22.3 实际问题与二次函数应用题 期末综合检测（含答案） 2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数应用题
1．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
2．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为40m的围网
在水库中围成了如图所示的①②二块矩形区域．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为
ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）为何值时，y有最大值？最大值是多少？
3．某童装店购进一批20元/件的童装，由销售经验知，每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系．
（2）当销售单价定为多少时，每天可获得最大利益，最大利润是多少？
4．我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高锅口直径与锅盖直径视为相同，建立直角坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．
（1）求和的解析式；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径；
（3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
5．九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第（且为整数）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间（天）
售价（元/件） 85
每天销量（件）
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为元.
（1）求出与的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少
（3）该商品在销售过程中，共有几天每天销售利润不低于3250元 请直接写出结果.
6．某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为y（人）．
（1）求y与x（x＞20）的函数关系式；
（2）已知景点每日的接待成本为z（元），z与y满足函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润=门票收入﹣接待成本）
7．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
解答下列问题： （注意：取，）
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）求足球第二次飞出到落地时，该抛物线的表达式；
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少m？
8．某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润（售价成本）产销数量专利费】
9．某F2C直营店招牌：“新进最新款洗发水40瓶，每件售价80元，若一次性购买不超过10瓶时，售价不变；若一次性购买超过10瓶时，每多买1瓶，所买的每瓶洗发水的售价均降低2元．”已知该瓶洗发水每瓶进价52元，设顾客一次性购买洗发水x瓶时，他所付洗发水单价y元，该直营店所获利润为W元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少瓶时，该直营店从中获利最多？
10．小王电子产品专柜以20元/副的价格批发了某新款耳机，在试销的60天内整理出了销售数据如下
销售数据(第x天) 售价(元) 日销售量(副)
1≤x＜35 x+30 100﹣2x
35≤x≤60 70 100﹣2x
（1）若试销阶段每天的利润为W元，求出W与x的函数关系式；
（2）请问在试销阶段的哪一天销售利润W可以达到最大值？最大值为多少？
11．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
（3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？
12．图中是抛物线形拱桥，点 处有一照明灯，水面 宽 ，以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，以 为一个单位长度，已知点 的坐标为 ．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）当水面上升 后，水面的宽为　 　 ．
13．某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售.经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y（件）的取值范围.
14．王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
15．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x(秒)，△PBQ的面只为y(cm2).
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.
（2）求△PBQ的面积的最大值.
16．化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元。经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100。在销售过程中，每天还要支付其他费用450元。
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式。
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元。
17．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高点E到 的距离为 ．
（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用 表示，求该抛物线的函数表达式；
（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与 之间的区域内加装一扇长方形窗户 ，点G，M在 上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元 ．已知 ，求每个 型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户 的成本）
（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价 （元）定为多少时，每月销售 型活动板房所获利润 （元）最大？最大利润是多少？
答案
1．解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．
∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．
∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，
即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；
（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120
整理得：x2﹣18x+72=0
解得：x1=6，x2=12（舍去）．
答：该产品的质量档次为第6档．
2．解：（1）设BC的长度为xm，则AB=（40﹣x），
则矩形区域ABCD的面积y=（40﹣x）=﹣x2+x；
（2）∵y=﹣x2+x=（x﹣20）2+，
∴当x=20时，y有最大值，最大值是m2．
3．（1）解：设y=kx+b，将(30，400)，(40，300)代入，得
解得
∴ y=-10x+700.
（2）解：设每日的利润为w元，则w=(x- 20)(-10x+700)=-10x2+900x-14000．
当x= =45元时，W最大=6250元．
4．（1）解：由于抛物线、都过点、，可设它们的解析式为：；
抛物线还经过，
则有：，解得：，
即：抛物线：；
抛物线还经过，
则有：，解得：，
即：抛物线：．
（2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，
解得：，
此时水面的直径为．
（3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下：
当时，抛物线：，抛物线：，
而，
锅盖不能正常盖上．
5．（1）解：当时，，
整理得：；
当时，，
整理得：；
∴；
（2）解：对于函数，
整理可得：，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为4050；
对于函数，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为3850，
∵，
∴第30天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元；
（3）解：当时，由题意，，
解得：或，
由（2）中，二次函数的性质可得：
当时，每天销售利润不低于3250元，共有30天；
当时，由题意，，
解得：，
∴当时，每天销售利润不低于3250元，共有6天；
∴（天），.
∴共有36天每天销售利润不低于3250元.
6．解：（1）由题意得y=500﹣50×，即y=﹣10x+700；（2）由z=100+10y，y=﹣10x+700，得z=﹣100x+7100；（3）w=x（﹣10x+700）﹣（﹣100x+7100）即w=﹣10x2+800x﹣7100，当x=﹣=﹣=40时，景点每日获取的利润最大，w最大===8900（元），答：当门票价格为40元时，景点每日获取的利润最大，最大利润是8900元．
7．（1）解：设，则，∴
（2）解：当y=0时，，解得：，（不合题意，舍去），∴C（13，0）
设第二次落地的抛物线为，则当x=13时，y=0，则，解得：，（不合题意，舍去），
∴
（3）解：当y=0，即
解得：，
（不合题意，舍去），
∴BD=23－6=17（m）
答：运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17m.
8．（1）解：由题意得，，
（2）解：∵，
∴，
∴随x增大而增大，
∴当时，最大，最大为元；
，
∵，
∴当时，随x增大而增大，
∴当时，最大，最大为元；
（3）解：当，即时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；
当，即时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；
当，即时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润；
综上所述，当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润．
9．（1）解：根据题意知，当0≤x≤10时，y=80；
当10＜x≤24时，y=80﹣2（x﹣10）=﹣2x+100
（2）解：①当0≤x≤10时，W=（80﹣52）x=28x，
∵W随x的增大而增大，
∴当x=10时，W取得最大值，最大值为280；
②当10＜x≤24时，W=（﹣2x+100﹣52）x=﹣2（x﹣12）2+288，
∴x=12时，W取得最大值，最大值为288，
综上，当顾客一次性购买12瓶时，该直营店从中获利最多
10．（1）解：①当1≤x＜35时，W1＝(x+30﹣20)(100﹣2x)
即W1＝﹣2(x﹣20)2+1800；
②当35≤2x≤26时，W2＝(70﹣20)(100﹣2x)
即W2＝﹣100x+5000；
故W与x之间的函数关系式为：
W＝ ；
（2）解：∵W1＝﹣2(x﹣20)2+1800(1≤x＜35)，
∴在试销的第一阶段，在第20天时，利润最大为1800元，
∵W2＝﹣100x+5000(35≤x≤60)，
∴在试销的第二阶段，在第35天时，销售利润最大为1500元，
答：在试销阶段的第20天时W最大，最大值为1800元.
11．（1）解：∵OE为线段BC的中垂线，
∴OC= BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8m，AB=CD=2m，
∴OC=4．
∴D（4，2，）．E（0，6）．
设抛物线的解析式为y=ax2+c，由题意，得
，
解得： ，
∴y=﹣ x2+6
（2）解：由题意，得
当y=4.4时，4.4=﹣ x2+6，
解得：x=± ，
∴宽度为： ＞2.4，
∴它能通过该隧道
（3）解：由题意，得
（ ﹣0.4）= ﹣0.2＞2.4，
∴该辆货运卡车还能通过隧道
12．（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
将点A（4，0）、P 代入，得： ，
解得： ，
所以抛物线的解析式为y=- x2+2x；
（2）2 ．
13．（1）解：设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得： ，
解得： ，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160（30≤x≤50）
（2）解：由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元
（3）解：由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＞800，
解得：40＜x＜70，
∵30≤x≤50
解得：40＜x≤50，当x＝40时，y＝﹣2×40+160＝80； 当x＝50时，y＝﹣2×50+160＝60，
∴60≤y＜8
14．（1）解：设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）
（2）解：设王大伯获得的利润为W，则W=（x﹣10）y=﹣10x2+400x﹣3000，
令W=840，则﹣10x2+400x﹣3000=840，
解得：x1=16，x2=24，
答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元
（3）解：∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．
答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元
15．（1）解：∵ = PB BQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，
∴y= x（18﹣2x），
即y= +9x（0＜x≤4）
（2）解：由（1）知，y= +9x（0＜x≤4），∴y= ，∵当0＜x≤ 时，y随x的增大而增大，
而0＜x≤4，
∴当x=4时， =20，
即△PBQ的最大面积是20
16．（1）解：设y=kx+b，根据题意得 ，
解得：k=-2，b=200，
∴y=-2x+200（30≤x≤60）
（2）解：W=（x-30）（-2x+200）-450=-2x2+260x-6450=-2（x-65）2+2000
（3）解：W=-2（x-65）2+2000，∵30≤x≤60，由
∴x=60时，w有最大值为1950元，
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
17．（1）解：由题可知D（2，0），E（0，1）
代入到
得
解得
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入 ，得y=
∴N（1， ）
∴MN= m，
∴S四边形FGMN=GM×MN=2× = ，
则一扇窗户的价格为 ×50=75元
因此每个B型活动板的成本为425+75=500元；
（3）解：根据题意可得w=(n-500)（100+20× ）=-2（n-600）2+20000，
∵一个月最多生产160个，
∴100+20× ≤160
解得n≥620
∵-2＜0
∴n≥620时，w随n的增大而减小
∴当n=620时，w最大=19200元