河南省实验中学2023—2024学年上期期中试卷
高一数学答案
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设集合，则集合A的真子集个数是（）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由题意列举出集合中的元素，再用真子集个数公式（为集合中元素个数）计算即可．
【详解】因为，
所以，
所以集合A的真子集个数是，
故选：B．
2. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，
，所以本命题是假命题；
选项C: ，
因为，所以本命题是真命题；
选项D: 若时，显然，所以本命题是假命题；
故选：C．
3. 设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是()
A. a>c>b B. a>b>c
C. c>a>b D. b>c>a
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A
考点：函数的单调性.
4. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及指数对数运算.
5. 已知函数（，且），无论a取何值，图象恒过定点P．若点P在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可.
【详解】因为，所以定点P的坐标为，
设，因此有，所以，该函数是反比例函数，图象在第一、三象限内，
故选：A
6. 已知，且，若有解，则实数的取值范围时（）
A. ，， B. ，，
C. D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由已知先利用基本不等式求出的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．
【详解】因为、，且，
，
当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9，
若有解，则，解得或，
即实数的取值范围为，，．
故选：．
7. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据在上的单调性，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.
【详解】因为在上是单调的，
当时，，不满足条件；
当时，若在上单调递增，则，解得，
当时，若在上单调递减，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（）
A. B.
C. 为奇函数 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，，结合时，，可判断AB；求出函数的周期，进而可判断CD.
【详解】因为为奇函数，
所以，即，
则，所以，
因为为偶函数，
所以，即，
则，故A错误；
由当时，，得，
则，故B错误；
，则，
所以，
所以，故D正确；
对于C，由，得，
若为奇函数，则也为奇函数，
令，则为奇函数，则，
又，矛盾，
所以不是奇函数，即不是奇函数，故C错误.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的有（）
A. 全体奇数构成的集合可以表示为
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 集合与集合的交集是空集
D. 命题“”的否定是“”
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据集合的知识判断AC正确，根据范围的大小判断B正确，全称命题的否定得到D错误，得到答案.
【详解】全体奇数构成的集合可以表示为，A正确；
“”是“”的充分不必要条件，B正确；
集合与集合元素类型不同，交集是空集，C正确；
命题“”的否定是“”，D错误.
故选：ABC.
10. 给出以下四个判断，其中正确的是（）
A. 函数的值域为
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数定义域，值域，则满足条件的有个
D. 若函数，且，则实数值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用分离常数法结合不等式的基本性质可判断A选项；利用抽象函数定义域的求解原则可判断B选项；求出满足条件的集合，结合函数的概念可判断C选项；利用配凑法求出函数的解析式，结合求出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，
此时，，
则，则，
所以，函数的值域为，A对；
对于B选项，对于函数，，则，
所以，函数的定义域为，
对于函数，则，解得，
所以，函数的定义域为，B对；
对于C选项，由，可得，
所以，函数的定义域可以是：或或，
故满足条件的有个，C对；
对于D选项，由，
当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，其中或，
由可得，合乎题意，D错.
故选：ABC.
11. 下列命题中的真命题有（）
A. 当时，的最小值是3
B. 的最小值是2
C. 当时，的最大值是5
D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解；
对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果；
对C：直接利用基本不等式即可求得结果；
对D：取特殊值，即可判断正误.
【详解】对A：当时，，
当且仅当，即时取得等号，故A正确；
对B：，
令，则，令，
又在上单调递增，故，
故的最小值为，也即的最小值为，故B错误；
对C：，当且仅当，即时取得等号；
故当时，的最大值是,故C正确；
对D：因为，且，显然满足题意，
此时有，故D错误.
故选：AC.
12. 已知函数，以下结论正确的是（）
A. 在区间上先增后减
B.
C. 若方程在上有6个不等实根，则
D. 若方程恰有3个实根，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】求得在区间上解析式，并画出图象，对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】当时，，
.
当时，，
，
当时，.
由此画出在区间上的图象如下图所示，
A.由图可知，在区间上先增后减，A选项正确.
B.，
，
所以，B选项正确.
C.的图象与有个交点，不妨设，
结合二次函数的对称性可知，
，所以，C选项错误.
D. 方程恰有3个实根，即图象与直线有个公共点，
直线恒过点，
由消去并化简得，
，解得或（舍去）.
此时直线与的图象有个公共点，如图所示.
由消去并化简得，
，解得或（舍去），
此时直线与的图象有个公共点；
直线过点，斜率为，直线，
结合图象可知，要使图象与直线有个公共点，则需.
综上所述，，故D选项正确.
故选：ABD
【点睛】本题中的分段函数，有一部分的解析式没有直接给出，需要将具体的解析式求出，类似周期函数，可逐段求得函数的解析式，对于方程的根的问题，可转化为函数图象交点来研究.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知集合，且，则实数的值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值.
【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；
若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，
所以.
故答案为：3.
【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.
14. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，当时，___________．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数性质可得答案.
【详解】因是定义在R上的奇函数，则时，.
当，则，
又，则当时，.
故答案为：.
15. 已知，求的取值范围__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【详解】设,则解得
故，
由,故，
由,故，
所以.
故答案为：.
16. 已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：
①；
②；
③；
④.
上述结论中正确结论的序号是___________.
【答案】①④
【解析】
【分析】
先求出a，根据指数运算与指数函数性质依次讨论即可逐项排除得到答案.
【详解】点在函数（且）图象上，即，，，
∵对于函数定义域中的任意的，
有
∴结论（1）正确；
又，，，
∴结论（2）错误；
又是定义域上的增函数，
∴对任意的，不妨设，则，，，，
∴结论（3）错误；
又，
，
，
∴结论（4）正确；
故答案为：（1），（4）.
【点晴】本题考查命题真假判断，实质上是考查函数的性质．对于这种给出具体函数式的问题，只要把函数式代入一一验证即可，解决此类问题不能限入误区，认为这类问题都是有难度，没处下手，事实上最简单的方法反而是最好的方法．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据根式以及指数幂的运算法则即可化简求解，
（2）根据对数的运算法则和性质即可求解.
【小问1详解】
原式
．
【小问2详解】
原式
.
18. 已知集合，集合，.
（1）当时，求：①；②；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先解出集合，再利用集合的补集和交集运算求解即可；
（2）由，可知集合与集合没有公共元素，则有或，求解即可得答案.
【小问1详解】
当时，集合，且，，
所以或，
则，.
【小问2详解】
因为，又，，
当集合时，有：，解得：；
当集合时，有：或，
解得：或，
综上所述：实数的取值范围为：.
19. 已知幂函数在上单调递增，．
（1）求实数的值；
（2）当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用幂函数定义性质即可求解.(2)先求出和的值域，
再将命题是命题的必要不充分条件转化为集合间的关系，进而求出的取值范围
【小问1详解】
为幂函数，则，解得或，
又幂函数在上单调递增，，得.
【小问2详解】
由第一问得，在上递增，所以的值域为，即集合，
而在上递减，所以的值域为，即，
由命题是命题的必要不充分条件可得：A是B的真子集，所以，得，
的取值范围为.
20. 已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，，且.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数在上的奇偶性；
（3）解不等式.
【答案】（1）；
（2）是奇函数，证明详见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用赋值法求得正确答案.
（2）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义求得正确答案.
（3）利用函数的单调性求得不等式的解集.
【小问1详解】
由，
令得.
【小问2详解】
是奇函数，证明如下：
由，
令，得，
即，
所以是奇函数.
【小问3详解】
任取，，
，
由于，所以，
所以，
所以是减函数，
，
所以不等式即，
所以，
所以不等式的解集为.
21. 我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（利润销售额－固定成本－可变成本）
（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；
（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额－固定成本－可变成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
解：当时，
，
当时，，
故．
【小问2详解】
解：若时，，
当时，万元，
当时，，
当且仅当，即时，万元，
故年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
22. 已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a、b的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围.
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由可求得；根据奇函数定义知，由此构造方程求得a；
（2）将函数整理为，设，可证得，由此可得结论；
（3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为恒成立，利用判别式求解即可.
【小问1详解】
是定义在上奇函数，且，
，解得：，
，
，
，解得：；
当，时，，
，满足为奇函数；
综上所述：，；
【小问2详解】
由（1）得：；
设，则，
，，，
，
在上为减函数；
【小问3详解】
由得：，
又为上的奇函数，，
，
由（2）知：是定义在上的减函数，
，即恒成立，
所以只需，
解得，即实数取值范围为.
1河南省实验中学2023—2024学年上期期中试卷
高一数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设集合，则集合A的真子集个数是（）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 15
2. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3. 设a＝，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是()
A. a>c>b B. a>b>c
C.c>a>b D. b>c>a
4. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D.
5. 已知函数（，且），无论a取何值，图象恒过定点P．若点P在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
6. 已知，且，若有解，则实数的取值范围时（）
A. ，， B. ，，
C. D. ，
7. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（）.
A. B.
C. D.
8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（）
A. B.
C. 为奇函数 D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的有（）
A. 全体奇数构成的集合可以表示为
B. “”是“”充分不必要条件
C. 集合与集合交集是空集
D. 命题“”的否定是“”
10. 给出以下四个判断，其中正确的是（）
A. 函数的值域为
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数定义域，值域，则满足条件的有个
D. 若函数，且，则实数的值为
11. 下列命题中真命题有（）
A. 当时，的最小值是3
B. 的最小值是2
C. 当时，的最大值是5
D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3
12. 已知函数，以下结论正确的是（）
A. 在区间上先增后减
B.
C. 若方程在上有6个不等实根，则
D. 若方程恰有3个实根，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知集合，且，则实数的值为___________.
14. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，当时，___________．
15. 已知，求的取值范围__________．
16. 已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：
①；
②；
③；
④.
上述结论中正确结论的序号是___________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 已知集合，集合，.
（1）当时，求：①；②；
（2）若，求实数的取值范围.
19. 已知幂函数在上单调递增，．
（1）求实数的值；
（2）当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20. 已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，，且.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数在上的奇偶性；
（3）解不等式.
21. 我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（利润销售额－固定成本－可变成本）
（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；
（2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22. 已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a、b的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围.
1
