专题6.6 二项式定理（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·山东潍坊·高二阶段练习）展开式中的常数项是（ ）
A．-160 B．-140 C．160 D．140
【解题思路】先写出展开式的通项，然后根据的指数部分为确定常数项的项数，代入通项公式可得常数项.
【解答过程】展开式通项为，
令，所以，
所以常数项为，
故选：A.
2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．13
【解题思路】由并展开，根据展开式的特征，结合题设条件可得，即可确定取值.
【解答过程】由，
∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，
∴，当k=1时，m=13满足题意.
故选：D.
3．（3分）（2022·青海西宁·一模）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．20
【解题思路】求出的通项公式，令和，求解对应常数项即可.
【解答过程】展开式的通项为，令，得，令，得，故展开式的常数项是.
故选：B．
4．（3分）（2022春·吉林通化·高二期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是（ ）
A．9 B．10 C．36 D．45
【解题思路】结合二项式展开式的二项式系数求得正确结论.
【解答过程】由题意知第10行的数就是二项式（a+b）10的展开式中各项的二项式系数，
故第10行第9个数是．
故选：D.
5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）在二项式的展开式中，下列结论：
①第5项的系数最大；
②所有项的系数和为；
③所有奇数项的二项式系数和为；
④所有偶数项的二项式系数和为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】比较二项式的展开式中第9项的系数与第5项的系数可判断的①正误；利用二项式形式的性质可判断②③④的正误.
【解答过程】第9项的系数为，第5项的系数为，，故①错误；
令，得所有项的系数和为，故②正确；
所有奇数项的二项式系数和等于所有偶数项的二项式系数和且为二项式系数和的一半，故为，故④正确，③错误；
故选：B.
6．（3分）（2022春·陕西渭南·高二期末）若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解题思路】利用赋值法可求出结果.
【解答过程】在中，
令，得，
令，得，
令，得，
所以 ，
所以.
故选：C.
7．（3分）（2022春·全国·高二期末）关于及其展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中奇数项的二项式系数和是
B．该二项展开式中第六项为
C．该二项展开式中不含有理项（有理项即为x的指数为整数的项）
D．当时，除以100的余数是1
【解题思路】对于A：由二项式系数和是，奇数项的二项式系数和是，即可判断；
对于B：利用通项公式求出该二项展开式中第六项；
对于C：利用通项公式求出该二项展开式的有理项，即可判断；
对于D.：利用二项式定理讨论出(最后一项等于1),前面的所有项都能被100整除即可判断.
【解答过程】对于A：该二项展开式中二项式系数和是，奇数项的二项式系数和是，故A错误；
对于B：.由于展开式的通项公式，所以该二项展开式中第六项：，故B错误；
对于C：通项公式，当为偶数时，对应的各项均为有理项，故C错；
对于D.：当x=100时，
除了最后一项1，前面的所有项都能被100整除，故D正确；
故选：D.
8．（3分）在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若，则二项展开式中系数最大的项是．
B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C．若，则二项展开式中的常数项是．
D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
【解题思路】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分和两种情况解不等式即可；C选项：令，解方程即可；D选项：令，解不等式即可.
【解答过程】A选项：令，解得，所以，所以A正确；
B选项：，整理可得，当时，不等式恒成立；当时，解得，所以，故B正确；
C选项：令，解得，所以常数项为，故C正确；
D选项：令，解得，所以可取，共11项，故D错.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高二单元测试）关于及其二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为
B．该二项展开式中第8项为
C．当时，除以100的余数是9
D．该二项展开式中不含有理项
【解题思路】对于A，由二项式系数的性质，由公式可得答案；
对于B，根据二项式定理的通项公式，令时，可得答案；
对于C，根据二项式定理，结合带余除法的变换等式，可得答案；
对于D，利用二项式定理通项，使的指数为整数，可得答案.
【解答过程】偶数项的二项式系数之和为，故A错误；
展开式中第8项为，故B正确；
当时，
，
∵，除以100的余数是9，
∴当时，除以100的余数是9，故C正确；
的展开式的通项为，
当为整数，即时，为有理项，故D错误．
故选：BC．
10．（4分）（2022·高二单元测试）定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”.
给出的下列命题中正确的是（ ）.
A．记第 行中从左到右的第 个数为，则数列的通项公式为
B．第k行各个数的和是
C．n阶“杨辉三角”中共有个数
D．n阶“杨辉三角”的所有数的和是
【解题思路】明确第i行各个数是的展开式的二项式系数，即可判断A;
各行的所有数的和是各行对应的二项式系数和,由此判断B;
根据杨辉三角每行的数的个数，可计算n阶“杨辉三角”中共有个数，判断C;
计算“杨辉三角”的所有数的和，即可判断D.
【解答过程】第i行各个数是的展开式的二项式系数，
则数列的通项公式为，故A错误；
各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和，第k行各个数的和是，故B正确；
第k行共有（k+1）个数，从而n阶“杨辉三角”共有个数，故C正确；
“杨辉三角”的所有数的和是，故D正确；
故选：BCD.
11．（4分）（2022春·河北张家口·高二期末）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】令，可判定A正确；令，联立方程组，可判定B错误，C正确；化简，令，可判断D正确.
【解答过程】因为
令，则，所以A正确；
令，则，
又由，
所以，
所以B错误，C正确；
由，
令，则，所以D正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2022秋·山西太原·高三阶段练习）对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项
B．对任意，展开式中没有常数项
C．对任意，展开式中没有的一次项
D．存在，展开式中有的一次项
【解题思路】求得二项式和的通项公式，得到二项式，展开式的通项为，
分别考察的指数为0，1的情况，进而判定常数项和一次项的系数的存在性.
【解答过程】解：对于二项式的展开式的通项公式为，，
而的通项公式为，.
对于二项式，展开式的通项为，
未知数的次数为
当时，即，当，，是其中一组解，由于的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误，
当时，即，当，，是其中一组解，由于的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，展开式中有一次项，故D正确，C错误，
故选：AD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·重庆·统考一模）的展开式中常数项为 .
【解题思路】利用二项式定理即可得解.
【解答过程】因为的展开通项为，
当，即时，为常数项，
此时.
故答案为：.
14．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则 12 .
【解题思路】由的二项展开式的通项，可知展开式的二项式系数为，当时，二项式系数的最大值为，展开式的系数为，当满足时，系数的最大值为，求解即可.
【解答过程】由题意可知
展开式的二项式系数为，
当时，取得最大值
展开式的系数为，
当满足时，系数最大.
即，
，即解得，
又，
时，系数的最大值为，
则，
故答案为：12.
15．（4分）（2022春·山西太原·高二阶段练习）若，则被12整除的余数为 1 ．
【解题思路】利用赋值法求出，再将写出其展开式，从而得解；
【解答过程】解：因为，
令则①，
令则②，
②得，
其中
，
所以，
则
其中
，
所以被12整除的余数为，
所以被12整除的余数为；
故答案为：.
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列关于的展开式的命题中，所有真命题的序号是 ②④ ．
①当时，的展开式共有11项；
②若的展开式的第3项与第5项的二项式系数之比为，则；
③当时，的展开式中各项系数之和为；
④当时，的展开式中系数最小的项是．
【解题思路】①由二项式展开式项数与指数n的关系即可判断；②由题设，利用组合数公式列方程求解即可；③应用赋值法求各项系数之和；④写出二项式展开式的通项公式，进而判断系数最小的项即可.
【解答过程】①当时，的展开式共有12项，故错误．
②的展开式的第3项与第5项的二项式系数比为，化简得，即或（舍去），故正确．
③当时，设，
令，得，故错误．
④当时，的展开式的通项，其中，
显然当时，的系数为正数；当时，的系数为负数．
当时，，当时，，当时，，
故系数最小的项是，正确．
故答案为：②④．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·陕西西安·高二期末）在的二项展开式中，各项系数和与各项二项式系数和之比为32:1.求：
(1)的值；
(2)展开式中的系数.
【解题思路】（1）先求出各项二项式系数和与系数和，根据可求出结果；
（2）根据二项展开式的通项公式可求出结果；
【解答过程】(1)
各项二项式系数和为，令，则各项系数和为，
所以可得，得，得，得.
(2)
由（1）知，，所以的展开式的通项为 ，
令，得，
所以展开式中的系数为.
18．（6分）（2022·高二课时练习）设．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解题思路】（1）根据的通项公式，结合的产生，即可容易求得其系数；
（2）令，对结果变形即可容易求得.
【解答过程】(1)
由题意知得是展开式的系数.
的通项公式，，，
则.
令得，
再令得，舍去；
则，
即.
(2)
令得 ①，
令得 ②，
由得，.
19．（8分）（2023·全国·高三专题练习）已知展开式的二项式系数和为512，且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数．
【解题思路】（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理可得答案；
（2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，可求得的值，令，可得的值，从而可得答案；
（3）根据题意，可得，变形可得，由二项式定理展开式可得，进而由整除的性质分析可得答案
【解答过程】解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，
所以，解得，
因为，所以，
（2）在中，令，则，
令，可得，
所以
（3）
，
，
因为（）能被6整除，而，即被6整除余数为5，
所以被6整除的余数为5.
20．（8分）（2022春·全国·高二期末）已知的展开式满足 ．
①二项式系数之和为，②含项的系数为80，③第三项与第四项二项式系数相等．
从这三个条件中选择两个合适的条件补充到横线处，求解下列问题．
(1)求的值；
(2)求展开式中含项的系数．
【解题思路】（1）由二项式系数的性质可知，由①或③可得n，再由②中指定项系数可得m；
（2）由二项式定理分别展开和，然后相乘后合并可得.
【解答过程】(1)
若选①②
由题意，，则；
由通项知时得含项，所以，所以；
若选②③
由第三项与第四项二项式系数相等，得则，
由通项知时得含项，所以，所以
(2)
即求展开式中含项的系数，
，
所以展开式中含项的系数为．
21．（8分）（2022秋·辽宁沈阳·高二阶段练习）已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求：
(1)展开式中二项式系数最大项的项；
(2)展开式中系数最大的项；
(3)展开式中所有有理项.
【解题思路】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项；
(2)设第项系数最大，列不等式组求，由此确定系数最大的项；
(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.
【解答过程】（1）因为展开式的通项公式为，，
所以
依题意得，即，由已知,
所以，
所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，
所以.
（2）由（1）知，，
设展开式中系数最大的项为第项，则，
即，即，
解得，所以或，
所以展开式中系数最大的项为和.
（3）由 为有理项知，为整数，得，，
所以展开式中所有有理项为和.
22．（8分）（2022·高二课时练习）在中，把，，，…，叫作三项式系数．
（1）当时，写出三项式系数，，，，的值；
（2）的展开式中，二项式系数可表示成如下图的形式：
当，时，类比杨辉三角，请列出三项式系数表；
（3）求的值（可用组合数作答）．
【解题思路】（1）由于，从而可求得答案，
（2）类比杨辉三角，结合（1）可得三项式系数表第0行1个数，第1行3个数，第2行5个数，第3行7个数，第4行9个数，
（3）由于展开式含项的系数为，而，其展开式的通项公式为，令，求出，从而可求得结果
【解答过程】（1）因为，
所以，，，，．
（2）当，时，三项式系数表如下：
（3） ，
其中含项的系数为，
又，的展开式中第项为，
令，解得，
所以含项的系数为．
所以．专题6.6 二项式定理（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·山东潍坊·高二阶段练习）展开式中的常数项是（ ）
A．-160 B．-140 C．160 D．140
2．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知，且恰能被14整除，则的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．13
3．（3分）（2022·青海西宁·一模）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．20
4．（3分）（2022春·吉林通化·高二期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是（ ）
A．9 B．10 C．36 D．45
5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）在二项式的展开式中，下列结论：
①第5项的系数最大；
②所有项的系数和为；
③所有奇数项的二项式系数和为；
④所有偶数项的二项式系数和为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）（2022春·陕西渭南·高二期末）若，则的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（3分）（2022春·全国·高二期末）关于及其展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中奇数项的二项式系数和是
B．该二项展开式中第六项为
C．该二项展开式中不含有理项（有理项即为x的指数为整数的项）
D．当时，除以100的余数是1
8．（3分）在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若，则二项展开式中系数最大的项是．
B．已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是．
C．若，则二项展开式中的常数项是．
D．若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高二单元测试）关于及其二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为
B．该二项展开式中第8项为
C．当时，除以100的余数是9
D．该二项展开式中不含有理项
10．（4分）（2022·高二单元测试）定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”.
给出的下列命题中正确的是（ ）.
A．记第 行中从左到右的第 个数为，则数列的通项公式为
B．第k行各个数的和是
C．n阶“杨辉三角”中共有个数
D．n阶“杨辉三角”的所有数的和是
11．（4分）（2022春·河北张家口·高二期末）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（4分）（2022秋·山西太原·高三阶段练习）对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项
B．对任意，展开式中没有常数项
C．对任意，展开式中没有的一次项
D．存在，展开式中有的一次项
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2023·重庆·统考一模）的展开式中常数项为 .
14．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则 .
15．（4分）（2022春·山西太原·高二阶段练习）若，则被12整除的余数为 ．
16．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列关于的展开式的命题中，所有真命题的序号是 ．
①当时，的展开式共有11项；
②若的展开式的第3项与第5项的二项式系数之比为，则；
③当时，的展开式中各项系数之和为；
④当时，的展开式中系数最小的项是．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022春·陕西西安·高二期末）在的二项展开式中，各项系数和与各项二项式系数和之比为32:1.求：
(1)的值；
(2)展开式中的系数.
18．（6分）（2022·高二课时练习）设．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．（8分）（2023·全国·高三专题练习）已知展开式的二项式系数和为512，且．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求被6整除的余数．
20．（8分）（2022春·全国·高二期末）已知的展开式满足 ．
①二项式系数之和为，②含项的系数为80，③第三项与第四项二项式系数相等．
从这三个条件中选择两个合适的条件补充到横线处，求解下列问题．
(1)求的值；
(2)求展开式中含项的系数．
21．（8分）（2022秋·辽宁沈阳·高二阶段练习）已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求：
(1)展开式中二项式系数最大项的项；
(2)展开式中系数最大的项；
(3)展开式中所有有理项.
22．（8分）（2022·高二课时练习）在中，把，，，…，叫作三项式系数．
（1）当时，写出三项式系数，，，，的值；
（2）的展开式中，二项式系数可表示成如下图的形式：
当，时，类比杨辉三角，请列出三项式系数表；
（3）求的值（可用组合数作答）．
