南宁市2023-2024学年高一上学期1月教学质量调研（期末）
数学 试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．已知是实数，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
4．如图，在半径的圆形金属板上截取一块扇形板，使其面积为，则圆心角为
A. B.
C. D.
5．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是
A． B． C． D．
6．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，指数函数，二次函数的图象可能是
B． C． D．
8．已知函数有个零点，则实数的取值范围是
B． C． D．
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知，则下列不等式中正确的是
B. C. D.
10．已知函数，则下列结论正确的是
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的图象关于轴对称
D．函数在上单调递增
11．关于函数的零点，下列说法正确的是
函数的零点个数为
函数的零点是
函数在内不存在零点
用二分法求函数在内的零点的近似值可取为（结果精确到）
12．已知函数关于的方程有个不同的实数根，则下列选项正确的是
A．函数的零点个数为
B．实数的取值范围为
C．函数无最值
D．函数在上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知幂函数的图象过点，则 .
14．已知，则函数的最小值为 .
15．已知函数
的部分图象如图所示，则的解析式为 .
16.已知，且满足，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）计算： (1) (其中)；
(2) ．
(2)
2分（7分）
. 3分（10分）
18．（本小题满分12分）已知．
(1) 化简；
(2) 若，且，求的值．
19．（本小题满分12分）已知函数.
(1) 求函数的定义域， 写出函数的单调区间（不必说明理由）；
(2) 当时，函数的值域为，求实数的取值范围.
20．（本小题满分12分）某运输公司今年初用万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为万元．
(1) 该运输车从第几年开始盈利（即总收入减去成本及所有维护费之差为正值）？
(2) 若该车运输若干年后，有以下两种处理方案，哪一种方案效益更高？请说明理由．
方案一：当年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出该运输车；
方案二：当盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出该运输车．
21．（本小题满分12分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，交管部门提醒广大驾驶人合理控制车速，提高安全意识。某公路局经多次实验得到一辆汽车的行车速度（单位：）（）与停车距离（单位：）的下列数据：
为了描述速度与停车距离的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.
(1) 根据上表的数据信息，选出你认为最符合实际的函数模型（不必说明理由），并利用表中两组数据和，求出相应的解析式；
(2) 一辆汽车在公路上行驶，当驾驶员发现前方处设有路障，为保证安全，应在距离路障不小于处停车，设司机发现路障到踩刹车耽搁的时间忽略不计，则该车的最高行车速度不能超过多少？（结果精确到）.
22．（本小题满分12分）已知函数，.
(1) 当时，求函数的值域；
(2) 对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．南宁市2023-2024学年高一上学期1月教学质量调研（期末）
数学 参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】∵不等式的解集为，∴ ，又，∴ 故选B．
2．已知是实数，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【详解】由一定能推出 成立，但时，若，则不成立，
3．已知命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B【详解】由题意可得，在上恒成立，
所以，解得, 故选B．
4．如图，在半径的圆形金属板上截取一块扇形板，使其面积为，则圆心角为
A. B.
C. D.
【答案】 【详解】设，则，解之得.故选．
5．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是
A． B． C． D．
【答案】C【详解】在平面直角坐标系中，，
由三角函数的定义知：，，，
可以，故选C．
6．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由 ①得，
因为为奇函数，为偶函数，所以，，
所以 ②
①-②得：，所以，则，故选D．
7．在同一平面直角坐标系中，指数函数，二次函数的图象可能是
B． C． D．
【答案】A【详解】二次函数，有零点．A，B选项中，指数函数在R上单调递增，故，故A正确，B错误；C，D选项中，指数函数在R上单调递减，故，则零点故C，D错误；故选A．
8．已知函数有个零点，则实数的取值范围是
B． C． D．
【答案】D【详解】由，得
设和,
如图可知，当时，
直线与函数的图象有3个交点，所以函数有3个零点，
又因为当时，恒成立，所以，即.
综上所述，，故选D．
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知，则下列不等式中正确的是
B. C. D.
【答案】 【详解】因为，所以，故错误；
因为，，所以，故正确；
因为
，，则，故正确；
，
，，，，
则，即，故正确；故选．
10．已知函数，则下列结论正确的是
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的图象关于轴对称
D．函数在上单调递增
【答案】ABD【详解】因为，所以函数的定义域为，故A正确；
，由，所以函数的值域为，故B正确；因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于轴对称，故C错误；
因为函数是增函数，且，所以函数是减函数.
因此函数是增函数，故D正确；故选ABD．
11．关于函数的零点，下列说法正确的是
函数的零点个数为
函数的零点是
函数在内不存在零点
用二分法求函数在内的零点的近似值可取为（结果精确到）
【答案】AD【详解】令函数，则，由的图像知两函数有两个交点，故A正确；易知是方程的一个解，所以是函数的一个零点，零点是的图像与轴交点的横坐标，不是坐标点，故B错误；由于，，故函数在上有个零点，故C错误.
取区间中点，则
，
所以函数在上有零点，又，取区间中点，
取区间中点，，
接下来把和的大小比较转化为和的大小比较，
因为 ，故，即.
由，故精确到的函数的零点在内，可看成其近似值，故D正确.故选AD
12．已知函数关于的方程有个不同的实数根，则下列选项正确的是
A．函数的零点个数为
B．实数的取值范围为
C．函数无最值
D．函数在上单调递增
【答案】BC【详解】函数的图像如图所示：
由图知函数有3个零点，故A错误；函数没有最值，故C正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误；
令，则方程可化为，
设（*）两个不等的实根为，
要使方程有6个不同的实数根， 只需使（*）式的两根
令
，解得，故B选项正确；故选BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知幂函数的图象过点，则 .
【答案】【详解】因为幂函数的图象过点，则，所以．
14．已知，则函数的最小值为 .
【答案】 【详解】，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
15．已知函数
的部分图象如图所示，则的解析式为 .
【答案】
【详解】对，由最大值为，可得，
由图知，故，故，
由图象的最大值可得，即，
又，故，故.
16.已知，且满足，则实数的取值范围为 .
【答案】【详解】易知的定义域为，
解法一：
，所以是奇函数.
又易知在上为减函数，
由，可得，即，解得.
解法二：
所以，即是奇函数.
又易知在上为减函数，
由，可得，即，解得.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）计算： (1) (其中)；
(2) ．
解：(1)
3分
2分（5分）
；
【说明】
1．出现“”或“”(“”或“”)给1分，出现“”给1分，出现“”给1分，共3分.
2．出现“”给1分，结论“”正确给1分，共2分.
3．结论不合并，出现“”可以给满分.
(2)
2分（7分）
. 3分（10分）
【说明】
1．出现“”给1分，体现对换底公式的应用给1分，共2分.
2．出现“”给1分，出现“”给1分，结论“2”正确给1分，共3分.
18．（本小题满分12分）已知．
(1) 化简；
(2) 若，且，求的值．
解：(1)
． 6分
【说明】
1.分子出现两个“”给1分，出现“”给1分，共2分.
2.分母出现“”给1分，出现两个“”各给1分，共3分.
3.结论正确给1分.
(2)由可知：
2分（8分）
2分（10分）
又∵，∴，即，
∴. 2分（12分）
【说明】
1.出现“”给1分，出现“”给1分，共2分.
2.出现“”给1分，得出“”的结论给1分，共2分.
3.出现“”或“”给1分，结论“”正确给1分，共2分.
19．（本小题满分12分）已知函数.
(1) 求函数的定义域， 写出函数的单调区间（不必说明理由）；
(2) 当时，函数的值域为，求实数的取值范围.
解：(1)，
函数的定义域为， 3分
的增区间为，减区间为. 2分（5分）
【说明】
1．写出“”成立的理由给1分，得出结论“”给1分，正确写出函数的定义域给1分，共3分.
2．正确写出单调区间各给1分，共2分.其中增区间写成，减区间写成也给分.
(2)函数的值域为，
， 1分（6分）
， 2分（8分）
， 1分（9分）
又当，解得或，
当时，解得， 2分（11分）
而在上单调递减，在上单调递增，
，故实数的取值范围是. 1分（12分）
【说明】
1.出现“”或“”给1分.
2.解得“”给2分.
3.注明“”给1分.
4.分别解出方程和的根各给1分，共2分.
5.正确写出实数的取值范围，给1分.没有说明函数的单调性不扣分.
20．（本小题满分12分）某运输公司今年初用万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为万元．
(1) 该运输车从第几年开始盈利（即总收入减去成本及所有维护费之差为正值）？
(2) 若该车运输若干年后，有以下两种处理方案，哪一种方案效益更高？请说明理由．
方案一：当年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出该运输车；
方案二：当盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出该运输车．
解：(1)由题意可得，即， 2分
解得，，
该运输车从第年开始盈利. 2分（4分）
【说明】
1.正确列出总收入减去成本及所有维护费之差的不等关系“”或“”，给2分.
2.解出不等式“”给1分.
3.得出结论“该运输车从第年开始盈利”，给1分.
(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：
方案一：当年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出该运输车，
2分（6分）
当且仅当时取等号，
方案一最后的利润为：（万元； 2分（8分）
方案二：当盈利总额达到最大值时，以万元的价格卖出该运输车，
时，利润最大. 2分（10分）
方案二的利润为（万元，
两个方案的利润都是40万元，按照时间成本来看，方案一用时短，效益更高，
方案一效益更高． 2分（12分）
【说明】
1.列出方案一的年平均盈利表达式“”给1分，求出年平均盈利的最大值为4给1分，共2分.
2.正确写出取等条件“”给1分，得出“方案一的最终利润为万元”，给1分，共2分.
3.能体现“时利润取最大值”，给2分.
4.得出“方案二的利润为40万”，给1分，得出结论“方案一效益更高”给1分，共2分.
21．（本小题满分12分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，交管部门提醒广大驾驶人合理控制车速，提高安全意识。某公路局经多次实验得到一辆汽车的行车速度（单位：）（）与停车距离（单位：）的下列数据：
为了描述速度与停车距离的关系，现有以下三种模型供选择：
①，②，③.
(1) 根据上表的数据信息，选出你认为最符合实际的函数模型（不必说明理由），并利用表中两组数据和，求出相应的解析式；
(2) 一辆汽车在公路上行驶，当驾驶员发现前方处设有路障，为保证安全，应在距离路障不小于处停车，设司机发现路障到踩刹车耽搁的时间忽略不计，则该车的最高行车速度不能超过多少？（结果精确到）.
解：(1) 由题意可知，符合本题的数学模型必须满足定义域为，且在上为增函数.
中的，即该函数的定义域不是，故不符合题意，
而在上单调递减，也不符合题意，
而符合以上两个条件，故选择函数模型①. 3分（3分）
由题意可知：， 解得.
所以该函数模型的解析式为. 3分（6分）
【说明】
1．只要选出正确的模型①，则可以得3分，无需说明理由.
2．算出“”给1分，算出“”给1分，得出函数模型的解析式“”给1分，总共3分.
(2) 为保证安全，只需，即， 3分（9分）
解得，
又，.
在不超速的情况下，该车的最高行车速度不能超过. 3分（12分）
【说明】
1．出现“”或“”，给3分.
2．算出“”给1分，得出“”给1分，结论正确给1分，总共3分.
22．（本小题满分12分）已知函数，.
(1) 当时，求函数的值域；
(2) 对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
解：(1) 令，则. 2分
因为，所以，即：，得出.
所以 2分（4分）
即：函数的值域为． 1分（5分）
【说明】
1.得出结论“”给2分.
2.出现“”给1分，出现“”或“”给1分，共2分.
3.正确表述“的值域为”给1分．
(2)对于任意，总存在，使得成立，故．
由(1)知，故只需， 1分（6分）
令， 1分（7分）
则在上恒成立.
函数的对称轴为：， 1分（8分）
①若，函数在上单调递减，在上单调递增，
则在恒成立，
故； 1分（9分）
②若，函数在上单调递增，
则，解得，
故； 1分（10分）
③若，函数在上单调递减，
则，解得，
故. 1分（11分）
综上所述，实数的取值范围是. 1分（12分）
【说明】
1.出现“”给1分.
2.出现“”给1分.
3.出现“”或“的对称轴为”给1分.
4.分类讨论的三种情况，每种情况正确解得的范围各给1分，共3分.
5.得出结论“的取值范围是”给1分.
