必修四模块测试卷
（150分，120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．〈易错题〉下列说法中正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；
②两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
③△ABC中，若·＞0，则△ABC为锐角三角形；
④△ABC中，若·＜0，则△ABC为钝角三角形.
A.①③ B.②④ C.③ D. ④
2．在△ABC中，①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③tantan；④cossin，其中恒为定值的是（ ）
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
3．〈赣州一模〉向量a,b满足=2,a·b=, =2,则向量a,b夹角的余弦为( )
A. B. C. D.
4．已知函数y=sin－m在上有两个零点，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5．〈创新题〉定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b=(p,q)，令a⊙b=mq－np，下面说法错误的是（ ）
A.若a与b共线，则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a
C.对任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
6．〈赣南冲刺训练〉平面上有四个互异的点A，B，C，D，满足(－)·(－)＝0，则三角形ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
7．〈浙江能力提升训练〉 设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于 ( )
A. B. C. D.
8．〈名师预测〉已知点O为△ABC所在平面内一点，且2+2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
9．北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是,则sin2θ－cos2θ的值等于（ ） 图1
A.1 B.－ C. D.－
10．使函数f(x)=sin(2x+θ)+ cos(2x+θ)是奇函数，且在上是减函数的θ的一个值
是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．〈重庆一轮复习〉已知向量a＝(1,3)，b＝(－3，4)，则a在b方向上
的投影为______.
12．函数f(x)＝Asin(ωx＋) (x∈R，A＞0，ω＞0,0＜＜)的部分图
像如图2所示,则f(x)的解析式为______. 图2
13．〈山东师大附中高三第四次模拟测试〉在四边形ABCD中，==（1,1），·+·=·,则四边形ABCD的面积为______.
14．〈江苏能力训练〉不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为______.
15．给出下列命题：
(1)存在实数x，使sinx+cosx＝;
(2)若α，β是锐角△ABC的内角，则sinα>cosβ;
(3)函数y＝sin是偶函数；
(4)函数y＝sin2x的图像向右平移个单位，得到y＝sin的图像.
其中正确命题的序号是______.
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或步骤）
16．求函数y=(sinα+a)(cosα+a)(0＜a≤)的最值.
17．(12分)〈徐州高一期末考〉设向量a,b满足|a|=|b|=1,|3a－b|=.
（1）求|a+3b|的值；
（2）求3a－b与a+3b夹角的正弦值.
18．(12分)已知向量a=(sinx,－1)，b=.
(1)当a∥b时，求cos2x－3sin2x的值；
(2)求f(x)=(a+b)·b的最小正周期和单调递增区间.
19．(12分) 已知定义在R上的函数f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的周期为π，且对一切x∈R，都有f(x)≤f =4 ；
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）若g(x)=f ,求函数g(x)的单调增区间.
20．(13分)〈江苏冲刺训练〉已知向量a=(mx2,－1),b= (m是常数).
(1)若f(x)=是奇函数，求m的值;
(2)若向量a,b的夹角θ为中的值，求实数x的取值范围.
21．(14分)〈山东专训〉已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|的值；
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.
参考答案及点拨
一、1．D 点拨：平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，故①错；平行向量包含两向量在一条直线上的情况，故②错；·＞0，只能说明∠A是锐角，不能排除∠B或
∠C是钝角，故③错，；·＜0说明∠A是钝角，故④对.
2．B 点拨：①sin(A+B)+sinC=2sinC；②cos(B+C)+cosA=0；③tantan=1；④cossin=sin2,故选B.
3．D 点拨：设向量a,b的夹角为θ.
∵|a+b|=2,∴a2+2a·b+b2=8,∴|b|=1，∴cosθ= =.
4．C 点拨：问题等价于函数f(x)=sin的图像与直线y=m在上有两个交点，所以m的取值范围为.正确答案为C.
5．B 点拨：因为b⊙a=pn－qm，而a⊙b=mq－np，所以a⊙b≠b⊙a，故选项B错误，选B.
6．B 点拨：由(－)·(－)＝0，得(－)·(+)＝0，即(－)·＝0，(－)·(+)＝0，即2－2＝0，所以||＝||，故三角形ABC为等腰三角形.
7．C 点拨：依题意得， sin Acos B＋cos Asin B＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sin C＋cos C＝1，2sin＝1，sin＝.又＜C＋＜，因此C＋＝，C＝，选C.
8．C 点拨：由2+2＝2＋2,得2+2＝2＋2,得=.∴·=0,O在边AB的高线上.同理O在边AC的高线上，即O为
△ABC的垂心.
9．D 点拨：(cosθ－sinθ)2=cosθ－sinθ=±，∵θ∈,∴cosθ－sinθ=,2cosθsinθ=， ∴sin2θ－cos2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ－cosθ)=－(sinθ+cosθ)=
－ =－=－.
10．B 点拨：∵f(x)=sin(2x+θ)+ cos(2x+θ)=2sin是奇函数，∴f(0)=0，故A,C错误；又∵f(x)在上是减函数,∴当θ=时f(x)=－2sin2x成立.
二、11． 点拨：a在b方向上的投影为＝＝.
12． f(x)＝2sin 点拨:由题图知A＝2，＝，则＝4×，∴ω＝.又f ＝2sin＝2sin＝0，∴sin＝0，∵0＜＜，∴＜＜，∴＝0，即＝，∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
13． 点拨：由==(1,1)可得||=||=且四边形ABCD是平行四边形，再由·+·=·可知D在∠ABC的平分线上，且以及上单位向量为边的平行四边形的一条对角线(如答图1)是PB=,因此∠ABC=,AB=BC,所以
S四边形ABCD=ABsin·BC=×sin=,该题由==(1,1)考查向量相等的概念，由·+·=·考查向量的加法的几何意义.
答图1
14．a≥1或a≤－2
点拨：由题意，acosx+a2≥cos2x+cosx，即cos2x+（1－a）cosx－a2≤0对任意x∈R成立.令
f（t）=t2+（1－a）t－a2(t=cosx,－1≤t≤1),∴解得a≤－2或a≥1.
15．（1）（2）（3） 点拨：(1) sinx+cosx=sin∈[－，]，而∈[－，],故（1）成立;
(2)锐角△ABC中，α+β＞α＞－βsinα＞sinsinα＞cosβ;
(3) y=sin=sin=cos是偶函数；
(4) y=sin2x的图像向右平移个单位为y=sin2=sin的图像，与y＝sin的图像不同；故其中正确命题的序号是：（1）（2）（3）.
三、16．解： 设sinα+cosα=t(－≤t≤),
则sinαcosα=,于是
y= (t2－1)+at+a2
=t2+at+a2－
= (t+a)2+a2－.
∵0
∴当t=－a时，y最小=a2－；
当t=时，y最大=a2+a+.
17．解：(1)由|3a－b|=,得(3a－b)2=5,所以9a2－6a·b+b2=5,因为a2=b2=1,所以a·b=.因此(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=15,所以|a+3b|=.
(2)设3a－b与a+3b的夹角为θ,因为(3a－b)·(a+3b)=3a2+8a·b－3b2=,则cosθ==,因为0°≤θ≤180°,所以sinθ= ==,所以3a－b与a+3b的夹角的正弦值为.
18．解：(1)由a∥b得sinx+cosx=0，即tanx=－，
所以cos2x－3sin2x= = =.
(2) 因为a=(sinx,－1)，b=；所以a+b=；
f(x)=(a+b)·b=(sinx+cosx)cosx+= (sin2x+cos2x)+ =sin+；所以最小正周期为π;由2kπ－<2x+<2kπ+得kπ－19．解：(1)∵f(x)=asinωx+bcosωx= sin(ωx+)(其中cos =,sin=
),又周期T= =π, ∴ω=2,∵对一切x∈R，都有f(x)≤f =4,
∴解得：∴f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+2cos2x.
(2)∵g(x)=f =4sin=4sin=－4sin.
∴g(x)的增区间是函数y=sin的减区间.∴由2kπ+≤2x－≤2kπ+得g(x)的增区间为 (k∈Z).
20．解： (1)由题知a·b=－x =,所以f(x)= =m－，由题知对任意不为零的实数x, 都有f(－x)=－f(x),即m+=－m+恒成立，所以m=0.
（2）由题知a·b>0,所以>0,即x(mx－1)>0,①当m=0时，x<0；②当m>0时，
x>0；所以x<0或x>；③当m<0时，x<0，所以综上, 当m=0时，实数x的取值范围是x<0；当m>0时, 实数x的取值范围是x<0或x>；当m<0时, 实数x的取值范围是21．解：(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos2x.
|a＋b|＝＝＝2.
∵x∈，∴cosx≥0，∴|a＋b|＝2cosx.
(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.
∵x∈，∴0≤cosx≤1.
①当λ<0时，当且仅当cosx＝0时，
f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，
f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，
解得λ＝（负值舍去）；
③当λ>1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，
解得λ＝，这与λ>1相矛盾.
综上所述，λ＝即为所求.
第一章达标测试卷
（150分，120分钟）
一、选择题（每题5分，共计50分）
1．下列命题中不正确的个数是（ ）
①小于90°的角是锐角；②终边不同的角的同名三角函数值不等；
③若sinα>0，则α是第一、二象限角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cosα＝.
A．1 B．2 C．3 D．4
2.若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则的值等于（ ）
A．2或－2 B．－2或0 C．2 D．0或2
3．函数y＝的周期为（ ）
A．3π B．4π C．5π D．6π
4．函数f(x)＝的单调递增区间为（ ）
A.，k∈Z B．，k∈Z
C. ，k∈Z D. ，k∈Z
5．在区间［－π，π］上既是增函数，又是奇函数的是（ ）
A．y＝sin2(π－x) B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝cos
6．函数f(x)＝sin的图像相邻的两个零点之间的距离是（ ）
A. B. C. D．2π
7．函数y＝cos的图像的一个对称中心为（ ）
A. B. C. D.
8.要得到函数y=3cos的图像，可以将函数y=3sin2x的图像（ ）
A．沿x轴向左平移个单位 B．沿x轴向右平移个单位
C．沿x轴向左平移个单位 D.沿x轴向右平移个单位
9.〈浙江卷〉已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图像不可能是图1中的（ ）
图1
10.若a为常数，且a＞1，0≤x≤2π，则函数f(x)=cos2x+2asinx－1的最大值为（ ）
A.2a+1 B.2a－1 C.－2a－1 D.a2
二、填空题（每题5分，共计25分）
11．要得到y＝sin的图像，需将函数y＝sin的图像至少向左平移_______个单位．
12．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)的图像的一条对称轴为直线x＝，则a=_______．
13．有一种波，其波形为函数y＝sin的图像，若在区间［0，t］上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t的最小值是_______．
14．cos－tan＋tan2＋sin＋cos2＋sin＝________.
15．若函数y＝f(x)同时具有性质：
①是周期函数且最小正周期为π；
②在上是增函数；
③对任意x∈R，都有f ＝f .
则函数y＝f(x)的解析式可以是____________．(只需写出满足条件的函数y＝f(x)的一个解析式即可)
三、解答题（要求写出解答过程，18，19，20题每题13分，其余每题12分，共计75分）
16.是否存在α，β，α∈，β∈(0,π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α,β的值，若不存在，请说明理由．
17.设函数f(x)＝sin(2x＋)(－π<<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
（1）求的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)在图2中画出函数y＝f(x)在区间［0，π］上的图像．
图2
18.〈北京文卷(文)〉函数f(x)=3sin 的部分图像如图3.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
图3
19.图4为函数y1＝Asin(ωx＋)的一段图像，已知A>0，ω>0，∈.
(1)写出函数y1的解析式；
(2)若函数y2与y1的图像关于直线x＝2对称，求函数y2的解析式．
图4
20.〈浙江海宁一中〉已知函数f（x）=2asin+b的定义域为，值域为［－5,1］，求a和b的值．
21.测谎仪是一种通过人的脑电波的变化，来判断被测人是否说谎的一种仪器，对于某一语言刺激，没说谎的人的脑电波一般是正弦波，而说谎的人的脑电波则是锯齿波.下面是询问某一问题时，一个没说谎的人脑电波的数据：
t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
y
－4
0
4
0
－4
若就同一个问题询问另一个人时，得到以下脑电波数据：当t=0.1时，y=－1，当t=0.5时，y=3.6，根据这些数据，判断此人是否说谎？
参考答案及点拨
一、1. D 点拨：对于①，负角小于90°，但不是锐角．和终边不同，但正弦值相等，所以②错．sin＝1，但不是第一、二象限角，是轴线角，所以③错，对于④，由定义cosα＝，知④也不对．
2. B 点拨：由题意知α的终边在第二或第四象限．
当α的终边在第二象限时，tanα<0，sinα>0，∴原式＝－1＋1＝0.
当α的终边在第四象限时，tanα<0，sinα<0，∴原式＝－1＋(－1)＝－2.
3. A 点拨：∵y＝sin的周期T＝6π，∴y＝的周期为3π.
4. C 点拨：由题知x＋∈，∴x∈ (k∈Z)，故选C.
5. D 点拨：y＝cos＝sin在区间［－π，π］上已知是增函数，又是奇函数．
6. B 点拨：函数f(x)＝sin的图像相邻的两个零点之间的距离为半个周期，∵T＝
7. C 点拨：y＝cos＝cos，令3x－＝kπ＋ (k∈Z)，∴x＝ (k∈Z)．当k＝0时，x＝，故选C.
8. A 9. D
10. B 点拨：f(x)=1－sin2x+2asinx－1=－sin2x+2asinx.
令sinx=t，∴t∈［－1，1］，∴y=－t2+2at=－(t－a)2+a2，t∈［－1，1］.
∵a>1,∴当t=1时，函数取得最大值，为2a－1.
二、11. 点拨：将函数y＝sin的图像向左平移个单位，得到y＝sin的图像．
12. 点拨：由题意，得f(0)＝f ，即asin0＋cos0＝asin＋cos，∴a＝，∴a＝.
13. 5 点拨：∵T≤t，∴×≤t，∴t≥5.
14. －1 点拨：原式＝cos－tan＋tan2＋sin＋cos2＋sin＝cos－tan＋tan2－sin＋cos2－sin
＝－1＋×－＋－1＝－1.
15. f(x)＝sin 点拨：答案不唯一．
三、16. 解：由条件得：①2＋②2得：sin2α＋3cos2α＝2．
∴cos2α＝．∵α∈，∴α＝或－．将α＝代入②得：cosβ＝，又∵β∈(0,π)，∴β＝，代入①适合，将α＝－代入①得sinβ＜0，不适合，综上知存在满足题设．
17. 解：(1)∵直线x＝是函数y＝f(x)的图像的一条对称轴，
∴sin（2×+）＝±1.∴＋＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<<0，∴＝－.
(2)由(1)知＝－，因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调增区间为，k∈Z.
(3)由y＝sin知
x
0
y
－1
0
1
0
故函数y＝f(x)在区间［0，π］上的图像如答图1.
答图1
18. 解：（1）f(x)的最小正周期为π，x0=，y0=3.
（2）因为x∈，所以2x+∈.
于是，当2x+=0，即x=时，f(x)取得最大值0；当2x+=－，即x=－时，f(x)取得最小值－3.
19. 解：(1)由题图知A＝2，T＝8，ω＝.
当x＝7时，有0＝2sin，
∴∈.
又∵∈，所以＝.∴y1＝2sin；
(2)设y2图像上任一点P(x，y)，点P关于直线x＝2的对称点为Q(x0，y0)，即Q(4－x，y)在y1图像上，有y＝2sin，即y＝2sin，即y＝2sin，∴y2＝2sin.
20. 解：∵0≤x≤,∴－≤2x－≤π－=.
∴－≤sin≤1.
当a>0时，则
当a<0时，则
21. 解：根据数据，设y=Asin(ωt+)(A＞0,ω＞0,－π＜＜π)为刻画脑电波变化的模型，易知A=4，最小正周期T=0.8，所以ω==，所以y=4sin,把(0.2，0)代入此解析式，可得4sin=0，解得=－，所以没说谎的人的脑电波可用函数y=4sin=－4cos来表示.
当t=0.1时，y=－4cos≈－2.828；当t=0.5时，y=－4cos≈2.828，可见用函数模型求出的数据和实测数据的差异较大，故可判断此人说谎.
第三章过关测试卷
（150分，120分钟）
一、选择题：（每题5分，共计50分）
1．已知sinθ=－,3π<θ<π，则tan的值为（ ）
A. B.－ C.3 D.－3
2．若sinα=,cos(α+β)=－,且α,β是锐角，则β等于（ ）
A. B. C. D.
3.若tan α=－,则的值是（ ）
A． B．－ C． D．－
4.在△ABC中，若4sinA＋2cosB＝1,2sinB＋4cosA＝3，则sinC的大小是（ ）
A．－ B. C. 或 D.
5.设tanα,tanβ是方程x2－3x+2=0的两个根,则tan(α+β)的值为（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
6．若θ∈,sin2θ=,则sinθ等于（ ）
A． B． C． D．
7.已知sinα－cosα=,α∈(0,π),则tanα等于（ ）
A．－1 B．－ C． D．1
8．若tanθ+ =4,则sin2θ=（ ）
A． B． C． D．
9.函数f(x)=sinx－cos的值域为（ ）
A．［－2,2］ B． C．［－1,1］ D．
10.设△ABC的三个内角为A,B,C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（每题5分，共计25分）
11.在△ABC中，cos，则cos2A=_________．
12.cos2－cos2的取值范围是_________．
13.已知函数f(tanx)＝sin2x，x∈,则f ＝________.
14.定义一种运算ab=令f(x)=(cos2x+sinx) ,且x∈，则函数f 的最大值是_________.
15.〈山西四校联考〉已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωx·cosωx，x∈R，又f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为π，则正数ω=__________．
三、解答题：（共计75分）
16.(本小题满分12分)求的值.
17.(本小题满分12分)
已知0＜α＜,β为f(x)=cos的最小正周期，a=(cosα,2),b=,且a·b=m.求的值.
18.(本小题满分12分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，a＝(sinB＋cosB，cosC)，b＝(sinC，sinB－cosB)．
(1)若a·b＝0，求角A；(2)若a·b＝－，求tan2A.
19.（本小题满分13分）已知向量m=(1,cosωx),n=(sinωx,)(ω>0),函数f(x)=m·n，且f(x)图像上一个最高点为P，离P最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f(x)=a在区间上解的个数.
20.（本小题满分13分）将一块圆心角为120°，半径为200 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图1,有两种截法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行．请问：哪种截法能得到最大面积的矩形?并求出最大面积．
图1
21.(本小题满分13分)已知函数f(x)＝Asin2(ωx＋)（A>0,ω>0,0<<），且f(x)的最大值为2，其图像相邻两条对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．
(1)求；
(2)计算：f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)．
参考答案及点拨
一、1. D 点拨：易知cosθ=－,利用tan =可求．
2. A 点拨：∵α,β都是锐角，∴0<α+β<π,∴sin(α+β)=.
易得cosα=,利用cosβ=cos［(α+β)－α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα求β．
3. A
4. D 点拨：由题设条件得：(4sinA＋2cosB)2＝1，(2sinB＋4cosA)2＝27，∴20＋16sinAcosB＋16sinBcosA＝28.∴sinAcosB＋cosAsinB＝.即sin(A＋B)＝，∴sinC＝sin［π－(A＋B)］＝sin(A＋B)＝.
5. A 点拨：tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2tan(α+β)= =－3.
6. D 点拨：因为θ∈.所以2θ∈,cos2θ<0,所以cos2θ=－=－.由cos2θ=1－2sin2θ=－,得sin2θ=,sinθ=,选D.
7. A 点拨：方法一：∵sinα－cosα=,∴sin＝,
∴sin=1.∵α∈(0,π),∴α=,∴tanα=－1,故选A.
方法二：∵sinα－cosα=,∴(sinα－cosα)2=2,∴sin2α=－1.
∵α∈(0,π),∴2α∈(0,2π),∴2α=,α=.∴tanα=－1,故选A.
8. D 点拨：本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为tanθ+ = + = =4,所以sin2θ=.
9. B 点拨：f(x)=sinx－cos=sinx－cosx+sinx=sin,∵sin∈
[－1,1],∴f(x)的值域为.
10. C 点拨：∵m· n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝1，∴sinC＋cosC＝1，即2sin＝1.∴sin＝，∴＝，∴C＝.
二、11. 点拨：在△ABC中，cos＝>0，
∴sin＝＝.
∴cos2A＝sin＝sin＝2sincos＝2××＝.
12. [－1,1] 点拨：cos2－cos2==+sin2x－=sin2x,∵x∈R，∴sin2x∈[－1,1]．
13. 点拨：∵f(tanx)=sin2x=,即f(x)=，
∴f ==.
14. 点拨：令g(x)=cos2x+sinx，则g(x)=1－sin2x+sinx=－+≤,∴由运算定义可知，f(x)=g(x)=－+.∴当sinx=，即x=时，该函数取得最大值.由图像变换可知，所求函数f 的最大值与函数f(x)在区间上的最大值相同.
15. 点拨：f(x)＝.
又由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为π，可知T＝3π，于是ω＝.
三、16. 解：方法一：原式＝＝
－2cot10°·tan10°＝－2.
方法二：原式＝
＝－2.
17. 解：∵a·b=cosα·tan－2=m,
∴cosα·tan=m+2.
又∵0<α<,β=π,
∴=== ==2cosα·tan =2(2+m).
18. 解：(1)由已知a·b＝0，得(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝0.
化简，得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0，即sinA＋cosA＝0，
∴tanA＝－1.
又∵A∈(0，π)，∴A＝π.
（2）∵a·b＝－，∴sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－.∴sinA＋cosA＝－.①
对①平方，得2sinAcosA＝－<0，∴A∈.∴sinA－cosA＝.②
由①②，得sinA＝，cosA＝－，∴tanA＝－.∴tan2A＝.
19. 解：（1）f(x)=m·n=sinωx+cosωx=
2.
∵f(x)图像上一个最高点为P，离P最近的一个最低点的坐标为,
∴,∴T=π,于是ω= =2.
∴f(x)=2sin.
（2）当x∈时，≤2x+≤,
由f(x)=2sin的图像可知：
当a∈［,2)时，f(x)=a在区间上有两个解；
当a∈［－,）或a=2时，f(x)=a在区间上有一个解；
当a＜－或a＞2时，f(x)=a在区间上无解.
20. 解：如答图1①，连接OM，令∠AOM=θ，则0°＜θ＜90°.在Rt△OMP中，MP=
200sinθ，OP=200cosθ，所以S矩形OPMN=20 000sin2θ.
答图1
当2θ=90°，即θ=45°时，S矩形OPMN取得最大值20 000．
如答图1②，作OC⊥PQ于点C，MS⊥OA于点S，连接OM，令∠AOM=θ，则0°＜θ＜60°.在Rt△OMS中，MS=200sinθ，OS=200cosθ.因为扇形圆心角为120°，PQ∥AB，所以∠COQ=60°,所以在Rt△MQS中，∠MQS=60°，MQ=MS×sinθ，
QS=MQ=sinθ. 在Rt△OCQ中，
CQ=OQ= (OS－QS)=×=100cosθ－100sinθ.
所以S矩形MNPQ=2CQ×MQ=200(cosθ－sinθ)×sinθ
= (cosθ－sinθ)sinθ= (sinθcosθ－sin2θ)=
==.
当2θ+30°=90°，即θ=30°时，S矩形MNPQ取得最大值．
比较两种截法得到矩形面积的最大值可知，第二种截法能得到最大面积的矩形，最大面积为 cm2．
21. 解：（1）f(x)＝Asin2(ωx＋)＝－cos(2ωx＋2)．
∵f(x)的最大值为2，A>0，∴＋＝2，A＝2.
又∵其图像相邻两条对称轴间的距离为2，ω>0，∴·＝2，ω＝.
∴f(x)＝1－cos.∵f(x)的图像过点(1,2)，
∴cos＝－1.
∴2＝2kπ＋，k∈Z，∴＝kπ＋，k∈Z.又∵0<<，
∴＝.
(2)方法一：∵＝，∴f(x)＝1－cos＝1＋sin.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4.又∵y＝f(x)的最小正周期为4，2 014=4×503+2，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＝4×503＋f(2 013)＋f(2 014)＝
2 012＋f(1)＋f(2)＝2 012＋2＋1＝2 015.
方法二：∵f(x)＝2sin2，
∴f(1)＋f(3)＝2sin2＋2sin2＝2sin2＋2cos2＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2＋2sin2(π＋)=2cos2+2sin2＝2.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4.
又∵f(x)的最小正周期为4,2 014＝4×503+2，∴f(1)＋f(2)＋…+f(2 012)+f(2 013)＋f(2 014)＝4×503+2+1＝2 015.
第二章达标测试卷
（100分，45分钟）
一、选择题（每题6分，共36分）
1．〈南昌二中基础检测〉下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的 是（ ）
A．a=(0,0)，b=(1,－2) B．a=(－1,2)，b=(2,－4)
C．a=(3,5), b=(6,10) D．a=(2,－3), b=(6,9)
2．〈易错题〉给出下列命题
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
图1
3．〈课时跟踪训练〉如图1，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的
是（ ）
A. B. C. D.
4．〈莱芜12月模拟〉已知向量a=(1,2)，b=(0,1)，设u=a+kb,v=2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )
A.－ B.－ C.－ D.－
5．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c,∣a∣=∣c∣,则∣b·c∣的值一定等于（ ）
A．以a，b为两边的三角形面积 B.以b，c为两边的三角形面积
C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D.以b，c为邻边的平行四边形的面积
6．〈三明普通高中高三模拟〉关于x的方程ax2+bx+c=0（其中a、b、c都是非零平面向量），且a、b不共线，则该方程的解的情况是（ ）
A.至多有一个解 B.至少有一个解
C.至多有两个解 D.可能有无数个解
二、填空题（每题6分，共24分）
7．若A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC的形状是________.
8．〈青岛二模〉已知直线y=x+a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且·=0，其中O为坐标原点，则正实数a=__________.
9．〈太原太远五中高三月考〉已知a+b+c=0，且a与c的夹角为60°，a与b的夹角为θ，
｜b｜=｜a｜，则cosθ=_________.
图2
10．如图2，平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝2，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ=________.
三、解答题（11题8分，12题14分，13题18分，共40分）
11．如图3，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，又＝,=,试用a、b表示，，.
图3
12.〈浙江温州十校联合体高三测试〉已知=(－1，1), =(0，－1), =(1，m)(m∈R)．
（1）若A,B,C三点共线，求实数m的值；
（2）证明：对任意实数m，恒有·≥1成立.
13．〈名师预测〉已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)当点M在第二或第三象限时，求t1,t2满足的条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线；
(3)若t1＝a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值．
参考答案及点拨
一、1. D 点拨：非零不共线向量才能作为基底，故只有D.
2. D
3. A 点拨：由于⊥，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是120°，故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，则·＝||||cos30°＝a2，·＝||||cos60°＝a2.
4. B 点拨：v=2(1,2)－(0,1)=(2,3),u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),因为u∥v,所以2(2+k)－1×3=0,解得k=－,选B.
5. C 点拨：设b,c的夹角为θ，a，b的夹角为，依题意可得｜b·c｜=｜b｜｜c｜｜cosθ｜=｜b｜｜a｜｜sin｜=S平行四边形.故选C.
6. A 点拨：本题主要考查平面向量基本定理、向量相等以及方程的解的相关知识，属于基础知识、基本计算的考查.
由已知，x是实数.关于x的方程ax2+bx+c=0（其中a、b、c都是非零向量）可化为c=－x2a－xb,a、b不共线且为非零平面向量，由平面向量基本定理，存在唯一实数对（m,n）使c=ma+nb.于是故至多有一个解.
二、7. 直角三角形 点拨：=（1，1），=（－3，3），·=0，故⊥.
8. 2 点拨：因为·=0，所以OA⊥OB,即三角形AOB为直角三角形，所以AB=R=2,所以圆心到直线y=x+a的距离为，又=,所以｜a｜=2,a=2.
9. － 点拨：∵a+b+c=0,∴b=－(a+c),∴b2=a2+c2+2｜a｜｜c｜cos60°,
∴3a2=a2+c2+｜a｜｜c｜,∴2a2－｜a｜｜c｜－c2=0,∴｜a｜=｜c｜,
∴a·b=－a·(a+c)=－a2－a·c=－｜a｜2－｜a｜｜c｜cos60°=－｜a｜2，
∴cosθ= =－.
10. 6 点拨：过C作OA与OB的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=
90°，∠AOC=30°，｜｜=2得平行四边形的边长为2和4，故λ+μ=2+4=6.
三、11. 解: =a+b, =a+b,=a－b.
点拨：考查平面向量基本定理与向量加减法法则的综合应用.
12.（1）解：=（－2，1－m）, =(1,－2)，
因为A，B，C三点共线，所以－2=－,得m=－3.
（2）证明：因为=（－2，1－m）, =(－1,－1－m),所以·=2－(1－m2)=m2+1≥1.所以恒有·≥1.
13.（1）解：＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，有
故t2<0且t1＋2t2≠0.
(2) 证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．
∵＝－＝(4,4)，
＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4,4)＝t2，
∴A，B，M三点共线．
(3) 解：当t1＝a2时，＝(4t2，4t2＋2a2)．
又＝(4,4)，⊥，∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，
∴t2＝－a2，故＝(－a2，a2)．
又||＝4，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝|a2－1|.
∵S△ABM＝12，
∴||·d＝×4×|a2－1|＝12，
解得a＝±2，故所求a的值为±2.
