【提升卷】3.7切线长定理—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023·长沙模拟）如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】∵ PA、PB分别于相切于点A、B两点
∴ OB⊥PB，OA⊥PA
∵ ∠APB=70°，四边形内角和360°
∴ ∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°
故答案为：B
【分析】本题考查圆的切线定理，熟悉定理内容是关键。根据PA、PB是圆O的两条切线，可得两个直角，根据已知角度，依据四边形内角和360°，可得所求角度值。
2．（2022·南沙模拟）根钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心，如果钢管的直径为20cm，∠MPN＝60°，则OP的长度是（ ）
A．40cm B．40cm C．20cm D．20cm
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OM、ON，
∵圆与V形架的两边相切，且∠MPN＝60°，
∴△OMP是直角三角形，∠OPN=∠OPM=30°，
∵钢管的直径为20cm，ON=10cm，
∴OP=2ON=20cm；
故答案为：D．
【分析】连接OM，ON，先求出∠OPN=∠OPM=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OP=2ON=20cm。
3．（2023·铜仁模拟）如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，，则四边形的周长为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC相切，切点分别为D，E，C ，
∴AD=AE，BE=BC.
∵半径为2，AB=5，
∴四边形ABCD的周长为：AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD=2×5+2×2=10+4=14.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可得AD=AE，BE=BC，则四边形ABCD的周长为=AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD，据此计算.
4．（2021·福建）如图， 为 的直径，点P在 的延长线上， 与 相切，切点分别为C，D.若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，
CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5.
∴ = =
故答案为：D.
【分析】连接OC，利用切线的性质及切线长定理得出∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，根据圆周角定理∠COP＝2∠CAO，从而得出∠COP＝∠CAD，在Rt△COP中，利用勾股定理求出OP， 利用 = = 即得结论.
5．（2021·临沂）如图， 、 分别与 相切于 、 ， ， 为 上一点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据切线的性质得出∠OAP=∠OBP
=90°，利用四边形内角和可求出AOB=110°，根据圆周角定理得出∠ADB=∠AOB=55°，利用圆内接四边形的对角互补，可得∠ACB=180°-∠ADB，据此计算即可.
6．（2020九上·泉州期中）如图， 切 于点 切 于点 交 于点 ，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． 平分
C． D．
【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，
由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
又∵PG=PG，
∴△PAG≌△PBG，
从而AB⊥OP．
因此A．B．C都符合题意．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故答案为：D．
【分析】根据切线长定理证出△PAG≌△PBG，再利用全等的性质逐项判定即可。
7．（2021九上·巴南期末）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， ， 与 相切于点 ， 交 的延长线于点 ，若 的半径为2，则 的长是（ ）
A．4 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵MC切⊙O于D，
∴∠ODM=90°，
∵⊙O的半径为2，MA=AO，AB是⊙O的直径，
∴MO=2+2=4，MB=2+2+2=6，OD=2，
∴由勾股定理得： ，
∵BC⊥AB，AB过O，
∴BC切⊙O于B，
∵MC切⊙O于D，
∴CD=BC，
设CD=CB=x，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2=MB2+BC2，
即 ，
解得： ，
即 ，
故答案为：B.
【分析】连接OD，根据切线的性质∠ODM=90°，由勾股定理求出MD，然后求出BC切⊙O于B，根据切线长定理可得CD=BC，可设CD=CB=x，在Rt△MBC中，由勾股定理建立关于x方程，求出x值即可.
8．（2020九上·曲阳期末）探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA的值最接近的是（ ）
A．8cm B．7 cm C．6 cm D．5 cm
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图甲，连结OP，并设⊙O与x轴相切于点D，图乙，连结OQ、OA，并设⊙O与x轴相切于点E，
∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD是正方形，
∴OQ=OP=PC=12cm，
由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC）÷2=60°，
∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，
∴tan∠QOA=AQ÷OQ，
即tan30°= = ，
解得AQ= ．
∵1.5＜ ＜2，
∴6＜ ＜8．
故答案为：B．
【分析】先计算出QA的长，由于图甲测得PC=12cm，即圆的半径等于12cm，在图乙中直角三角形OAQ中利用30°角的直角三角函数可求得tan30°= = ，解得AQ的值为，先估计的近似值，再求解即可。
二、填空题
9．（2023·天河模拟）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 ．
【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接，，，
、与相切于、两点，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即的半径长为，
故答案为：．
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
10．（2023·柳南模拟）将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接，如图所示：
由切线长定理知，平分，
∴，
在中，，
∴光盘的直径为，
故答案为：.
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=2，OA平分∠BAC，则∠OAB=60°，然后根据三角函数的概念进行计算.
11．（2023九上·安顺期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是 ．
【答案】1
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：以AB为直径作圆，
∵∠AGB=90°，
∴点G在圆上，
当CF与圆相切时，AF最大，
此时FA=FG，BC=CG，
设AF=x，则DF=4-x，FC=4+x，
∴DF2+DC2=FC2即（4-x）2+42=（4+x）2，
解之：x=1.
故答案为：1
【分析】利用直径所对的圆周角是直角可证得∠AGB=90°，同时可证得点G在圆上，当CF与圆相切时，AF最大，利用切线长定理可知FA=FG，BC=CG，设AF=x，可表示出DF，FC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
12．（2022·沭阳模拟）如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与三边相切，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率 （取）.
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；几何概率；切线长定理
【解析】【解答】解：设与△ABC的三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，设的半径为.
易得△ABC是直角三角形，四边形ODCE是正方形，
由切线长定理可知，，，，
，解得.
的面积为，的面积为，
树叶恰好落入水池中的概率为.
故答案为：.
【分析】设⊙O与△ABC的三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，由切线长定理可知CD=CE=r，AD=AF=4-r，BE=BF=3-r，则AB=AF+BF=7-2r=5，求出r的值，然后求出⊙O的面积以及△ABC的面积，再根据几何概率公式进行计算即可.
13．（2022·兰溪模拟）如图，半径为 的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝ .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接 OB ，作 OD⊥BC于D ，
与等边三角形ABC 的两边AB 、 BC都相切，
，
，
，
，
在Rt△OCD中，
.
故答案为： .
【分析】连接OB，作OD⊥BC于D，由切线长定理以及等边三角形的性质可得∠OBC=∠OBA=30°，根据三角函数的概念求出BD，由CD=BC-BD可得CD，利用勾股定理求出OC，然后根据三角函数的概念进行计算.
三、作图题
14．（2022九下·厦门开学考）如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点.
（1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线，
∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，
∵AC=4，
∴PC==5，BC=5-3=2，
设圆的半径为x，则OC=4-x，
∴，
解得x=，
故圆的半径为.
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）过点A、B分别作AP、BP的垂线，两垂线的交点即为圆心O；
（2）根据切线的性质及切线长定理可得 ∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°， 利用勾股定理求出PC=5，BC=2， 设圆的半径为x，则OC=4-x， 在Rt△OBC中，利用勾股定理建立方程并求解即可.
四、解答题
15．（2019·广州模拟）如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为 cm，且AB＝6cm，求∠ACB．
【答案】解：如图，连接OC交AB于点D
∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA＝CB，OC平分∠ACB
∴OC⊥AB
∵AB＝6
∴BD＝3
在Rt△OBD中
∵OB＝
∴sin∠BOD＝
∴∠BOD＝60°
∵B是切点
∴OB⊥BC
∴∠OCB＝30°
∴∠ACB＝60°．
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】由切线长定理可知CA=CB，OC平
分∠ACB，OC⊥AB，可求得BD长。在Rt△OBD中，利用解直角三角形，可求得
∠BOD的度数，继而可求出∠OCB和∠ACB的度数。
16．（2022九上·和平期中）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
【答案】解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
【知识点】角的运算；圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和等于360度计算即可；
（2）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可。
17．（2021九上·红桥期末）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
【答案】解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC=90°．
又∠BAC=25°，
∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°．
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，
∴MA=MB．
∴∠MAB=∠MBA．
∴∠AMB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°．
（Ⅱ）如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA．
又∵BD=MA，
∴四边形MADB是平行四边形．
又∵MA=MB，
∴四边形MADB是菱形．
∴AD=BD．
又∵AC为直径，AC⊥BD，
∴ AB = AD．
∴AB=AD=BD．
∴△ABD是等边三角形．
∴∠D=60°．
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°
【知识点】菱形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）由 MA切⊙O于点A，根据切线的性质得出∠MAC=90°． 再由∠MAC－∠BAC得出∠MAB的度数，根据MA、MB分别切⊙O于点A、B，得出MA=MB．推出∠MAB=∠MBA．由此得出答案；
（2） 连接AD、AB， 先证出四边形MADB是平行四边形，再证出四边形MADB是菱形．再得出 △ABD是等边三角形． 由此得出结论。
18．（2022·西城模拟）如图，AB是的直径，CB，CD分别与相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求FA的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵CB，CD分别与相切于点B，D，
∴CD=CB，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△CDO≌△CBO（SSS），
∴∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴2∠COB=2∠OAD，即∠COB=∠OAD，
∴FAOC；
（2）解：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
由（1）知：∠COB=∠OAD，
∴∠COE=∠CEO，
∴CO=CE，
∵CB是⊙O的切线，
∴OB⊥CB，
∴OB=BE=2，
∴OA=OB=2，
∴AE=6，OE=4，
∵CB、CD是⊙O的切线，
∴CB=CD=4，
在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CE=，
∵FAOC，
∴△EOC∽△EAF，
∴，即，
∴FE=3，
∴FA=FE=3．
【知识点】平行线的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接OD，由切线长定理可得CD=CB， 根据SSS证明△CDO≌△CBO，可得COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB， 根据等腰三角形及三角形外角的性质可得 ∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD， 从而得出∠COB=∠OAD， 根据平行线的判定即证结论；
（2）由切线的性质及等腰三角形的性质可得OA=OB=BE=2， 由切线长定理可得CB=CD=4，利用勾股定理求出CE的长，再证△EOC∽△EAF ，利用相似三角形的对应边成比例可求出EF的长，继而得解.
1 / 1【提升卷】3.7切线长定理—北师大版数学九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023·长沙模拟）如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·南沙模拟）根钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心，如果钢管的直径为20cm，∠MPN＝60°，则OP的长度是（ ）
A．40cm B．40cm C．20cm D．20cm
3．（2023·铜仁模拟）如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，，则四边形的周长为（ ）
A．7 B．9 C．12 D．14
4．（2021·福建）如图， 为 的直径，点P在 的延长线上， 与 相切，切点分别为C，D.若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·临沂）如图， 、 分别与 相切于 、 ， ， 为 上一点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·泉州期中）如图， 切 于点 切 于点 交 于点 ，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． 平分
C． D．
7．（2021九上·巴南期末）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， ， 与 相切于点 ， 交 的延长线于点 ，若 的半径为2，则 的长是（ ）
A．4 B． C． D．3
8．（2020九上·曲阳期末）探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA的值最接近的是（ ）
A．8cm B．7 cm C．6 cm D．5 cm
二、填空题
9．（2023·天河模拟）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 ．
10．（2023·柳南模拟）将一把直尺，一块含有的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点，，则光盘直径是 .
11．（2023九上·安顺期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是 ．
12．（2022·沭阳模拟）如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与三边相切，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率 （取）.
13．（2022·兰溪模拟）如图，半径为 的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝ .
三、作图题
14．（2022九下·厦门开学考）如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点.
（1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径.
四、解答题
15．（2019·广州模拟）如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为 cm，且AB＝6cm，求∠ACB．
16．（2022九上·和平期中）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
17．（2021九上·红桥期末）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
18．（2022·西城模拟）如图，AB是的直径，CB，CD分别与相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求FA的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】∵ PA、PB分别于相切于点A、B两点
∴ OB⊥PB，OA⊥PA
∵ ∠APB=70°，四边形内角和360°
∴ ∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°
故答案为：B
【分析】本题考查圆的切线定理，熟悉定理内容是关键。根据PA、PB是圆O的两条切线，可得两个直角，根据已知角度，依据四边形内角和360°，可得所求角度值。
2．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接OM、ON，
∵圆与V形架的两边相切，且∠MPN＝60°，
∴△OMP是直角三角形，∠OPN=∠OPM=30°，
∵钢管的直径为20cm，ON=10cm，
∴OP=2ON=20cm；
故答案为：D．
【分析】连接OM，ON，先求出∠OPN=∠OPM=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OP=2ON=20cm。
3．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC相切，切点分别为D，E，C ，
∴AD=AE，BE=BC.
∵半径为2，AB=5，
∴四边形ABCD的周长为：AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD=2×5+2×2=10+4=14.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可得AD=AE，BE=BC，则四边形ABCD的周长为=AD+AE+BE+BC+CD=2AB+CD，据此计算.
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，
CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，
∴∠CAD=2∠CAP，
∵OA=OC
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠CAO
∴∠COP＝∠CAD
∵
∴OC=3
在Rt△COP中，OC=3，PC=4
∴OP=5.
∴ = =
故答案为：D.
【分析】连接OC，利用切线的性质及切线长定理得出∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，根据圆周角定理∠COP＝2∠CAO，从而得出∠COP＝∠CAD，在Rt△COP中，利用勾股定理求出OP， 利用 = = 即得结论.
5．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．
故答案为：C．
【分析】连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，根据切线的性质得出∠OAP=∠OBP
=90°，利用四边形内角和可求出AOB=110°，根据圆周角定理得出∠ADB=∠AOB=55°，利用圆内接四边形的对角互补，可得∠ACB=180°-∠ADB，据此计算即可.
6．【答案】D
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，
由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
又∵PG=PG，
∴△PAG≌△PBG，
从而AB⊥OP．
因此A．B．C都符合题意．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故答案为：D．
【分析】根据切线长定理证出△PAG≌△PBG，再利用全等的性质逐项判定即可。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OD，
∵MC切⊙O于D，
∴∠ODM=90°，
∵⊙O的半径为2，MA=AO，AB是⊙O的直径，
∴MO=2+2=4，MB=2+2+2=6，OD=2，
∴由勾股定理得： ，
∵BC⊥AB，AB过O，
∴BC切⊙O于B，
∵MC切⊙O于D，
∴CD=BC，
设CD=CB=x，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC2=MB2+BC2，
即 ，
解得： ，
即 ，
故答案为：B.
【分析】连接OD，根据切线的性质∠ODM=90°，由勾股定理求出MD，然后求出BC切⊙O于B，根据切线长定理可得CD=BC，可设CD=CB=x，在Rt△MBC中，由勾股定理建立关于x方程，求出x值即可.
8．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图甲，连结OP，并设⊙O与x轴相切于点D，图乙，连结OQ、OA，并设⊙O与x轴相切于点E，
∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD是正方形，
∴OQ=OP=PC=12cm，
由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC）÷2=60°，
∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，
∴tan∠QOA=AQ÷OQ，
即tan30°= = ，
解得AQ= ．
∵1.5＜ ＜2，
∴6＜ ＜8．
故答案为：B．
【分析】先计算出QA的长，由于图甲测得PC=12cm，即圆的半径等于12cm，在图乙中直角三角形OAQ中利用30°角的直角三角函数可求得tan30°= = ，解得AQ的值为，先估计的近似值，再求解即可。
9．【答案】
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接，，，
、与相切于、两点，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即的半径长为，
故答案为：．
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接，如图所示：
由切线长定理知，平分，
∴，
在中，，
∴光盘的直径为，
故答案为：.
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB=AC=2，OA平分∠BAC，则∠OAB=60°，然后根据三角函数的概念进行计算.
11．【答案】1
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：以AB为直径作圆，
∵∠AGB=90°，
∴点G在圆上，
当CF与圆相切时，AF最大，
此时FA=FG，BC=CG，
设AF=x，则DF=4-x，FC=4+x，
∴DF2+DC2=FC2即（4-x）2+42=（4+x）2，
解之：x=1.
故答案为：1
【分析】利用直径所对的圆周角是直角可证得∠AGB=90°，同时可证得点G在圆上，当CF与圆相切时，AF最大，利用切线长定理可知FA=FG，BC=CG，设AF=x，可表示出DF，FC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
12．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；几何概率；切线长定理
【解析】【解答】解：设与△ABC的三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，设的半径为.
易得△ABC是直角三角形，四边形ODCE是正方形，
由切线长定理可知，，，，
，解得.
的面积为，的面积为，
树叶恰好落入水池中的概率为.
故答案为：.
【分析】设⊙O与△ABC的三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，由切线长定理可知CD=CE=r，AD=AF=4-r，BE=BF=3-r，则AB=AF+BF=7-2r=5，求出r的值，然后求出⊙O的面积以及△ABC的面积，再根据几何概率公式进行计算即可.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接 OB ，作 OD⊥BC于D ，
与等边三角形ABC 的两边AB 、 BC都相切，
，
，
，
，
在Rt△OCD中，
.
故答案为： .
【分析】连接OB，作OD⊥BC于D，由切线长定理以及等边三角形的性质可得∠OBC=∠OBA=30°，根据三角函数的概念求出BD，由CD=BC-BD可得CD，利用勾股定理求出OC，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线，
∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°，
∵AC=4，
∴PC==5，BC=5-3=2，
设圆的半径为x，则OC=4-x，
∴，
解得x=，
故圆的半径为.
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）过点A、B分别作AP、BP的垂线，两垂线的交点即为圆心O；
（2）根据切线的性质及切线长定理可得 ∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°， 利用勾股定理求出PC=5，BC=2， 设圆的半径为x，则OC=4-x， 在Rt△OBC中，利用勾股定理建立方程并求解即可.
15．【答案】解：如图，连接OC交AB于点D
∵CA、CB分别是⊙O的切线
∴CA＝CB，OC平分∠ACB
∴OC⊥AB
∵AB＝6
∴BD＝3
在Rt△OBD中
∵OB＝
∴sin∠BOD＝
∴∠BOD＝60°
∵B是切点
∴OB⊥BC
∴∠OCB＝30°
∴∠ACB＝60°．
【知识点】解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】由切线长定理可知CA=CB，OC平
分∠ACB，OC⊥AB，可求得BD长。在Rt△OBD中，利用解直角三角形，可求得
∠BOD的度数，继而可求出∠OCB和∠ACB的度数。
16．【答案】解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
【知识点】角的运算；圆周角定理；切线长定理
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和等于360度计算即可；
（2）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可。
17．【答案】解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC=90°．
又∠BAC=25°，
∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°．
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，
∴MA=MB．
∴∠MAB=∠MBA．
∴∠AMB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°．
（Ⅱ）如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA．
又∵BD=MA，
∴四边形MADB是平行四边形．
又∵MA=MB，
∴四边形MADB是菱形．
∴AD=BD．
又∵AC为直径，AC⊥BD，
∴ AB = AD．
∴AB=AD=BD．
∴△ABD是等边三角形．
∴∠D=60°．
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°
【知识点】菱形的判定与性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）由 MA切⊙O于点A，根据切线的性质得出∠MAC=90°． 再由∠MAC－∠BAC得出∠MAB的度数，根据MA、MB分别切⊙O于点A、B，得出MA=MB．推出∠MAB=∠MBA．由此得出答案；
（2） 连接AD、AB， 先证出四边形MADB是平行四边形，再证出四边形MADB是菱形．再得出 △ABD是等边三角形． 由此得出结论。
18．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵CB，CD分别与相切于点B，D，
∴CD=CB，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△CDO≌△CBO（SSS），
∴∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴2∠COB=2∠OAD，即∠COB=∠OAD，
∴FAOC；
（2）解：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
由（1）知：∠COB=∠OAD，
∴∠COE=∠CEO，
∴CO=CE，
∵CB是⊙O的切线，
∴OB⊥CB，
∴OB=BE=2，
∴OA=OB=2，
∴AE=6，OE=4，
∵CB、CD是⊙O的切线，
∴CB=CD=4，
在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CE=，
∵FAOC，
∴△EOC∽△EAF，
∴，即，
∴FE=3，
∴FA=FE=3．
【知识点】平行线的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接OD，由切线长定理可得CD=CB， 根据SSS证明△CDO≌△CBO，可得COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB， 根据等腰三角形及三角形外角的性质可得 ∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD， 从而得出∠COB=∠OAD， 根据平行线的判定即证结论；
（2）由切线的性质及等腰三角形的性质可得OA=OB=BE=2， 由切线长定理可得CB=CD=4，利用勾股定理求出CE的长，再证△EOC∽△EAF ，利用相似三角形的对应边成比例可求出EF的长，继而得解.
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