【基础卷】3.5确定圆的条件—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、填空题
1．确定一个圆需要明确两个要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的 .
2． 的三个点可以确定一个圆．因为根据这样的三个点能确定 和 .
3．经过三角形各个顶点的圆叫作三角形的 ，三角形叫作圆的 ．一个三角形有 个外接圆，一个圆内可以作 个内接三角形．
4．外接圆的圆心叫作三角形的 ，它是三角形三条边的 的交点，到三角形 的距离 .
5．三角形的外心是三角形的 的交点.
6．锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形 直角三角形的外心是 ，斜边是外接圆的一条直径．
7．如图，写出⊙O的内接三角形： .
8．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出的圆的个数是 个．
9．一个直角三角形的两边长分别为5，12，则此三角形的外接圆半径是
10．已知直角三角形的外接圆半径为4cm，则此三角形的斜边长为 cm．
二、选择题
11．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．过三点能作一个圆
C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
12．（2021九上·长兴期中）根据已有的圆规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2020九下·西安月考）若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
14．（2023九上·浙江期中）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆直径为（ ）
A．5 B．12 C．13 D．6.5
15．（2022九上·杭州期中）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．100° B．95° C．90° D．50°
16．（2022九上·滨江期末）已知，线段AB＝2，点C为平面上一点，若，则线段AC的最大值是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．
三、作图题
17．如图，已知线段AB．
（1）经过A，B两点可以作 个圆，这些圆的圆心都在 .
（2）作经过A，B两点的所有圆中最小的圆．
18．求作如图△ABC的外接圆．
四、解答题
19．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.
20．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
答案解析部分
1．【答案】大小
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解： 确定一个圆需要明确两个要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
故答案为：大小.
【分析】根据圆的两个要素可求解.
2．【答案】不在同一直线上；圆心；半径
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解： 不在同一直线上的三个点可以确定一个圆．因为根据这样的三个点能确定圆心和半径.
故答案为：不在同一直线上；圆心；半径.
【分析】根据确定圆的条件回答即可.
3．【答案】外接圆；内接三角形；一；无数
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：经过三角形各个顶点的圆叫作三角形的外接圆，三角形叫作圆的内接三角形 ， 一个三角形有1个外接圆，一个圆内可以作无数个内接三角形．
故答案为：外接圆；内接三角形；一；无数.
【分析】根据三角形的外接圆的定义以及相关定义可求解.
4．【答案】外心；垂直平分线；三个顶点；相等
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：外接圆的圆心叫作三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等.
故答案为：外心；垂直平分线；三个顶点；相等.
【分析】根据三角形的外心的定义和线段的垂直平分线的性质可求解.
5．【答案】三边垂直平分线
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： 三角形的外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点.
故答案为：三边垂直平分线.
【分析】根据三角形外心定义即可得出答案.
6．【答案】外部；斜边的中点
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点，斜边是外接圆的一条直径.
故答案为：外部；斜边的中点.
【分析】根据三角形外心的定义和线段的垂直平分线的性质可求解.
7．【答案】△ABC，△DBC
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由图知：⊙O的所有内接三角形有△ABC和△DBC，
故答案为：△ABC和△DBC.
【分析】 根据圆内接三角形的定义即可得到结论．
8．【答案】3
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出的圆的个数是3个.
故答案为：3.
【分析】根据不在同一直线上的三个点确定一个圆可求解.
9．【答案】6或
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当5、12为直角边时，斜边=，
∵直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处，
∴三角形的外接圆半径=；
②当12为斜边时，
∵直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处，
∴三角形的外接圆半径==6.
故答案为：6或.
【分析】由题意分两种情况：①当5、12为直角边时，②当12为斜边时，根据直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处可求解.
10．【答案】8
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵直角三角形的外接圆半径为4cm，
∴这个三角形的斜边长为：4×2=8cm，
∴此三角形的斜边长为8cm.
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，可求出斜边长是外接圆半径的2倍即可解答.
11．【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、过一点有无数个圆，故A选项是正确的．
B、过不在同一条直线上的三点能作一个圆，故B选项是不正确的．
C、三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，故C选项是正确的．
D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，故D选项是正确的．
故答案为：B.
【分析】由确定圆的条件和三角形外接圆、外心的定义和性质即可判断解答.
12．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵A、作图是作的一个角的平分线和一边的垂直平分线，故A不符合题意；
B、作图作的是两个角的角平分线，故B不符合题意；
C、作图作的是两边的垂直平分线，故C符合题意；
D、作的是一边的垂直平分线和一边的垂线，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的作法，可得答案.
13．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．
14．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，由勾股定理得，
∴的外接圆直径为13.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求得斜边的长，直角三角形的外接圆直径即为斜边的长．
15．【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示，连接AP，延长BP交AC于D，
∵AB、AC中垂线交于点P，
∴点P为△ABC外接圆圆心，
∴∠BPC＝2∠BAC
∵ ∠BAC=50°，
∴∠BPC＝100°.
故答案为：A．
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，由AB、AC中垂线交于点P可得点P为△ABC外接圆圆心，由圆周角定理可得∠BPC＝2∠BAC，进而求得∠BPC的度数.
16．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：以AB为边作等边△OAB，作△OAB的外接圆O，如图所示：
∵△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵∠ACB＝30°，
∴点C在优弧AB上，
当AC为的直径时，AC最大，且最大值为4.
故答案为：C.
【分析】以AB为边作等边△OAB，作△OAB的外接圆O，根据等边三角形的性质可得OA=OB=AB=2，由∠ACB＝30°可知点C在优弧AB上，故当AC为⊙O的直径时取得最大值，据此解答.
17．【答案】（1）无数；AB的中垂线上
（2）解：如图，⊙O为所作．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：（1）经过A，B两点可以作无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上；
故答案为：无数；线段AB的垂直平分线上；
【分析】 （1）根据圆的定义和线段垂直平分线的性质即可解答；
（2）经过A，B两点的所有圆中最小的圆是以AB为直径的圆作图即可解答．
18．【答案】解：作法如下：
①作线段AB的垂直平分线，
②作线段AC的垂直平分线，
③以两条垂直平分线的交点为圆心O、OA长为半径画圆，则圆O为所求的圆.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质可求解.
19．【答案】解：如图所示：
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC外接圆的半径为8.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据三角形外接圆和等腰三角形的性质可知∠BAO＝60°，再由等腰三角形的性质知△ABO为等边三角形，从而得△ABC外接圆的半径.
20．【答案】解：设直线BC解析式为：y=kx+b，依题可得：
，
解得，
∴直线BC解析式为：y=x-.
将x=2代入得：y=×2-=.
∴A点不在直线BC上，
∴A、B、C三点不共线，
∴A、B、C三点可以确定一个圆.
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】根据待定系数法先求出直线BC解析式，再看A点是否在直线BC上，不在即可确定一个圆.
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一、填空题
1．确定一个圆需要明确两个要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的 .
【答案】大小
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解： 确定一个圆需要明确两个要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
故答案为：大小.
【分析】根据圆的两个要素可求解.
2． 的三个点可以确定一个圆．因为根据这样的三个点能确定 和 .
【答案】不在同一直线上；圆心；半径
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解： 不在同一直线上的三个点可以确定一个圆．因为根据这样的三个点能确定圆心和半径.
故答案为：不在同一直线上；圆心；半径.
【分析】根据确定圆的条件回答即可.
3．经过三角形各个顶点的圆叫作三角形的 ，三角形叫作圆的 ．一个三角形有 个外接圆，一个圆内可以作 个内接三角形．
【答案】外接圆；内接三角形；一；无数
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：经过三角形各个顶点的圆叫作三角形的外接圆，三角形叫作圆的内接三角形 ， 一个三角形有1个外接圆，一个圆内可以作无数个内接三角形．
故答案为：外接圆；内接三角形；一；无数.
【分析】根据三角形的外接圆的定义以及相关定义可求解.
4．外接圆的圆心叫作三角形的 ，它是三角形三条边的 的交点，到三角形 的距离 .
【答案】外心；垂直平分线；三个顶点；相等
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：外接圆的圆心叫作三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等.
故答案为：外心；垂直平分线；三个顶点；相等.
【分析】根据三角形的外心的定义和线段的垂直平分线的性质可求解.
5．三角形的外心是三角形的 的交点.
【答案】三边垂直平分线
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： 三角形的外心是三角形的三条边的垂直平分线的交点.
故答案为：三边垂直平分线.
【分析】根据三角形外心定义即可得出答案.
6．锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形 直角三角形的外心是 ，斜边是外接圆的一条直径．
【答案】外部；斜边的中点
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点，斜边是外接圆的一条直径.
故答案为：外部；斜边的中点.
【分析】根据三角形外心的定义和线段的垂直平分线的性质可求解.
7．如图，写出⊙O的内接三角形： .
【答案】△ABC，△DBC
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由图知：⊙O的所有内接三角形有△ABC和△DBC，
故答案为：△ABC和△DBC.
【分析】 根据圆内接三角形的定义即可得到结论．
8．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出的圆的个数是 个．
【答案】3
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出的圆的个数是3个.
故答案为：3.
【分析】根据不在同一直线上的三个点确定一个圆可求解.
9．一个直角三角形的两边长分别为5，12，则此三角形的外接圆半径是
【答案】6或
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由题意分两种情况：
①当5、12为直角边时，斜边=，
∵直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处，
∴三角形的外接圆半径=；
②当12为斜边时，
∵直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处，
∴三角形的外接圆半径==6.
故答案为：6或.
【分析】由题意分两种情况：①当5、12为直角边时，②当12为斜边时，根据直角三角形的外接圆的圆心在直角三角形的斜边的中点处可求解.
10．已知直角三角形的外接圆半径为4cm，则此三角形的斜边长为 cm．
【答案】8
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵直角三角形的外接圆半径为4cm，
∴这个三角形的斜边长为：4×2=8cm，
∴此三角形的斜边长为8cm.
故答案为：8.
【分析】根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，可求出斜边长是外接圆半径的2倍即可解答.
二、选择题
11．下列命题不正确的是（ ）
A．过一点有无数个圆
B．过三点能作一个圆
C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点
D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
【答案】B
【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、过一点有无数个圆，故A选项是正确的．
B、过不在同一条直线上的三点能作一个圆，故B选项是不正确的．
C、三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，故C选项是正确的．
D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，故D选项是正确的．
故答案为：B.
【分析】由确定圆的条件和三角形外接圆、外心的定义和性质即可判断解答.
12．（2021九上·长兴期中）根据已有的圆规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵A、作图是作的一个角的平分线和一边的垂直平分线，故A不符合题意；
B、作图作的是两个角的角平分线，故B不符合题意；
C、作图作的是两边的垂直平分线，故C符合题意；
D、作的是一边的垂直平分线和一边的垂线，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的作法，可得答案.
13．（2020九下·西安月考）若三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴该三角形是直角三角形．
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，则该三角形是直角三角形．
14．（2023九上·浙江期中）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆直径为（ ）
A．5 B．12 C．13 D．6.5
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，由勾股定理得，
∴的外接圆直径为13.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求得斜边的长，直角三角形的外接圆直径即为斜边的长．
15．（2022九上·杭州期中）如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．100° B．95° C．90° D．50°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示，连接AP，延长BP交AC于D，
∵AB、AC中垂线交于点P，
∴点P为△ABC外接圆圆心，
∴∠BPC＝2∠BAC
∵ ∠BAC=50°，
∴∠BPC＝100°.
故答案为：A．
【分析】连接AP，延长BP交AC于D，由AB、AC中垂线交于点P可得点P为△ABC外接圆圆心，由圆周角定理可得∠BPC＝2∠BAC，进而求得∠BPC的度数.
16．（2022九上·滨江期末）已知，线段AB＝2，点C为平面上一点，若，则线段AC的最大值是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：以AB为边作等边△OAB，作△OAB的外接圆O，如图所示：
∵△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∵∠ACB＝30°，
∴点C在优弧AB上，
当AC为的直径时，AC最大，且最大值为4.
故答案为：C.
【分析】以AB为边作等边△OAB，作△OAB的外接圆O，根据等边三角形的性质可得OA=OB=AB=2，由∠ACB＝30°可知点C在优弧AB上，故当AC为⊙O的直径时取得最大值，据此解答.
三、作图题
17．如图，已知线段AB．
（1）经过A，B两点可以作 个圆，这些圆的圆心都在 .
（2）作经过A，B两点的所有圆中最小的圆．
【答案】（1）无数；AB的中垂线上
（2）解：如图，⊙O为所作．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：（1）经过A，B两点可以作无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上；
故答案为：无数；线段AB的垂直平分线上；
【分析】 （1）根据圆的定义和线段垂直平分线的性质即可解答；
（2）经过A，B两点的所有圆中最小的圆是以AB为直径的圆作图即可解答．
18．求作如图△ABC的外接圆．
【答案】解：作法如下：
①作线段AB的垂直平分线，
②作线段AC的垂直平分线，
③以两条垂直平分线的交点为圆心O、OA长为半径画圆，则圆O为所求的圆.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质可求解.
四、解答题
19．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.
【答案】解：如图所示：
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC外接圆的半径为8.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据三角形外接圆和等腰三角形的性质可知∠BAO＝60°，再由等腰三角形的性质知△ABO为等边三角形，从而得△ABC外接圆的半径.
20．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
【答案】解：设直线BC解析式为：y=kx+b，依题可得：
，
解得，
∴直线BC解析式为：y=x-.
将x=2代入得：y=×2-=.
∴A点不在直线BC上，
∴A、B、C三点不共线，
∴A、B、C三点可以确定一个圆.
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】根据待定系数法先求出直线BC解析式，再看A点是否在直线BC上，不在即可确定一个圆.
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