【基础卷】3.7切线长定理—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB、OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∵⊙O半径为2，即，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先求出∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
2．（2021九上·逊克期末）PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C为⊙O上一动点(点C不与A、B重合)，∠APB=50°，则∠ACB=（ ）
A．100° B．115° C．65°或115° D．65°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-50°=130°，
当点C在优弧AB上，则∠ACB=∠AOB=65°；
当点C在劣弧AB上，即C′的位置，则∠AC′B=180°-∠ACB=180°-65°=115°，
即∠ACB为65°或115°．
故答案为：C．
【分析】连接OA、OB，先求出∠AOB=180°-∠APB=180°-50°=130°，再分两种情况：①当点C在优弧AB上，②当点C在劣弧AB上，再利用圆周角的性质和角的运算求解即可。
3．（2022九上·宁波期中）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：过O分别作OM⊥AD和ON⊥AB，如下图，
∵⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点，
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴
∵
∴四边形ANOM为正方形，
∵⊙O的半径为4，
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】过O分别作OM⊥AD和ON⊥AB，根据切线长定理得再根据正方形的性质求出AD和AM，进而求出MD，即可得解.
4．（2021九上·红河期末）如图，已知和分别是的切线，A、B是切点，连接，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；切线长定理
【解析】【解答】解：∵和分别是的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵在等腰三角形AOB中，∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，
在四边形AOBP中，∠P=360°－90°－90°－120°=60°，
故答案为：A．
【分析】利用切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用三角形的内角和求出∠AOB=120°，最后利用四边形的内角和求出∠P=360°－90°－90°－120°=60°即可。
5．（2021九上·台州期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．18-6π D．18-3π
【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OP，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，∠APO=∠APB=30°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=360°-90°-90°-60°=120°，
在Rt△AOP中，OA=3
∴OP=2OA=6，
∴
∴S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB=.
故答案为：B.
【分析】连接OP，利用切线长定理可证得∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，同时可求出∠APO的度数，再利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，利用勾股定理 求出AP，BP的长；然后根据S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB，利用三角形的面积公式及扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
6．（2021九上·呼伦贝尔期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，点D是劣弧上的一点，则∠ADB＝（ ）
A．108° B．72° C．54° D．126°
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB+∠P=180°，
∴∠AOB=180°-72°=108°，
∴，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-54°=126°，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出∠AOB+∠P=180°，再求出∠ACB+∠ADB=180°，最后计算求解即可。
7．（2021九上·惠城期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（ ）
A．52° B．76° C．26° D．128°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OD，OF，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴∠ADO=∠AFO=90°；
∴∠A+∠DOF=180°，
∵∠DEF=52°，∠DOF和∠DEF分别为所对的圆心角和圆周角，
∴∠DOF=2∠DEF=104°；
∴∠A=180°﹣∠DOF=76°．
故答案为：B．
【分析】连接OD，OF，根据圆周角的性质可得∠DOF=2∠DEF=104°，最后利用四边形的内角和求出∠A的度数即可。
8．（2021九上·东营月考）如图， 、 、 是 的切线，切点分别为P、C、D，若 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 、 、 是 的切线，
∴AP=AC，BP=BD，
∵ ， ，
∴AP=3，
∴BD=BP=AB-AP=2．
故答案为：B
【分析】利于切线的性质，可知AP=AC，BP=BD即可求解。
二、填空题
9．（2021九上·龙江期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于E、F，且PA＝8cm，则△PEF的周长为 cm．
【答案】16
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，
∵直线EF与⊙O相切于点C，
∴EA＝EC，FC＝FB，
∴C△PEF＝PE+EF+PF
＝PE+EC+CF+PF
＝PE+EA+FB+PF
＝PA+PB
＝2PA
＝2×8
＝16（cm）
故答案为：16．
【分析】根据切线长定理可得EA＝EC，FC＝FB，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
10．（2023九上·西山期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则∠ACD的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝100°，
∴∠B＝∠A＝×（180°﹣100°）＝40°，
∵⊙O与AB，BC分别切于点D，C，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠BDC＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝100°﹣70°＝30°，
故答案为：30°．
【分析】从已知条件入手，已知等腰三角形ABC及顶角，两底角的度数可求，根据已知两切线，利用切线长定理又得到一个等腰三角形BCD且顶角已知，可以求出两底角度数，观察图形可知，所求圆周角是两个已知角的差，整理思路即可求得。
11．（2021九上·通榆期末）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P= 度．
【答案】60
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=60°．
故答案为：60．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再计算求解即可。
12．（2021九上·南昌月考）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】50
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝25，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故答案为：50．
【分析】根据切线长定理得到AD+BC＝AB+CD即可求出四边形的周长。
三、解答题
13．（2021九上·拜泉期中）如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】先求出 ， ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
14．（2020九上·白云期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．
求证：OP平分∠AOB．
【答案】证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
即OP平分∠AOB．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线长定理
【解析】【分析】利用"HL"求证出Rt△OAP≌Rt△OBP，即可得出∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．
15．（2020九上·北京月考）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， . 求 的度数.
【答案】解：∵ ， 是 的切线，
∴ .
∴ .
∵ 为 的直径，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理得到PA=PB，利用等腰三角形的性质得∠PAB=∠PBA，再根据切线的性质得∠PAC=90°，利用互余计算出∠PAB=65°，然后根据三角形内角和定理计算∠P的度数．
四、综合题
16．（2021九上·天河期末）如图，PA，PB与⊙O相切，切点为A，B，CD与⊙O相切于点E，分别交PA，PB于点D，C．若PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求△PCD的周长．
【答案】（1）解： PA，PB与⊙O相切，
PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根
解得
（2）解：
PA，PB与⊙O相切， CD与⊙O相切于点E，
△PCD的周长
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据PA，PB与⊙O相切，得出，再根据PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，由此得出m的值；
（2）根据切线长定理得出，再利用三角形周长公式求解即可。
1 / 1【基础卷】3.7切线长定理—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（2021九上·逊克期末）PA、PB分别切⊙O于A、B两点，C为⊙O上一动点(点C不与A、B重合)，∠APB=50°，则∠ACB=（ ）
A．100° B．115° C．65°或115° D．65°
3．（2022九上·宁波期中）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若⊙O的半径为4，且AB＝10，则DE的长度为（ ）
A．5 B．6 C． D．
4．（2021九上·红河期末）如图，已知和分别是的切线，A、B是切点，连接，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·台州期末）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．18-6π D．18-3π
6．（2021九上·呼伦贝尔期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，点D是劣弧上的一点，则∠ADB＝（ ）
A．108° B．72° C．54° D．126°
7．（2021九上·惠城期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（ ）
A．52° B．76° C．26° D．128°
8．（2021九上·东营月考）如图， 、 、 是 的切线，切点分别为P、C、D，若 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021九上·龙江期末）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，直线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于E、F，且PA＝8cm，则△PEF的周长为 cm．
10．（2023九上·西山期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则∠ACD的度数为 ．
11．（2021九上·通榆期末）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P= 度．
12．（2021九上·南昌月考）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 ．
三、解答题
13．（2021九上·拜泉期中）如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
14．（2020九上·白云期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．
求证：OP平分∠AOB．
15．（2020九上·北京月考）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， . 求 的度数.
四、综合题
16．（2021九上·天河期末）如图，PA，PB与⊙O相切，切点为A，B，CD与⊙O相切于点E，分别交PA，PB于点D，C．若PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根．
（1）求m的值；
（2）求△PCD的周长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB、OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∵⊙O半径为2，即，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先求出∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-50°=130°，
当点C在优弧AB上，则∠ACB=∠AOB=65°；
当点C在劣弧AB上，即C′的位置，则∠AC′B=180°-∠ACB=180°-65°=115°，
即∠ACB为65°或115°．
故答案为：C．
【分析】连接OA、OB，先求出∠AOB=180°-∠APB=180°-50°=130°，再分两种情况：①当点C在优弧AB上，②当点C在劣弧AB上，再利用圆周角的性质和角的运算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：过O分别作OM⊥AD和ON⊥AB，如下图，
∵⊙O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，且DE与⊙O相切于E点，
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴
∵
∴四边形ANOM为正方形，
∵⊙O的半径为4，
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】过O分别作OM⊥AD和ON⊥AB，根据切线长定理得再根据正方形的性质求出AD和AM，进而求出MD，即可得解.
4．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；切线长定理
【解析】【解答】解：∵和分别是的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵在等腰三角形AOB中，∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，
在四边形AOBP中，∠P=360°－90°－90°－120°=60°，
故答案为：A．
【分析】利用切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，利用三角形的内角和求出∠AOB=120°，最后利用四边形的内角和求出∠P=360°－90°－90°－120°=60°即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OP，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，且∠APB=60°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，∠APO=∠APB=30°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=360°-90°-90°-60°=120°，
在Rt△AOP中，OA=3
∴OP=2OA=6，
∴
∴S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB=.
故答案为：B.
【分析】连接OP，利用切线长定理可证得∠OAP=∠OBP=90°，AP=BP，同时可求出∠APO的度数，再利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，利用勾股定理 求出AP，BP的长；然后根据S阴影部分=2S△AOP-S扇形AOB，利用三角形的面积公式及扇形的面积公式，可求出阴影部分的面积.
6．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB+∠P=180°，
∴∠AOB=180°-72°=108°，
∴，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-54°=126°，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出∠AOB+∠P=180°，再求出∠ACB+∠ADB=180°，最后计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】如图，连接OD，OF，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴∠ADO=∠AFO=90°；
∴∠A+∠DOF=180°，
∵∠DEF=52°，∠DOF和∠DEF分别为所对的圆心角和圆周角，
∴∠DOF=2∠DEF=104°；
∴∠A=180°﹣∠DOF=76°．
故答案为：B．
【分析】连接OD，OF，根据圆周角的性质可得∠DOF=2∠DEF=104°，最后利用四边形的内角和求出∠A的度数即可。
8．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵ 、 、 是 的切线，
∴AP=AC，BP=BD，
∵ ， ，
∴AP=3，
∴BD=BP=AB-AP=2．
故答案为：B
【分析】利于切线的性质，可知AP=AC，BP=BD即可求解。
9．【答案】16
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB，
∵直线EF与⊙O相切于点C，
∴EA＝EC，FC＝FB，
∴C△PEF＝PE+EF+PF
＝PE+EC+CF+PF
＝PE+EA+FB+PF
＝PA+PB
＝2PA
＝2×8
＝16（cm）
故答案为：16．
【分析】根据切线长定理可得EA＝EC，FC＝FB，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
10．【答案】30°
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝100°，
∴∠B＝∠A＝×（180°﹣100°）＝40°，
∵⊙O与AB，BC分别切于点D，C，
∴BD＝CD，
∴∠BCD＝∠BDC＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝100°﹣70°＝30°，
故答案为：30°．
【分析】从已知条件入手，已知等腰三角形ABC及顶角，两底角的度数可求，根据已知两切线，利用切线长定理又得到一个等腰三角形BCD且顶角已知，可以求出两底角度数，观察图形可知，所求圆周角是两个已知角的差，整理思路即可求得。
11．【答案】60
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠P=180°-∠AOB=60°．
故答案为：60．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再计算求解即可。
12．【答案】50
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝25，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝50，
故答案为：50．
【分析】根据切线长定理得到AD+BC＝AB+CD即可求出四边形的周长。
13．【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】先求出 ， ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
14．【答案】证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
即OP平分∠AOB．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线长定理
【解析】【分析】利用"HL"求证出Rt△OAP≌Rt△OBP，即可得出∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．
15．【答案】解：∵ ， 是 的切线，
∴ .
∴ .
∵ 为 的直径，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理得到PA=PB，利用等腰三角形的性质得∠PAB=∠PBA，再根据切线的性质得∠PAC=90°，利用互余计算出∠PAB=65°，然后根据三角形内角和定理计算∠P的度数．
16．【答案】（1）解： PA，PB与⊙O相切，
PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根
解得
（2）解：
PA，PB与⊙O相切， CD与⊙O相切于点E，
△PCD的周长
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据PA，PB与⊙O相切，得出，再根据PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，由此得出m的值；
（2）根据切线长定理得出，再利用三角形周长公式求解即可。
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