【基础卷】3.9弧长及扇形的面积—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、填空题
1．一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条 所围成的图形叫作扇形．
【答案】半径
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】 解：一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形．
故答案为：半径.
【分析】根据扇形的定义解答即可.
2．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为： ，l，n，R中，已知两个量，就可以求出第三个量．已知l，n，则R= ；已知l，R，则n= ．
【答案】l= ；；
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l= ，
∴R=， n=，
故答案为：l= ，，；
【分析】由弧长公式l= ，可推出R=， n=.
3．
（1）已知圆的半径为4cm，则120°的圆心角所对的弧长为 .
（2）已知圆弧长为2πcm，弧的度数为40°，则弧所在圆的半径为 .
（3）已知圆弧长为6πcm，弧所在圆的半径为6cm，则弧所对圆周角的度数为 .
【答案】（1）πcm
（2）9cm
（3）90°
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：（1） 弧长为=cm，
（2）由l=得 2π=，
∴R=9cm，
（3）由l=得6π=，
解得：n=90°，
故答案为：πcm，9cm，90°.
【分析】根据弧长公式l=分别求解即可.
4．
（1）半径为3cm，圆心角为45的扇形面积是 .
（2）弧长为6πcm，半径为5cm的扇形面积是 .
【答案】（1）πcm2
（2）15πcm2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）该扇形的面积；
故答案为：cm2. （2）该扇形的面积；
故答案为：15πcm2.
【分析】（1）直接根据扇形的面积公式：即可得出结论；
（2）直接根据扇形的面积公式：即可得出结论.
5．（2019九上·道外期末）扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于 cm2．
【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】设扇形的半径为r，
由题意：4π= ，
解得r=9（cm）．
S= = =18π（cm）2
故答案为18π．
【分析】根据利用弧长公式求出半径，再根据扇形的面积公式：S= 计算即可.
6．已知扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，则扇形所在圆的半径是 .
【答案】6cm
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径是rcm，则
，
解得：r=6．
故答案为：6cm.
【分析】设该扇形的半径是rcm，再根据扇形的面积公式：即可求解．
7．已知⊙O的半径为12，则长为6π的弧所对的圆心角度数为
【答案】90°
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵r=12，弧长l=6π，设圆心角度数为n°，
∴，
∴n=90，
故答案为：90°，
【分析】根据弧长公式进行解答即可.
8．（2023九上·宁江期中）已知扇形的圆心角为80°，半径为2，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π ）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：弧长=，
故答案为：.
【分析】利用弧长公式，再将数据代入求解即可.
二、选择题
9．（2023九上·兰溪月考）如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A’的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．2π C． D．4π
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：半圆AB绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，
，．
，
．
故答案为：B.
【分析】本题考查的是旋转的性质，扇形面积的计算．由旋转的性质可得：，，再利用面积关系：，可得，利用扇形面积公式，代入数据计算即可得出答案．
10．（2023九上·石家庄月考）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】根据题意可得：BC=7.5，∠A=30°，∠ACB=60°，
∴AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，
∴点A从开始到结束所经过的路径长为弧AA'的长，
∴弧A'A=，
故答案为：A.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，再利用弧长公式求解即可.
11．（2023九上·东阳月考）如图，△ABC内接于半径为2的⊙O．若∠A=45°，则的长等于（ ）
A．π B．π C．π D．2π
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得到最后利用弧长计算公式，计算即可.
12．（2018九上·拱墅期末）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r．
由题意： =6π，
∴r=9，
∴S扇形= =27π，
故选：B．
【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．
13．（2023九上·大城期中）如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 正五边形ABCDE
∴ ∠AOD==144°
∵的半径为3
∴ S阴==
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形和圆、扇形面积公式。由正五边形ABCDE求出 ∠AOD=144°，根据扇形面积=来计算，n为扇形圆心角，r为扇形半径。
14．（2023九上·东阳期中）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）
A．14π B．2π C． D．7π
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，
S扇形AOD=，
S扇形BOC=，
则S阴影=.
故答案为：D.
【分析】先根据扇形面积公式求出S扇形AOD和S扇形BOC，再求差即可.
15．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C．若AC=BC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵ AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=2，AO=BO，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），AB=AC=，
∴S△AOC=S△BOC，∠AOC=∠COB=90°，OA=，
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积==，
故答案为：C.
【分析】证明△AOC≌△BOC（SSS），可得S△AOC=S△BOC，∠AOC=∠COB=90°，从而得出阴影部分的面积=扇形AOC的面积，易得△ABC为等腰直角三角形，可得AB=AC=，即得OA=，求出扇形AOC的面积即得结论.
16．如图所示，在半径1的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形(图中阴影部分)，则这个扇形的面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
是的直径，且，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】连接，由圆周角定理可知AB是直径，从而求得扇形的半径AC的长度，再利用扇形面积的计算公式得到扇形面积.
三、解答题
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，且AD=6，∠ABC=∠CAD．求弦AC所对的弧长．
【答案】解：连接CD、OC．
∵∠ABC=∠CAD，
∴，
∴AC=CD，
又∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=×AD=3，
∵∠AOC=90°，∠CAO=45°，
∴AO=CO===3，
∴劣弧AC的长是，
优弧AC=.
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】 连接CD、OC，由圆周角定理的推论可证明△ACD是等腰直角三角形，即可求得AC的长，然后根据△AOC是等腰直角三角形，可求出半径AO的长，最后利用弧长公式分两种情况即可弦AC所对应的弧长．
18．如图，在△ABC中，AB=4cm，∠B=30°，∠ACB=45°．以A为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点E，与BC交于点F．求的长．
【答案】解：作AD⊥BC 于点D，
∴CD=AD=AB=2cm，
∵ ∠ACB=45° ，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=2cm，
∵ ∠B=30°，∠ACB=45° ，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=105°，
∴的长== cm，
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】作AD⊥BC 于点D，由垂径定理可得CD=AD=AB=2cm，易求△ACD为等腰直角三角形，可得AC=2cm，利用三角形内角和求出∠A的度数，再利用弧长公式计算即可.
19．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边长为2cm，求弧三角形的周长．
【答案】解：∵正三角形ABC的边长为2cm，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴ 弧三角形的周长为×2π×2=2πcm.
【知识点】等边三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【分析】 由题意知：此弧三角形的周长即是半径为2的半圆弧长，据此解答即可.
20．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：在△ABC中，AB= BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴S阴影= S半圆AB+S半圆BC-S△ABC= π×()2+π×()2-×2×2=π-2．
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】易得△ABC 是等腰直角三角形，根据S阴影= S半圆AB+S半圆BC-S△ABC进行计算即可.
21．已知：如图，A，B，C是⊙O上的三点，且=2．过点B作BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB=2BD．
（2）若AB=，CD=1，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，延长BD交⊙O于E，
∵BD⊥OC，
∴BE=2BD，，
∵
∴，
∴AB=BE，
∴AB=2BD；
（2）解：如图，连接OB，
设OB=x，
∵AB=2，CD=1，
∴BD=，
在Rt△OBD中，x2=（x-1）2+（）2，
解得：x=2，
∴OB=2， OD=1，
∴OD=OB，
∴∠OBD=30°，
∴ ∠BOC=60°
∴阴影部分的面积=.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，由垂径定理可得BE=2BD，，根据题意可得出，即可得出AB=BE，从而得出AB=2BD；
（2）如图，连接OB，设OB=x，根据勾股定理可求出x=2，在Rt△OBD中，由OD=OB得到∠OBD=30°，从而求得∠BOC=60°，最后根据扇形和三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
22．如图，半圆O的直径AB=10．将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P．
（1）求AP的长．
（2）求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
【答案】（1）解：连结O'P，
∵∠OBA′=45°，O′P=O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴，
∵ AB=10，
则BO′=5，
故；
∴.
（2）解： 阴影部分面积为：
S阴影=S扇形O′A′P+S△O′PB =14×π×25+5×5×12
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连结O'P，先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）根据S阴影=S扇形O′A′P+S△O′PB，直接进行计算即可．
23．如图，△ABC与△A'B'C是两个可以完全重合的直角三角板，∠B=30°，AB=10cm．将三角板A'B'C绕直角顶点C顺时针旋转，使点A'落在AB边上．
（1）求CA旋转到CA所构成的扇形的弧长．
（2）判断BC与A'B'的位置关系．
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， AB=10cm
∴∠A=60°，AC=5cm，
由旋转知： CA=CA'，
∴△ACA'为等边三角形，
∴∠ACA'=60°，
∴ CA旋转到CA'所构成的扇形的弧长为=cm.
（2）解：垂直，理由如下：
∵∠ACA'=60°，∠ACB=90°，
∴∠BCA'=30°，
∵∠B'A'C=∠A=60°，
∴∠B'A'C+∠BCA'=60°+30°=90°，
∴ BC⊥A'B'.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠A=60°，AC=5cm，结合旋转的性质可得△ACA'为等边三角形，可得∠ACA'=60°，再利用弧长公式计算即可；
（2）易求∠B'A'C+∠BCA'=90°，据此即可判断.
1 / 1【基础卷】3.9弧长及扇形的面积—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、填空题
1．一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条 所围成的图形叫作扇形．
2．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为： ，l，n，R中，已知两个量，就可以求出第三个量．已知l，n，则R= ；已知l，R，则n= ．
3．
（1）已知圆的半径为4cm，则120°的圆心角所对的弧长为 .
（2）已知圆弧长为2πcm，弧的度数为40°，则弧所在圆的半径为 .
（3）已知圆弧长为6πcm，弧所在圆的半径为6cm，则弧所对圆周角的度数为 .
4．
（1）半径为3cm，圆心角为45的扇形面积是 .
（2）弧长为6πcm，半径为5cm的扇形面积是 .
5．（2019九上·道外期末）扇形的圆心角为80°，弧长为4πcm，则此扇形的面积等于 cm2．
6．已知扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，则扇形所在圆的半径是 .
7．已知⊙O的半径为12，则长为6π的弧所对的圆心角度数为
8．（2023九上·宁江期中）已知扇形的圆心角为80°，半径为2，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π ）
二、选择题
9．（2023九上·兰溪月考）如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A’的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．2π C． D．4π
10．（2023九上·石家庄月考）如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023九上·东阳月考）如图，△ABC内接于半径为2的⊙O．若∠A=45°，则的长等于（ ）
A．π B．π C．π D．2π
12．（2018九上·拱墅期末）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023九上·大城期中）如图，正五边形内接于半径为3的，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023九上·东阳期中）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）
A．14π B．2π C． D．7π
15．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C．若AC=BC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
16．如图所示，在半径1的圆形纸片中，剪一个圆心角为的扇形(图中阴影部分)，则这个扇形的面积为（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，且AD=6，∠ABC=∠CAD．求弦AC所对的弧长．
18．如图，在△ABC中，AB=4cm，∠B=30°，∠ACB=45°．以A为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点E，与BC交于点F．求的长．
19．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若正三角形ABC的边长为2cm，求弧三角形的周长．
20．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90，求图中阴影部分的面积．
21．已知：如图，A，B，C是⊙O上的三点，且=2．过点B作BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB=2BD．
（2）若AB=，CD=1，求图中阴影部分的面积．
22．如图，半圆O的直径AB=10．将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P．
（1）求AP的长．
（2）求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
23．如图，△ABC与△A'B'C是两个可以完全重合的直角三角板，∠B=30°，AB=10cm．将三角板A'B'C绕直角顶点C顺时针旋转，使点A'落在AB边上．
（1）求CA旋转到CA所构成的扇形的弧长．
（2）判断BC与A'B'的位置关系．
答案解析部分
1．【答案】半径
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】 解：一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形．
故答案为：半径.
【分析】根据扇形的定义解答即可.
2．【答案】l= ；；
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l= ，
∴R=， n=，
故答案为：l= ，，；
【分析】由弧长公式l= ，可推出R=， n=.
3．【答案】（1）πcm
（2）9cm
（3）90°
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：（1） 弧长为=cm，
（2）由l=得 2π=，
∴R=9cm，
（3）由l=得6π=，
解得：n=90°，
故答案为：πcm，9cm，90°.
【分析】根据弧长公式l=分别求解即可.
4．【答案】（1）πcm2
（2）15πcm2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）该扇形的面积；
故答案为：cm2. （2）该扇形的面积；
故答案为：15πcm2.
【分析】（1）直接根据扇形的面积公式：即可得出结论；
（2）直接根据扇形的面积公式：即可得出结论.
5．【答案】18π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】设扇形的半径为r，
由题意：4π= ，
解得r=9（cm）．
S= = =18π（cm）2
故答案为18π．
【分析】根据利用弧长公式求出半径，再根据扇形的面积公式：S= 计算即可.
6．【答案】6cm
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径是rcm，则
，
解得：r=6．
故答案为：6cm.
【分析】设该扇形的半径是rcm，再根据扇形的面积公式：即可求解．
7．【答案】90°
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵r=12，弧长l=6π，设圆心角度数为n°，
∴，
∴n=90，
故答案为：90°，
【分析】根据弧长公式进行解答即可.
8．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：弧长=，
故答案为：.
【分析】利用弧长公式，再将数据代入求解即可.
9．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：半圆AB绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，
，．
，
．
故答案为：B.
【分析】本题考查的是旋转的性质，扇形面积的计算．由旋转的性质可得：，，再利用面积关系：，可得，利用扇形面积公式，代入数据计算即可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】根据题意可得：BC=7.5，∠A=30°，∠ACB=60°，
∴AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，
∴点A从开始到结束所经过的路径长为弧AA'的长，
∴弧A'A=，
故答案为：A.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AC=2BC=15cm，∠ACA'=180°-60°=120°，再利用弧长公式求解即可.
11．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图：
∵
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理得到最后利用弧长计算公式，计算即可.
12．【答案】B
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r．
由题意： =6π，
∴r=9，
∴S扇形= =27π，
故选：B．
【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．
13．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵ 正五边形ABCDE
∴ ∠AOD==144°
∵的半径为3
∴ S阴==
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形和圆、扇形面积公式。由正五边形ABCDE求出 ∠AOD=144°，根据扇形面积=来计算，n为扇形圆心角，r为扇形半径。
14．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC，
S扇形AOD=，
S扇形BOC=，
则S阴影=.
故答案为：D.
【分析】先根据扇形面积公式求出S扇形AOD和S扇形BOC，再求差即可.
15．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵ AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=2，AO=BO，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC（SSS），AB=AC=，
∴S△AOC=S△BOC，∠AOC=∠COB=90°，OA=，
∴阴影部分的面积=扇形AOC的面积==，
故答案为：C.
【分析】证明△AOC≌△BOC（SSS），可得S△AOC=S△BOC，∠AOC=∠COB=90°，从而得出阴影部分的面积=扇形AOC的面积，易得△ABC为等腰直角三角形，可得AB=AC=，即得OA=，求出扇形AOC的面积即得结论.
16．【答案】A
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
是的直径，且，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】连接，由圆周角定理可知AB是直径，从而求得扇形的半径AC的长度，再利用扇形面积的计算公式得到扇形面积.
17．【答案】解：连接CD、OC．
∵∠ABC=∠CAD，
∴，
∴AC=CD，
又∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=×AD=3，
∵∠AOC=90°，∠CAO=45°，
∴AO=CO===3，
∴劣弧AC的长是，
优弧AC=.
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】 连接CD、OC，由圆周角定理的推论可证明△ACD是等腰直角三角形，即可求得AC的长，然后根据△AOC是等腰直角三角形，可求出半径AO的长，最后利用弧长公式分两种情况即可弦AC所对应的弧长．
18．【答案】解：作AD⊥BC 于点D，
∴CD=AD=AB=2cm，
∵ ∠ACB=45° ，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=2cm，
∵ ∠B=30°，∠ACB=45° ，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=105°，
∴的长== cm，
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；弧长的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】作AD⊥BC 于点D，由垂径定理可得CD=AD=AB=2cm，易求△ACD为等腰直角三角形，可得AC=2cm，利用三角形内角和求出∠A的度数，再利用弧长公式计算即可.
19．【答案】解：∵正三角形ABC的边长为2cm，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴ 弧三角形的周长为×2π×2=2πcm.
【知识点】等边三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【分析】 由题意知：此弧三角形的周长即是半径为2的半圆弧长，据此解答即可.
20．【答案】解：在△ABC中，AB= BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴S阴影= S半圆AB+S半圆BC-S△ABC= π×()2+π×()2-×2×2=π-2．
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】易得△ABC 是等腰直角三角形，根据S阴影= S半圆AB+S半圆BC-S△ABC进行计算即可.
21．【答案】（1）证明：如图，延长BD交⊙O于E，
∵BD⊥OC，
∴BE=2BD，，
∵
∴，
∴AB=BE，
∴AB=2BD；
（2）解：如图，连接OB，
设OB=x，
∵AB=2，CD=1，
∴BD=，
在Rt△OBD中，x2=（x-1）2+（）2，
解得：x=2，
∴OB=2， OD=1，
∴OD=OB，
∴∠OBD=30°，
∴ ∠BOC=60°
∴阴影部分的面积=.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）如图，延长BD交⊙O于E，由垂径定理可得BE=2BD，，根据题意可得出，即可得出AB=BE，从而得出AB=2BD；
（2）如图，连接OB，设OB=x，根据勾股定理可求出x=2，在Rt△OBD中，由OD=OB得到∠OBD=30°，从而求得∠BOC=60°，最后根据扇形和三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
22．【答案】（1）解：连结O'P，
∵∠OBA′=45°，O′P=O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴，
∵ AB=10，
则BO′=5，
故；
∴.
（2）解： 阴影部分面积为：
S阴影=S扇形O′A′P+S△O′PB =14×π×25+5×5×12
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连结O'P，先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）根据S阴影=S扇形O′A′P+S△O′PB，直接进行计算即可．
23．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∠B=30°， AB=10cm
∴∠A=60°，AC=5cm，
由旋转知： CA=CA'，
∴△ACA'为等边三角形，
∴∠ACA'=60°，
∴ CA旋转到CA'所构成的扇形的弧长为=cm.
（2）解：垂直，理由如下：
∵∠ACA'=60°，∠ACB=90°，
∴∠BCA'=30°，
∵∠B'A'C=∠A=60°，
∴∠B'A'C+∠BCA'=60°+30°=90°，
∴ BC⊥A'B'.
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠A=60°，AC=5cm，结合旋转的性质可得△ACA'为等边三角形，可得∠ACA'=60°，再利用弧长公式计算即可；
（2）易求∠B'A'C+∠BCA'=90°，据此即可判断.
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