的性质以及三角形的外角的性质既可求解。
二、填空题
9．（2018九上·扬州期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是 °．
【答案】105
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAB=105°．
【分析】利用圆内接四边形对角互补，外角等于其内对角，可求出∠DCE=∠DAB=105°．
10．（2023九上·嘉定期中）如图，在中，，点D、E分别在上，且，将沿着折叠，点C恰好落在边上的点F处，如果，那么的长为
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由折叠可得，，
四点共圆，
，
，
，
，
，
由，可得，
同理可得，
，即F是的中点，
在中，，
，
，
由四点共圆，可得，
，
，
，
，
．
故答案为： 。
【分析】根据，可得D、C、F、F四点共圆，利用圆周角定理证明点位的中点，再证明，根据相似三角形的性质计算。
11．（2023九上·萧山月考）如图，为的直径，，为的中点，过作∥交于，连接，则的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径
∴半圆=180°
∵
∴AC =120°，BC =60°
∴∠BOC=60°
∵M是BC 的中点
∴BM =CM =30°
∴ACM =150°
∴∠ABM=ACM =75°
又∵MN//OC
∴∠MNB=∠BOC=60°
∴∠BMN=180°-75°-60°=45°
故答案为：45°.
【分析】在圆中，圆心角的度数等于所对弧的度数，圆周角的度数是所对弧度数的一半；本题根据已知条件可得∠MNB=∠BOC=BC =60°，∠ABM=ACM =75°，由三角形内角之和为180°可得∠BMN=180°-75°-60°=45°.
12．（2023九上·余姚期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是 ．
【答案】50°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解： 如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根据翻折的性质知，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°，
∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-20°-110°=50°．
故答案为：50°.
【分析】先根据圆周角定理和直角三角形的性质求出∠B的度数，再根据折叠的性质和圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再根据三角形内角和定理得出∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC，即可得出答案.
三、作图题
13．（2023·二道模拟） 如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题，保留作图痕迹．
（1）在图中，找一格点，连结，使画出一种即可，这样的格点与点不重合有 个
（2）在图中，找一格点，连结、，使画出一种即可．
（3）在图中的线段上画一点，连结，，使．
【答案】（1）；7
（2）解：如图中，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：⑴、以A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点即点C的位置，易知共有7个位置。
⑵、如图根据圆周角定理可知
【分析】⑴、利用圆的性质，以点A为圆心AB长为半径画圆，圆与网格的交点即为点C的位置。
⑵、利用圆周角定理找取点E。
⑶、由∠QNP=90°，对应圆周角45°的内接四边形对角为135°，即推得∠QFP=135°，故以N为圆心，NQ为半径交MN于点F，该点F即为所求。
四、解答题
14．（2024九上·交城期中） 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是AB同侧圆上两点，AC=BD，AD与BC交于点E，延长AD到F使DF=DE，连接BF.
（1）求证：CE=DE；
（2）若AD平分∠BAC，求证：BF为⊙O的切线.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠C=∠ADB=90°
∴在Rt△ABC和Rt△BAD中
∴△ABC≌△BAD(HL)
∴BC=AD，∠ABC=∠BAD
∴AE=BE
∴CE=DE
（2）解：∵∠ADB=90°
∴BD⊥AF
∵DF=DE
∴BD是EF的垂直平分线
∴BE=BF
∴∠BEF=∠F
∵AD平分∠BAC
∴∠CAE=∠BAF
∵∠C=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°
∵∠AEC=∠BEF
∴∠CAE+∠BEF=90°
∴∠BAF+∠F=90°
∴∠ABF=90°
∴AB⊥BF
∴BF是⊙O的切线
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和全等三角形的判定与性质求解。利用直径所对的圆周角为直角，及公共边证，得，进而得．
（2）根据圆周角定理，结合垂直平分线的性质求解。由及直径所对的圆周角为直角，证BD是EF的垂直平分线，进而得，，再由平分进而证明即可．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， =．过点C作CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：AE=CE．
（2） 若AE=3，DE=，求∠'ABC的度数．
【答案】（1）证明：如图，作BF⊥CE于点F．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180° ，得∠BCD= 90°．
又由∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90° ，得∠BCF=∠D．
∵，∴BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE，∴BF=CE．
∵AE=BF，∴AE= EC．
（2）解：由(1)，得AE=CE=3．在Rt△CDE中，DE= ，CE=3，∴CD=，
∴DE= CD，∴∠DCE=30°，∠D=60°．∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABC=120°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）作BF⊥CE于点F，由圆内接四边形的性质可求出∠BCD的度数，根据同角的余角相等可得∠BCF=∠D，结合已知用角角边可证Rt△BCF≌Rt△CDE，由全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）的结论可得AECE，在Rt△CDE中，用勾股定理可求出CD的值，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得∠DCE=30°，∠D=60°，然后根据圆内接四边形的对角互补可求解.
16．（2023九上·鹿城月考）如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：点为弧的中点，
，
是半圆的直径，
，
；
（2）解：连结BC，
是半圆的直径，
，
设，则，
即，
解得，
∴OF=1.4，
∵点O是AB的中点，点F是BD的中点，
∴OF是的中位线，
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，可得OC⊥BD；由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BD，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以OC//AD；
（2）由（1）可知，OC垂直平分BD，又OC//AD，可得OF是 ABD的中位线，故AD=2OF，那么求出OF就可以求出AD的长；已知AB=10，AC=8，连接BC，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理得BC=6，设OF=x，在Rt OFB中，OF=x，OB=5 ，BF2=OB2-OF2，在Rt CFB中，CF=5-x，BC=6，BF2=CB2-CF2，故52-x2=62-(5-x)2，解得x=1.4，故AD=2OF=2.8.
17．（2023九上·东阳月考）已知四边形ABCD，⊙O经过B，D两点，与四条边分别交于点E，F，G，H，且=．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A=∠C．
（2）如图②，若的度数为θ，∠A=α，∠C=β，请写出θ，α和β之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：连接DF，DG，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB=∠DGB=90°，
∵=
∴∠EDF=∠HDB，
∴∠DFB-∠EDF=∠DGB-∠HDB
∴∠A=∠C(外角定理)；
（2）解：结论：α+β+θ=180°，
理由：因为=，
所以∠ADF=∠HBG=θ，
所以∠A+θ+∠C+θ=180°，
即：α+β+θ=180°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）连接DF，DG，根据圆周角定理得到∠DFB=∠DGB=90°，∠EDF=∠HDB，最后根据三角形外角定理即可证明∠A=∠C；
（2）根据圆周角定理得到∠ADF=∠HBG=θ，最后根据三角形外角性质及圆内接四边形对角互补即可求解.
1 / 1【提升卷】3.4圆周角和圆心角的关系—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2022·柳南模拟）如图，点在上，，则（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
2．（2022·枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
3．（2023·铜川模拟）如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·西山期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（ ）
A．3 B．8 C．2 D．10
5．（2023九上·杭州期中）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
6．（2023九上·东阳期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知点C为的中点，若∠A＝50°，则∠CBD的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．25°
7．（2023九上·通榆期中）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD=108°，E是BC延长线上一点，若∠ECF=60°，则∠DCF的大小是 （ ）
A．30° B．48° C．54° D．60°
8．（2024九上·天津市期中）如图，是的直径，内接于，延长在外相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2018九上·扬州期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是 °．
10．（2023九上·嘉定期中）如图，在中，，点D、E分别在上，且，将沿着折叠，点C恰好落在边上的点F处，如果，那么的长为
11．（2023九上·萧山月考）如图，为的直径，，为的中点，过作∥交于，连接，则的度数为 ．
12．（2023九上·余姚期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是 ．
三、作图题
13．（2023·二道模拟） 如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题，保留作图痕迹．
（1）在图中，找一格点，连结，使画出一种即可，这样的格点与点不重合有 个
（2）在图中，找一格点，连结、，使画出一种即可．
（3）在图中的线段上画一点，连结，，使．
四、解答题
14．（2024九上·交城期中） 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是AB同侧圆上两点，AC=BD，AD与BC交于点E，延长AD到F使DF=DE，连接BF.
（1）求证：CE=DE；
（2）若AD平分∠BAC，求证：BF为⊙O的切线.
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， =．过点C作CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：AE=CE．
（2） 若AE=3，DE=，求∠'ABC的度数．
16．（2023九上·鹿城月考）如图，△ABD内接于半圆O，AB是直径，点C是弧BD的中点，连结OC，AC，分别交BD于点F、E．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
17．（2023九上·东阳月考）已知四边形ABCD，⊙O经过B，D两点，与四条边分别交于点E，F，G，H，且=．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A=∠C．
（2）如图②，若的度数为θ，∠A=α，∠C=β，请写出θ，α和β之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： 点在上，，
故答案为：D.
【分析】根据弧、弦的关系结合AB=CD可得，由圆周角定理可得∠AOB=2∠CED，据此计算.
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠AOB＝86° 30°＝56°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠AOB＝86° 30°＝56°，再求解即可。
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵点A是中优弧的中点，
∴
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等得∠ADB=∠ABD=70°，根据三角形的内角和定理得∠A=40°，进而根据圆内接四边形的对角互补可求∠BCD的度数.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，
(圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等)
AD为⊙O的直径，
（圆周角定理的推论3：直径所对的圆周角是直角）
即⊙O的半径
故选：A．
【分析】本题的关键在于正确作出辅助线；已知的45°角和弦长在图中都不关联所求的半径或直径，故尝试连接OA或OB，根据圆周角定理，如果延长半径作出直径可得到直角和与相等的45°角，这样，已知的弦长和特殊角都在一个直角三角形中，特殊角也能发挥作用，故延长半径做出直径，很明显根据勾股定理可以求得直径，进而求得半径的长。
5．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：接BC，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°.
∵四边形ADCB是圆的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD=∠BOC= x°，
∴x+y+90=180，即x+y=90.
故答案为：A.
【分析】连接BC，由圆内接四边形的性质可得∠ACB+∠ACD+∠BAD=180°，
又因为∠BAD=∠BOC= y°，即有x+y=90.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O ，
∴ ∠A+∠C=180°，
∵ ∠A=50°，
∴ ∠C=130°，
∵点C为的中点 ，即，
∴ BC=CD，
∴ ∠CBD=∠CDB==25°.
故答案为：D.
【分析】根据圆内接四边形的性质得∠C=130°，根据等弧对等弦得BC=BD，再根据等腰三角形的性质即可求得.
7．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，
∴∠BCD=180°-∠BAD=72°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠DCE=72°，
∴∠DCE=180°-72°=108°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°，
故答案为：B.
【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠DCE=180°-72°=108°，再利用角的运算求出∠DCF=∠DCE-∠ECF=108°-60°=48°即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】连接BD ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABD=180°-∠ACD=80° ∵AB直径∴BD⊥AD ∵ OC⊥AD ，则∠DCO= =50° ∴ BD∥OC ∴∠EDB=∠DCO=50° ∴ ∠E=∠DBA-∠BDE=80°-50°=30°
故答案为：B .
【分析】连接BD，根据圆内接四边形得出∠ABD=180°-∠ACD=80° ， 根据AB直径得出BD⊥AD BD∥OC ，根据垂径定理得出∠DCO= =50° 根据平行线的性质以及三角形的外角的性质既可求解。
9．【答案】105
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAB=105°．
【分析】利用圆内接四边形对角互补，外角等于其内对角，可求出∠DCE=∠DAB=105°．
10．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由折叠可得，，
四点共圆，
，
，
，
，
，
由，可得，
同理可得，
，即F是的中点，
在中，，
，
，
由四点共圆，可得，
，
，
，
，
．
故答案为： 。
【分析】根据，可得D、C、F、F四点共圆，利用圆周角定理证明点位的中点，再证明，根据相似三角形的性质计算。
11．【答案】45°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径
∴半圆=180°
∵
∴AC =120°，BC =60°
∴∠BOC=60°
∵M是BC 的中点
∴BM =CM =30°
∴ACM =150°
∴∠ABM=ACM =75°
又∵MN//OC
∴∠MNB=∠BOC=60°
∴∠BMN=180°-75°-60°=45°
故答案为：45°.
【分析】在圆中，圆心角的度数等于所对弧的度数，圆周角的度数是所对弧度数的一半；本题根据已知条件可得∠MNB=∠BOC=BC =60°，∠ABM=ACM =75°，由三角形内角之和为180°可得∠BMN=180°-75°-60°=45°.
12．【答案】50°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解： 如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根据翻折的性质知，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°-70°=110°，
∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-20°-110°=50°．
故答案为：50°.
【分析】先根据圆周角定理和直角三角形的性质求出∠B的度数，再根据折叠的性质和圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再根据三角形内角和定理得出∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC，即可得出答案.
13．【答案】（1）；7
（2）解：如图中，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求．
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：⑴、以A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点即点C的位置，易知共有7个位置。
⑵、如图根据圆周角定理可知
【分析】⑴、利用圆的性质，以点A为圆心AB长为半径画圆，圆与网格的交点即为点C的位置。
⑵、利用圆周角定理找取点E。
⑶、由∠QNP=90°，对应圆周角45°的内接四边形对角为135°，即推得∠QFP=135°，故以N为圆心，NQ为半径交MN于点F，该点F即为所求。
14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠C=∠ADB=90°
∴在Rt△ABC和Rt△BAD中
∴△ABC≌△BAD(HL)
∴BC=AD，∠ABC=∠BAD
∴AE=BE
∴CE=DE
（2）解：∵∠ADB=90°
∴BD⊥AF
∵DF=DE
∴BD是EF的垂直平分线
∴BE=BF
∴∠BEF=∠F
∵AD平分∠BAC
∴∠CAE=∠BAF
∵∠C=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°
∵∠AEC=∠BEF
∴∠CAE+∠BEF=90°
∴∠BAF+∠F=90°
∴∠ABF=90°
∴AB⊥BF
∴BF是⊙O的切线
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和全等三角形的判定与性质求解。利用直径所对的圆周角为直角，及公共边证，得，进而得．
（2）根据圆周角定理，结合垂直平分线的性质求解。由及直径所对的圆周角为直角，证BD是EF的垂直平分线，进而得，，再由平分进而证明即可．
15．【答案】（1）证明：如图，作BF⊥CE于点F．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD=180° ，得∠BCD= 90°．
又由∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90° ，得∠BCF=∠D．
∵，∴BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE，∴BF=CE．
∵AE=BF，∴AE= EC．
（2）解：由(1)，得AE=CE=3．在Rt△CDE中，DE= ，CE=3，∴CD=，
∴DE= CD，∴∠DCE=30°，∠D=60°．∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABC=120°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）作BF⊥CE于点F，由圆内接四边形的性质可求出∠BCD的度数，根据同角的余角相等可得∠BCF=∠D，结合已知用角角边可证Rt△BCF≌Rt△CDE，由全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）的结论可得AECE，在Rt△CDE中，用勾股定理可求出CD的值，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得∠DCE=30°，∠D=60°，然后根据圆内接四边形的对角互补可求解.
16．【答案】（1）解：点为弧的中点，
，
是半圆的直径，
，
；
（2）解：连结BC，
是半圆的直径，
，
设，则，
即，
解得，
∴OF=1.4，
∵点O是AB的中点，点F是BD的中点，
∴OF是的中位线，
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，可得OC⊥BD；由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BD，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以OC//AD；
（2）由（1）可知，OC垂直平分BD，又OC//AD，可得OF是 ABD的中位线，故AD=2OF，那么求出OF就可以求出AD的长；已知AB=10，AC=8，连接BC，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，根据勾股定理得BC=6，设OF=x，在Rt OFB中，OF=x，OB=5 ，BF2=OB2-OF2，在Rt CFB中，CF=5-x，BC=6，BF2=CB2-CF2，故52-x2=62-(5-x)2，解得x=1.4，故AD=2OF=2.8.
17．【答案】（1）证明：连接DF，DG，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB=∠DGB=90°，
∵=
∴∠EDF=∠HDB，
∴∠DFB-∠EDF=∠DGB-∠HDB
∴∠A=∠C(外角定理)；
（2）解：结论：α+β+θ=180°，
理由：因为=，
所以∠ADF=∠HBG=θ，
所以∠A+θ+∠C+θ=180°，
即：α+β+θ=180°
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）连接DF，DG，根据圆周角定理得到∠DFB=∠DGB=90°，∠EDF=∠HDB，最后根据三角形外角定理即可证明∠A=∠C；
（2）根据圆周角定理得到∠ADF=∠HBG=θ，最后根据三角形外角性质及圆内接四边形对角互补即可求解.
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