黑龙江省哈尔滨市13中2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，
则
则
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合绝对值不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的定义域和对数函数的单调性，进而得出集合B，再利用并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：若复数满足（为虚数单位），
则
所以复数在复平面上所对应的点Z(-1，-2)，
则在复平面上所对应的点位于第三象限。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定复数在复平面上所对的点所在的象限。
3．在正项等比数列中，，，则的公比（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：在正项等比数列中，，，
则(1)，
(1)(2)联立得出所以，
所以，所以，所以，
又因为，所以
则数列的公比为或。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和正项等比数列的定义，从而联立方程组得出满足要求的等比数列的公比的值。
4．已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：已知圆台上下底面半径之比为，设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为2r，
设圆台的母线长为l，高为h，作垂足为C，
则BC=r，
因为母线与底面所成的角的正弦值为，则，
则
因为圆台体积为，由圆台的体积公式计算可得r=2，
所以
再由圆台的侧面积公式可得圆台的侧面积为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三角函数的定义和同角三角函数基本关系式，进而得出l和h与r的关系式，再利用圆台的体积公式，进而得出r的值，从而得出l的值，再利用圆台的侧面积公式得出该圆台的侧面积。
5．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，所以
在中，，
，
所以
在中，由正弦定理得，所以
在中，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形内角和为180°的性质，再结合两角差的正弦公式和正弦函数的定义得出AM的长，再利用正弦定理得出CM的长，最后由正弦函数的定义得出CD的长，从而得出小明估算的索菲亚教堂的高度。
6．在中，已知向量，，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：在中，已知向量，，
则
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，再利用诱导公式和两角差的余弦公式以及向量的模的坐标表示和同角三角函数基本关系式，进而得出的值。
7．（2023高三上·北海模拟）若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：，
在区间上既有最大值，又有最小值 ，
故答案为：A.
【分析】根据x范围，得到的范围，作出的图像观察，即可求解.
8．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：已知，，，
设则
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
而
当时，则有所以函数在上单调递减，
所以即
则、、的大小关系为：
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合构造法构造出函数再利用求导的方法判断函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
二、多选题
9．已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为由这数据得到新数据，其中，则所得新数据（ ）
A．平均数是3 B．中位数是3 C．方差是9 D．极差是3
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，已知数据的平均数为，由这数据得到新数据，其中，
则所得新数据的平均数为
，所以A错；
对于B，已知数据的中位数为，由这数据得到新数据，
其中，则所得新数据的中位数为，所以B错；
对于C，已知数据的方差为，
由这数据得到新数据，其中，
则所得新数据的方差为
，
则所得新数据方差为9c，所以C对；
对于D，已知数据的极差为，设是数据的其中最大值和最小值
所以d=，由这数据得到新数据，其中，
则所得新数据的极差为，所以D对。
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合原数据与新数据的关系，再结合平均数公式、中位数公式、方差公式和极差公式，进而得出新数据的平均数、中位数、方差和极差，从而找出正确的选项。
10．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10.又知甲 乙两种车型的刹车距离S与车速x之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是（ ）
A．甲车超速 B．乙车超速
C．两车均不超速 D．两车均超速
【答案】A,C,D
【知识点】二次函数模型
【解析】【解答】解：由题意可知，则
分别求解以上两个不等式，进而得出
由于从而得出，
经比较知乙车超过限速，应负主要责任。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出甲和乙的速度的取值范围，再结合比较法找出超速的车，从而找出判断错误的选项。
11．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A． B．
C．当时，是的最大值 D．当时，是的最小值
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：已知等差数列的公差为，前项和为，且，
设首项为，所以
因为成等比数列，所以，
所以，所以，
对于A，因为所以A对；
对于B，因为，所以B错；
对于C，因为
当时，当时，则，当时，则，
又因为所以或都是的最大值，所以C对；
对于D，当时，当时，则，当时，则，
又因为所以或都是的最小值，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比中项公式，进而得出等差数列首项和公差的关系式，再结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式和代入法判断出选项A和选项B；利用d的正负结合等差数列通项公式，进而判断出数列中各项的正负，再结合等差数列前n项和公式，从而找出的最大值和最小值，从而判断出选项C和选项D，进而找出正确的选项。
12．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
对于A，，
所以与的值相等，所以A对；
对于B，，
所以与的值相等，所以B对；
对于C，因为，又因为，
所以，所以，
所以，
所以与的值相等，所以C对；
对于D，因为
所以与的值不相等，所以D错；
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的正切公式、诱导公式，进而找出与的值相等的选项。
三、填空题
13．在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：在三棱锥中，平面，，且，，
不妨将三棱锥放入一个棱长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为正方体的体对角线即为其外接球的直径，
因为PA=AB=2，BC=2，
所以三棱锥外接球的半径为
所以三棱锥外接球的体积为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三棱锥与正方体的位置关系，再结合正方体和外接球的位置关系，进而判断出三棱锥的外接球即为正方体的外接球，再利用正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，再结合勾股定理得出三棱锥外接球的直径，从而得出三棱锥外接球的半径，再利用球的体积公式得出三棱锥外接球的体积。
14．已知事件与相互独立，，，则 ．
【答案】0.88
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：已知事件与相互独立，，，
又因为，所以，
则
故答案为：0.88.
【分析】利用已知条件结合独立事件求概率公式，进而得出事件B的概率，再利用，从而得出P(A+B)的值。
15．已知数列中，，，且，则 .
【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：已知数列中，，，
由归纳推理的方法，设
因为
所以，
所以，满足题意，假设成立，所以。
故答案为：.
【分析】利用假设法，从而设出数列的通项公式，再结合代入法和已知条件，从而得出假设成立，进而得出数列的通项公式。
16．在边长为2的等边中，为的中点，为边上一动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在边长为2的等边中，为的中点，为边上一动点，
以为基底向量，，
设
因为
所以
当时，则取到最小值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义和向量共线定理，再利用平面向量基本定理和数量积的运算法则，从而将转化为二次函数，再由二次函数的图象求最值的方法，进而得出的最小值。
四、解答题
17．设为等差数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，由题意，得，解得 ，
（2）解：由已知，故，
两式相减，得，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而解方程组得出等差数列的首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用（1）得出的数列的通项公式和，再利用，进而得出数列的通项公式，再利用错位相减的方法，进而得出数列的前项和。
18．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F，分别是棱，，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因D，E，F，分别是棱，，的中点.
且图形为直三棱柱，则，得四边形为平行四边形，.
又平面，平面，则平面.
又平面ABD，，则平面平面
（2）解：如图，连接DC，DF，FB.则.
.又，，则.取AB中点为G，连接DG，则
则.
设点到平面ABD距离为，注意到.
则.
设直线与平面所成角为，则
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点作中位线的方法，再结合中位线的性质，从而证出线线平行，再结合直三棱柱的结构特征证出，再利用平行四边形的定义证出四边形为平行四边形，从而证出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，再结合线面平行证出面面平行，从而证出平面平面。
（2）利用已知条件结合勾股定理证出线线垂直，再结合勾股定理得出AB的长，再利用中点的性质和勾股定理，进而得出DG的长，再结合三角形的面积得出的面积，再利用三棱锥的体积公式和等体积法，进而得出点到平面ABD距离d的值，再利用正弦函数的定义，进而得出直线与平面所成角的正弦值。
19．某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
（参考：）
参考：，，.
（1）求变量和的样本相关系数（精确到），并推断变量和的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱.）
（2）求年销售量关于年投资额的经验回归方程.并预测投资额为700万无时的销售量.
【答案】（1）解：由题意，，，
，
，，
，，变量和的线性相关程度很强；
（2）解：，，年销售量关于年投资额的线性回归方程为．
当时，，
所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为千件．
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和相关系数的求解公式，进而得出变量和的样本相关系数，再利用与0和1的大小关系以及与变量和的线性相关程度强弱的关系，进而判断出变量和的线性相关程度的强弱。
（2）利用已知条件结合最小二乘法和平均数公式，进而得出线性回归方程，再利用代入法预测出投资额为700万无时的销售量。
20．（2021高三上·资阳月考）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 的周长为 ，求 面积 的最大值．
【答案】（1）解：由余弦定理，得 ，
即 ，则 ，
所以
又 ，所以 ．
（2）解：由题意， ，
根据余弦定理，得 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 时取“＝”．
所以， 面积 ，
故 面积 的最大值为 ．
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】(1)由余弦定理先求cosA，进而可求角 的大小；
(2)由已知结合余弦定理及基本不等式可求bc的范围，进而可求三角形面积的最值.
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）解：函数的定义域是，可得.
当时，可知，所以在上单调递增；当时，由得，
可得时，有，时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，要证成立，只需证成立，只需证即可.
因为，由（1）知，.令，
则，可得时，有；时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
可知，则有，所以有，所以当时，成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2）利用m的取值范围结合分析法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再由不等式恒成立问题求解方法，进而证出不等式成立。
22．已知数列的首项为1，设，．
（1）若为常数列，求的值；
（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式；
（3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由．
【答案】（1）解：因为为常数列，所以．
，所以
（2）解：因为为公比为2的等比数列，．
所以．
所以，故．
（3）解：假设存在等差数列，使得对一切都成立，
设公差为d，则
相加得
所以．
所以恒成立，
即，恒成立，所以
故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；函数的值；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合常数项的定义，进而得出数列的通项公式，
进而得出，再利用代入法得出的值。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而得出，再利用变形法和二项式定理，进而得出的解析式。
（3）利用假设法和等差数列的通项公式和求和的方法，再结合函数恒成立问题求解方法，进而得出使得对一切都成立的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出满足要求的数列的通项公式。
1 / 1黑龙江省哈尔滨市13中2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在正项等比数列中，，，则的公比（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
4．已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（ ）
A． B． C． D．
5．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，已知向量，，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
7．（2023高三上·北海模拟）若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为由这数据得到新数据，其中，则所得新数据（ ）
A．平均数是3 B．中位数是3 C．方差是9 D．极差是3
10．在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10.又知甲 乙两种车型的刹车距离S与车速x之间分别有如下关系：S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是（ ）
A．甲车超速 B．乙车超速
C．两车均不超速 D．两车均超速
11．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A． B．
C．当时，是的最大值 D．当时，是的最小值
12．下列选项中，与的值相等的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在三棱锥中，平面，，且，，则三棱锥外接球的体积等于 ．
14．已知事件与相互独立，，，则 ．
15．已知数列中，，，且，则 .
16．在边长为2的等边中，为的中点，为边上一动点，则的最小值为 .
四、解答题
17．设为等差数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
18．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F，分别是棱，，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
（参考：）
参考：，，.
（1）求变量和的样本相关系数（精确到），并推断变量和的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱.）
（2）求年销售量关于年投资额的经验回归方程.并预测投资额为700万无时的销售量.
20．（2021高三上·资阳月考）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 的周长为 ，求 面积 的最大值．
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
22．已知数列的首项为1，设，．
（1）若为常数列，求的值；
（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式；
（3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：已知集合，
则
则
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合绝对值不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的定义域和对数函数的单调性，进而得出集合B，再利用并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：若复数满足（为虚数单位），
则
所以复数在复平面上所对应的点Z(-1，-2)，
则在复平面上所对应的点位于第三象限。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数的几何意义得出复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定复数在复平面上所对的点所在的象限。
3．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：在正项等比数列中，，，
则(1)，
(1)(2)联立得出所以，
所以，所以，所以，
又因为，所以
则数列的公比为或。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和正项等比数列的定义，从而联立方程组得出满足要求的等比数列的公比的值。
4．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：已知圆台上下底面半径之比为，设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为2r，
设圆台的母线长为l，高为h，作垂足为C，
则BC=r，
因为母线与底面所成的角的正弦值为，则，
则
因为圆台体积为，由圆台的体积公式计算可得r=2，
所以
再由圆台的侧面积公式可得圆台的侧面积为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三角函数的定义和同角三角函数基本关系式，进而得出l和h与r的关系式，再利用圆台的体积公式，进而得出r的值，从而得出l的值，再利用圆台的侧面积公式得出该圆台的侧面积。
5．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，所以
在中，，
，
所以
在中，由正弦定理得，所以
在中，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形内角和为180°的性质，再结合两角差的正弦公式和正弦函数的定义得出AM的长，再利用正弦定理得出CM的长，最后由正弦函数的定义得出CD的长，从而得出小明估算的索菲亚教堂的高度。
6．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：在中，已知向量，，
则
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，再利用诱导公式和两角差的余弦公式以及向量的模的坐标表示和同角三角函数基本关系式，进而得出的值。
7．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：，
在区间上既有最大值，又有最小值 ，
故答案为：A.
【分析】根据x范围，得到的范围，作出的图像观察，即可求解.
8．【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：已知，，，
设则
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
而
当时，则有所以函数在上单调递减，
所以即
则、、的大小关系为：
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合构造法构造出函数再利用求导的方法判断函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，已知数据的平均数为，由这数据得到新数据，其中，
则所得新数据的平均数为
，所以A错；
对于B，已知数据的中位数为，由这数据得到新数据，
其中，则所得新数据的中位数为，所以B错；
对于C，已知数据的方差为，
由这数据得到新数据，其中，
则所得新数据的方差为
，
则所得新数据方差为9c，所以C对；
对于D，已知数据的极差为，设是数据的其中最大值和最小值
所以d=，由这数据得到新数据，其中，
则所得新数据的极差为，所以D对。
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件结合原数据与新数据的关系，再结合平均数公式、中位数公式、方差公式和极差公式，进而得出新数据的平均数、中位数、方差和极差，从而找出正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】二次函数模型
【解析】【解答】解：由题意可知，则
分别求解以上两个不等式，进而得出
由于从而得出，
经比较知乙车超过限速，应负主要责任。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出甲和乙的速度的取值范围，再结合比较法找出超速的车，从而找出判断错误的选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：已知等差数列的公差为，前项和为，且，
设首项为，所以
因为成等比数列，所以，
所以，所以，
对于A，因为所以A对；
对于B，因为，所以B错；
对于C，因为
当时，当时，则，当时，则，
又因为所以或都是的最大值，所以C对；
对于D，当时，当时，则，当时，则，
又因为所以或都是的最小值，所以D对。
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比中项公式，进而得出等差数列首项和公差的关系式，再结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式和代入法判断出选项A和选项B；利用d的正负结合等差数列通项公式，进而判断出数列中各项的正负，再结合等差数列前n项和公式，从而找出的最大值和最小值，从而判断出选项C和选项D，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：，
对于A，，
所以与的值相等，所以A对；
对于B，，
所以与的值相等，所以B对；
对于C，因为，又因为，
所以，所以，
所以，
所以与的值相等，所以C对；
对于D，因为
所以与的值不相等，所以D错；
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的正切公式、诱导公式，进而找出与的值相等的选项。
13．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：在三棱锥中，平面，，且，，
不妨将三棱锥放入一个棱长为2的正方体中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为正方体的体对角线即为其外接球的直径，
因为PA=AB=2，BC=2，
所以三棱锥外接球的半径为
所以三棱锥外接球的体积为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合三棱锥与正方体的位置关系，再结合正方体和外接球的位置关系，进而判断出三棱锥的外接球即为正方体的外接球，再利用正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，再结合勾股定理得出三棱锥外接球的直径，从而得出三棱锥外接球的半径，再利用球的体积公式得出三棱锥外接球的体积。
14．【答案】0.88
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：已知事件与相互独立，，，
又因为，所以，
则
故答案为：0.88.
【分析】利用已知条件结合独立事件求概率公式，进而得出事件B的概率，再利用，从而得出P(A+B)的值。
15．【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：已知数列中，，，
由归纳推理的方法，设
因为
所以，
所以，满足题意，假设成立，所以。
故答案为：.
【分析】利用假设法，从而设出数列的通项公式，再结合代入法和已知条件，从而得出假设成立，进而得出数列的通项公式。
16．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在边长为2的等边中，为的中点，为边上一动点，
以为基底向量，，
设
因为
所以
当时，则取到最小值为。
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义和向量共线定理，再利用平面向量基本定理和数量积的运算法则，从而将转化为二次函数，再由二次函数的图象求最值的方法，进而得出的最小值。
17．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，由题意，得，解得 ，
（2）解：由已知，故，
两式相减，得，所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而解方程组得出等差数列的首项和公差的值，再利用等差数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。
（2）利用（1）得出的数列的通项公式和，再利用，进而得出数列的通项公式，再利用错位相减的方法，进而得出数列的前项和。
18．【答案】（1）证明：因D，E，F，分别是棱，，的中点.
且图形为直三棱柱，则，得四边形为平行四边形，.
又平面，平面，则平面.
又平面ABD，，则平面平面
（2）解：如图，连接DC，DF，FB.则.
.又，，则.取AB中点为G，连接DG，则
则.
设点到平面ABD距离为，注意到.
则.
设直线与平面所成角为，则
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点作中位线的方法，再结合中位线的性质，从而证出线线平行，再结合直三棱柱的结构特征证出，再利用平行四边形的定义证出四边形为平行四边形，从而证出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，再结合线面平行证出面面平行，从而证出平面平面。
（2）利用已知条件结合勾股定理证出线线垂直，再结合勾股定理得出AB的长，再利用中点的性质和勾股定理，进而得出DG的长，再结合三角形的面积得出的面积，再利用三棱锥的体积公式和等体积法，进而得出点到平面ABD距离d的值，再利用正弦函数的定义，进而得出直线与平面所成角的正弦值。
19．【答案】（1）解：由题意，，，
，
，，
，，变量和的线性相关程度很强；
（2）解：，，年销售量关于年投资额的线性回归方程为．
当时，，
所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为千件．
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和相关系数的求解公式，进而得出变量和的样本相关系数，再利用与0和1的大小关系以及与变量和的线性相关程度强弱的关系，进而判断出变量和的线性相关程度的强弱。
（2）利用已知条件结合最小二乘法和平均数公式，进而得出线性回归方程，再利用代入法预测出投资额为700万无时的销售量。
20．【答案】（1）解：由余弦定理，得 ，
即 ，则 ，
所以
又 ，所以 ．
（2）解：由题意， ，
根据余弦定理，得 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 时取“＝”．
所以， 面积 ，
故 面积 的最大值为 ．
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】(1)由余弦定理先求cosA，进而可求角 的大小；
(2)由已知结合余弦定理及基本不等式可求bc的范围，进而可求三角形面积的最值.
21．【答案】（1）解：函数的定义域是，可得.
当时，可知，所以在上单调递增；当时，由得，
可得时，有，时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，要证成立，只需证成立，只需证即可.
因为，由（1）知，.令，
则，可得时，有；时，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
可知，则有，所以有，所以当时，成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2）利用m的取值范围结合分析法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再由不等式恒成立问题求解方法，进而证出不等式成立。
22．【答案】（1）解：因为为常数列，所以．
，所以
（2）解：因为为公比为2的等比数列，．
所以．
所以，故．
（3）解：假设存在等差数列，使得对一切都成立，
设公差为d，则
相加得
所以．
所以恒成立，
即，恒成立，所以
故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；函数的值；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合常数项的定义，进而得出数列的通项公式，
进而得出，再利用代入法得出的值。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，进而得出，再利用变形法和二项式定理，进而得出的解析式。
（3）利用假设法和等差数列的通项公式和求和的方法，再结合函数恒成立问题求解方法，进而得出使得对一切都成立的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出满足要求的数列的通项公式。
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