【提升卷】3.5确定圆的条件—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2021九上·临沭期中）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：B．
【分析】作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，再求解即可。
2．（2023九上·宝安开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3）
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形的外接圆与外心；坐标与图形变化﹣平移；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴-2a＜-2b，∴1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、 将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（-2，6），此选项不符合题意；
C、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可以是等腰梯形，此选项不符合题意；
D、 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等 ，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、根据点的坐标的平移规律“左减右加、上加下减”可求解；
C、根据平行四边形的判定可知 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；
D、根据线段的垂直平分线的性质可判断求解.
3．（2022九上·金东月考）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，
当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故答案为：C.
【分析】当四点在同一条直线上时，不能确定圆；当四点共圆时，只能作一个圆；当三点在同一直线上时，可以作三个圆；当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆.
4．（2021九上·香洲期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（－2，－1） B．（－1，0）
C．（－1，－1） D．（0，－1）
【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：A
【分析】根据△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，得出EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，从而得出答案。
5．（2023九上·石家庄期中） 已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（ ）
A．两人都正确. B．只有甲正确
C．只有乙正确 D．两人都不正确
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由甲的作法可知，△PAB为直角三角形
∴AB为△PAB的外接圆的直径
∵点O为AB中点
∴OA=OB
∴点O为△PAB的外心，故甲的作法正确
由乙的作法可知，OA=OP=OB
∴点O为△PAB的外心，故乙的作法正确
故答案为：A
【分析】根据三角形的外心定义即可求出答案.
6．（2023·包头）如图，是锐角三角形ABC的外接圆，，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD=BD，AF=CF，BE=CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴，，，
∴，
∵DE+DF=6.5，
∴EF=4，
故选：B.
【分析】根据垂径定理得AD=BD，AF=CF，BE=CE，再根据三角形中位线定理计算出DE+DF+EF的值，结合已知条件可以得出EF的长。
7．（2023·长沙模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（ ）
A．直线MN是线段BC的垂直平分线 B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90° D．点D为△ABC的内心
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由作图可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵CD＝AD，
∴CD=BD=AD，
∴∠ACB=90°，
∴点D是△ACB的外心，
∴选项ABC结论正确，选项D结论错误，
故答案为：D.
【分析】根据作图的方法，三角形的外心等对每个选项一一判断即可。
8．（2023·黄岛模拟）如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
如图所示，连接，过点作于，
∵是等边的外接圆，，
∴，平分，是弦的垂直平分线，
∴，
∴在中，，
设，则，
∴，即，解得，（舍去），，
∴
∴的半径是，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于，设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，再求出，即可得到的半径是。
9．（2023·邢台模拟）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：设小正方形边长为1，
则：，
，
根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断：
点O是三个三角形的外心；
不是的外心，
故答案为：C．
【分析】利用三角形外心的定义及性质求解即可。
10．（2023九上·沁阳模拟）一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：，
因式分解得，
解得，
∵，
∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13，
∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法求出方程的两根为5与13，然后根据勾股定理的逆定理判断出该三角形是直角三角形，进而根据直角三角形外接圆的半径是斜边长的一半即可得出答案.
二、填空题
11．如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，的三个顶点A，B，C都在格点上，若不与顶点重合的格点D在的外接圆上，则图中符合条件的点D有 个.
【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作出△ABC的外接圆，
由图可得符合条件的格点D有5个（D、E、F、G、H）.
故答案为：5.
【分析】作出△ABC的外接圆，该圆经过的格点就一目了然了.
12．平面内有5个点A，B，C，D，E，直线AB与直线CD正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 .
【答案】
【知识点】确定圆的条件；概率公式
【解析】【解答】解：从平面上的5个点中，任意选取3个点共有以下10种情况：A、B、C；A、B、D；A、B、E；A、C、D；A、C、E；B、C、D；B、C、E；C、D、E；D、E、A；D、E、B；
∵ 直线AB与直线CD正好相交于点E，
∴在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的情况有8种，
∴ 在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 .
故答案为：.
【分析】首先用列举法列举出从5个点中任意选取3个点所有等可能的情况数，根据不在同一直线上的三点确定一个圆，可得在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的情况有8种，最后根据概率公式计算可得答案.
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为
【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长BA，CE，交于点M．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠CAM=90°，∠BEC=∠BEM=90°，
又AB=AC，∠ABD=∠ACM，
∴△ABD≌△ACM，
∴BD=CM．
由∠EBM=∠EBC，BE= BE，∠BEC=∠BEM，得△BEC≌△BEM，
∴EC=EM，
∴BD=CM=2CE=．
【分析】延长BA，CE，交于点M，证明△ABD≌△ACM（ASA），可得BD=CM．再证△BEC≌△BEM（ASA），可得EC=EM，根据BD=CM=2CE即可求解.
14．（2022九下·乐平期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，直线EF与AD交于点P，若PA＝2，则△ABC外接圆的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，
又∵分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，
∴EF垂直平分AC，
∵直线EF与AD相交于点P，
∴点P即为△ABC外接圆圆心，
∴PA为△ABC外接圆的半径，
∴△ABC外接圆的面积=4π，
故答案为：4π．
【分析】先求出点P即为△ABC外接圆圆心，再求出圆的半径为PA的长，最后利用圆的面积公式求解即可。
三、作图题
15．小明家的房前有一块空地，在点A，B，C的位置上种了三棵树(如图)．小明想建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来．(用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）若△ABC的边AB=8m，AC=6m，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，
∴BC==10m，
∴小明家花坛的半径为5m，
∴小明家圆形花坛的面积为：π52=25πm2．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）首先作出两边AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即圆心的位置，然后利用斜边的一半为半径得出答案；
（2）根据直角三角形外接圆半径是斜边的一半可求出圆形花坛的半径，然后根据圆的面积公式即可求出花坛的面积．
16．（2023·安庆模拟）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，，，，，均为格点，，交于点，过，，三点的圆如图所示，请利用无刻度直尺找出该圆的圆心，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明．
【答案】解：取格点，直线交圆于点，连接和的交点即为圆心，
证明：，，，
≌，
，
，
，
，
则为圆的直径；
同理可得，则为圆的直径；
点为圆心．
【知识点】圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【分析】观察已知条件≌，易得∠ABE=90°，即AF为圆的一条直径，同理利用全等找出另一条直径BH(∠BAH=90°)，此时两直径的交点即为圆心；
四、解答题
17．已知A，B，C三点.根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆.如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由.
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
∴A、B、C三点共线，
∴A、B、C三点不能确定一个圆；
（2）解：，
∴A、B、C三点共线，
∴A、B、C三点能确定一个圆；
如图，过点A作AD⊥BC，设AD上的点O为圆心，连结BO.
∵AB=AC，BC=12，
∴DB=6，
∵AB=10，
在Rt△BOD中，设OB=x，
则OD=8-x，
由勾股定理，得，
解得，
∴A、B、C三点不能确定一个圆，该圆的半径为.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）首先通过计算可得两个较短的线段长等于较长的线段长，从而判断出三点在同一条直线上，进而可得A、B、C三点不能确定一个圆；
（2）首先经过计算可得A、B、C三点不在一条直线上，从而得到能确定一个圆，然后由等腰三角形的三线合一可得DB的长，再利用勾股定理计算出AD，在Rt△BOD中，设OB=x，则OD=8-x，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
18．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（二） 同步练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ）．
（1）用直尺和圆规作出 所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求 所在圆的半径．
【答案】（1）解：如图1，
点O为所求；
（2）解：连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为 的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD= AB=40，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，
在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，即 所在圆的半径是50m．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AC、CB，分别作出AC、CB的中垂线，其交点即为圆心O；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，由垂径定理可知OC⊥AB、AD=AB=40，设出⊙O的半径为r，在在Rt△OAD中借助勾股定理列出r的方程，据此即可解答。
19．（2023·贵州）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角： ，图中与全等的三角形是 ；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）、、、；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）解：连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，
∵CE为直径，
∴∠EBC=∠EAE=90°，
∴∠4=∠3=30°，
∴的角的有、、、，
∵OC为∠ACB的角平分线，
∴∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，
∴△DCB≌△DCA（ASA），
故答案为：、、、；；
【分析】（1）先根据等边三角形外接圆的性质结合等边三角形的性质即可得到∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，进而根据圆周角定理即可得到∠EBC=∠EAE=90°，从而得到∠4=∠3=30°，再根据角平分线的性质即可得到∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，进而根据三角形全等的判定（ASA）即可求解；
（2）连接，，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而根据菱形的判定即可求解。
1 / 1【提升卷】3.5确定圆的条件—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2021九上·临沭期中）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·宝安开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则1－2a＞1－2b
B．将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3）
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
3．（2022九上·金东月考）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
4．（2021九上·香洲期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（－2，－1） B．（－1，0）
C．（－1，－1） D．（0，－1）
5．（2023九上·石家庄期中） 已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其做法如图．对于甲、乙二人的做法，正确的是（ ）
A．两人都正确. B．只有甲正确
C．只有乙正确 D．两人都不正确
6．（2023·包头）如图，是锐角三角形ABC的外接圆，，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
7．（2023·长沙模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（ ）
A．直线MN是线段BC的垂直平分线 B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90° D．点D为△ABC的内心
8．（2023·黄岛模拟）如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·邢台模拟）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·沁阳模拟）一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A． B．5 C． D．8
二、填空题
11．如图所示，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等，的三个顶点A，B，C都在格点上，若不与顶点重合的格点D在的外接圆上，则图中符合条件的点D有 个.
12．平面内有5个点A，B，C，D，E，直线AB与直线CD正好相交于点E，在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 .
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为
14．（2022九下·乐平期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，直线EF与AD交于点P，若PA＝2，则△ABC外接圆的面积为 ．
三、作图题
15．小明家的房前有一块空地，在点A，B，C的位置上种了三棵树(如图)．小明想建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来．(用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）若△ABC的边AB=8m，AC=6m，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．
16．（2023·安庆模拟）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，，，，，均为格点，，交于点，过，，三点的圆如图所示，请利用无刻度直尺找出该圆的圆心，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明．
四、解答题
17．已知A，B，C三点.根据下列条件，说明A，B，C三点能否确定一个圆.如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由.
（1）
（2）
18．（人教版九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径（二） 同步练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ）．
（1）用直尺和圆规作出 所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求 所在圆的半径．
19．（2023·贵州）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角： ，图中与全等的三角形是 ；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：B．
【分析】作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，再求解即可。
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；三角形的外接圆与外心；坐标与图形变化﹣平移；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，∴-2a＜-2b，∴1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、 将点A（－2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（-2，6），此选项不符合题意；
C、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可以是等腰梯形，此选项不符合题意；
D、 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等 ，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、根据不等式的性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”可得1-2a＜1-2b，此选项不符合题意；
B、根据点的坐标的平移规律“左减右加、上加下减”可求解；
C、根据平行四边形的判定可知 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；
D、根据线段的垂直平分线的性质可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：如图，
当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故答案为：C.
【分析】当四点在同一条直线上时，不能确定圆；当四点共圆时，只能作一个圆；当三点在同一直线上时，可以作三个圆；当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆.
4．【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：A
【分析】根据△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，得出EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，从而得出答案。
5．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由甲的作法可知，△PAB为直角三角形
∴AB为△PAB的外接圆的直径
∵点O为AB中点
∴OA=OB
∴点O为△PAB的外心，故甲的作法正确
由乙的作法可知，OA=OP=OB
∴点O为△PAB的外心，故乙的作法正确
故答案为：A
【分析】根据三角形的外心定义即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD=BD，AF=CF，BE=CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴，，，
∴，
∵DE+DF=6.5，
∴EF=4，
故选：B.
【分析】根据垂径定理得AD=BD，AF=CF，BE=CE，再根据三角形中位线定理计算出DE+DF+EF的值，结合已知条件可以得出EF的长。
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由作图可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵CD＝AD，
∴CD=BD=AD，
∴∠ACB=90°，
∴点D是△ACB的外心，
∴选项ABC结论正确，选项D结论错误，
故答案为：D.
【分析】根据作图的方法，三角形的外心等对每个选项一一判断即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
如图所示，连接，过点作于，
∵是等边的外接圆，，
∴，平分，是弦的垂直平分线，
∴，
∴在中，，
设，则，
∴，即，解得，（舍去），，
∴
∴的半径是，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于，设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，再求出，即可得到的半径是。
9．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：设小正方形边长为1，
则：，
，
根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断：
点O是三个三角形的外心；
不是的外心，
故答案为：C．
【分析】利用三角形外心的定义及性质求解即可。
10．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：，
因式分解得，
解得，
∵，
∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13，
∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法求出方程的两根为5与13，然后根据勾股定理的逆定理判断出该三角形是直角三角形，进而根据直角三角形外接圆的半径是斜边长的一半即可得出答案.
11．【答案】5
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作出△ABC的外接圆，
由图可得符合条件的格点D有5个（D、E、F、G、H）.
故答案为：5.
【分析】作出△ABC的外接圆，该圆经过的格点就一目了然了.
12．【答案】
【知识点】确定圆的条件；概率公式
【解析】【解答】解：从平面上的5个点中，任意选取3个点共有以下10种情况：A、B、C；A、B、D；A、B、E；A、C、D；A、C、E；B、C、D；B、C、E；C、D、E；D、E、A；D、E、B；
∵ 直线AB与直线CD正好相交于点E，
∴在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的情况有8种，
∴ 在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的概率是 .
故答案为：.
【分析】首先用列举法列举出从5个点中任意选取3个点所有等可能的情况数，根据不在同一直线上的三点确定一个圆，可得在这5个点中，过其中3个点能确定一个圆的情况有8种，最后根据概率公式计算可得答案.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，延长BA，CE，交于点M．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠CAM=90°，∠BEC=∠BEM=90°，
又AB=AC，∠ABD=∠ACM，
∴△ABD≌△ACM，
∴BD=CM．
由∠EBM=∠EBC，BE= BE，∠BEC=∠BEM，得△BEC≌△BEM，
∴EC=EM，
∴BD=CM=2CE=．
【分析】延长BA，CE，交于点M，证明△ABD≌△ACM（ASA），可得BD=CM．再证△BEC≌△BEM（ASA），可得EC=EM，根据BD=CM=2CE即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，
又∵分别以点A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧相交于点EF，
∴EF垂直平分AC，
∵直线EF与AD相交于点P，
∴点P即为△ABC外接圆圆心，
∴PA为△ABC外接圆的半径，
∴△ABC外接圆的面积=4π，
故答案为：4π．
【分析】先求出点P即为△ABC外接圆圆心，再求出圆的半径为PA的长，最后利用圆的面积公式求解即可。
15．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，
∴BC==10m，
∴小明家花坛的半径为5m，
∴小明家圆形花坛的面积为：π52=25πm2．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）首先作出两边AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即圆心的位置，然后利用斜边的一半为半径得出答案；
（2）根据直角三角形外接圆半径是斜边的一半可求出圆形花坛的半径，然后根据圆的面积公式即可求出花坛的面积．
16．【答案】解：取格点，直线交圆于点，连接和的交点即为圆心，
证明：，，，
≌，
，
，
，
，
则为圆的直径；
同理可得，则为圆的直径；
点为圆心．
【知识点】圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【分析】观察已知条件≌，易得∠ABE=90°，即AF为圆的一条直径，同理利用全等找出另一条直径BH(∠BAH=90°)，此时两直径的交点即为圆心；
17．【答案】（1）解：，
∴A、B、C三点共线，
∴A、B、C三点不能确定一个圆；
（2）解：，
∴A、B、C三点共线，
∴A、B、C三点能确定一个圆；
如图，过点A作AD⊥BC，设AD上的点O为圆心，连结BO.
∵AB=AC，BC=12，
∴DB=6，
∵AB=10，
在Rt△BOD中，设OB=x，
则OD=8-x，
由勾股定理，得，
解得，
∴A、B、C三点不能确定一个圆，该圆的半径为.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）首先通过计算可得两个较短的线段长等于较长的线段长，从而判断出三点在同一条直线上，进而可得A、B、C三点不能确定一个圆；
（2）首先经过计算可得A、B、C三点不在一条直线上，从而得到能确定一个圆，然后由等腰三角形的三线合一可得DB的长，再利用勾股定理计算出AD，在Rt△BOD中，设OB=x，则OD=8-x，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答案.
18．【答案】（1）解：如图1，
点O为所求；
（2）解：连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为 的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD= AB=40，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，
在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，即 所在圆的半径是50m．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接AC、CB，分别作出AC、CB的中垂线，其交点即为圆心O；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，由垂径定理可知OC⊥AB、AD=AB=40，设出⊙O的半径为r，在在Rt△OAD中借助勾股定理列出r的方程，据此即可解答。
19．【答案】（1）、、、；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）解：连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，
∵CE为直径，
∴∠EBC=∠EAE=90°，
∴∠4=∠3=30°，
∴的角的有、、、，
∵OC为∠ACB的角平分线，
∴∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，
∴△DCB≌△DCA（ASA），
故答案为：、、、；；
【分析】（1）先根据等边三角形外接圆的性质结合等边三角形的性质即可得到∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，进而根据圆周角定理即可得到∠EBC=∠EAE=90°，从而得到∠4=∠3=30°，再根据角平分线的性质即可得到∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，进而根据三角形全等的判定（ASA）即可求解；
（2）连接，，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而根据菱形的判定即可求解。
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