【提升卷】3.8圆内正多边形—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2021九上·慈溪期末）一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．3：2 B． C． D．
2．（2023·安徽）如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A． B． C． D．
3．内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）.
A． B． C．3：2 D．1：2
4．（2023·蓝田模拟）如图，正五边形内接于，点F在弧上.若，则的大小为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．58°
5．（2023·余杭模拟）如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·太原模拟）如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则的度数为（ ）
A．60° B．72°
C．144° D．随着点的变化而变化
7．（2023·锦江模拟）如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2023九上·雨花月考）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·重庆）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
10．（2023·临渭模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
11．（2023·武功模拟）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”．如图所示，现有一斛，其外圆直径为5尺（古代长度单位），两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，则此斛底面的正方形的边长为 尺．
12．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是
13．（2023九上·西山期中）如图是昆明西山的著名景点升庵亭，它的地基是半径为2m的正六边形，则该正六边形的边心距是 ．
三、解答题
14．（2019九上·鼓楼期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
15．如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数．
16．（2022·九江模拟）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中的边上求作点，使；
（2）在图2中的边上求作点，使．
17．（2021·慈溪模拟）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为O，直径为 .
（1）求这个正十边形的边长 .
（2）求这个正十边形的面积.（参考数据： ）
18．如图甲所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答相关问题：
作法如图乙所示.①作直径AF.②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.③连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗 请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
19．（2020九上·临江期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，如图，在圆内接正方形ABCD中，OA=OB=R，∠AOB=90°，
∴圆内接正方形的边长为=R.
在圆内接正六边形ABCDEF中，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴圆内接正六边形的边长为R，
∴一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为R：R=1：.
故答案为C.
【分析】设圆的半径为R，画出圆内接正方形以及正六边形图形，计算出圆内接正方形、内接正六边形的边长，然后作比即可.
2．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，所以∠BAE=180°-360°÷5=108°，∴∠COD=360°÷5=72°，所以∠BAE-∠COD=108°-72°=36°。
故答案为：D。
【分析】根据正五边形的性质，分别计算∠BAE和∠COD，再把它们相减即可。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图CD是正方形的一边，AB是正三角形的一边，过点O作OE⊥CD于点E，OH⊥AB于点H，连接OD，OA，
设圆O的半径为r，
∴AB=2AH，CD=2DE，∠EOD=45°，∠AOH=60°，
∴∠OAH=90°-60°=30°，
∴OH=AO=，
∴，
∴；
∵∠D=∠EOD=45°，
∴OE=ED，
∴2DE2=r2
解之：，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】如图CD是正方形的一边，AB是正三角形的一边，过点O作OE⊥CD于点E，OH⊥AB于点H，连接OD，OA，设圆O的半径为r，利用垂径定理和正多边形的性质可证得AB=2AH，CD=2DE，∠EOD=45°，∠AOH=60°，可求出∠OAH的度数，同时可证得OE=ED，利用勾股定理可表示出AH、DE的长，即可等等AB，CD的长，然后求出它们的比值.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正五边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接OE、OD、CE，根据n边形内角和公式以及正多边形的性质可得∠CDE=108°，则∠FDE=∠CDE-∠CDF=12°，由圆周角定理可得∠FCE=∠FDE=12°，由外角和为360°可得∠EOD=360°÷5=72°，由圆周角定理可得∠ECD=∠EOD=36°，然后根据∠FCD=∠FCE+∠ECD进行计算.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=AB.
∵正九边形，
∴∠AOB=360°÷9=40°，
∴∠AOC=20°，
∴AC=OA·sin20°=R·sin20°，
∴AB=2AC=2R·sin20°，即这个正九边形的边长为2R·sin20°.
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=AB，由外角和为360°可得∠AOB=360°÷9=40°，则∠AOC=20°，根据三角函数的概念可得AC，然后表示出AB，据此解答.
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形
【解析】【解答】正五边形的内角和：
正五边形的每一个内角：
圆的内接四边形对角互补：
∴
故选：B
【分析】圆的内接四边形对角互补这个重要性质定理，可以解决F是动点的问题；它的对角是正五边的一个内角，根据内角和公式可求。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OG，在优弧BAG上任取一点M，连接BM、GM，在劣弧BG上取点N，连接BN、GN，
由题意得∠AOG=，∠AOB=，
∴∠BOG=∠AOG-∠AOB=30°，
∴∠BMG=∠BOG=15°，
∵∠BMG+∠BNG=180°，
∴∠BNG=165°.
∴弦BG所对的圆周角的度数为15°或165°.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OG，在优弧BAG上任取一点M，连接BM、GM，在劣弧BG上取点N，连接BN、GN，先根据中心角的计算方法求出∠AOG=90°，∠AOB=60°，由角的和差得∠BOG=30°，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半算出∠BMG的度数，最后根据圆内接四边形的对角互补算出∠BNG的度数.
8．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，交BF于点P，如图所示：
∵正六边形
∴，
在Rt △APF中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接OA，交BF于点P，构造的直角三形，利用正六边形的性质和角的直角三角形的性质求解。
9．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，
在△BCD中，由勾股定理得，
∴圆的半径，
∴，
故答案为：
【分析】连接BD，先根据矩形的性质得到∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，再根据勾股定理即可求出圆的直径，进而即可得到圆的半径，再根据即可求解。
10．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB，
由题意得∠AOB=360°÷8=45°，
∵，
∴，
∵∴S1=8××OB×AD=8××2×=，S=，
∴S-S1=.
故答案为：.
【分析】根据正多边形的中心角的定义可求出∠AOB=45°，进而根据∠AOB的正弦函数的定义求出AD的长，然后根据三角形的面积计算公式及圆的面积计算公式分别算出S与S1，最后求差即可.
11．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意得AC=BE=0.5尺，AB=5尺，
∴CE=AB-AC-BE=4尺，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
设CE=DE=x，
由勾股定理得x2+x2=CE2，即2x2=42，
解得x=（负值已舍），
∴ 此斛底面的正方形的边长为尺.
故答案为：.
【分析】结合图形及已知可得AC=BE=0.5尺，AB=5尺，则可由线段的和差算出CE的长，进而根据正方形的性质及勾股定理可算出答案.
12．【答案】48°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴
∵三角形AMN为正三角形，
∴
∴
故答案为：48°.
【分析】连接OA，根据正多边形中心角定义分别求出∠AOB和∠AOM的度数，最后根据角之间的数量关系即可求解.
13．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OA、OB，过O作OHAB于H
六边形ABCDEF是正六边形
故填：
【分析】求边心距，就先把边心距在图中作出来，它与左右两条半径构成等腰三角形，根据正六边形的性质，可知所构成的三角形是等边三角形，利用三角形函数或勾股定理可求线段OH长，故连接OA、OB，作出OHAB，线段OH的长即为边心距，整理思路即可求取。
14．【答案】（1）解：如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）解：连接OF，设BE与DF交于G点
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120°
∴∠DFE=30°
∵OE=OF
∴△FOE为等边三角形
∴EF=OE=4，∠OEF=60°
∴∠FGE=90°
∴EG= OE=2
∴FG=
∴FD=2FG=
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；（2）连接OF，可得△OFE是等边三角形，边长为4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，设BE与DF交于G点，可得∠FGE=90°，即可求得FG的长，进而求得FD的长
15．【答案】解：如图，设该正十二边形的圆心为O，
由题意，得的长= ⊙O的周长，
∴∠A3OA10= ×360°=150°，
∴∠A3A7A10=75°．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】利用正多边形的性质可证得的长= ⊙O的周长，可求出∠A3OA10的度数，再利用圆周角定理可求出∠A3A7A10的度数.
16．【答案】（1）解：连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）解：在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【知识点】圆内接正多边形；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，即可得解。
17．【答案】（1）解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，
由题意可知：∠AOB =36°，
∵OA=OB=10mm，
∴∠AOC=∠BOC=18°，AC=BC，
∴AC=OA sin18°≈10×031=3.1（mm），
∴AB=2AC=6.2mm；
（2）解：∵OC=OA cos18°≈10×0.95=9.5（mm），
∴S△AOB= ×AB OC= ×6.2×9.5=29.45（mm2），
∴S正十边形=10×S△AOB=294.5（mm2）.
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点O作OC⊥AB于点C，解直角三角形AOC可求解；
（2）解直角三角形AOC可求得OC的值，根据S△AOB=AB·OC可求得三角形AOB的面积，再根据S正十边形=10×S△AOB即可求解.
18．【答案】（1）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴；
（2）解：△AMN是正三角形，理由如下：
如图，连接FN、OD、ON，
由题意易得FN=ON=OF，
∴△OFN是等边三角形，
∴∠NFA=60°，
∴∠NMA=60°，
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵∠AMN=60°，
∴∠AON=120°，
∵∠AOD=，
∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°，
∵
∴n的值为15.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由于正多边形的每一个内角都相等，故用正多边形的内角和除以内角的个数即可求出其中一个内角的度数；
（2）△AMN是正三角形，理由如下：如图，连接FN、OD、ON，由题意易得FN=ON=OF，则△OFN是等边三角形，根据等边三角形的性质及同弧所对的圆周角相等得∠NMA=60°，同理∠ANM=60°，根据有两个角是60°的三角形是等边三角形可得结论；
（3）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AON=120°，由正多边形的中心角求法可得∠AOD=144°，再由∠NOD=∠AOD-∠AON求出∠NOD的度数，从而根据正多边形与圆的关系可求出n的值.
19．【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）；
（3）
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出 ，再由圆周角定理即可求出∠MON的度数；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答。
1 / 1【提升卷】3.8圆内正多边形—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2021九上·慈溪期末）一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．3：2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设圆的半径为R，如图，在圆内接正方形ABCD中，OA=OB=R，∠AOB=90°，
∴圆内接正方形的边长为=R.
在圆内接正六边形ABCDEF中，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴圆内接正六边形的边长为R，
∴一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为R：R=1：.
故答案为C.
【分析】设圆的半径为R，画出圆内接正方形以及正六边形图形，计算出圆内接正方形、内接正六边形的边长，然后作比即可.
2．（2023·安徽）如图，正五边形内接于，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；圆心角、弧、弦的关系；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，所以∠BAE=180°-360°÷5=108°，∴∠COD=360°÷5=72°，所以∠BAE-∠COD=108°-72°=36°。
故答案为：D。
【分析】根据正五边形的性质，分别计算∠BAE和∠COD，再把它们相减即可。
3．内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）.
A． B． C．3：2 D．1：2
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图CD是正方形的一边，AB是正三角形的一边，过点O作OE⊥CD于点E，OH⊥AB于点H，连接OD，OA，
设圆O的半径为r，
∴AB=2AH，CD=2DE，∠EOD=45°，∠AOH=60°，
∴∠OAH=90°-60°=30°，
∴OH=AO=，
∴，
∴；
∵∠D=∠EOD=45°，
∴OE=ED，
∴2DE2=r2
解之：，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】如图CD是正方形的一边，AB是正三角形的一边，过点O作OE⊥CD于点E，OH⊥AB于点H，连接OD，OA，设圆O的半径为r，利用垂径定理和正多边形的性质可证得AB=2AH，CD=2DE，∠EOD=45°，∠AOH=60°，可求出∠OAH的度数，同时可证得OE=ED，利用勾股定理可表示出AH、DE的长，即可等等AB，CD的长，然后求出它们的比值.
4．（2023·蓝田模拟）如图，正五边形内接于，点F在弧上.若，则的大小为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．58°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正五边形内接于，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接OE、OD、CE，根据n边形内角和公式以及正多边形的性质可得∠CDE=108°，则∠FDE=∠CDE-∠CDF=12°，由圆周角定理可得∠FCE=∠FDE=12°，由外角和为360°可得∠EOD=360°÷5=72°，由圆周角定理可得∠ECD=∠EOD=36°，然后根据∠FCD=∠FCE+∠ECD进行计算.
5．（2023·余杭模拟）如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=AB.
∵正九边形，
∴∠AOB=360°÷9=40°，
∴∠AOC=20°，
∴AC=OA·sin20°=R·sin20°，
∴AB=2AC=2R·sin20°，即这个正九边形的边长为2R·sin20°.
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=AB，由外角和为360°可得∠AOB=360°÷9=40°，则∠AOC=20°，根据三角函数的概念可得AC，然后表示出AB，据此解答.
6．（2023·太原模拟）如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则的度数为（ ）
A．60° B．72°
C．144° D．随着点的变化而变化
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形
【解析】【解答】正五边形的内角和：
正五边形的每一个内角：
圆的内接四边形对角互补：
∴
故选：B
【分析】圆的内接四边形对角互补这个重要性质定理，可以解决F是动点的问题；它的对角是正五边的一个内角，根据内角和公式可求。
7．（2023·锦江模拟）如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OG，在优弧BAG上任取一点M，连接BM、GM，在劣弧BG上取点N，连接BN、GN，
由题意得∠AOG=，∠AOB=，
∴∠BOG=∠AOG-∠AOB=30°，
∴∠BMG=∠BOG=15°，
∵∠BMG+∠BNG=180°，
∴∠BNG=165°.
∴弦BG所对的圆周角的度数为15°或165°.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OG，在优弧BAG上任取一点M，连接BM、GM，在劣弧BG上取点N，连接BN、GN，先根据中心角的计算方法求出∠AOG=90°，∠AOB=60°，由角的和差得∠BOG=30°，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半算出∠BMG的度数，最后根据圆内接四边形的对角互补算出∠BNG的度数.
8．（2023九上·雨花月考）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，交BF于点P，如图所示：
∵正六边形
∴，
在Rt △APF中，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接OA，交BF于点P，构造的直角三形，利用正六边形的性质和角的直角三角形的性质求解。
二、填空题
9．（2023·重庆）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，
在△BCD中，由勾股定理得，
∴圆的半径，
∴，
故答案为：
【分析】连接BD，先根据矩形的性质得到∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，再根据勾股定理即可求出圆的直径，进而即可得到圆的半径，再根据即可求解。
10．（2023·临渭模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为2，则的值为 ．（结果保留和根号）
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点A作AD⊥OB，
由题意得∠AOB=360°÷8=45°，
∵，
∴，
∵∴S1=8××OB×AD=8××2×=，S=，
∴S-S1=.
故答案为：.
【分析】根据正多边形的中心角的定义可求出∠AOB=45°，进而根据∠AOB的正弦函数的定义求出AD的长，然后根据三角形的面积计算公式及圆的面积计算公式分别算出S与S1，最后求差即可.
11．（2023·武功模拟）据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”．如图所示，现有一斛，其外圆直径为5尺（古代长度单位），两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：由题意得AC=BE=0.5尺，AB=5尺，
∴CE=AB-AC-BE=4尺，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
设CE=DE=x，
由勾股定理得x2+x2=CE2，即2x2=42，
解得x=（负值已舍），
∴ 此斛底面的正方形的边长为尺.
故答案为：.
【分析】结合图形及已知可得AC=BE=0.5尺，AB=5尺，则可由线段的和差算出CE的长，进而根据正方形的性质及勾股定理可算出答案.
12．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是
【答案】48°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，如图，
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴
∵三角形AMN为正三角形，
∴
∴
故答案为：48°.
【分析】连接OA，根据正多边形中心角定义分别求出∠AOB和∠AOM的度数，最后根据角之间的数量关系即可求解.
13．（2023九上·西山期中）如图是昆明西山的著名景点升庵亭，它的地基是半径为2m的正六边形，则该正六边形的边心距是 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OA、OB，过O作OHAB于H
六边形ABCDEF是正六边形
故填：
【分析】求边心距，就先把边心距在图中作出来，它与左右两条半径构成等腰三角形，根据正六边形的性质，可知所构成的三角形是等边三角形，利用三角形函数或勾股定理可求线段OH长，故连接OA、OB，作出OHAB，线段OH的长即为边心距，整理思路即可求取。
三、解答题
14．（2019九上·鼓楼期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法，保留作图痕迹)；
（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【答案】（1）解：如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）解：连接OF，设BE与DF交于G点
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120°
∴∠DFE=30°
∵OE=OF
∴△FOE为等边三角形
∴EF=OE=4，∠OEF=60°
∴∠FGE=90°
∴EG= OE=2
∴FG=
∴FD=2FG=
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；（2）连接OF，可得△OFE是等边三角形，边长为4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，设BE与DF交于G点，可得∠FGE=90°，即可求得FG的长，进而求得FD的长
15．如图，在正十二边形A1A2……A12 中，连结A3A7，A7A10，求∠A3A7A10的度数．
【答案】解：如图，设该正十二边形的圆心为O，
由题意，得的长= ⊙O的周长，
∴∠A3OA10= ×360°=150°，
∴∠A3A7A10=75°．
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【分析】利用正多边形的性质可证得的长= ⊙O的周长，可求出∠A3OA10的度数，再利用圆周角定理可求出∠A3A7A10的度数.
16．（2022·九江模拟）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中的边上求作点，使；
（2）在图2中的边上求作点，使．
【答案】（1）解：连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）解：在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【知识点】圆内接正多边形；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，即可得解。
17．（2021·慈溪模拟）图1是某景区的纪念币，一面有一个正十边形，示意图如图2所示，其外接圆的圆心为O，直径为 .
（1）求这个正十边形的边长 .
（2）求这个正十边形的面积.（参考数据： ）
【答案】（1）解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，
由题意可知：∠AOB =36°，
∵OA=OB=10mm，
∴∠AOC=∠BOC=18°，AC=BC，
∴AC=OA sin18°≈10×031=3.1（mm），
∴AB=2AC=6.2mm；
（2）解：∵OC=OA cos18°≈10×0.95=9.5（mm），
∴S△AOB= ×AB OC= ×6.2×9.5=29.45（mm2），
∴S正十边形=10×S△AOB=294.5（mm2）.
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）过点O作OC⊥AB于点C，解直角三角形AOC可求解；
（2）解直角三角形AOC可求得OC的值，根据S△AOB=AB·OC可求得三角形AOB的面积，再根据S正十边形=10×S△AOB即可求解.
18．如图甲所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答相关问题：
作法如图乙所示.①作直径AF.②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N.③连结AM，MN，NA.
（1）求∠ABC的度数.
（2）△AMN是正三角形吗 请说明理由.
（3）从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值.
【答案】（1）解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴；
（2）解：△AMN是正三角形，理由如下：
如图，连接FN、OD、ON，
由题意易得FN=ON=OF，
∴△OFN是等边三角形，
∴∠NFA=60°，
∴∠NMA=60°，
同理∠ANM=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN是正三角形；
（3）解：∵∠AMN=60°，
∴∠AON=120°，
∵∠AOD=，
∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°，
∵
∴n的值为15.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）由于正多边形的每一个内角都相等，故用正多边形的内角和除以内角的个数即可求出其中一个内角的度数；
（2）△AMN是正三角形，理由如下：如图，连接FN、OD、ON，由题意易得FN=ON=OF，则△OFN是等边三角形，根据等边三角形的性质及同弧所对的圆周角相等得∠NMA=60°，同理∠ANM=60°，根据有两个角是60°的三角形是等边三角形可得结论；
（3）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AON=120°，由正多边形的中心角求法可得∠AOD=144°，再由∠NOD=∠AOD-∠AON求出∠NOD的度数，从而根据正多边形与圆的关系可求出n的值.
19．（2020九上·临江期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
（2）；
（3）
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出 ，再由圆周角定理即可求出∠MON的度数；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答。
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