【培优卷】3.9弧长及扇形的面积—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·鹿城月考）如图，在矩形中，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，点C关于BP的对称点为C1，连接BC1，则BC1=BC，点C1在以B为圆心，BC为半径的圆上运动；当P在A处时，C1在E处，当P在D处时，C1在F处；所以点P从A运动到D，点C1的轨迹为的长；
在Rt△BCD中，BC=，CD=AB=1
∴tan∠DBC=
∴∠DBC=∠DBP=30°
∴∠EBF=120°
∴的长为
故答案为：A.
【分析】在轴对称变换中，对称线段与原线段长度相等，对应点在圆周上运动；此题先以以B为圆心BC为半径画圆，然后找到C1的起点和终点，可以看出C1的轨迹为的长；根据已知边长，可求得的圆心角度，再由弧长公式求出的长.
2．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（ ）
A．π B．3π C．π D．π
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，作，连接、、、，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得AC=CD，，证得是等边三角形，作，通过等腰三角形的性质求得AE、DE的长度，再利用直角三角形的性质计算出CE的长度，进而通过勾股定理求得AC长，得到半径长度，然后利用弧长计算公式求得的长.
3．（2023·武昌模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内不含边界，则长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
当点M落在半径OB上时，B、M关于CD对称，
∴CD⊥OB，
由C为弧AB的中点知，∠COD=45°，且OC=4，
∴OD=CD=，此时OD取得最大值；
∵点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，
，
建立平面直角坐标系，则圆C的方程为，
令x=0，解得OM=，
∵直线BM的斜率为，
∴直线BM垂直平分线方程为，
令y=0，解得x=，
∴OD=，
此时OD取得最小值；
综上点M落在扇形OAB内（不含边界），OD的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】点M落在半径OB上时，OD取得最大值；点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，建立平面直角坐标系，由此求出OD的最小值，从而求出OD的取值范围.
4．（2023九下·义乌月考）如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，连接交于点，连接.
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是.
此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，连接.证明，利用相似三角形的性质可得PN=2，PM=4，利用勾股定理求出BP=，由垂直的定义可得，可得点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可.
5．（2023·滁州模拟）如图，四边形是的内接正方形，直线且平分，交于点，若，则阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE、OB设EF交OA于点M
∵直线且平分OA，
∴OE=AE
∵OA，OE为的半径
∴OA=OE
∴OA=AE=OE=1
∴△OAE为等边三角形
∴∠AOE=60°
∴EM=OE×sin∠AOE=OE×sin60°=
∴
∴
∵四边形ABCD是的内接四边形
∴∠AOB=90°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形与圆、利用扇形的面积公式求阴影部分的面积，根据正方形内接于圆，可得出圆心角∠AOB＝90°，可求出和，进而求得，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得出AE=OE，从而等到△AOE为等边三角形，利用解直角三角形得出高EM的长，从而求出和，得出，，用即可求出答案.
6．（2023·太谷模拟）如图，在边长为4的正六边形中，先以点B为圆心，的长为半径作，再以点A为圆心，的长为半径作交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，过点P作，在上任取一点M，
由题意可知：，
是等边三角形，，
，
∴在中，，
，
，
，
，
，
∵六边形是正六边形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：B．
【分析】连接、，过点P作，在上任取一点M，根据即可求解.
7．（2022·红河模拟）如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，
∴∠COB=60°，2OC=BO=BC，
∴，BC=，OC=1，
∴，
∴，
根据旋转的性质可知，，，，
∴，，，
∴，
∴（cm2），
故答案为：A．
【分析】根据求解即可。
8．（2022·交城模拟）如图，正方形ABCD的边长是，以正方形对角线的一半OA为边作正六边形，其中一边与正方形的边CD交于点E，再以点O为圆心OE为半径画弧交AD于点F，则图中阴影部分的的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：连接OE、OF、EF、交OD于点G
∴
则阴影部分的面积为：
【分析】如图：连接OE、OF、EF、交OD于点G，可求出△OEF时等边三角形，可得，从而求出，根据建立关于x的方程，求解即得DF，根据阴影部分的面积=扇形OEF的面积+△AOF的面积即可求解.
二、填空题
9．（2022·番禺模拟）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】2π
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=（180°-∠ABC）=×（180°-120°）=30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=CH，BH=AB=×2=1，
在Rt△ABH中，
AH= =，
∴AC=2 ，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴
∴图中阴影部分的面积为2π，
故答案为：2π．
【分析】根据多边形的内角和公式求出∠ABC=∠BAF=120°；根据三角形内角和是180°，解得∠BAC=30°；过B作BH⊥AC于H，解Rt△ABH，求AH，AC；根据扇形的面积公式求阴影部分的面积。
10．（2022九下·长春月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，连接DE、DF．若AB=2，∠A=60°，则阴影部分的面积为
【答案】
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC= CD= DA，∠C=∠A=60°，
∴△ABD，△CBD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵BE =AB= 1，BD = AB = 2，
∴DE =，
∴△DEB的面积为：，
同理可得：△DBF的面积为：，
∴四边形DEBF的面积=，
∵ADII BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-60°=120°
∴扇形BEF的面积=，
∴阴影部分的面积=四边形DEBF的面积-扇形BEF的面积=，
故答案为：.
【分析】先求出△ABD，△CBD是等边三角形，再利用三角形和扇形面积公式计算求解即可。
11．（2023·汨罗模拟）如图，已知是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，点D是上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E，且，连接CD交AB于点F，①若，的半径，则 ；②若，则 .
【答案】；
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠B=，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴，
∵是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，
∴OA=OB，又AB是的直径，
∴∠BCA=90°，
∵OC为直角三角形ABC的斜边AB上的中线，
∴OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，∠OCA=∠OAC，
设∠OBC=∠OCB=，
∴∠OCA=∠OAC=90°-，
∵∠COF为△OBC的一个外角，
∴∠COF=∠OBC+∠OCB=2，
∵CE为的切线，
∴∠OCE=90°，
∴∠ACE=∠OCE-∠OCA=90°-（90°-）=，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CAE=90°-∠ACE=90°-，
∵∠DAF+∠OAC+∠CAE=180°，
∴∠DAF+90°-+90°-=180°，即∠DAF=2，
∴∠COF=∠DAF=2，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠EDC=∠CBA=，
在Rt△DEC中，tan∠EDC=tan∠ADC=tan==，
∴DE=3CE，
在Rt△ACE中，tan∠ACE=，
∴，
∴，
∴AD=DE-AE=3CE-=，
在Rt△ABC中，tan∠CBA=tan=，
∴BC=3AC，
∴，
∴OC=，
∵∠COF=∠DAF，∠CFO=∠DFA，
∴△COF∽△DAF，
∴，
故答案为：，.
【分析】由圆周角定理可得∠AOC=2∠B=60°，根据弧长公式可得，由题意可得OA=OB，∠BCA=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得OA=OB=OC，由等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，∠OCA=∠OAC，设∠OBC=∠OCB=α，则∠OCA=∠OAC=90°-α，由外角的性质可得∠COF=∠OBC+∠OCB=2α，则∠ACE=∠OCE-∠OCA=α，∠CAE=90°-α，∠COF=∠DAF=2α，根据圆周角定理可得∠EDC=∠CBA=α，结合三角函数的概念可得DE=3CE，AE=CE，由勾股定理可得AC，然后表示出AD、AB、OC，证明△COF∽△DAF，然后根据相似三角形的性质进行计算.
12．（2022·广安）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A，B，C，D循环，则弧C2022D2022的长是 （结果保留π）.
【答案】2022π
【知识点】弧长的计算；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意有：
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
...
以此类推可知，故弧的半径为：，
即弧的半径为：，
即弧的长度为：.
故答案为：2022π.
【分析】根据题意可得AA1=，BB1=×2，CC1=×3，DD1=×4……推出弧CnDn的半径为2n，据此求出弧C2022D2022的半径，然后结合弧长公式进行计算.
三、解答题
13．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，边AB在直线l上．将Rt△ABC沿直线l作无滑动翻滚，当Rt△ABC翻滚一周时，求点A经过的路径长要解决这个问题，先要弄清在翻滚时点A经过的路径是什么Rt△ABC翻滚一周即为翻滚三次，第一次翻滚点A经过的路径长是以点B为圆心、AB为半径、圆心角是150°的的长，即为5πcm；第二次翻滚点A经过的路线长是以点C1为圆心、A1C1为半径圆心角是90°的的长，即为πcm；第三次翻滚时点A没动．所以Rt△ABC翻滚一周点A经过的路径是5π+π=π(cm)．
思考：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上．将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路径长．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， AB=4，BC=3 ，
∴AD=BC=3，∠ADC=90°，对角线AC=BD=5，
由旋转知：∠ADA'=90°，A'D=AD=3，
∴点A第一次翻滚到点A'的位置时经过的路线长为，
点A'第二次翻滚到点A''的位置时经过的路线长为，
点A''第三次翻滚到点A1的位置时经过的路线长为，
∴ 点A经过的路径长 =6π.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD=BC=3，∠ADC=90°，对角线AC=BD=5，由旋转的性质可得∠ADA'=90°，A'D=AD=3，矩形ABCD旋转三次到达A1的位置，分别求出点A第一次、第二次、第三次翻滚走的路径，再相加即可.
14．（2023·河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】（1）解：反比例函数图象经过点
（2）解：如图，连接AC，交轴于点
四边形AOCD是菱形
是AC中点
由得：
在Rt中，
是等边三角形
综上，扇形AOC的半径为2，圆心角为.
（3）.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（3）∵OD=2OM=，
∴S菱形AOCD=AM·OD=，
∴S扇形AOC=πr2=.
在菱形OBEF中，S△FHO=S△BHO，
∵S△BHO==，
∴S△FBO=2×=，
∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC=+-=-.
【分析】（1）将A（，1）代入y=中就可求出k的值；
（2）连接AC，交x轴于点M，由菱形的性质可得AC⊥OD，M为AC的中点，估计点A的坐标可得AM=1，OM=，AC=2AM=2，利用勾股定理求出OA的值，进而推出△AOC是等边三角形，据此解答；
（3）由菱形的性质可得OD=2OM=，然后求出S菱形AOCD，S扇形AOC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BHO==，则S△FBO=2×=，然后根据S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC进行计算.
15．（2022·江北模拟）项目化学习：车轮的形状．
【问题提出】车轮为什么要做成圆形， 这里面有什么数学原理
（1）【合作探究】
探究 组：如图1，圆形车轮半径为 ，其车轮轴心 到地面的距离始终为 ．
探究 组：如图2，正方形车轮的轴心为 ，若正方形的边长为 ，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差．
探究 组：如图3， 有一个破损的圆形车轮， 半径为 ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 ，其车轮轴心为 ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 经过的路程．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．
（2）【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 为圆心，以正三角形的边长为半径作 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．
探究 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是 ．
延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 并不稳定．
【答案】（1）解：探究A组：4；
探究B组：如图所示：
由图可知：最低点到地面的距离为OA的长，最高点到地面的距离为BD的长，
∵正方形的边长为4cm，
∴OA=2cm，BD=BO==2，
∴最高距离与最低距离的差为（2-2）cm；
探究C组：如图所示：
从图2至图3：绕点A旋转45°，经过路程L1=2r·=cm，
从图3至图4：绕点B旋转45°，经过路程L2=2r·=cm，
从图4至图5：移动一个270°的弧长，经过路程L3=2r·=cm，
∴一个周期完成，总路程为L1+L2+L3=++=2r=8cm；
（2）A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）探究A组：∵圆的半径为4cm，
∴其车轮轴心O到地面的距离始终为4cm；
（2）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环，故A选项符合.
【分析】（1）探究A组：根据圆的半径之间解答即可；
探究B组：根据正方形的性质求出最高点到地面的距离为BD的长度，最低点到地面的距离OA的长度即可；
探究C组：分别求出三部分路程，然后相加即可；
（2）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环由此即可判断.
1 / 1【培优卷】3.9弧长及扇形的面积—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·鹿城月考）如图，在矩形中，是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当运动时，也随之运动．若从运动到，则点经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·乐清期中）已知点A，B，C在⊙O上，∠ABC=30°，把劣弧沿着直线CB折叠交弦AB于点D．若BD=9，AD=6，则的长为（ ）
A．π B．3π C．π D．π
3．（2023·武昌模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内不含边界，则长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九下·义乌月考）如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为.在这一运动过程中，点所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·滁州模拟）如图，四边形是的内接正方形，直线且平分，交于点，若，则阴影部分面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·太谷模拟）如图，在边长为4的正六边形中，先以点B为圆心，的长为半径作，再以点A为圆心，的长为半径作交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·红河模拟）如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·交城模拟）如图，正方形ABCD的边长是，以正方形对角线的一半OA为边作正六边形，其中一边与正方形的边CD交于点E，再以点O为圆心OE为半径画弧交AD于点F，则图中阴影部分的的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·番禺模拟）如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
10．（2022九下·长春月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于F，连接DE、DF．若AB=2，∠A=60°，则阴影部分的面积为
11．（2023·汨罗模拟）如图，已知是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，点D是上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E，且，连接CD交AB于点F，①若，的半径，则 ；②若，则 .
12．（2022·广安）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A，B，C，D循环，则弧C2022D2022的长是 （结果保留π）.
三、解答题
13．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，边AB在直线l上．将Rt△ABC沿直线l作无滑动翻滚，当Rt△ABC翻滚一周时，求点A经过的路径长要解决这个问题，先要弄清在翻滚时点A经过的路径是什么Rt△ABC翻滚一周即为翻滚三次，第一次翻滚点A经过的路径长是以点B为圆心、AB为半径、圆心角是150°的的长，即为5πcm；第二次翻滚点A经过的路线长是以点C1为圆心、A1C1为半径圆心角是90°的的长，即为πcm；第三次翻滚时点A没动．所以Rt△ABC翻滚一周点A经过的路径是5π+π=π(cm)．
思考：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上．将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路径长．
14．（2023·河南）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
15．（2022·江北模拟）项目化学习：车轮的形状．
【问题提出】车轮为什么要做成圆形， 这里面有什么数学原理
（1）【合作探究】
探究 组：如图1，圆形车轮半径为 ，其车轮轴心 到地面的距离始终为 ．
探究 组：如图2，正方形车轮的轴心为 ，若正方形的边长为 ，求车轮轴心 最高点与最低点的高度差．
探究 组：如图3， 有一个破损的圆形车轮， 半径为 ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 ，其车轮轴心为 ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 经过的路程．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．
（2）【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 为圆心，以正三角形的边长为半径作 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．
探究 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是 ．
延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 并不稳定．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，点C关于BP的对称点为C1，连接BC1，则BC1=BC，点C1在以B为圆心，BC为半径的圆上运动；当P在A处时，C1在E处，当P在D处时，C1在F处；所以点P从A运动到D，点C1的轨迹为的长；
在Rt△BCD中，BC=，CD=AB=1
∴tan∠DBC=
∴∠DBC=∠DBP=30°
∴∠EBF=120°
∴的长为
故答案为：A.
【分析】在轴对称变换中，对称线段与原线段长度相等，对应点在圆周上运动；此题先以以B为圆心BC为半径画圆，然后找到C1的起点和终点，可以看出C1的轨迹为的长；根据已知边长，可求得的圆心角度，再由弧长公式求出的长.
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，作，连接、、、，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
.
故答案为：C.
【分析】由圆周角定理可得AC=CD，，证得是等边三角形，作，通过等腰三角形的性质求得AE、DE的长度，再利用直角三角形的性质计算出CE的长度，进而通过勾股定理求得AC长，得到半径长度，然后利用弧长计算公式求得的长.
3．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，
当点M落在半径OB上时，B、M关于CD对称，
∴CD⊥OB，
由C为弧AB的中点知，∠COD=45°，且OC=4，
∴OD=CD=，此时OD取得最大值；
∵点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，
，
建立平面直角坐标系，则圆C的方程为，
令x=0，解得OM=，
∵直线BM的斜率为，
∴直线BM垂直平分线方程为，
令y=0，解得x=，
∴OD=，
此时OD取得最小值；
综上点M落在扇形OAB内（不含边界），OD的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】点M落在半径OB上时，OD取得最大值；点M的轨迹是以C为圆心，BC为半径的圆弧，建立平面直角坐标系，由此求出OD的最小值，从而求出OD的取值范围.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，连接交于点，连接.
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是.
此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，连接.证明，利用相似三角形的性质可得PN=2，PM=4，利用勾股定理求出BP=，由垂直的定义可得，可得点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，.点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可.
5．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE、OB设EF交OA于点M
∵直线且平分OA，
∴OE=AE
∵OA，OE为的半径
∴OA=OE
∴OA=AE=OE=1
∴△OAE为等边三角形
∴∠AOE=60°
∴EM=OE×sin∠AOE=OE×sin60°=
∴
∴
∵四边形ABCD是的内接四边形
∴∠AOB=90°
∴
∴
∴
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形与圆、利用扇形的面积公式求阴影部分的面积，根据正方形内接于圆，可得出圆心角∠AOB＝90°，可求出和，进而求得，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得出AE=OE，从而等到△AOE为等边三角形，利用解直角三角形得出高EM的长，从而求出和，得出，，用即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，过点P作，在上任取一点M，
由题意可知：，
是等边三角形，，
，
∴在中，，
，
，
，
，
，
∵六边形是正六边形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：B．
【分析】连接、，过点P作，在上任取一点M，根据即可求解.
7．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，
∴∠COB=60°，2OC=BO=BC，
∴，BC=，OC=1，
∴，
∴，
根据旋转的性质可知，，，，
∴，，，
∴，
∴（cm2），
故答案为：A．
【分析】根据求解即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图：连接OE、OF、EF、交OD于点G
∴
则阴影部分的面积为：
【分析】如图：连接OE、OF、EF、交OD于点G，可求出△OEF时等边三角形，可得，从而求出，根据建立关于x的方程，求解即得DF，根据阴影部分的面积=扇形OEF的面积+△AOF的面积即可求解.
9．【答案】2π
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
=120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴∠BAC=（180°-∠ABC）=×（180°-120°）=30°，
过B作BH⊥AC于H，
∴AH=CH，BH=AB=×2=1，
在Rt△ABH中，
AH= =，
∴AC=2 ，
同理可证，∠EAF=30°，
∴∠CAE=∠BAF-∠BAC-∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴
∴图中阴影部分的面积为2π，
故答案为：2π．
【分析】根据多边形的内角和公式求出∠ABC=∠BAF=120°；根据三角形内角和是180°，解得∠BAC=30°；过B作BH⊥AC于H，解Rt△ABH，求AH，AC；根据扇形的面积公式求阴影部分的面积。
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC= CD= DA，∠C=∠A=60°，
∴△ABD，△CBD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵BE =AB= 1，BD = AB = 2，
∴DE =，
∴△DEB的面积为：，
同理可得：△DBF的面积为：，
∴四边形DEBF的面积=，
∵ADII BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-60°=120°
∴扇形BEF的面积=，
∴阴影部分的面积=四边形DEBF的面积-扇形BEF的面积=，
故答案为：.
【分析】先求出△ABD，△CBD是等边三角形，再利用三角形和扇形面积公式计算求解即可。
11．【答案】；
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠B=，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∴，
∵是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，
∴OA=OB，又AB是的直径，
∴∠BCA=90°，
∵OC为直角三角形ABC的斜边AB上的中线，
∴OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，∠OCA=∠OAC，
设∠OBC=∠OCB=，
∴∠OCA=∠OAC=90°-，
∵∠COF为△OBC的一个外角，
∴∠COF=∠OBC+∠OCB=2，
∵CE为的切线，
∴∠OCE=90°，
∴∠ACE=∠OCE-∠OCA=90°-（90°-）=，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CAE=90°-∠ACE=90°-，
∵∠DAF+∠OAC+∠CAE=180°，
∴∠DAF+90°-+90°-=180°，即∠DAF=2，
∴∠COF=∠DAF=2，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠EDC=∠CBA=，
在Rt△DEC中，tan∠EDC=tan∠ADC=tan==，
∴DE=3CE，
在Rt△ACE中，tan∠ACE=，
∴，
∴，
∴AD=DE-AE=3CE-=，
在Rt△ABC中，tan∠CBA=tan=，
∴BC=3AC，
∴，
∴OC=，
∵∠COF=∠DAF，∠CFO=∠DFA，
∴△COF∽△DAF，
∴，
故答案为：，.
【分析】由圆周角定理可得∠AOC=2∠B=60°，根据弧长公式可得，由题意可得OA=OB，∠BCA=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得OA=OB=OC，由等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，∠OCA=∠OAC，设∠OBC=∠OCB=α，则∠OCA=∠OAC=90°-α，由外角的性质可得∠COF=∠OBC+∠OCB=2α，则∠ACE=∠OCE-∠OCA=α，∠CAE=90°-α，∠COF=∠DAF=2α，根据圆周角定理可得∠EDC=∠CBA=α，结合三角函数的概念可得DE=3CE，AE=CE，由勾股定理可得AC，然后表示出AD、AB、OC，证明△COF∽△DAF，然后根据相似三角形的性质进行计算.
12．【答案】2022π
【知识点】弧长的计算；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意有：
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
的半径，
...
以此类推可知，故弧的半径为：，
即弧的半径为：，
即弧的长度为：.
故答案为：2022π.
【分析】根据题意可得AA1=，BB1=×2，CC1=×3，DD1=×4……推出弧CnDn的半径为2n，据此求出弧C2022D2022的半径，然后结合弧长公式进行计算.
13．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， AB=4，BC=3 ，
∴AD=BC=3，∠ADC=90°，对角线AC=BD=5，
由旋转知：∠ADA'=90°，A'D=AD=3，
∴点A第一次翻滚到点A'的位置时经过的路线长为，
点A'第二次翻滚到点A''的位置时经过的路线长为，
点A''第三次翻滚到点A1的位置时经过的路线长为，
∴ 点A经过的路径长 =6π.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得AD=BC=3，∠ADC=90°，对角线AC=BD=5，由旋转的性质可得∠ADA'=90°，A'D=AD=3，矩形ABCD旋转三次到达A1的位置，分别求出点A第一次、第二次、第三次翻滚走的路径，再相加即可.
14．【答案】（1）解：反比例函数图象经过点
（2）解：如图，连接AC，交轴于点
四边形AOCD是菱形
是AC中点
由得：
在Rt中，
是等边三角形
综上，扇形AOC的半径为2，圆心角为.
（3）.
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（3）∵OD=2OM=，
∴S菱形AOCD=AM·OD=，
∴S扇形AOC=πr2=.
在菱形OBEF中，S△FHO=S△BHO，
∵S△BHO==，
∴S△FBO=2×=，
∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC=+-=-.
【分析】（1）将A（，1）代入y=中就可求出k的值；
（2）连接AC，交x轴于点M，由菱形的性质可得AC⊥OD，M为AC的中点，估计点A的坐标可得AM=1，OM=，AC=2AM=2，利用勾股定理求出OA的值，进而推出△AOC是等边三角形，据此解答；
（3）由菱形的性质可得OD=2OM=，然后求出S菱形AOCD，S扇形AOC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△BHO==，则S△FBO=2×=，然后根据S阴影=S△FBO+S菱形AOCD-S扇形AOC进行计算.
15．【答案】（1）解：探究A组：4；
探究B组：如图所示：
由图可知：最低点到地面的距离为OA的长，最高点到地面的距离为BD的长，
∵正方形的边长为4cm，
∴OA=2cm，BD=BO==2，
∴最高距离与最低距离的差为（2-2）cm；
探究C组：如图所示：
从图2至图3：绕点A旋转45°，经过路程L1=2r·=cm，
从图3至图4：绕点B旋转45°，经过路程L2=2r·=cm，
从图4至图5：移动一个270°的弧长，经过路程L3=2r·=cm，
∴一个周期完成，总路程为L1+L2+L3=++=2r=8cm；
（2）A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；弧长的计算；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）探究A组：∵圆的半径为4cm，
∴其车轮轴心O到地面的距离始终为4cm；
（2）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环，故A选项符合.
【分析】（1）探究A组：根据圆的半径之间解答即可；
探究B组：根据正方形的性质求出最高点到地面的距离为BD的长度，最低点到地面的距离OA的长度即可；
探究C组：分别求出三部分路程，然后相加即可；
（2）由题意，最高点到水平面的距离是不变的，中心点O到水平面的距离开始是增加然后减小，再增加，又减小，不断循环由此即可判断.
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