【培优卷】3.6直线与圆的位置关系—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试

【培优卷】3.6直线与圆的位置关系—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2021·新吴模拟）如图，正方形 的顶点A、D在⊙O上，边 与⊙O相切，若正方形 的周长记为 ，⊙O的周长记为 ，则 、 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：设 与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，
为 中点，
设正方形的边长为 ，⊙O的半径为 ，
在 中，
正方形 周长为 ，⊙O的周长为
，
故答案为：A.
【分析】设 与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，设正方形的边长为 ，⊙O的半径为 ，结合垂径定理及勾股定理可求出，从而得出 ， ，继而得出，根据结果进行判断即可.
2．（2020九上·南昌期末）如图，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标．
∵直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），
∴A点的坐标为0＝ x＋
x=-3，A（-3，0），
B点的坐标为：（0， ），
∴AB=2
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1，
根据△AP1C1∽△ABO，
∴AP1=2，
∴P1的坐标为：（-1，0），
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1，
根据△AP2C2∽△ABO，
∴AP2=2，
P2的坐标为：（-5，0），
从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个．
故答案为：A．
【分析】先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步求出函数与x轴的夹角，计算出 ⊙P 与AB相切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围.
3．（2018九上·镇海期末）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E．若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（　　）
A．r＞ B． ＜r≤4
C． ＜r≤4 D． ＜r≤
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，AD平分∠BAC，
∴AD= =4，
∵⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，
∴EH=r，DE＜r，
∵∠HAE=∠DAB，
∴△AHE∽△ADB，
∴ ，即 ，
∴AE= r，
∴DE=4﹣ r，
∴4﹣ r＜r且 r≤4，
∴ ＜r≤ ，
故选D．
【分析】作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，根据等腰三角形的性质可求得AD=4，根据⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，可得EH=r，DE＜r，根据已知可证明△AHE∽△ADB，由相似三角形的性质可得 ，继而可得AE= r，DE=4﹣ r，从而可得4﹣ r＜r且 r≤4，由此即可求得答案.
4．（2017·百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
【分析】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
5．（2022九下·蓬安开学考）矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（　　）
A．3.6 B． C．3.5 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，
∵O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，
∴OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4，
∵圆O与FN相切于点G，
∴OG⊥FN，
由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a
在直角三角形FDN中，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，
解得，a=，
∴DN=，
∴NH=DH-DN=6-=，
在直角三角形OHN中，由勾股定理得：ON2=NH2+OH2=+16，
设FG=b，则GN=-b，
在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OF2-FG2=OG2=ON2-GN2，
∴62-b2=+16-（-b）2，解得b=，
∴OG2=36-（）2，解得OG=3.6，即半径为3.6.
故答案为：A.
【分析】如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，根据O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，可得OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4；由圆O与FN相切于点G，得OG⊥FN，再由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a，直角三角形FDN中，由勾股定理得，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，解得，a=，进而得DN=，NH=，再在直角三角形OHN中，由勾股定理求得ON2；再设FG=b，则GN=-b，在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OG2=OF2-FG2=ON2-GN2，即：62-b2=+16-（-b）2，解得b=，再求出OG即可解决问题.
6．（2021九上·梁溪期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（　　）
A．2 ＋2 B．2 ＋4 C．2 D．2 ＋2
【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作以B为圆心，以2为半径的圆，
当OC∥AB时最大，此时OC与圆B相切，
过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，
∵BC⊥AB，OC⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=4，
点B在y=x上，点A在x轴上，
设A（n，0），B（m，m），
∵∠OAD+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠OAD=∠ABE，
又∠ODA=∠AEB=90°，
∴△AOD∽△BAE，
∴ 即 ，
∴
在RtABE中，
AE=m-n，
由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵2 m 4，
∴4 m2 16，
，
在Rt△OAD中，
OD= ，
，
，
，
，
，
，
∴OD ，
OC=OD+DC= ，
故答案为：A.
【分析】作以B为圆心，以2为半径的圆，当OC // AB时最大，此时OC与圆B相切，过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，可证四边形ABCD为矩形，可得AD=BC=2，CD=AB=4，由点B在y=x上，点A在x轴上，设A (n, 0)，B (m,m)，可证∠AOD∽△BAE，由相似三角形的性质可得，即mn=8，由勾股定理得：(m-n)2+m2=16，联立解得， 由27．（2020九上·泰州期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为（　　）
A．3或 B．3或 C．5或 D．5或
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x.
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，
∴x2＝42＋（8 x）2，
∴x＝5，
∴CP＝5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形.
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝ = ，
∴CP=8- .
综上所述，CP的长为5或8- .
【分析】分两种情况，如图1中，当⊙P与直线CD相切时，如图2中当⊙P与直线AD相切时，据此分别解答即可.
8．（2020·江北模拟）如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，
连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，
∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，
∴OD=OH=O′E=O′F=CD=CH=1，OO′=HE，
∴EG⊥BC，
∵∠C=90°，
∴EG∥AC，
∴∠FGE=∠A，
∵∠GFO′=∠C=90°，
∴∠O′FG∽∠BCA，
∴ ，
∴ ，
∴O′G= ，
∴EG= ，
∵GE∥AC，
∴△BGE∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴BE=3，
∴OO′=HE=BC﹣CH﹣BE=8﹣1﹣3=4，
∴⊙O平移的距离为4，
故答案为：B.
【分析】设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，根据正方形和矩形的性质得到OD=OH=O′E=O′F=CD=CH=1，OO′=HE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
二、填空题
9．（2021九上·荆州月考）如图，已知A点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O，A为顶点作菱形，使B，C点都在第一象限内，且，若以为圆心，为半径的圆恰好与所在的直线相切，则　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC= OA =1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，
∴OE=CE=OC，
∴，
在Rt△OPE中，OE=OP cos30°=2，
∴，
∴t=4-1.
故答案为：4-1.
【分析】由题意可得OA=1+t，根据菱形的性质可得OC= OA =1+t，当⊙P与OA，即与x轴相切时，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，由垂径定理可得OE=CE=OC，然后表示出OE，根据三角函数的概念求出OE，据此不难求出t的值.
10．（2019·上饶模拟）已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC的距离为4，则点A'的坐标可能为　 　．
【答案】（ ，9）、（ ，9）或（ ，1）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，点A关于OP的对称点为A′，
由对称性可知△AA′O为等腰三角形，且腰为OA＝10，
所以距离CB直线为4的点分布在直线BC的两侧，
A′可以看作是以O为圆心，OA为半径的圆与直线y＝9，与直线y＝1的交点
由勾股定理可得，当A′在y轴左侧BC上方时，A′（ ，9），
当A′在y轴左侧BC下方时，A′（ 3 ，1），
当A′在y轴右侧BC上方时，A′（ ，9）
【分析】将对称的动点问题看作是画圆的问题，即可将问题转化为直线与圆的交点问题，再通过勾股定理即可求解．
11．（2022·滨州模拟）如图，点P在函数的图象上运动，O为坐标原点，点A为的中点，以点P为圆心，为半径作，则当与坐标轴相切时，点P的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】切线的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：分类讨论：①当与x轴相切时，如图，
设切点为M，
∴轴．
∵点A为的中点，
∴．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去负值），
经检验是原方程的解，
∴；
②当与y轴相切时，如图，
设切点为N，
∴轴．
∵点A为的中点，
∴．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去负值），
经检验是原方程的解，
∴．
综上可知，点P的坐标为或．
【分析】分类讨论：①当与x轴相切时，②当与y轴相切时，再分别画出图象并求解即可。
12．（2021九上·余干期中）已知正方形ABCD中，AB＝2，⊙A是以A为圆心，1为半径的圆，若⊙A绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），则当旋转后的圆与正方形ABCD的边相切时，α＝　 　．
【答案】30°，60°或120°
【知识点】正方形的性质；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵正方形ABCD中AB=2，圆A是以A为圆心，1为半径的圆，
∴当圆A绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）过程中，圆A与正方形ABCD的边相切时，可分三种情况讨论：
如图1，当旋转后的圆A'与正方形ABCD的边AB相切时，与边CD也相切，
设圆 与正方形ABCD的边AB相切于点E，连接E，B，则在Rt△EB中，E=1，B=2，
∴ ，
∴∠BE=30°，即∠α=30°；
如图2，当旋转后的圆与正方形ABCD的边AD相切时，与边BC也相切，
设圆与正方形ABCD的边BC相切于点F，连接F，B，则 ，
∴在 中， ，
∴∠BF=30°，
∴∠α=∠BA=∠ABC-∠BF =60°；
如图3，当旋转后的圆 与正方形ABCD的边BC相切时，
设切点为G，连接 ，则 ，
∴在 中， ，
∴∠BG=30°，
∴∠α=∠BA=∠ABC+∠BG=120°
综上，旋转角α=30°，60°或120°．
故答案为：30°，60°或120°
【分析】分三种情况讨论：①当旋转后的圆A'与正方形ABCD的边AB相切时，与边CD也相切；②当旋转后的圆与正方形ABCD的边AD相切时，与边BC也相切；③当旋转后的圆 与正方形ABCD的边BC相切时， 据此分别解答即可.
三、综合题
13．平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中，　 　点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
【答案】（1）F
（2）解：由于点C与点F互为反等点．
又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）解：如图所示，
当⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；
当⊙O与CG相切时，此时r=4，⊙O与线段CG没有互为反等点；
⊙O与CG相交于点C时，此时r= =5．⊙O与线段CG有互为反等点；
当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，
所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
【知识点】直线与圆的位置关系；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：因为3+（﹣3）=0，4﹣4=0
所以点（﹣3，4）与点（3，4）互为相反等点．
故答案为：点F
【分析】（1）根据互为反等点的定义解答即可。
（2） 因为点P，Q是线段CG上的反等点，所以P、Q点的横坐标小于等于C点横坐标3，又因为是两个点，所以P点横坐标不能为0，故 点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xp≤3，且xp≠0 。
（3）因为⊙O与线段CG的两个交点互为反等点 ，所以⊙O与线段有两个交点，⊙O与CG只有相交才有两个交点，又因为线段CG，当⊙O的半径大于OC后，圆O开始与线段CG又只有一个交点不符合存在两个互为反等点的交点，故 4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点。
14．（2023·苏州）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
（1）求点的坐标；
（2）若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
【答案】（1）解：令y=x2-6x+8中的y=0，
则有：x2-6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4，
∴A（2，0），B（4，0）；
（2）解：∵抛物线过A（2，0），B（4，0）
∴抛物线的对称轴为x=3，
设P(m，m2-6m+8)，
∵PM⊥l，
∴M（3，m2-6m+8），
如图：连接MT，则MT⊥PT，
∴，
∴切线PT为边长的正方形的面积为，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则：，
∴
∵，
∴，
假设过点N（3，2），则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即M（3，3），
∴，解得：或，
∵
∴；
②如图2：当点M在点N的下方，即M（3，1），
∴，解得：，
∵
∴；
综上，或．
∴当不经过点时，或或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，即可求出点A与B的坐标；
（2）根据抛物线的对称性，由点A、B的坐标可得抛物线的对称轴为x=3，然后根据抛物线上点的坐标特点设P(m，m2-6m+8)，则M（3，m2-6m+8），连接MT，由切线的性质得MT⊥PT，由勾股定理表示出PT2，从而即可得出以PT为边长的正方形的面积；过点P作HP⊥x轴，垂足为H，由三角形的面积计算公式表示出△PAB的面积，由以PT为边长的正方形的面积=△PAB的面积建立方程，可求求出r的值；假设过点N（3，2），则有以下两种情况：①如图1：当点M在点N的上方，即M（3，3），则点P的纵坐标为3，据此可建立关于字母m的方程，求解并检验可得出符合题意的m的值；②如图2：当点M在点N的下方，即M（3，1），则点P的纵坐标为1，据此可建立关于字母m的方程，求解并检验可得出符合题意的m的值，综上即可求出m的取值范围.
15．（2023·陕西）
（1）如图，在中，，，若的半径为，点在上，点在上，连接，求线段的最小值；
（2）如图所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽已知：，，根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内含边界修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点连接，点在上，连接其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修迅路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．
【答案】（1）解：如图，连接，，过点作，垂足为，
则．
半径为，
，
，
，
，
，
线段的最小值为；
（2）如图，分别在，上作，
连接，、、、．
，，，
四边形是平行四边形．
．
，
，
当点在上时，取得最小值．
作，使圆心在上，半径，
作，垂足为，并与交于点．
，
∽，
，
在矩形区域内含边界，
当与相切时，最短，即．
此时，也最短．
，
也最短．
，
，
此时环道的圆心到的距离的长为．
【知识点】垂线段最短；矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)当点O、P、M在同一直线且OM与AB互相垂直时，线段PM的长度最小，利用等腰三角形的性质求出OM的长度即可.
(2)先通过平移与三角形的三边关系可以得知，当B'、O、E三点共线时，BN、EP之和最短.而圆心O越接近点B，则线段OM的长度也越短，故圆与DF相切时，OM有最小值.最后，利用相似比和勾股定理求解即可.
1 / 1【培优卷】3.6直线与圆的位置关系—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2021·新吴模拟）如图，正方形 的顶点A、D在⊙O上，边 与⊙O相切，若正方形 的周长记为 ，⊙O的周长记为 ，则 、 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法判断
2．（2020九上·南昌期末）如图，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2018九上·镇海期末）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E．若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（　　）
A．r＞ B． ＜r≤4
C． ＜r≤4 D． ＜r≤
4．（2017·百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（　　）
A．0≤b＜2 B．﹣2
C．﹣2 2 D．﹣2 ＜b＜2
5．（2022九下·蓬安开学考）矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（　　）
A．3.6 B． C．3.5 D．
6．（2021九上·梁溪期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（　　）
A．2 ＋2 B．2 ＋4 C．2 D．2 ＋2
7．（2020九上·泰州期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为（　　）
A．3或 B．3或 C．5或 D．5或
8．（2020·江北模拟）如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，半径为1的⊙O与AC，BC相切，当⊙O沿边CB平移至与AB相切时，则⊙O平移的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．（2021九上·荆州月考）如图，已知A点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O，A为顶点作菱形，使B，C点都在第一象限内，且，若以为圆心，为半径的圆恰好与所在的直线相切，则　 　.
10．（2019·上饶模拟）已知矩形OABC中，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，B的坐标为(10，5)，点P在边BC上，点A关于OP的对称点为A'，若点A'到直线BC的距离为4，则点A'的坐标可能为　 　．
11．（2022·滨州模拟）如图，点P在函数的图象上运动，O为坐标原点，点A为的中点，以点P为圆心，为半径作，则当与坐标轴相切时，点P的坐标为　 　．
12．（2021九上·余干期中）已知正方形ABCD中，AB＝2，⊙A是以A为圆心，1为半径的圆，若⊙A绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），则当旋转后的圆与正方形ABCD的边相切时，α＝　 　．
三、综合题
13．平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）与B（x2，y2），如果满足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，则称点A与点B互为反等点．已知：点C（3，4）
（1）下列各点中，　 　点C互为反等点；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知点G（﹣5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标xP的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．
14．（2023·苏州）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
（1）求点的坐标；
（2）若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
15．（2023·陕西）
（1）如图，在中，，，若的半径为，点在上，点在上，连接，求线段的最小值；
（2）如图所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽已知：，，根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内含边界修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点连接，点在上，连接其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修迅路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：设 与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，
为 中点，
设正方形的边长为 ，⊙O的半径为 ，
在 中，
正方形 周长为 ，⊙O的周长为
，
故答案为：A.
【分析】设 与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，设正方形的边长为 ，⊙O的半径为 ，结合垂径定理及勾股定理可求出，从而得出 ， ，继而得出，根据结果进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标．
∵直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），
∴A点的坐标为0＝ x＋
x=-3，A（-3，0），
B点的坐标为：（0， ），
∴AB=2
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1，
根据△AP1C1∽△ABO，
∴AP1=2，
∴P1的坐标为：（-1，0），
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1，
根据△AP2C2∽△ABO，
∴AP2=2，
P2的坐标为：（-5，0），
从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个．
故答案为：A．
【分析】先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步求出函数与x轴的夹角，计算出 ⊙P 与AB相切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围.
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，AD平分∠BAC，
∴AD= =4，
∵⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，
∴EH=r，DE＜r，
∵∠HAE=∠DAB，
∴△AHE∽△ADB，
∴ ，即 ，
∴AE= r，
∴DE=4﹣ r，
∴4﹣ r＜r且 r≤4，
∴ ＜r≤ ，
故选D．
【分析】作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，根据等腰三角形的性质可求得AD=4，根据⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，可得EH=r，DE＜r，根据已知可证明△AHE∽△ADB，由相似三角形的性质可得 ，继而可得AE= r，DE=4﹣ r，从而可得4﹣ r＜r且 r≤4，由此即可求得答案.
4．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y=﹣x+b中，令x=0时，y=b，则与y轴的交点是（0，b），
当y=0时，x=b，则A的交点是（b，0），
则OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC=2．
则OB= OC=2 ．即b=2 ；
同理，当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=﹣2 ．
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2 ＜b＜2 ．
【分析】求出直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y=﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，
∵O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，
∴OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4，
∵圆O与FN相切于点G，
∴OG⊥FN，
由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a
在直角三角形FDN中，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，
解得，a=，
∴DN=，
∴NH=DH-DN=6-=，
在直角三角形OHN中，由勾股定理得：ON2=NH2+OH2=+16，
设FG=b，则GN=-b，
在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OF2-FG2=OG2=ON2-GN2，
∴62-b2=+16-（-b）2，解得b=，
∴OG2=36-（）2，解得OG=3.6，即半径为3.6.
故答案为：A.
【分析】如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，根据O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，可得OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4；由圆O与FN相切于点G，得OG⊥FN，再由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a，直角三角形FDN中，由勾股定理得，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，解得，a=，进而得DN=，NH=，再在直角三角形OHN中，由勾股定理求得ON2；再设FG=b，则GN=-b，在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OG2=OF2-FG2=ON2-GN2，即：62-b2=+16-（-b）2，解得b=，再求出OG即可解决问题.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作以B为圆心，以2为半径的圆，
当OC∥AB时最大，此时OC与圆B相切，
过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，
∵BC⊥AB，OC⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2，CD=AB=4，
点B在y=x上，点A在x轴上，
设A（n，0），B（m，m），
∵∠OAD+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠OAD=∠ABE，
又∠ODA=∠AEB=90°，
∴△AOD∽△BAE，
∴ 即 ，
∴
在RtABE中，
AE=m-n，
由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵2 m 4，
∴4 m2 16，
，
在Rt△OAD中，
OD= ，
，
，
，
，
，
，
∴OD ，
OC=OD+DC= ，
故答案为：A.
【分析】作以B为圆心，以2为半径的圆，当OC // AB时最大，此时OC与圆B相切，过B作BE⊥x轴于E，过A作AD⊥OC于D，可证四边形ABCD为矩形，可得AD=BC=2，CD=AB=4，由点B在y=x上，点A在x轴上，设A (n, 0)，B (m,m)，可证∠AOD∽△BAE，由相似三角形的性质可得，即mn=8，由勾股定理得：(m-n)2+m2=16，联立解得， 由27．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x.
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，
∴x2＝42＋（8 x）2，
∴x＝5，
∴CP＝5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形.
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝ = ，
∴CP=8- .
综上所述，CP的长为5或8- .
【分析】分两种情况，如图1中，当⊙P与直线CD相切时，如图2中当⊙P与直线AD相切时，据此分别解答即可.
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，
连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，
∴四边形CDOH是正方形，四边形OHEO′是矩形，
∴OD=OH=O′E=O′F=CD=CH=1，OO′=HE，
∴EG⊥BC，
∵∠C=90°，
∴EG∥AC，
∴∠FGE=∠A，
∵∠GFO′=∠C=90°，
∴∠O′FG∽∠BCA，
∴ ，
∴ ，
∴O′G= ，
∴EG= ，
∵GE∥AC，
∴△BGE∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴BE=3，
∴OO′=HE=BC﹣CH﹣BE=8﹣1﹣3=4，
∴⊙O平移的距离为4，
故答案为：B.
【分析】设⊙O与AC相切于D，与BC相切于H，平移后的⊙O′与AB相切于F，与BC相切于E，连接OH，O′D，则点O在O′D上，连接O′F，EO′并延长交AB于G，根据正方形和矩形的性质得到OD=OH=O′E=O′F=CD=CH=1，OO′=HE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.
9．【答案】
【知识点】菱形的性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC= OA =1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，
∴OE=CE=OC，
∴，
在Rt△OPE中，OE=OP cos30°=2，
∴，
∴t=4-1.
故答案为：4-1.
【分析】由题意可得OA=1+t，根据菱形的性质可得OC= OA =1+t，当⊙P与OA，即与x轴相切时，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，由垂径定理可得OE=CE=OC，然后表示出OE，根据三角函数的概念求出OE，据此不难求出t的值.
10．【答案】（ ，9）、（ ，9）或（ ，1）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，点A关于OP的对称点为A′，
由对称性可知△AA′O为等腰三角形，且腰为OA＝10，
所以距离CB直线为4的点分布在直线BC的两侧，
A′可以看作是以O为圆心，OA为半径的圆与直线y＝9，与直线y＝1的交点
由勾股定理可得，当A′在y轴左侧BC上方时，A′（ ，9），
当A′在y轴左侧BC下方时，A′（ 3 ，1），
当A′在y轴右侧BC上方时，A′（ ，9）
【分析】将对称的动点问题看作是画圆的问题，即可将问题转化为直线与圆的交点问题，再通过勾股定理即可求解．
11．【答案】或
【知识点】切线的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：分类讨论：①当与x轴相切时，如图，
设切点为M，
∴轴．
∵点A为的中点，
∴．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去负值），
经检验是原方程的解，
∴；
②当与y轴相切时，如图，
设切点为N，
∴轴．
∵点A为的中点，
∴．
∵，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去负值），
经检验是原方程的解，
∴．
综上可知，点P的坐标为或．
【分析】分类讨论：①当与x轴相切时，②当与y轴相切时，再分别画出图象并求解即可。
12．【答案】30°，60°或120°
【知识点】正方形的性质；切线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵正方形ABCD中AB=2，圆A是以A为圆心，1为半径的圆，
∴当圆A绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）过程中，圆A与正方形ABCD的边相切时，可分三种情况讨论：
如图1，当旋转后的圆A'与正方形ABCD的边AB相切时，与边CD也相切，
设圆 与正方形ABCD的边AB相切于点E，连接E，B，则在Rt△EB中，E=1，B=2，
∴ ，
∴∠BE=30°，即∠α=30°；
如图2，当旋转后的圆与正方形ABCD的边AD相切时，与边BC也相切，
设圆与正方形ABCD的边BC相切于点F，连接F，B，则 ，
∴在 中， ，
∴∠BF=30°，
∴∠α=∠BA=∠ABC-∠BF =60°；
如图3，当旋转后的圆 与正方形ABCD的边BC相切时，
设切点为G，连接 ，则 ，
∴在 中， ，
∴∠BG=30°，
∴∠α=∠BA=∠ABC+∠BG=120°
综上，旋转角α=30°，60°或120°．
故答案为：30°，60°或120°
【分析】分三种情况讨论：①当旋转后的圆A'与正方形ABCD的边AB相切时，与边CD也相切；②当旋转后的圆与正方形ABCD的边AD相切时，与边BC也相切；③当旋转后的圆 与正方形ABCD的边BC相切时， 据此分别解答即可.
13．【答案】（1）F
（2）解：由于点C与点F互为反等点．
又因为点P，Q是线段CG上的反等点，
所以点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xP≤3，且xp≠0．
（3）解：如图所示，
当⊙O与CG相离时，此时⊙O与线段CG没有互为反等点；
当⊙O与CG相切时，此时r=4，⊙O与线段CG没有互为反等点；
⊙O与CG相交于点C时，此时r= =5．⊙O与线段CG有互为反等点；
当r＞4，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，
所以没有互为反等点．
综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点．
【知识点】直线与圆的位置关系；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）解：因为3+（﹣3）=0，4﹣4=0
所以点（﹣3，4）与点（3，4）互为相反等点．
故答案为：点F
【分析】（1）根据互为反等点的定义解答即可。
（2） 因为点P，Q是线段CG上的反等点，所以P、Q点的横坐标小于等于C点横坐标3，又因为是两个点，所以P点横坐标不能为0，故 点P的横坐标xP的取值范围为：﹣3≤xp≤3，且xp≠0 。
（3）因为⊙O与线段CG的两个交点互为反等点 ，所以⊙O与线段有两个交点，⊙O与CG只有相交才有两个交点，又因为线段CG，当⊙O的半径大于OC后，圆O开始与线段CG又只有一个交点不符合存在两个互为反等点的交点，故 4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点。
14．【答案】（1）解：令y=x2-6x+8中的y=0，
则有：x2-6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4，
∴A（2，0），B（4，0）；
（2）解：∵抛物线过A（2，0），B（4，0）
∴抛物线的对称轴为x=3，
设P(m，m2-6m+8)，
∵PM⊥l，
∴M（3，m2-6m+8），
如图：连接MT，则MT⊥PT，
∴，
∴切线PT为边长的正方形的面积为，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则：，
∴
∵，
∴，
假设过点N（3，2），则有以下两种情况：
①如图1：当点M在点N的上方，即M（3，3），
∴，解得：或，
∵
∴；
②如图2：当点M在点N的下方，即M（3，1），
∴，解得：，
∵
∴；
综上，或．
∴当不经过点时，或或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；切线的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）令抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，即可求出点A与B的坐标；
（2）根据抛物线的对称性，由点A、B的坐标可得抛物线的对称轴为x=3，然后根据抛物线上点的坐标特点设P(m，m2-6m+8)，则M（3，m2-6m+8），连接MT，由切线的性质得MT⊥PT，由勾股定理表示出PT2，从而即可得出以PT为边长的正方形的面积；过点P作HP⊥x轴，垂足为H，由三角形的面积计算公式表示出△PAB的面积，由以PT为边长的正方形的面积=△PAB的面积建立方程，可求求出r的值；假设过点N（3，2），则有以下两种情况：①如图1：当点M在点N的上方，即M（3，3），则点P的纵坐标为3，据此可建立关于字母m的方程，求解并检验可得出符合题意的m的值；②如图2：当点M在点N的下方，即M（3，1），则点P的纵坐标为1，据此可建立关于字母m的方程，求解并检验可得出符合题意的m的值，综上即可求出m的取值范围.
15．【答案】（1）解：如图，连接，，过点作，垂足为，
则．
半径为，
，
，
，
，
，
线段的最小值为；
（2）如图，分别在，上作，
连接，、、、．
，，，
四边形是平行四边形．
．
，
，
当点在上时，取得最小值．
作，使圆心在上，半径，
作，垂足为，并与交于点．
，
∽，
，
在矩形区域内含边界，
当与相切时，最短，即．
此时，也最短．
，
也最短．
，
，
此时环道的圆心到的距离的长为．
【知识点】垂线段最短；矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)当点O、P、M在同一直线且OM与AB互相垂直时，线段PM的长度最小，利用等腰三角形的性质求出OM的长度即可.
(2)先通过平移与三角形的三边关系可以得知，当B'、O、E三点共线时，BN、EP之和最短.而圆心O越接近点B，则线段OM的长度也越短，故圆与DF相切时，OM有最小值.最后，利用相似比和勾股定理求解即可.
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