专题6.3 排列与组合（重难点题型精讲）
1．排列
(1)排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列概念的理解
①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.
②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.
③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，
这一点要特别注意.
(3)排列的判断
判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任
取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关
的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有
变化，就与顺序无关，就不是排列问题.
2．排列数
(1)排列数定义
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号表示.
(2)排列数公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.
(3)排列数公式的理解
①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元
素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法.
②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数.
3．全排列和阶乘
(1)全排列
特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，
即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.
(2)阶乘
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!，
规定0!=1.
(3)排列数公式的阶乘表示
==.
4．组合
(1)组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的一个组合.
(2)组合概念的理解
①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，
无序性是组合的特征性质.
②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
(3)排列与组合的联系与区别
联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素.
区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可
以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.
5．组合数与组合数公式
(1)组合数
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数，用符号表示.
(2)组合数公式
①连乘表示：
==.
这里，n,m∈，并且mn.
②阶乘表示：=.
规定：=1.
6．组合数的性质
(1)性质1：=
这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，
剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的.
利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.
(2)性质2：=+
这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法.
由分类加法计数原理可得：=+.
在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.
【题型1 有关排列数的计算与证明】
【方法点拨】
解有关排列数的方程或不等式的步骤：
转化：将有关排列数的方程或不等式转化为普通方程或不等式；
求解：求转化后的普通方程或不等式解或解集；
检验：代入原方程或原不等式中检验，尤其注意条件n,m∈，并且mn对未知数取值的限制.
【例1】（2022春·重庆永川·高二阶段练习）计算：
(1)；
(2)解方程．
【解题思路】（1）根据排列数公式计算求解；
（2）由排列数公式化简，解方程即可得解.
【解答过程】(1)
；
(2)
∵，∴=，
化简得，且，
解得（舍去）或，
所以方程的解为．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【解题思路】（1）利用排列数公式后解不等式，求出的范围，再由可求出的值，
（2）利用排列数公式化简计算即可
【解答过程】（1）由题意得，化简得，
即，所以．
因为，且，所以不等式的解集为．
（2）易知所以，，
由，得，
化简得，
解得，（舍去），（舍去）．
所以原方程的解为．
【变式1-2】（2022·高二课时练习）解下列方程：
(1)；
(2).
【解题思路】（1）（2）根据排列数公式化简解方程即可．
【解答过程】(1)
由排列数公式，原方程可化为，化简得，解得或或或.
因为x满足
所以x的取值范围为.所以原方程的解为．
(2)
由，得，所以.
化简得，解得，．
因为且，所以原方程的解为x=6．
【变式1-3】（2022·高二课时练习）解下列方程或不等式．
(1)
(2)
【解题思路】（1）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得方程的解.
（2）根据排列数的计算公式化简已知条件，由此求得不等式的解集..
【解答过程】（1）
由于，
所以，
整理得，
解得或（舍去）.
（2）
由于，
所以，
整理得，
由于，所以，
所以不等式的解集为.
【题型2 有关组合数的计算与证明】
【方法点拨】
利用组合数公式以及组合数的性质，进行转化求解即可.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）（1）若，求的值；
（2）求的值.
【解题思路】（1）根据组合数的定义及组合数的性质即可求解；
（2）根据组合数的定义及组合数的性质即可求解；
【解答过程】（1）由，得或，解得或；
实数的值为或.
（2）由组合数的性质知，
.
所以的值为.
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）（1）求值：
（2）求关于的不等式的解集．
【解题思路】（1）根据题意可得，解之即可得解；
（2）根据组合数的运算公式计算即可得出答案.
【解答过程】解：（1）由可得：
，解得，
则；
（2）不等式，
即不等式，
解得，
又因，
所以关于的不等式的解集为.
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）（1）已知，求的值（用数字作答）；
（2）已知试求，的值．
【解题思路】（1）（2）根据组合数公式及组合数的性质计算可得；
【解答过程】解：（1）由可得，
即，
可得，整理可得，解得或，
因为，所以，
所以
．
（2）由可得（舍去）或，所以，
所以，即，
化简得，即，解得，所以．
【变式2-3】（2023·高二课时练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．
【解题思路】（1）直接根据组合数的计算公式计算得到证明.
（2）直接根据组合数的计算公式计算得到证明.
（3）构造数学模型证明：表示从个不同元素中每次取r个元素的取法种数，右式表示从两组中各取一部分，利用加法原理得到证明.
【解答过程】（1）左式，
右式
，所以．
（2）因为，，
所以左边
右边．
（3）构造数学模型证明：表示从个不同元素中每次取r个元素的取法种数．
将个不同元素分为两组，其中A组n个元素，B组m个元素，
从个不同元素中每次取r个元素，可分类完成，
依次为：A组取0个，B组取r个，有种取法；A组取1个，B组取个，有种取法；……；A组取r个，B组取0个，有取法．
由加法原理知共有种取法．
所以．
【题型3 无限制条件的排列问题】
【方法点拨】
求解排列问题时，正确理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语；正
确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有依
次做完各个步骤，事情才算完成.
【例3】（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ）
A．60种 B．80种 C．100种 D．120种
【解题思路】利用排列的定义直接列式求解.
【解答过程】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）．
故选:D．
【变式3-1】（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【解题思路】计算从5个不同元素中取出2个元素的排列数即可.
【解答过程】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，
即共有=20(种)不同的送书方法.
故选：C.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，则不同的停放方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【解题思路】根据题意，分析可得即从8股中选4股进行排列即可.
【解答过程】因为一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，则有种不同的停放方法.
故选：D.
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）从4名大学生中选三个人分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学分配1名大学生，不同的分配方法数为（ ）
A．120 B．24 C．48 D．6
【解题思路】由题意即从4个不同元素中选出3个元素的排列问题，由排列的定义即可求解.
【解答过程】从4名大学生中选三个人分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学分配1名大学生.
则不同的分配方法数为
故选：B.
【题型4 有限制条件的排列问题】
【方法点拨】
在解有限制条件的排列应用题时，先分析限制条件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，当限制条
件较多时，要抓住关键条件(主要矛盾)，通过正确分类、分步，把复杂问题转化为基本问题.
【例4】（2022·高二课时练习）某同学有7本不同的书，其中语文书2本 英语书2本 数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻 2本英语书相邻 3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数（ ）
A．12 B．24 C．48 D．720
【解题思路】根据捆绑法、插空法进行排列计算即可得解.
【解答过程】先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，
然后排成一排，有种不同的排法，
再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，
有种不同的排法，再排2本语文书，
有种不同的排法，最后排2本英语书，
有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，
得共有种不同的排法.
故选：C.
【变式4-1】（2022·高二课时练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫 商 角 徵 羽，如果将这五个音排成一排，宫 羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
【解题思路】根据角音所在的位置分两类，根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.
【解答过程】根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一 二 三 四 五分两类：
第一类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有（种）；
第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有（种）；
根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有（种）.
故选：C.
【变式4-2】（2022春·上海浦东新·高二期中）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（ ）
A．960种 B．720种 C．480种 D．240种
【解题思路】本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，根据分步计数原理得到结果．
【解答过程】解：先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有种.
故选：C．
【变式4-3】（2022春·湖南衡阳·高二阶段练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有（ ）
A．12种 B．8种 C．6种 D．4种
【解题思路】先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙.
【解答过程】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序.
故选：C.
【题型5 组合问题】
【方法点拨】
(1)特殊元素问题：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素及有多少特殊元素作为分类依据.
(2)含有“至多”“至少”的问题：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.
(3)分类讨论思想的应用：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.
【例5】（2022·全国·高三专题练习）新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（ ）
A．14种 B．15种 C．16种 D．17种
【解题思路】分两种情况即物理或历史中选一门和物理和历史都选两种情况分类求解即可.
【解答过程】解：由题意得：
物理或历史中选一门：种选法；
物理和历史都选：种选法；
物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法；
故选：C.
【变式5-1】（2022春·黑龙江佳木斯·高二期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【解题思路】先将剩下的3名志愿者分为两组，再把小明和小李分别放在两组中，最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”，由分步乘法原理即可.
【解答过程】先将剩下的3名志愿者分为两组有种，再把小明和小李分别放在两组中有2种，
最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”有2种，则共有种.
故选：C.
【变式5-2】（2022春·河北衡水·高二阶段练习）将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（ ）
A．20 B．40 C．68 D．96
【解题思路】先从六个小球中选出三个小球放入与自己相同序号的盒子中，剩下的三个小球再错位排在与自己编号不同的盒子里即可.
【解答过程】六个小球中选出三个小球放入与自己相同序号的盒子中，先选后排：先选：组合有种方法，后排：排列只有种方法，
则利用分步乘法计数原理得有种方法，剩下三个小球放入与自己不相同序号的盒子中，先选后排：
先选：组合有种方法，排列：错位排有种方法，则利用分步乘法计数原理得有种方法，
最后利用分步乘法计数原理得共有种方法．
故选：B.
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱. 假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．44种 B．48种 C．60种 D．50种
【解题思路】由分步乘法计数原理，利用间接法即可求解.
【解答过程】解：由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有种方案；
若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，则有种方案.
所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有不同的安排方案.
故选：A.
【题型6 排列、组合的综合问题】
【方法点拨】
解决先选后排问题,应遵循三大原则：
(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步.
【例6】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二阶段练习）4月1日，根据当前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作总指挥部发布通告，要求我市全域内除特殊人员外，所有人员保持居家，不出小区（村）等待全员核酸检测．为了保障广大居民的生活需要，某小区征集了多名志愿者，现有5名志愿者承包A，B，C三栋居民楼，每位志愿者负责一栋楼，且每栋楼至少一名志愿者，则分派方法的种数为（ ）
A．90 B．150 C．180 D．300
【解题思路】先分组再分配，分组又分为3,1,1和2,2,1两类，第二类涉及平均分组，需要去重.
【解答过程】先分组:按照居民楼人数分为3,1,1和2,2,1两类，
3,1,1:从5名志愿者中选出3名作为一个组,其余2人各自一组,有种，
2,2,1:从5名志愿者中选出4名平均分为两组,剩下1人一组,有种，
再分配:3个组到三栋居民楼有种，
所以总的分派方法数有种，
故选：B.
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会共计有7大项 15个分项以及109个小项目，其中北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有（ ）
A．8 B．14 C．6 D．20
【解题思路】根据题意先对4名同学分成2组有两种情况，结合平均分组可知有种分法，再将分好的两组在雪上项目和冰上项目进行全排列，根据分步计数原理即可得到结果.
【解答过程】将4名同学分成两组，有种分法，将分好的两组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，所以共有种报名方案.
故选：B.
【变式6-2】（2022秋·吉林长春·高二阶段练习）消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教师到A、B、C、D、E五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ）
A．120种 B．216种 C．336种 D．360种
【解题思路】用排除法，不考虑乙丙不在同一山区的情况，安排方法有两类：第一类是其他5人每人去一个山区，第二类是其他5人中选2人作为一个人与其他3人一起全排列去外的四个山区，求出此方法，再减去乙丙在一起的方法数即得．
【解答过程】不考虑乙丙不在同一山区的情况，安排方法是一种情形其他5人每人去一个山区，第二种情形是其他5人中选2人作为一个人与其他3人一起全排列去外的四个山区，不同的安排方法数为，
而乙丙在同一山区的方法数为，所以所求不同方法数为 ＝336．
故选：C．
【变式6-3】（2022秋·辽宁·高三阶段练习）为了提高教学质量，需要派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，每个教研员只能去1所学校调研，则下列说法错误的个数是（ ）
①不同的调研方案有243种
②若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种
③若每所重点高中至少去一位教研员，至多去两位教研员，则不同调研安排方案有60种
④若每所重点高中至少去一位教研员且甲 乙两位教研员不去同一所高中，则不同调研安排方案有114种
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【解题思路】根据乘法计数原理计数判断①，用分组分配方法计数判断②③，用捆绑法求出甲乙二人去同一所学校的方法，再由排除法得结论判断④．
【解答过程】①每个教研员只能去1所学校调研，根据分步乘法原理，每个教研员依次选调研学校，方法为，①正确；
②若每所重点高中至少去一位教研员，将5位教研员分成3组：1,1,3；1,2,2，然后分配到3所学校，方法数为：，②正确；由此得③中方法数为，③错；
④甲乙捆绑在一起，变成4人进行分组分配，方法数为，因此甲 乙两位教研员不去同一所高中的方法数为，④正确，
共有1个是错误的．
故选：A．专题6.3 排列与组合（重难点题型精讲）
1．排列
(1)排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)排列概念的理解
①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.
②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.
③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，
这一点要特别注意.
(3)排列的判断
判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任
取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关
的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有
变化，就与顺序无关，就不是排列问题.
2．排列数
(1)排列数定义
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号表示.
(2)排列数公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.
(3)排列数公式的理解
①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元
素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法.
②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数.
3．全排列和阶乘
(1)全排列
特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，
即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1.
(2)阶乘
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!，
规定0!=1.
(3)排列数公式的阶乘表示
==.
4．组合
(1)组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的一个组合.
(2)组合概念的理解
①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，
无序性是组合的特征性质.
②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
(3)排列与组合的联系与区别
联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素.
区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可
以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.
5．组合数与组合数公式
(1)组合数
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数，用符号表示.
(2)组合数公式
①连乘表示：
==.
这里，n,m∈，并且mn.
②阶乘表示：=.
规定：=1.
6．组合数的性质
(1)性质1：=
这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，
剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的.
利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算.
(2)性质2：=+
这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法.
由分类加法计数原理可得：=+.
在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.
【题型1 有关排列数的计算与证明】
【方法点拨】
解有关排列数的方程或不等式的步骤：
转化：将有关排列数的方程或不等式转化为普通方程或不等式；
求解：求转化后的普通方程或不等式解或解集；
检验：代入原方程或原不等式中检验，尤其注意条件n,m∈，并且mn对未知数取值的限制.
【例1】（2022春·重庆永川·高二阶段练习）计算：
(1)；
(2)解方程．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【变式1-2】（2022·高二课时练习）解下列方程：
(1)；
(2).
【变式1-3】（2022·高二课时练习）解下列方程或不等式．
(1)
(2)
【题型2 有关组合数的计算与证明】
【方法点拨】
利用组合数公式以及组合数的性质，进行转化求解即可.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）（1）若，求的值；
（2）求的值.
【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）（1）求值：
（2）求关于的不等式的解集．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）（1）已知，求的值（用数字作答）；
（2）已知试求，的值．
【变式2-3】（2023·高二课时练习）（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．
【题型3 无限制条件的排列问题】
【方法点拨】
求解排列问题时，正确理解题意是最关键的一步，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语；正
确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理也是十分重要的；还要注意分类时不重不漏，分步时只有依
次做完各个步骤，事情才算完成.
【例3】（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ）
A．60种 B．80种 C．100种 D．120种
【变式3-1】（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）一个火车站有8股岔道，每股道只能停放1列火车，现需停放4列不同的火车，则不同的停放方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）从4名大学生中选三个人分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学分配1名大学生，不同的分配方法数为（ ）
A．120 B．24 C．48 D．6
【题型4 有限制条件的排列问题】
【方法点拨】
在解有限制条件的排列应用题时，先分析限制条件有哪些，哪些是特殊元素，哪些是特殊位置，当限制条
件较多时，要抓住关键条件(主要矛盾)，通过正确分类、分步，把复杂问题转化为基本问题.
【例4】（2022·高二课时练习）某同学有7本不同的书，其中语文书2本 英语书2本 数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻 2本英语书相邻 3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数（ ）
A．12 B．24 C．48 D．720
【变式4-1】（2022·高二课时练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫 商 角 徵 羽，如果将这五个音排成一排，宫 羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
【变式4-2】（2022春·上海浦东新·高二期中）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（ ）
A．960种 B．720种 C．480种 D．240种
【变式4-3】（2022春·湖南衡阳·高二阶段练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有（ ）
A．12种 B．8种 C．6种 D．4种
【题型5 组合问题】
【方法点拨】
(1)特殊元素问题：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素及有多少特殊元素作为分类依据.
(2)含有“至多”“至少”的问题：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解.
(3)分类讨论思想的应用：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.
【例5】（2022·全国·高三专题练习）新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（ ）
A．14种 B．15种 C．16种 D．17种
【变式5-1】（2022春·黑龙江佳木斯·高二期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式5-2】（2022春·河北衡水·高二阶段练习）将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（ ）
A．20 B．40 C．68 D．96
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱. 假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．44种 B．48种 C．60种 D．50种
【题型6 排列、组合的综合问题】
【方法点拨】
解决先选后排问题,应遵循三大原则：
(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步.
【例6】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二阶段练习）4月1日，根据当前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作总指挥部发布通告，要求我市全域内除特殊人员外，所有人员保持居家，不出小区（村）等待全员核酸检测．为了保障广大居民的生活需要，某小区征集了多名志愿者，现有5名志愿者承包A，B，C三栋居民楼，每位志愿者负责一栋楼，且每栋楼至少一名志愿者，则分派方法的种数为（ ）
A．90 B．150 C．180 D．300
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）2022年北京冬奥会共计有7大项 15个分项以及109个小项目，其中北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有（ ）
A．8 B．14 C．6 D．20
【变式6-2】（2022秋·吉林长春·高二阶段练习）消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教师到A、B、C、D、E五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ）
A．120种 B．216种 C．336种 D．360种
【变式6-3】（2022秋·辽宁·高三阶段练习）为了提高教学质量，需要派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，每个教研员只能去1所学校调研，则下列说法错误的个数是（ ）
①不同的调研方案有243种
②若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种
③若每所重点高中至少去一位教研员，至多去两位教研员，则不同调研安排方案有60种
④若每所重点高中至少去一位教研员且甲 乙两位教研员不去同一所高中，则不同调研安排方案有114种
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
