【基础卷】3.8圆内正多边形—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．3． B．4． C．5． D．6．
2．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
A．60° B．120°
C．60°或120° D．30°或150°
3．（2020九上·乌兰察布期中）⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
4．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过（ ）．
A．12 mm B． mm C．6mm D．mm
5．（2021九上·余姚月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在 上，则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（2020九下·沈阳月考）如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，则的大小为（ ）.
A． B． C． D．
8．（2023九下·泰兴月考）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的 ，这个正多边形也就叫做 ，任何正多边形都有一个外接圆.
10．（2022九上·中山期末）已知的半径为6，则的内接正方形的边长为 ．
11．（2023九下·鹿城月考）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为 .
12．如图，已知⊙O的半径为2，等边三角形ABC内接于⊙O，则的度数为 ，△ABC的边长为
13．（2022九上·河东期末）正方形的中心角为 ．
三、作图题
14．如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正三角形．
四、解答题
15．（2020九上·金寨期末）如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），求 的余角的度数．
16．（2018九上·西湖期末）求半径为3的圆的内接正方形的边长．
17．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
18．（2020九上·福州月考）如图， 是 的内接正五边形．求证： .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n.
由题意可得：，
∴n=5，
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的圆心角计算即可．
2．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°﹣30°=150°．故选D．
【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
3．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，AB为⊙O的内接正六边形的边长；∵∠AOB==60°，OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=2，故选A．
【分析】如图，首先求出∠AOB=60°，结合OA=OB，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题．
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
正六边形与圆O外接时，正六边形的边长最大，
∵OA=OB，∠AOB=360°÷6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=×24=12，
∴正六边形的边长最大值不超过12.
故答案为：A
【分析】利用正六边形的性质可证得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AB的长，即可得到正六边形的边长的最大值.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴ 所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝45°.
故答案为：B.
【分析】连接OB、OC，易得∠BOC＝90°， 然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为： ＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1 cm，
∴OG＝ cm，
∴S△AOB＝ AB OG＝ ×2× ＝ cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2.
故答案为：C.
【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答.
7．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵ 正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，
∴OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°，
∴∠OMC=∠OND=90°，
∴∠MON=540°-∠OMC-∠OND-∠C-∠D=540°-90°-90°-108°-108°=144°.
故答案为：B.
【分析】利用正五边形的性质和垂径定理可证得OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°，可求出∠OMC=∠OND=90°，再利用五边形的内角和为540°，可求出∠MON的度数.
8．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，
故答案为：A.
【分析】圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，据此判断.
9．【答案】外接圆；圆内接正多边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做内接正多边形，任何正多边形都有一个外接圆.
故答案为：外接圆，圆内接正多边形.
【分析】利用正多边形的外接圆及圆内接正多边形的定义，可得答案.
10．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示， 的半径为6
∵四边形 为正方形，
∴ 为 的直径，
∴
在 中，
∴
解得，
即 的内接正方形的边长为
故答案为：
【分析】利用勾股定理可得，再将数据代入求出，即可得到正方形的边长。
11．【答案】36
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OD，
∵正五边形ABCDE内接于圆O，
∴∠COD==72°，
∴∠CFD=∠COD=36°.
故答案为：36.
【分析】根据正n边形的中心角等于可求出∠COD的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠CFD的度数.
12．【答案】120°；
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，
∴BC=2DC，
∵等边三角形ABC内接于⊙O，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠OCD=30°， 的度数为2×60°=120°；
∴OD=OC=1，
∴，
∴；
故答案为：120°，.
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用垂径定理可证得BC=2DC，利用等边三角形的性质可证得∠A=∠ACB=60°，可求出的度数，同时可证得∠OCD=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长；然后利用勾股定理求出DC的长，即可得到BC的长.
13．【答案】90°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正方形ABCD的中心为点O，
则∠AOB=360°÷4=90°，
故答案为：90°．
【分析】设正方形ABCD的中心为点O，再列出算式求出中心角即可。
14．【答案】解：如图
∴△ABC就是所求作的三角形.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用圆的正六边形的性质，正六边形的边长和半径相等，因此先将圆六等分，然后作出⊙O的内接正三角形即可.
15．【答案】解：如图，连接 ．
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴90°-36°=54°，
∴ 的余角的度数为54°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 ．根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5，求出角COD的度数，进而根据圆周角定理求出角CPD的度数，即可得出答案。
16．【答案】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠OBE＝45°； ∵OE⊥BC， ∴BE＝CE； ∵OB＝3， ∴cos45° ， ∴BE＝ ， ∴BC＝3 ， 故半径为3的圆内接正方形的边长为3 ．
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由圆内接正四边形的性质知∠OBE＝45°，由垂径定理定理知BE＝CE，根据锐角三角函数的定义求出BE＝ ，从而可求出BE的值.
17．【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
18．【答案】证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定；圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
1 / 1【基础卷】3.8圆内正多边形—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．3． B．4． C．5． D．6．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为n.
由题意可得：，
∴n=5，
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的圆心角计算即可．
2．正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（ ）
A．60° B．120°
C．60°或120° D．30°或150°
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】圆内接正六边形的边所对的圆心角=360°÷6=60°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，边所对的圆周角的度数是60×=30°或180°﹣30°=150°．故选D．
【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．
3．（2020九上·乌兰察布期中）⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，AB为⊙O的内接正六边形的边长；∵∠AOB==60°，OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=2，故选A．
【分析】如图，首先求出∠AOB=60°，结合OA=OB，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题．
4．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不超过（ ）．
A．12 mm B． mm C．6mm D．mm
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
正六边形与圆O外接时，正六边形的边长最大，
∵OA=OB，∠AOB=360°÷6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=×24=12，
∴正六边形的边长最大值不超过12.
故答案为：A
【分析】利用正六边形的性质可证得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AB的长，即可得到正六边形的边长的最大值.
5．（2021九上·余姚月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在 上，则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴ 所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝45°.
故答案为：B.
【分析】连接OB、OC，易得∠BOC＝90°， 然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.
6．（2020九下·沈阳月考）如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为： ＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1 cm，
∴OG＝ cm，
∴S△AOB＝ AB OG＝ ×2× ＝ cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝ cm2.
故答案为：C.
【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答.
7．如图所示，正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，则的大小为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵ 正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，
∴OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°，
∴∠OMC=∠OND=90°，
∴∠MON=540°-∠OMC-∠OND-∠C-∠D=540°-90°-90°-108°-108°=144°.
故答案为：B.
【分析】利用正五边形的性质和垂径定理可证得OM⊥BC，ON⊥DE，∠C=∠D=108°，可求出∠OMC=∠OND=90°，再利用五边形的内角和为540°，可求出∠MON的度数.
8．（2023九下·泰兴月考）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，
故答案为：A.
【分析】圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，据此判断.
二、填空题
9．经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的 ，这个正多边形也就叫做 ，任何正多边形都有一个外接圆.
【答案】外接圆；圆内接正多边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形也就叫做内接正多边形，任何正多边形都有一个外接圆.
故答案为：外接圆，圆内接正多边形.
【分析】利用正多边形的外接圆及圆内接正多边形的定义，可得答案.
10．（2022九上·中山期末）已知的半径为6，则的内接正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示， 的半径为6
∵四边形 为正方形，
∴ 为 的直径，
∴
在 中，
∴
解得，
即 的内接正方形的边长为
故答案为：
【分析】利用勾股定理可得，再将数据代入求出，即可得到正方形的边长。
11．（2023九下·鹿城月考）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为 .
【答案】36
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OC、OD，
∵正五边形ABCDE内接于圆O，
∴∠COD==72°，
∴∠CFD=∠COD=36°.
故答案为：36.
【分析】根据正n边形的中心角等于可求出∠COD的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠CFD的度数.
12．如图，已知⊙O的半径为2，等边三角形ABC内接于⊙O，则的度数为 ，△ABC的边长为
【答案】120°；
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，
∴BC=2DC，
∵等边三角形ABC内接于⊙O，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠OCD=30°， 的度数为2×60°=120°；
∴OD=OC=1，
∴，
∴；
故答案为：120°，.
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用垂径定理可证得BC=2DC，利用等边三角形的性质可证得∠A=∠ACB=60°，可求出的度数，同时可证得∠OCD=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长；然后利用勾股定理求出DC的长，即可得到BC的长.
13．（2022九上·河东期末）正方形的中心角为 ．
【答案】90°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正方形ABCD的中心为点O，
则∠AOB=360°÷4=90°，
故答案为：90°．
【分析】设正方形ABCD的中心为点O，再列出算式求出中心角即可。
三、作图题
14．如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正三角形．
【答案】解：如图
∴△ABC就是所求作的三角形.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用圆的正六边形的性质，正六边形的边长和半径相等，因此先将圆六等分，然后作出⊙O的内接正三角形即可.
四、解答题
15．（2020九上·金寨期末）如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），求 的余角的度数．
【答案】解：如图，连接 ．
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴90°-36°=54°，
∴ 的余角的度数为54°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 ．根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5，求出角COD的度数，进而根据圆周角定理求出角CPD的度数，即可得出答案。
16．（2018九上·西湖期末）求半径为3的圆的内接正方形的边长．
【答案】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠OBE＝45°； ∵OE⊥BC， ∴BE＝CE； ∵OB＝3， ∴cos45° ， ∴BE＝ ， ∴BC＝3 ， 故半径为3的圆内接正方形的边长为3 ．
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由圆内接正四边形的性质知∠OBE＝45°，由垂径定理定理知BE＝CE，根据锐角三角函数的定义求出BE＝ ，从而可求出BE的值.
17．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
18．（2020九上·福州月考）如图， 是 的内接正五边形．求证： .
【答案】证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定；圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
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