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北师大版 数学 九年级下册
第三章 圆
7 切线长定理
学习目标
1.掌握切线长定理,初步学会运用切线长定理进行计算与证明.(重点)
2.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
3.学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思想.(难点)
3.三角形的内心到三角形的 的距离相等.
如图,即OD=OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
复习回顾
1.切线的判定定理:过半径 且 于半径的直线是圆的切线.
2.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 .三角形内切圆的圆心叫做三角形的 .三角形的内心就是三角形的三条
的交点.
外端
垂直
内切圆
内心
角平分线
三边
一、创设情境,引入新知
P
O
B
A
问题1:上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线,如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢?
O.
P
A
B
直径所对的圆周角是直角.
问题2:过圆外一点P作圆的切线,可以作几条?请欣赏小颖同学的作法(如右下图所示)!
二、自主合作,探究新知
探究一:切线长的定义
P
1.切线长的定义:
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫作切线长.
A
O
①切线是直线,不能度量.
②切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
2.切线长与切线的区别在哪里?
二、自主合作,探究新知
探究二:切线长定理
B
P
O
A
议一议:PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.
(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线.
(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗?说说你的理由.
PA=PB,因为这个图形是轴对称图形,根据其性质“对应线段相等” 就可以得出PA=PB.也可以利用三角形全等来证明.
二、自主合作,探究新知
证明:如图,连接OA,OB.
∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点,
∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°,
∵ OA=OB,OP=OP,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL),
∴ PA = PB.
B
P
O
A
由Rt△AOP≌Rt△BOP,还可以得到∠OPA=∠OPB
二、自主合作,探究新知
切线长定理:
过圆外一点画圆的两条切线,它们的切线长相等.
注意:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
知识要点
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB
几何语言:
B
P
O
A
B
P
O
A
例1:PA、PB是⊙O的两条切线,A,B是切点,OA=3.
(1)若AP=4,则OP= ;
(2)若∠BPA=60 °,则OP= .
二、自主合作,探究新知
典型例题
5
6
(1)写出图中所有的垂直关系;
(3)写出图中所有的全等三角形;
(4)写出图中所有的等腰三角形.
(2)写出图中与∠OAC相等的角;
B
P
O
A
C
E
D
做一做:PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交⊙O于点D、E,交AB于点C.
二、自主合作,探究新知
OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP.
△AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP.
△APB, △AOB
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
O
P
A
B
C
E
D
例2:如图,PA、PB是☉O的两条切线,点A、B是切点,在弧AB上任取一点C,过点C作☉O的切线,分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7,∠P=40°.则⑴ △PDE的周长是 ;
⑵ ∠DOE= ____ .
二、自主合作,探究新知
解析:连接OA、OB、OC、OD和OE.
∵PA、PB是☉O的两条切线,点A、B是切点,∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
典型例题
二、自主合作,探究新知
O
P
A
B
C
E
D
又∵DC、DA是☉O的两条切线,点C、A是切点,∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC,OD=OD,
∴△AOD≌△COD,
∴∠DOC=∠DOA=∠AOC.
同理可得∠COE=∠COB.
∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠COB)=70°.
二、自主合作,探究新知
★切线长问题辅助线添加方法
(3)连接圆心和圆外一点.
(2)连接两切点;
(1)分别连接圆心和切点;
方法归纳
想一想:如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴进行交流.
二、自主合作,探究新知
∵ 四边形ABCD为圆外切四边形,
根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH.
E
F
G
H
图中线段还有其他的等量关系吗?
AH+DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG,
即AD+BC=AB+CD.
归纳:圆的外切四边形的两组对边之和相等.
例3:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径.
二、自主合作,探究新知
典型例题
还有没有其他解法?
解:如上图,连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF,设OD=r.
在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,
∴ AB===26.
∵ ⊙O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,
∴ OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF.
又∵ ∠C=90°,∴ 四边形OECF为正方形.
∴ CE=CF=r,∴ BE=24-r, AF=10-r,
∴ AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r,
而AB=26,∴ 34-2r=26,
∴ r=4,即⊙O的半径为4.
二、自主合作,探究新知
【解法2】如图,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,
在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,
∴ AB=
=26.
∵ ⊙O分别与AB,BC,AC相切于点D,E,F,
∴ OD⊥AB,OE⊥BC ,OF⊥AC.
设⊙O的半径为r,
∵ S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC,
∴ AC·BC=AB·r+BC·r+AC·r,
∴ r=4,即⊙O的半径为4.
三、即学即练,应用知识
1.如图,PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B,下列结论中,错误的是( )A.∠APO =∠BPO B.PA = PB C.AB ⊥OP D.PA = PO
D
2.如图,PA,PB,CD分别与⊙O相切于点A,B,E,若PA=7,则△PCD的周长为( )A.7 B.14 C.10.5 D.10
B
4.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠ACB=70°,那么∠OPA的度数是______°.
3.如图,AD,DC,BC都与⊙O相切,且AD∥BC,则∠DOC= °.
三、即学即练,应用知识
90
20
5.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点,如图,已知AF=3, BD+CE=12, 则△ABC的周长是 .
24
A
B
C
F
E
D
O
第5题
第4题
第3题
6.如图,AB,AC,BD是⊙O的切线,P,C,D为切点,AB=5,AC=3,求BD的长.
三、即学即练,应用知识
解:∵ AC,AP为⊙O的切线,∴ AC=AP.∵ BP,BD为⊙O的切线,∴ BP=BD,∴ BD=PB=AB-AP=5-3=2.
7.如图,在△ABC 中,∠ABC=50 ,∠ACB=75 ,点O是△ ABC的内心,求∠BOC的度数.
三、即学即练,应用知识
解:∵点O是△ABC 的内心,
∴∠OBC =∠ABC =×50 = 25 ,
∠OCB =∠ACB =×75 =37.5 .
在△OBC 中,∠BOC =180 - ∠OBC - ∠OCB
=180 - 25 - 37.5 = 117.5 .
四、课堂小结
切线长
作用
依据
辅助线
切线长定理
图形的轴对称性
提供了证线段和角相等的方法
分别连接圆心和切点;
连接两切点;
连接圆心和圆外一点.
经过圆外一点作圆的切线,这点和切
点之间的线段的长叫作切线长.
过圆外一点画圆的两条切线,它们的
切线长相等.
切线长定理
2.如图,PC,PB分别切☉O于点C,B,若AB是☉O的直径,∠P=70°,则∠A的度数为( )
A. 55 ° B.60°
C.70° D.80°
B
A
P
C
O
1.如图,PA,PB与☉O分别相切于点A,B,PA=2,∠P=60° ,则AB等于( )
A. B.2 C. D.3
五、当堂达标检测
B
A
5.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点为A、B,
∠P= 50 °,点C是⊙O上异于A、B的点,则∠ACB= .
B
P
O
A
4.如图,已知点O是△ABC 的内心,且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
A
B
C
O
3.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
B
P
O
A
五、当堂达标检测
20 °
4
110 °
65 °或115 °
6.△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.
五、当堂达标检测
解:设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC可得
13-x+9-x=14,
解得x=4.
∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
教材习题3.9;
六、布置作业