人教2019A版 高一上册期末培优卷（含解析）

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高一上册期末培优卷
一、单选题
1．若cos（ -α）= ，则cos（ +2α）的值为（　　）
A． B． C． D．
2．函数在区间上的零点个数为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．若函数 在区间 上为减函数，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（1，2]
4．已知函数，，若只有两个零点、，则下列结论正确的是（　　）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，，
D．当时，，
5．定义在上函数满足，当时，，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．设.若对任意，都存在，使得，则可以是（　　）
A． B． C． D．
7．已知 ，若 ，使 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（　　）.
A．若 ， ，则 的最大值为4
B．若 ，则函数 的最大值为-1
C．若 ， ，则 的最小值为1
D．函数 的最小值为9
10．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为2π
B．函数在上单调递减
C．当时，，
D．当函数在上有4个零点时，
11．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图象如图所示，那么满足不等式 的x的可能取值是（　　）
A．-4 B．-1 C． D．2
12．若函数，则函数的零点情况说法正确的是（　　）
A．函数至少有两个不同的零点
B．当时，函数恰有两个不同的零点
C．函数有三个不同零点时，
D．函数有四个不同零点时，
三、填空题
13．已知，则　 　．
14．给出下列五个命题：
①函数f（x）＝2 x﹣1﹣1的图象过定点（ ，﹣1）；②已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x+1），若f（a）＝﹣2则实数a＝﹣1或2．③若 1，则a的取值范围是（ ，1）；④若对于任意x∈R都f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x）图象关于直线x＝2对称；⑤对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意 都满足f（ ） 其中所有正确命题的序号是　 　．
15．如图，线段 =8，点 在线段 上，且 =2， 为线段 上一动点，点 绕点 旋转后与点 绕点 旋转后重合于点 ．设 = ， 的面积为 ．则 的定义域为　 　； 的零点是　 　．
16．已知函数，其中，则的值域是　 　；若且对任意，总存在，使得，则的取值范围是　 　．
四、解答题
17．
（1）求值 ；
（2）已知 ， ，试用 、 表示 .
18．集合，.
（1）求
（2）若“则”是假命题，求实数a的取值范围；
19．已知函数 ，且 ，
（1）试判断函数 的单调性并说明理由。
（2）若对任意的 ，都有不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
20．已知函数 ．
（1）若关于x的方程 有解，求实数a的最小整数值；
（2）若对任意的 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围．
21．定义在上的奇函数，已知当时，．
（1）求的值；
（2）若使不等式成立，求实数m的取值范围；
（3）设，若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围
22．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若不等式对任意恒成立，求整数m的最大值；
（3）若函数，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】∵cos ＝ ，
∴cos ＝2 －1＝2× －1＝－ ，
∴cos ＝cos ＝－cos ＝ .
故答案为：A.
【分析】利用二倍角公式求出 的值，再利用诱导公式求出 的值．
2．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以0不是的零点.
当时，方程的解的个数为函数与的图像在上交点的个数，在同一坐标系中作出与在上的图像（注意到当时，单调递减，）.
如图所示，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点.
而与均为奇函数，故在上两图像交点个数为8，即在区间上的零点个数为8.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合函数的零点的定义，进而得出0不是的零点，再结合方程的根与两函数的交点的横坐标的等价关系，所以，当时，方程的解的个数为函数与的图像在上交点的个数，在同一坐标系中作出与在上的图像，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点，再利用奇函数的定义判断出与均为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性，从而得出在上两图像交点个数，再结合两函数的交点的横坐标与函数的零点的等价关系，进而得出在区间上的零点个数。
3．【答案】A
【解析】【解答】令 ，
∵ 且 ，
∴函数 的图象是开口向下的抛物线，
∵，
∴，
若 ，外函数 为增函数，要使复合函数 在区间 上为减函数，则 ，解得 ，
若 ，外函数 为减函数，要使复合函数 在区间 上为减函数，则 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 。
故答案为：A.
【分析】令 ，因为 且 ，所以函数 的图象是开口向下的抛物线，因为 ，所以 ，再利用分类讨论的方法结合复合函数的单调性，即同增异减和已知条件函数 在区间 上为减函数，从而求出实数a的取值范围。
4．【答案】D
【解析】【解答】根据题意可设
，其中
，
因为
只有两个零点
、
，不妨设
，
所以，
，
因为
，则
且
，由题意可得
，则
.
由
可得
，则
，
当
时，则
，
，
，
，AB均错；
当
时，则
，
，若
，则
，C不符合题意D对.
故答案为：D.
【分析】分析可知
，其中
，设
，可得出
，
，然后分
、
两种情况讨论，可判断各选项的正误.
5．【答案】D
【解析】【解答】，且.
则，
因为，，所以，所以，
所以，
所以，所以在上单调递增.
又，所以为奇函数.
又时，有，
所以，时，有.
由可得，
.
因为，
所以由可得，，
整理可得，即，
显然，所以有，解得.
所以，不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和函数的单调性，进而得出不等式的解集。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为对任意 ，都存在，使得， 成立，
所以 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，
若对任意 ，都存在 ，使得成立，
得 ，只需 ， 即可，
因为 ，则 ，
对于A：当 时， ，则 ，因为 ，
所以的取值不符合条件，故A错误；
对于B：当 时， ，则 ，因为 ，
所以的取值符合条件，故B正确；
对于C：当 时， ，则 ，因为 ，
所以的取值不符合条件，故C错误；
对于D：当 时， ，则 ，因为 ，
所以的取值不符合条件，故D错误；
故选：B
【分析】由题意可知， ，若对任意 ，都存在 ，使得 成立，得 ，只需 ， 即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解.
7．【答案】A
【解析】【解答】由题可得：“若 ，使 ” 等价于：
“ ”
当 时， ，所以 在 单调递增，
所以
当 时，
所以 ，解得：
故答案为：A
【分析】“若 ，使 ” 等价于：“ ”；分别求得： ， ，所以 等价于： ，问题得解．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：已知函数，
当时，函数单调递增，此时函数的值域为
当时，函数在上单调递减，在单调递增，此时函数的值域为，
因为关于的方程可化为
解得f(x)=1或f(x)=m，综上画出图象如下：
由以上图象可知，f(x)=1的解，即函数y=f(x)的图象与直线y=1交点的横坐标，显然函数y=f(x)的图象与直线y=1交点只有一个，所以方程f(x)=1只有一个解；
要满足关于的方程有四个不同的实数根，当且仅当f(x)=m有三个不同的实数解，因此，直线y=m与函数y=f(x）的图象有三个公共点，则，所以实数的取值范围为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再利用分类讨论的方法结合函数的单调性，从而画出分段函数和直线的图象，再利用分段函数的图象与直线的图象的交点的横坐标与方程的解的等价关系，从而结合分段函数与直线的图象求出实数m的取值范围。
9．【答案】B,D
【解析】【解答】对于 ，取 得到 ，错误；
对于 ， ， 时等号成立，正确；
对于 ，取 满足等式，此时 ，错误；
对于 ，
，当 时等号成立，正确.
故答案为：
【分析】依次判断每个选项，通过特殊值排除 和利用均值不等式计算得到答案.
10．【答案】A,C
【解析】【解答】依题意，，函数部分图像如图，
函数是周期函数，周期为2π，A符合题意；
若函数在上单调递减，则在上单调递减，从图中可知，B不正确.
因且，则当时，且，
则且，，因此，，，C符合题意；
函数在上有4个零点时，即，则与的图像在上有四个交点，所以或，所以或，D不正确.
故答案为：AC
【分析】首先由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，结合正余弦函数的图象即可得出函数f(x)的图象，利用韦达定理以及函数零点与方程根的情况，由数形结合法即可得出答案。
11．【答案】A,C
【解析】【解答】解：因为函数f(x)是定义在[ -4，0)U(0，4]上的奇函数，
由题意，画出函数f(x)在[ -4，0)U(0，4]上的图象，在同一坐标系内画出y=3x-1的图象，
因为f(2)=，所以f(-2)=-f(2)=-=3-2-1，
又f(1)=2=31-1，
所以f(x)的图象与y=3x-1的图象交于( -2， -)和(1，2)两点，
f(x)-3x+1≥0，即为f(x)≥3x- 1，
由图象可得，只需-4≤x≤- 2或0故答案为：AC
【分析】在同一坐标系中画出f(x)和y=3x-1的图象，由已知可知f(x)的图象与y=3x-1的图象交于( -2， -)和(1，2)两点，然后根据图象可求出f(x)-3x+1≥0的解集，从而可得答案.
12．【答案】A,B,C
【解析】【解答】令，则函数的零点即方程的解，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
也即或，则有或，
因为，当时，（当且仅当时取等号）；
当时，（当且仅当时取等号），
对于，若函数没有零点，则有，无解，
所以函数必有零点，当时，有一个零点，有一个零点，其他时候至少两个零点，
所以函数至少有两个不同的零点，正确；
对于，当时，由选项的分析可知：函数有两个零点；
当时，，，此时方程无解；方程有两解，此时函数有两个零点；
综上所述：当时，函数恰有两个不同的零点，正确；
对于，若函数有三个不同零点，则方程有一解且有两解，或者方程有两解且有一解，
当方程有一解且有两解时，
则有或，解得：；
当方程有两解且有一解时，
则有或，解得：；
综上所述：若函数有三个不同零点时，，正确；
对于，若函数有四个不同零点，则方程和均有两解，
则有或或，解得：或，错误，
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合分类讨论的方法和函数的零点与方程的根的等价关系，再利用零点存在性定理，进而找出说法正确的选项。
13．【答案】
【解析】【解答】因为，
所以
。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合诱导公式，从而得出的值。
14．【答案】③④⑤
【解析】【解答】解：①函数 ，则 ，故①错误；
②因为当 时， ，且 ，所以由函数f（x）是定义在R上的奇函数得 ，故②错误；
③若 ，可得 ，故③正确；
④因为 ，则f（x）图象关于直线x=2对称，故④正确；
⑤对于函数
当且仅当 取得等号，其定义域内任意 都满足 ，故⑤正确．
故答案为：③④⑤．
【分析】根据函数的奇偶性、对称性和单调性逐一判断即可.
15．【答案】（2，4）；3
【解析】【解答】由题意知，
∵ 的三边关系
∴
如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来
即
令
故答案为： ；3
【分析】先由已知利用 的三边关系列式，可得 的定义域为，再把三角形的面积用海伦公式表示，即可求出 的零点.
16．【答案】；
【解析】【解答】解：函数,因为，则,令,则，故在上单调递增，故，故的值域为：；
（2）因为 且对任意，总存在，使得 ，所以在的值域为在的值域的子集，由（1）知：时的值域为：，故对任意时的值域为：，又根据一次函数的单调性可得：在的值域为：,故
,解得,即 的取值范围为.
故答案为：;.
【分析】（1）先将函数变形为：，根据求出，然后在运用换元法得到：，再根据二次函数的性质求解即可；（2）根据题意得到：在的值域为在的值域的子集，然后根据（1）求出对任意时的值域为：，再根据一次函数的单调性可得：在的值域为：，然后根据子集的运算求解即可.
17．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：由换底公式得 ，又 ，
因此， .
【解析】【分析】（1）利用指数的运算律、对数的运算律、换底公式以及对数恒等式可得出结果；（2）由换底公式可得出 ，然后利用换底公式可得出 ，并利用对数 和 表示分子和分母，代入化简计算即可.
18．【答案】（1）解：对于，在上单调递减，
所以，所以.
所以.
（2）解：由（1）得，而，
由于“则”是假命题，即集合不是集合的子集，
则集合不是空集，所以，则，
此时集合不是集合的子集，
所以的取值范围是
19．【答案】（1）解：∵函数 ，且 ，
∴
∴ ，
∴
函数 在 上为增函数，
证明如下：任取
则 ，
∵∴ ， ，
∴ ，即
∴函数 在 上为增函数；
（2）解：
，
即
∴ 为奇函数，
由 可得 ，
又函数 在 上为增函数，
∴ ，即
又
∴ ，
∴实数 的取值范围
【解析】【分析】（1）由题意得到 ，利用定义证明函数的单调性即可；（2）明确函数为奇函数，利用奇偶性与单调性把抽象不等式转化为具体不等式，参变分离求最值即可.
20．【答案】（1）解： 化为 ，
， ， ．
令 ， ，则 ， ．
的单调减区间为 ，单调增区间为 ， ．
， ， ．
的最小整数值为2．
（2）解： ， ， ， ．
． ， 的定义域为 ，且 在 是增函数．
则 ， 在 上的最大值为 ，最小值为 ．
由题意知 ， ．
，
令 ， ．
在 上是减函数， 最大值为 ．
， ， 的取值范围是 ．
【解析】【分析】（1）化简方程得 ，问题转化为求 的最小值，对 求导，分析导函数的正负得 的单调性，从而得出 的最小值，可得解；（2）分析函数 的定义域和单调性，得出 在 的最小值和最大值，由已知建立不等式 ，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解.
21．【答案】（1）解：因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
经检验，满足题意.
（2）解：因为时，，
所以可化为，整理得，
令，，易知在单调递减，．
（3）解：原方程化为，
令，则有两个实数解，
，
作出函数的图象，如图：
原方程有三个不同的实数解，则，
则，k的取值范围是．
22．【答案】（1）解：由题意得，
.可得函数的最小正周期为
（2）解：因为，所以，
所以，所以当时，的最小值为1；当时，的最大值为2，所以.
由题意得，，所以对一切恒成立，
所以，解得，所以整数m的最大值为4.
（3）解：由题意知，，
将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得，
再向右平移个单位得，
因为关于x的方程在区间上有解，整理得：
，即（*）在区间上有解，
，
因为，所以
令，
（*）式可转化为：在内有解，
所以，，又因为和在为增函数，
所以在为增函数，
所以当时，取得最小值；当时，取得最大值，所以，
综上所述：k的取值范围为.
【解析】【分析】(1)由二倍角的正、余弦公式结合两角和的正弦公式，整理化简由周期公式计算出结果即可。
(2)首先由角的取值范围结合正弦函数的单调性，即可得出关于m的不等式组，求解出m的取值范围由此得出函数的最值。
(3)根据题意由诱导公式整理化简函数g(x)的解析式，然后由函数平移的性质以及正弦函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得出k的取值范围。
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