【提升卷】3.6直线与圆的位置关系—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·大城期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（ ）
A．与轴相交 B．与轴相切
C．点在外 D．点在内
2．（2015·衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C． D．
3．（2023九上·右玉期中）如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重庆市模拟） 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·巴南开学考） 如图，是的直径，为上一点，垂直平分交于点，过点的切线与的延长线交于点若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·郧阳模拟）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：；；；，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022·松江模拟）如图，已知中，，．D、E分别是边、上的点，，且．如果经过点A，且与外切，那么与直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
8．（2022九上·临清期中）在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
9．（2023·滨州）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．
10．（2020九上·丰南月考）如图，已知 的半径为2，圆心P在抛物线 上运动；当 与x轴相切时；圆心P的坐标为 .
11．（2022·石景山模拟）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为 °．
12．（2021九上·信都月考）在数学课上，老师请同学思考如下问题：
已知：在ABC中，∠A＝90°． 求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．
嘉淇的主要作法如下：
如图， ⑴作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P； ⑵以点P为圆心，AP长为半径作⊙P．所以⊙P即为所求．
老师说：“嘉淇的作法符合题意．”请回答：⊙P与BC相切的依据是① ；② ．
三、解答题
13．（2023九上·西山期中）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，OD＝5．求线段AD的长．
14．（2023九上·五华期中）如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
15．（2023九上·大城期中）如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接．
①求的度数；
②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】
如图所示
∵ 点A（1，3）
∴ 点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∵以点A（1，3）为圆心，2为半径作
∴与x轴相离·········选项A错误；
与y轴相交··········选项B错误；
OA=，点O在外··········选项C正确；
点A到点(1，1)的线段长为2，与半径相等，则点A（1，1）在上··········选项D错误；
故答案为：C
【分析】本题考查直线和圆的位置关系，点和圆的位置关系。点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于于半径，点在圆内；圆心到直线的距离d＞r，则直线与圆相离；圆心到直线的距离d=r，则直线与圆相切；圆心到直线的距离d小于r，则直线与圆相交。根据点A（1，3）可得点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，圆的半径为2，而作出判断。
2．【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接OD、BD，
，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD=5，CE=4，
∴DE= ，
∵S△BCD=BD CD÷2=BC DE÷2，
∴5BD=3BC，
∴ ，
∵BD2+CD2=BC2，
∴ ，
解得BC= ，
∵AB=BC，
∴AB= ，
∴⊙O的半径是；
．
故选：D．
【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据切线的性质和等腰三角形的性质求解。由切线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，最后用三角形外角的性质求出的度数，进而利用直角三角形的性质即可求出的度数．
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ AC是⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
在Rt△OAC中，∠C=30°，
∴∠AOC=90°-30°=60°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=∠AOC=30°，
连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
∠B=30°，AB=12，
∴，
即，
∴BD=.
故答案是：B.
【分析】根据切线的性质得AB⊥AC，从而得∠AOC=60°，利用半径相等、外角性质得∠B=30°，根据圆周角定理得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用三角函数即可求解.
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接AD，OD，
∵BD垂直平分OE，
∴OB=EB，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠OBD=∠EBD=∠OBE=×60°=30°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=∠EBD=30°，
∴OD∥BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴BC⊥CD，即∠C=90°，
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，CD=，
∴BD=2CD=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=，
∴cos∠ABD=，
∴AB===4.
故答案为：A.
【分析】连接AD，OD，根据垂直平分线的性质和半径相等得△OBE是等边三角形，三线合一得∠ODB=∠OBD=∠EBD=30°，从而OD∥BC，利用切线的性质和平行得∠C=90°，在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形的性质得BD长，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用30°的余弦值即可求解.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AD，
∵D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，故①正确；
∵AB为的直径，∴∠ADB=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴∠B=∠C，AC=AB=2OA，故②③正确；
∵OD∥AC，DE⊥AC，
∴∠ODE=90°，即得∠EDA+∠ODA=90°，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
∵∠ODB+∠ODA=90°，∴∠EDA=∠ODB，
即得∠EDA=∠B，故④正确；
故答案为：D.
【分析】连接AD，易得OD为△ABC的中位线，可得OD∥AC，故①正确；由圆周角定理可得∠ADB=90°，即得AD垂直平分BC，可得AB=AC，即得AC=AB=2OA，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，故②③正确；利用平行线的性质可得∠ODE=90°，即得∠EDA+∠ODA=90°，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ODB，根据余角的性质可得∠EDA=∠ODB，即得∠EDA=∠B，故④正确.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE，
设CD=x，
∵．
∴BD=2x，BC=3x，
∵．
∴AC=4x，
∴AB=5x，
∵，
∴，．
∴BE=2AE，，
∴EF=AE=，
∴，
∴CD=DE，
∵经过点A，且与外切，
∴的半径为x，
∵，即AC⊥BC，
∴与直线相切．
故答案为：B
【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，则BD=2x，BC=3x，再结合，，求出BE=2AE，，利用线段的和差求出，再结合的半径为x，，即AC⊥BC，即可得到与直线相切。
8．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点D．
，．
①如果以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切，则．此时．
②当时，圆与边也只有一个公共点．
综上，或．
故答案为：D．
【分析】利用点与圆的位置，直线与圆的位置关系求解即可。
9．【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接CA，CB，如图所示：
当点C位于优弧AB上时，
∵分别与相切于两点，且，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-56°=124°，
∴∠ACB=62°，
当点C（C'）位于劣弧AB上时，
∠AC'B=180°-62°=118°，
综上所述，的大小为或，
故答案为：或
【分析】连接CA，CB，然后进行分类讨论：①当点C位于优弧AB上时，根据切线的性质即可得到∠AOB的度数，进而根据圆周角定理即可求解；②当点C（C'）位于劣弧AB上时，运用圆内接四边形的性质结合题意即可求解。
10．【答案】（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【知识点】直线与圆的位置关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动，
∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，
∴PA=2，
∴
即 ，或 =-2
解得x= 或x=0，
∴P点的坐标为：（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【分析】根据切线的性质：圆心到x轴的距离等于半径列出方程求解即可。
11．【答案】50
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，OD⊥DP，
∵OP=OP，OC=OD，
∴△POC≌△POD(HL)，
∴∠CPO=∠DPO，
∵∠CPA=40°，
∴∠CPD=80°，
∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，
∵∠CAD=∠COD=50°，
故答案为：50．
【分析】由切线的定义及圆周角与圆心角的关系可知， ∠CAD ＝ ∠COB＝ 90°- ∠CPA 。
12．【答案】角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】角平分线的性质；切线的判定
【解析】【解答】解：如图作PE⊥BC于E．
∵∠PBA=∠PBE，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE，
∴PE是⊙P的切线.（角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切）
故答案为：角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【分析】先求出PA=PE，再判断即可。
13．【答案】（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝4，
∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBO∽△DCA，
∴，
∵AC、AB都为⊙O的切线，
∴AB＝AC，
∴，
解得AB＝6，
∴AD＝BD+AB＝4+6＝10．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)从已知条件入手， AB为⊙O的切线，容易想到连接OB，得到90°角，根据已知BC⊥OA，由垂径定理可得到BE=CE，由三线合一定理可推出AB=AC，再根据SSS判定定理得到全等三角形，对应角相等都是90°，可得到AC为⊙O的切线结论的；
（2）从已知条件入手，⊙O半径为3，OD＝5，易根据勾股定理得到BD=4，在（1）的结论下，有共同角的直角三角形易知相似，在这两个相似三角形中，对应成比例的四条边里有2条边已知，另两边可以用AB的长表达，故AB可求，而AD=AB+BD，因此AD可求。
14．【答案】（1）证明：连接，则，
，
是的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：作于点，则，
，
，
∴，
由（1）得，
，
的半径为，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，，且，
，，
，
的长为．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；多边形内角与外角；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得，则，再根据三角形内角和定理可得，再根据三角形外角性质可得，则，所以，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作于点，则，根据直线平行判定定理可得，则，咱爱根局相似三角形相似比性质可得，再根据勾股定理可得BC=8，根据相似三角形判定定理可得，则， 根据勾股定理可得，再进行角之间的转换即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：如图：连接OD．
∵，
∴．
∵是直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∵OD是半径，
∴直线是的切线．
（2）解：
①∵，，
∴，
∴，
∴．
∵与都是所对的圆周角，
∴；
②∵，，
∴，
∴．
在中，根据勾股定理可得，
∴当达到最大长度时，达到最大长度．
∵的最大长度为2，
∴的最大长度为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与性质、圆周角与圆心角、等腰三角形、勾股定理等知识。
（1）同圆中，两条半径有等腰，根据OA=OD得∠A=∠ODA，由直径AB得∠ADB=∠ODA+∠ODB=90°，等量代换，可得∠ODC=90°可得结论；
（2）如图所示：
① 由∠ABD=2∠A和直角三角形ABD得∠ABD=60°，根据圆周角定理得∠APD； ②由PD⊥DQ得∠PDQ=90°，得∠Q=30°，则PQ=2PD，DQ=DP，则DP最长，DQ最长可得答案。
1 / 1【提升卷】3.6直线与圆的位置关系—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·大城期中）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作，下列判断正确的是（ ）
A．与轴相交 B．与轴相切
C．点在外 D．点在内
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】
如图所示
∵ 点A（1，3）
∴ 点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∵以点A（1，3）为圆心，2为半径作
∴与x轴相离·········选项A错误；
与y轴相交··········选项B错误；
OA=，点O在外··········选项C正确；
点A到点(1，1)的线段长为2，与半径相等，则点A（1，1）在上··········选项D错误；
故答案为：C
【分析】本题考查直线和圆的位置关系，点和圆的位置关系。点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于于半径，点在圆内；圆心到直线的距离d＞r，则直线与圆相离；圆心到直线的距离d=r，则直线与圆相切；圆心到直线的距离d小于r，则直线与圆相交。根据点A（1，3）可得点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，圆的半径为2，而作出判断。
2．（2015·衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接OD、BD，
，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD=5，CE=4，
∴DE= ，
∵S△BCD=BD CD÷2=BC DE÷2，
∴5BD=3BC，
∴ ，
∵BD2+CD2=BC2，
∴ ，
解得BC= ，
∵AB=BC，
∴AB= ，
∴⊙O的半径是；
．
故选：D．
【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．
3．（2023九上·右玉期中）如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据切线的性质和等腰三角形的性质求解。由切线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，最后用三角形外角的性质求出的度数，进而利用直角三角形的性质即可求出的度数．
4．（2023·重庆市模拟） 如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ AC是⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
在Rt△OAC中，∠C=30°，
∴∠AOC=90°-30°=60°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=∠AOC=30°，
连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，
∠B=30°，AB=12，
∴，
即，
∴BD=.
故答案是：B.
【分析】根据切线的性质得AB⊥AC，从而得∠AOC=60°，利用半径相等、外角性质得∠B=30°，根据圆周角定理得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用三角函数即可求解.
5．（2023九上·巴南开学考） 如图，是的直径，为上一点，垂直平分交于点，过点的切线与的延长线交于点若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接AD，OD，
∵BD垂直平分OE，
∴OB=EB，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠OBD=∠EBD=∠OBE=×60°=30°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=∠EBD=30°，
∴OD∥BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴BC⊥CD，即∠C=90°，
在Rt△BCD中，∠DBC=30°，CD=，
∴BD=2CD=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=，
∴cos∠ABD=，
∴AB===4.
故答案为：A.
【分析】连接AD，OD，根据垂直平分线的性质和半径相等得△OBE是等边三角形，三线合一得∠ODB=∠OBD=∠EBD=30°，从而OD∥BC，利用切线的性质和平行得∠C=90°，在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形的性质得BD长，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用30°的余弦值即可求解.
6．（2023·郧阳模拟）如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：；；；，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AD，
∵D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，故①正确；
∵AB为的直径，∴∠ADB=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴∠B=∠C，AC=AB=2OA，故②③正确；
∵OD∥AC，DE⊥AC，
∴∠ODE=90°，即得∠EDA+∠ODA=90°，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
∵∠ODB+∠ODA=90°，∴∠EDA=∠ODB，
即得∠EDA=∠B，故④正确；
故答案为：D.
【分析】连接AD，易得OD为△ABC的中位线，可得OD∥AC，故①正确；由圆周角定理可得∠ADB=90°，即得AD垂直平分BC，可得AB=AC，即得AC=AB=2OA，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，故②③正确；利用平行线的性质可得∠ODE=90°，即得∠EDA+∠ODA=90°，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ODB，根据余角的性质可得∠EDA=∠ODB，即得∠EDA=∠B，故④正确.
7．（2022·松江模拟）如图，已知中，，．D、E分别是边、上的点，，且．如果经过点A，且与外切，那么与直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE，
设CD=x，
∵．
∴BD=2x，BC=3x，
∵．
∴AC=4x，
∴AB=5x，
∵，
∴，．
∴BE=2AE，，
∴EF=AE=，
∴，
∴CD=DE，
∵经过点A，且与外切，
∴的半径为x，
∵，即AC⊥BC，
∴与直线相切．
故答案为：B
【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，则BD=2x，BC=3x，再结合，，求出BE=2AE，，利用线段的和差求出，再结合的半径为x，，即AC⊥BC，即可得到与直线相切。
8．（2022九上·临清期中）在中，，以点C为圆心，R为半径作圆．若与边只有一个公共点，则R的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，过点C作于点D．
，．
①如果以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切，则．此时．
②当时，圆与边也只有一个公共点．
综上，或．
故答案为：D．
【分析】利用点与圆的位置，直线与圆的位置关系求解即可。
二、填空题
9．（2023·滨州）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．
【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接CA，CB，如图所示：
当点C位于优弧AB上时，
∵分别与相切于两点，且，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-56°=124°，
∴∠ACB=62°，
当点C（C'）位于劣弧AB上时，
∠AC'B=180°-62°=118°，
综上所述，的大小为或，
故答案为：或
【分析】连接CA，CB，然后进行分类讨论：①当点C位于优弧AB上时，根据切线的性质即可得到∠AOB的度数，进而根据圆周角定理即可求解；②当点C（C'）位于劣弧AB上时，运用圆内接四边形的性质结合题意即可求解。
10．（2020九上·丰南月考）如图，已知 的半径为2，圆心P在抛物线 上运动；当 与x轴相切时；圆心P的坐标为 .
【答案】（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【知识点】直线与圆的位置关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动，
∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，
∴PA=2，
∴
即 ，或 =-2
解得x= 或x=0，
∴P点的坐标为：（ ，2）或（- ，2）或（0，-2）
【分析】根据切线的性质：圆心到x轴的距离等于半径列出方程求解即可。
11．（2022·石景山模拟）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为 °．
【答案】50
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，OD⊥DP，
∵OP=OP，OC=OD，
∴△POC≌△POD(HL)，
∴∠CPO=∠DPO，
∵∠CPA=40°，
∴∠CPD=80°，
∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，
∵∠CAD=∠COD=50°，
故答案为：50．
【分析】由切线的定义及圆周角与圆心角的关系可知， ∠CAD ＝ ∠COB＝ 90°- ∠CPA 。
12．（2021九上·信都月考）在数学课上，老师请同学思考如下问题：
已知：在ABC中，∠A＝90°． 求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．
嘉淇的主要作法如下：
如图， ⑴作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P； ⑵以点P为圆心，AP长为半径作⊙P．所以⊙P即为所求．
老师说：“嘉淇的作法符合题意．”请回答：⊙P与BC相切的依据是① ；② ．
【答案】角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】角平分线的性质；切线的判定
【解析】【解答】解：如图作PE⊥BC于E．
∵∠PBA=∠PBE，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE，
∴PE是⊙P的切线.（角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切）
故答案为：角平分线上的点到角两边距离相等；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【分析】先求出PA=PE，再判断即可。
三、解答题
13．（2023九上·西山期中）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，OD＝5．求线段AD的长．
【答案】（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝4，
∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBO∽△DCA，
∴，
∵AC、AB都为⊙O的切线，
∴AB＝AC，
∴，
解得AB＝6，
∴AD＝BD+AB＝4+6＝10．
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)从已知条件入手， AB为⊙O的切线，容易想到连接OB，得到90°角，根据已知BC⊥OA，由垂径定理可得到BE=CE，由三线合一定理可推出AB=AC，再根据SSS判定定理得到全等三角形，对应角相等都是90°，可得到AC为⊙O的切线结论的；
（2）从已知条件入手，⊙O半径为3，OD＝5，易根据勾股定理得到BD=4，在（1）的结论下，有共同角的直角三角形易知相似，在这两个相似三角形中，对应成比例的四条边里有2条边已知，另两边可以用AB的长表达，故AB可求，而AD=AB+BD，因此AD可求。
14．（2023九上·五华期中）如图，为的直径，为上一点，为上一点，，过点作交的延长线于点，交于点，连接，，在的延长线上取点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，则，
，
是的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：作于点，则，
，
，
∴，
由（1）得，
，
的半径为，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，，且，
，，
，
的长为．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；多边形内角与外角；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得，则，再根据三角形内角和定理可得，再根据三角形外角性质可得，则，所以，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）作于点，则，根据直线平行判定定理可得，则，咱爱根局相似三角形相似比性质可得，再根据勾股定理可得BC=8，根据相似三角形判定定理可得，则， 根据勾股定理可得，再进行角之间的转换即可求出答案.
15．（2023九上·大城期中）如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接．
①求的度数；
②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度．
【答案】（1）证明：如图：连接OD．
∵，
∴．
∵是直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∵OD是半径，
∴直线是的切线．
（2）解：
①∵，，
∴，
∴，
∴．
∵与都是所对的圆周角，
∴；
②∵，，
∴，
∴．
在中，根据勾股定理可得，
∴当达到最大长度时，达到最大长度．
∵的最大长度为2，
∴的最大长度为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与性质、圆周角与圆心角、等腰三角形、勾股定理等知识。
（1）同圆中，两条半径有等腰，根据OA=OD得∠A=∠ODA，由直径AB得∠ADB=∠ODA+∠ODB=90°，等量代换，可得∠ODC=90°可得结论；
（2）如图所示：
① 由∠ABD=2∠A和直角三角形ABD得∠ABD=60°，根据圆周角定理得∠APD； ②由PD⊥DQ得∠PDQ=90°，得∠Q=30°，则PQ=2PD，DQ=DP，则DP最长，DQ最长可得答案。
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