数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的极值 课件（共33张ppt）

(共33张PPT)
人教A版 选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值
教学目标
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件；
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值
3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系．
01
复习导入
复习导入
思考：如何用导数的方法判断函数的单调性？
函数的单调性与其导函数正负的关系在某个区间上
（1）如果，那么函数在区间上单调递增；
（2）如果，那么函数在区间上单调递减；
（3）如果在区间上恒有那么函数在区间上是常数函数.
（4）在区间上单调递增，则f ′(x)≥0在(a,b)内恒成立
（5）在区间上单调递减，则f ′(x)≤0在(a,b)内恒成立
情景导入
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的单增减.
如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
02
函数的极值
新知探究
观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
问题1 ：函数h(t)在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地, 导数的符号有什么变化规律
新知探究
放大附近函数的图象，
如图.可以看出，；在附近，
当时，函数单调递增，；
当时，函数单调递减，.
这就是说，在附近，函数值先增(当时，)后减(当时，).这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有.
新知探究
问题2 ：对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢
如图，函数y=f (x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？
新知探究
以两点为例，可以发现，
①函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；
②在点附近的左侧，右侧.
③类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；
④在点附近的左侧，右侧.
新知探究
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f (a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f (x)的极大值；
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极(extremum).
极值点与极值
新知探究
x
y
O
y＝x3
结论： 若 f ′(x0)=0 ，但 x0不一定是极值点。
思考1：导数为0的点都是极值点吗？
新知探究
思考2： f ′(x0)=0是函数在x=x0处取得极值的什么条件？
结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.
f ′(x0)=0
x0是函数 f(x) 的极值点
x0是函数 f(x) 的极值点
x0左右两侧导数异号
f ′(x0)=0
新知探究
思考3：函数的极大值一定大于极小值吗？
不一定，如图中c处的极小值大于f处的极大值．
新知探究
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
关于极值的归纳总结
（5）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；
（6）单调函数一定没有极值．
新知探究
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 是函数 的极值点．( )
×
（2） 可导函数一定存在极值．( )
×
（3） 若 ，则 是函数 的极值点．( )
×
（4） 若 是函数 的极值点，则 ．( )
√
牛刀小试
新知探究
2.已知函数 的定义域为 ，导函数 在 上的图象如图所示，则函数 在 上的极大值点的个数为( ).
B
A. B. C. D.
由导函数的图象可知， 在 上与 轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 不是函数 的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．
新知探究
例1.求函数的极值.
l
解：因为，所以
令，解得，或.
当变化时，，的变化情况如表所示.
单调递增 单调递减 单调递增
新知探究
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为；
函数的图象如图所示.
新知探究
问题3 ：如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
f (x)<0
y
x
O
x1
a
b
y=f(x)
极大值点两侧
极小值点两侧
f (x)<0
f (x)>0
f (x)>0
x2
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
增
f′(x) >0
f′(x) =0
f′(x) <0
极大值
减
f′(x) <0
f′(x) =0
增
减
极小值
f′(x) >0
左正右负为极大，左负右正为极小
左增右减为极大，左减右增为极小
新知探究
方法总结：求可导函数f (x)极值的步骤：
（1）确定函数的定义域
（2） 求导数f ′(x)；
（3）求方程f ′(x)=0的根
（4）由f ′(x)在方程f ′(x)=0的根左右的符号，来判断f (x)在这个根处取极值的情况：
如果左正右负（左增右减），那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增），那么f(x)在这个根处取得极小值；
求导—求临界点—列表—求极值
03
极值的简单应用
新知探究
题型一：极值的图象特征
例1.已知函数，其导函数的图象如图所示，则 ( ).
A.在上为减函数
B.在处取极小值
C.在上为减函数
D.在处取极大值
解：由导函数的图象可知：时，；
时，，
因此在，上为增函数，在，上为减函数，
∴函数在处取得极大值，处取得极小值，处取得极大值
C
新知探究
A
新知探究
题型二：求不含参数的函数极值问题
新知探究
新知探究
新知探究
题型三 　求含参数的函数的极值
新知探究
新知探究
题型四 　已知极值(点)求参数
新知探究
04
课堂小结
课堂小结