课件20张PPT。9.4 矩形、菱形、正方形（1）我是平行四边形,我的边,角,对角线都有哪些性质呢?概念:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.O两组对边分别平行;即:AD∥BC; AB∥ CD对边相等; 即:AB=DC; AD=BC对角相等;即:∠DAB=∠ BCD ; ∠ABC=∠CDA对角线互相平分;即 AO=CO; BO=DO 用四段木条做一个 ABCD的活动木框，将其直立在桌面上轻轻地推动点D，你会发现什么?试一试其实我还是平行四边形啊！只是我比较特殊而已，大家发现了我的特殊之处吗？矩形：有一个角是直角的特殊平行四边形。┒矩形：木门纸张电脑显示屏有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。生活中的矩形图怎样的平行四边形是矩形呢?矩形是特殊的平行四边形。矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 矩形是轴对称图形，一共有2条对称轴。矩形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？ABCDO矩形具有平行四边形
的一切性质1.画一个矩形ABCD。2.从边、角、对角线三方面进行考虑，你能发现矩形有什么特有的性质吗？请以小组的形式讨论总结。邻边：四个角都是直角 互相平分 AO＝CO; BO＝DO(1)边：(2)角：(3)对角线：对边：(共性)(共性)(个性)(个性)(个性)(共性)O矩形性质:平行 AD∥BC; AB∥ CD 相等 AB＝CD; AD＝BC 相 等 AC＝BD 互相垂直 AB⊥BC; AB ⊥ ADO∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝ 90°矩形性质:(1)矩形的对边平行且相等。矩形ABCD┒┒┒┒∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝ 90°∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC,OB=OD,AC=BD(或OA=OB=OC=OD）(2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线互相平分且相等利用矩形性质你在矩形中还发现了哪些基本图形？◆ 两对全等的等腰三角形.◆ 四个全等的直角三角形.你在矩形中还发现了哪些基本图形？◆ 两对全等的等腰三角形. ````zx``xk◆ 四个全等的直角三角形. 例1 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相
交于点O，且 AC＝2AB．求证：△AOB是等边三角形．证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等）.AO=CO=AC/2，BO=DO=BD/2（矩形的对角线互相平分）.∵AC=2AB，即AB=AC/2
∴AO=BO=AB.∴ΔAOB是等边三角形.例 2 如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4. 求矩形对角线的长.4.下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A、对角线相等 B、 四个角都相等
C、对角线垂直 D、是轴对称图形 1.矩形的定义中有两个条件:一是____________,二是_________________。
2.有一个角是直角的四边形是矩形。（ ）
3.矩形的对角线互相平分。（ ） 平行四边形有一个角是直角√×C练一练5.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A 两组对边分别平行 B 对角相等
C 对角线互相平分 D 对角线相等6.矩形ABCD中，对角线AC、BD把矩形分成( )个等腰三角形,( )个直角三角形。
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8DBB7.如图，在矩形ABCD中，AB＝3， BC ＝ 4， BE⊥AC于E．试求出AC、BE的长．解:在矩形ABCD中，∠ABC ＝ 90°，AC ＝ ＝ ＝ ＝ 5(勾股定理)． 又∵ S△ABC ＝ AB·BC∴ BE ＝＝ 2.4＝ AC·BE，＝8.如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？ ∵ △AOB、 △BOC、 △COD和△AOD四个三角形的周长和为86cm，又∵ AC=BD=13cm（矩形的对角线相等）∴ AB+BC+CD+DA ＝ 86－2(AC+BD)＝ 86－2×2×13即矩形ABCD的周长等于34cm。解：＝ 34(cm)即 AB+BC+CD+DA+2(AC+BD) ＝86课堂小结1. 什么叫矩形？
矩形有哪些性质？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 对边平行且相等对角相等对角线互相平分 对角线相等且
互相平分四个角都是直角对边平行且相等课件22张PPT。9.4 矩形、菱形、正方形（2）温故而知新矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形一个角是直角矩形的性质边角对角线矩形的对边平行且相等矩形的四个角都是直角矩形的 两条对角线相等且互相平分 1、我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，四个角（或三个角）都是直角的四边形是矩形吗？已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵ ∠A=∠B=90°∴ ∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可证：AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵ ∠A=90°∴四边形ABCD是矩形矩形的判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形 。 ∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形几何语言：情境一：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD∴ △ABC≌ △DCB（SSS）∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形∴ ∠ABC=∠DCB对角线相等的平行四边形是矩形 。矩形的判定方法：几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD∴四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）（或OA=OC=OB=OD）你能归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形 。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形 。方法1：方法2：方法3：议一议1.有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形
3.有三个角是直角的四边形矩形. 判断矩形有哪几种方法?矩形的判定方法矩形. 矩形. 对于 四边形，满足哪些条件就可以得到矩形呢？任意平行 例1 已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,
D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线.求证：四边形DECF是矩形.证明：
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC= AB=DA=DB
∵ DC=DA，DF平分∠ADC ，
∴DF⊥AC
即∠DFC=90 °
同理∠DEC=90 °
∴四边形DECF是矩形（三个角是直角的四边形是矩形） 如图，直线 l1∥l2 、A、C是直线l1上任意两点，AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分别为B、D，线段AB、CD相等吗？为什么？两条平行线之间的距离处处相等.解：由AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，
可知AB ∥ CD.
又因为l1∥l2 ，
所以四边形ABCD是矩形，
AB=CD.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;XXXX1.已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别在OA、OB、OC、OD上，且AE＝BF＝CG＝DH。求证：四边形EFGH是矩形自学检测一：证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AC=BD，
AO=CO= AC BO=DO= BD
∴AO=CO=BO=DO
又∵ AE＝BF＝CG＝DH
∴ EO=FO=GO=HO
∴四边形EFGH是平行四边形
∵ EO=FO=GO=HO∴ EG=FH
∴四边形EFGH是矩形2、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）猜想AC和BD间的关系是 ；
（2）试用理由说明你的猜想．相等且互相平分3、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．课堂小结１.矩形的判定定理
(1)对角线相等的平行四边形是矩形。
(2)有三个角是直角的四边形是矩形。
２.矩形的性质在证明中的应用。
（对角线相等和四个角都是直角）
３.线段和角转移的方法。通过本节课的学习，你有哪些收获？矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的性质：1矩形具有平行四边形的一切性质
2矩形的四个角都是直角
3矩形的对角线相等
4矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
矩形的判定：1有一个角是直角是直角的平行四边形是矩形
2对角线相等的平行四边形是矩形
3三个角是直角的四边形是矩形
如图，直线 l1∥l2 、A、C是直线l1上任意两点，AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分别为B、D，线段AB、CD相等吗？为什么？两条平行线之间的距离处处相等.课件13张PPT。9.4 矩形、菱形、正方形(3) 图片中的图形，你熟悉吗？怎样的平行四边形是菱形呢？有一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 议一议1．菱形是特殊的平行四边形，那么它具有平行四
边形的一切性质，你能说说吗？菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．即对称性：菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心.边：菱形的对边平行且相等．角：菱形的对角相等．对角线：菱形的对角线互相平分． 一个平行四边形的活动木框，对角线是两根橡皮筋．如果把DC沿CB方向平行移动，那么□ABCD的边、内角、对角线都随着变化．?OO┓90°思考当平移DC使BC=AB时：
（1）平行四边形ABCD四条边的大小有什么关系？
（2）对角线AC、BD的位置有什么关系？解:(1)当BC=AB时，
由平行四边形的性质，可知AB=DC，AD=BC.
于是AB=BC=CD=DA.(2)当BC=AB时，
由平行四边形对角线的性质，
可知AO=CO.
于是BD⊥AC菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 如图，在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD．于是，我们得到如下定理： 例1 如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定.已知菱形ABCD的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，求B、M之间的距离.ABCDO解：如图，连接AC、BD，AC与BD相交于点O.∵四边形ABCD是菱形.
∴∠AOB=90°，
AO=AC/2=1/2×24=12（菱形的对角线互相垂直平分）∴BO=√AB2-AO2 = √132-122 =5. ∴BD=2BO=10（菱形的对角线互相平分）.BM=3BD=30.
B、M之间的距离是30cm.学以致用1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.2.菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.3.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，那么菱形的面积是_____. 3cm60度24cm2有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决课本P79第1、2 题．练一练通过本节课的学习，你有哪些收获？课件18张PPT。9.4 矩形、菱形、正方形(4) 将2张宽相等的矩形纸片叠合在一起，重合的部分是什么特殊的四边形？
你能说明理由吗？情景引入根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形数学语言:∴ □ABCD是菱形∵在□ABCD中，AB=AD判定方法1：探究11.我们知道，菱形的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形证明：∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=AD,四条边相等的四边形是菱形.∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形判定方法2：数学语言探究22.我们知道，当平移一个平行四边形活动框架的一边，使这个平行四边形成菱形时，它的两条对角线垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD; ∴BA=BC ∴BD是AC的垂直平分线 判定方法3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形∵在□ABCD中，AC⊥BD∴ □ABCD是菱形数学语言菱形常用的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形有四条边相等的四边形是菱形。归纳1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗? 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 有四条边相等的四边形是菱形。试一试2、如图：已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是_____形； （2）若AC=BD，则□ABCD是_____ 形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是____ 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是____ 形。试一试 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．例题讲解证明：
∵ AD∥BC ，
∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC, ∠AOE=∠COF.
∴ΔAOE≌ΔCOF.
∴OE=OF.
∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.例2 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6
求证:四边形ABCD是菱形.∴ □ ABCD是菱形.∴OA=OC=4 OB=OD=3证明:又∵AB=5 ∴AC⊥BD∴∠AOB=90°又∵ 四边形ABCD是平行四边形∵ 四边形ABCD是平行四边形∴AB2=AO2+BO2你有其他用一张矩形纸片就能折出菱形
的方法吗？能力拓展2、用直尺和圆规作一个菱形，并说明你作图的道理。练一练1.课本P81第2 题盘点收获通过本节课的学习，你有哪些收获？课件17张PPT。9.4 矩形、菱形、正方形（5）知识回顾: 几种特殊四边形的定义及性质 对边平行
且相等对边平行 且相等对边平行
，四边都
相等对角相等，
邻角互补 四个角
都是直角对角相等，邻角互补对角线
互相平分对角线相等
且互相平分对角线互相
垂直平分，
每条对角线
平分一组对角中心对
称图形轴对称
图形、
中心对
称图形 轴对称
图形、中
心对称图形两组对边
分别平行
的四边形有一个角
是直角的
平行四边
形有一组邻
边相等的
平行四边
形菱形怎样变化后就成了正方形呢?正方形探究小结〃〃正方形邻边相等〃〃发现：
一组邻边相等的矩形是正方形一个角是直角正方形∟发现：
一个角为直角的菱形是正方形正方形定义矩 形观察思考：正方形是中心对称图形吗?观察思考：正方形是轴对称图形吗?
如果是，有几条对称轴？对称性：正方形是中心对称图形；同时还是轴对称图形，它有四条对称轴（两条对角线，两组对边的中垂线．）平行四边形矩形菱形正
方
形正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？正方形有哪些性质？ 从三个角度来讲
：对边平行、四条边都相等
：四个角都是直角
：对角线相等，
互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角边角对角线ADCBO例题:结论： 分成八个等腰直角三角形，分别是
△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ；
△AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．
（1）一条对角线把它分成_______个 的________ 三角形；
（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；
图中一共有________个等腰直角三角形；
（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．2全等等腰直角4等腰直角89045 例1 已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′ 、C′、D′分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
AB=BC=CD=DA（正方形的四个角都是直角，四条边相等）.
∵ AA′＝BB′＝CC′＝DD′，
∴D′A=A′B=B′C=C′D.
∴ΔAA′D′≌Δ BB′A′≌Δ CC′B′≌Δ DD′C′.
∴∠2=∠3，
A′D′=B′A′=C′B′=D′C′.
∴四边形A′B′C′D′是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
∵ ∠A=90°，
∴∠1+∠2=90°.
∵ ∠2=∠3，
∴∠1+∠3=90°.∴∠ D′A′B′= 90°.
∴菱形A′B′C′D′是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 基础题1、
有一个角是直角的 是正方形。
有一组邻边相等的 是正方形。A、矩形 菱形
B、菱形 平行四边形
C、平行四边形 矩形
D、菱形 矩形D2、正方形具有而菱形不一定
具有的性质是 。A、对角线互相垂直
B、对角线互相平分
C、对角线相等
D、对角线平分一组对角C3、菱形、矩形、正方形都具
有的性质是 。A、对角线互相垂直
B、对角线互相平分
C、对角线相等
D、对角线平分一组对角B小结1、正方形定义一组邻边相等的矩形是正方形。
一个角为直角的菱形是正方形。2、正方形有哪些性质?对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角边：角：对角线：3、正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形。
