【提升卷】3.9弧长及扇形的面积—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·从江期中）如图所示，有一边长为6 cm的等边三角形ABC木块，点P是CA的延长线上的点，AP为15 cm，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线PDFE的长是（ ）
A．18π cm B．15π cm C．20π cm D．21π cm
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】根据题意可得：∠FCE=∠DBF=∠PAD=120°，CF=3，BF=9，AP=15，
∴，，，
∴曲线PDFE的长=++=，
故答案为：A.
【分析】先利用弧长公式分别求出 ，， 的长，再相加即可.
2．一块等边三角形木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么点B从开始至结束所经过的路径长为（ ）．
A． B． C．4 D．2+
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图形可知：点B以边长1为半径旋转了2个120°即240°，
∴ 点B从开始至结束所经过的路径长 ，
故答案为：B.
【分析】由图形可知：点B以边长1为半径旋转了240°，利用弧长公式计算即可.
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135° ，则的长为（ ）．
A．2π B．π C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135° ，
∴∠D=180°-∠B=45° ，
∴∠AOC=2∠D=90°，
∴的长为=π；
故答案为：B.
【分析】连接OA、OC，由圆内接四边形对角互补，可得∠D=180°-∠B=45°，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠D=90°，利用弧长公式计算即可.
4．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图所示，已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，矩形内接于，连接、，
四边形是矩形，
，
为的直径，
，，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】先利用矩形的性质和圆周角定理证得AC是直径，再通过直角三角形的性质得到的度数，从而求得的度数，接着利用弧长的计算公式求得改建后门洞的圆弧长.
5．（2023九上·石家庄月考）如图，扇形中，是的中点，交于点，以为半径的交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接OD，BD，如图所示：
∵点C是OB的中点，
∴OC=OB=OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△BDO为等边三角形，OD=OB=18，OC=CB=9，
∴CD=OC=，
∴S扇形BOD=，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-（S扇形BOD-S△COD）
=
=，
故答案为：C.
【分析】先证出△BDO为等边三角形，OD=OB=18，OC=CB=9，求出CD的长，再利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
6．（2023九上·安徽期中）某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示．最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案1或方案2 D．方案3
【答案】D
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：方案1：设矩形的长为x米，则宽为（10-x）米，
∴，
∴当x=5时，面积最大为25平方米；
方案2：设等腰直角三角形的两直角边为m(m＞0）米，
∴，
解得：(负值舍去），
∴等腰直角三角形的面积为：；
方案3：设扇形的半径为r米，
由题意可得：，
解得：，
∴，
综上所述：方案3的面积最大，
即最佳方案是方案3，
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用二次函数以及矩形，三角形和扇形的面积公式等计算求解即可。
7．（2023九上·玉环期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8-π B．4-π C．2- D．1-
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】 解：∵S扇形ACD=，S扇形BEF=，
而AC=BE，∠ACB=90°，
∴S扇形ACD+S扇形BEF=，
∵AB=，BC=2，
∴AC=，
∴S阴影=S△ABC-（S扇形ACD+S扇形BEF）
=×2×1-=1-.
故答案为：D.
【分析】由阴影部分的面积的构成S阴影=S△ABC-（S扇形ACD+S扇形BEF）可求解.
8．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，且B，E是半圆弧的三等分点．若的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OE、BE，
∵ B，E是半圆弧的三等分点 ，
∴∠BOD=∠BOE=∠AOE=60°，OE垂直平分AB，
∵OE=OA=OB，
∴△BOE、△AOE是等边三角形，
∴∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，
∴BE∥AO，
∴△BOE的面积=△ABE的面积，
∵的长为 ，
∴，
∴R=2，
∴AB=，BC=，
∴AC=BC=3，
∴△ABC的面积=，
∴ 图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积=-= ；
故答案为：C.
【分析】连接OB、OE、BE，△BOE、△AOE是等边三角形，可得∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，从而得出BE∥AO，根据同底等高可得△BOE的面积=△ABE的面积，由的长为可求出R=2，根据图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积进行计算即可.
二、填空题
9．（2023九上·雨花月考）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为 结果保留
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图所示，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴。
故答案为： .
【分析】连接OC、OD构造扇形OCD，根据切线的性质和四边形内角和求出圆心角，再利用弧长公式求解。
10．（2022·菏泽）如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵等腰中，
∴BC=2
∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1；
所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC．
故答案为：．
【分析】先求出BC=2，再利用扇形面积公式计算求解即可。
11．（2023九上·大同期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点C，如图：
由题意可知：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【分析】连接，过点O作于点C，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
12．（2023九上·期末）已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径作弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm．(结果保留π)
【答案】8π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：正六边形的每一个外角为360°÷6=60°，则正六边形的每一个内角为180° -60°=120° .
∴三条弧所对的圆心角为120° .
∴三条弧的长度之和为（cm).
故答案为： 8π
【分析】先求出正六边形的每一个内角，然后根据弧长公式，即可得到三条弧的长度之和.
三、作图题
13．（2023·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为将向右平移5个单位，得到(点A平移后的对应点为C）．
（1）点的坐标是 ，所在圆的圆心坐标是 ；
（2）在图中画出，并连接，；
（3）求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.（结果保留π）
【答案】（1）（5，2）；（5，0）
（2）解：在图中画出弧CD，并连接AC，BD，见下图；
（3）解：弧AB和弧CD长度相等，均为，
而，
则封闭图形的周长=弧AB+弧DC+BD+AC=2+10．
【知识点】弧长的计算；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵B（0，2），将弧AB向右平移5个单位，点B的对应点是点D，弧AB所在圆的圆心为（0，0），
∴D（5，2），弧CD所在圆的圆心坐标是（5，0）；
故答案为：（5，2），（5，0）；
【分析】（1）根据点的坐标的平移规律“横坐标，左移减，右移加”可得答案；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，作图即可；
（3）先根据弧长计算先算出弧AB、CD的长，再根据图形周长计算方法计算即可.
14．（2023九上·宁江期中）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（-2，-2）．
（1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出（1）中△A1B1C1以C1为旋转中心，逆时针旋转90°得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求旋转过程中边C1A1扫过的面积．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图所示，△A2B2C1即为所求，A2的坐标是（-1，5）
（3）解：C1A1扫过的面积为4.5π
【知识点】扇形面积的计算；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）如图所示：
（2）如图所示：
∴点A2的坐标为（-1，5）；
（3）根据题意可得：A1C1=，
∴旋转过程中边C1A1扫过的面积=S扇形A1A2C1=，
故答案为：4.5π.
【分析】（1）利用中心对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接并直接写出点A2的坐标即可；
（3）利用扇形面积公式列出算式求解即可.
四、解答题
15．（2023九上·雨花月考）如图，以为直径的经过的中点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求图中阴影部分的面积结果保留根号和．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
点在圆上，
为的切线
（2）解：过点作，垂足为，如图所示：
则，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
阴影部分面积．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 连接 构造中位线，根据中位线的性质和切线的判定定理证明即可；
（2） 过点作， 利用垂径定理，结合直角三角形的性质求高OF，根据扇形的面积公式求扇形的面积。
16．将一物体(视为边长为的正方形从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示，刚开始点与斜面EF上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿EF方向平移至正方形的位置(此时点与点重合)，最后将物体移到车厢平台面MG上.已知，过点作于点H，FH.求：
（1）线段FG的长度.
（2）此过程中点A运动至点所经过的路程.
【答案】（1）解：，
（2）解：四边形是边长为的正方形
，
，
点A运动至点所经过的路程4m
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】(1)先利用平行线的性质证得是含有的直角三角形，再通过直角三角形的性质求得FG的长度.
(2)利用弧长的计算公式求得点A到A1的路程，进而得到点A运动至点A2所经过的路程.
17．（2023九上·大城期中）图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示．
（1）的度数为 ；
（2）在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长；
（3）请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴的长度更长；
（3）解：如图，过圆心作于点，交圆于点，则为汤的最大深度，且，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即汤的最大深度为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】（1）解：∵，∠CAB=60°
∴ ∠COB=2∠CAB=120°
【分析】本题考查圆的圆周角定理和圆心角的数量关系、垂径定理、30°的直角三角形和弧长公式等知识。
（1）根据同圆中，同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得∠COB=2∠CAB=120°；
（2）根据弧长公式（弧长=，n为弧所对的圆心角度数）计算 的长，与AB比较大小即可；
（3）根据垂径定理，过圆心O作ON⊥BC于点M，交圆O于点N，则MN为汤的最大深度，得BM=CM；由圆心角∠COB=120°，得．则OM=OB，得MN=ON-OM．
18．（2023九上·平山期中）如图1，在正方形ABCD中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交AB于点E，交AB的延长线于点F，点M，N是的三等分点（点M在点N的左侧）.将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点F的对应点为点.
图1 图2 备用图
（1）如图2，在旋转过程中，当经过点N时.
①求的度数；
②求图中阴影部分的面积；
（2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切，请直接写出点A到切点的距离.
【答案】（1）解：①连接BN.
∵点M，N是弧EF的三等分点，∴，∴，即的度数为；（4分）
②（或）
（2）点A到切点的距离为3或或.
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：(2)∵当时，半圆O与AB相切，此时切点为E，
∴；
如图1，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T，
∴.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形RCBT是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点E作于点S，
∴.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形PAES是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴.
综上所述，点A到切点的距离为3或或
【分析】（1）①连接BN，根据点M，N是弧EF的三等分点，可得∠FBN=60°，再根据圆周角定理即可得出α=30°；
②根据，即可得出答案；
（2）可分类讨论：①半圆O与AB相切；②当半圆O与CD相切时；当半圆O与AD相切时三种情况，画出相应的几何图形，根据切线的性质即可得出答案。
1 / 1【提升卷】3.9弧长及扇形的面积—2023-2024学年北师大版九年级下册同步测试
一、选择题
1．（2023九上·从江期中）如图所示，有一边长为6 cm的等边三角形ABC木块，点P是CA的延长线上的点，AP为15 cm，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线PDFE的长是（ ）
A．18π cm B．15π cm C．20π cm D．21π cm
2．一块等边三角形木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么点B从开始至结束所经过的路径长为（ ）．
A． B． C．4 D．2+
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135° ，则的长为（ ）．
A．2π B．π C． D．
4．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图所示，已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）.
A． B． C． D．
5．（2023九上·石家庄月考）如图，扇形中，是的中点，交于点，以为半径的交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·安徽期中）某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成两边靠墙（两墙垂直且足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰直角三角形（两直角边靠墙）、扇形这三种方案，如图所示．最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2
C．方案1或方案2 D．方案3
7．（2023九上·玉环期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8-π B．4-π C．2- D．1-
8．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，且B，E是半圆弧的三等分点．若的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·雨花月考）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为 结果保留
10．（2022·菏泽）如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
11．（2023九上·大同期中）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 ．
12．（2023九上·期末）已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径作弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为 cm．(结果保留π)
三、作图题
13．（2023·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为将向右平移5个单位，得到(点A平移后的对应点为C）．
（1）点的坐标是 ，所在圆的圆心坐标是 ；
（2）在图中画出，并连接，；
（3）求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.（结果保留π）
14．（2023九上·宁江期中）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（-2，-2）．
（1）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出（1）中△A1B1C1以C1为旋转中心，逆时针旋转90°得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求旋转过程中边C1A1扫过的面积．
四、解答题
15．（2023九上·雨花月考）如图，以为直径的经过的中点，于点．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求图中阴影部分的面积结果保留根号和．
16．将一物体(视为边长为的正方形从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示，刚开始点与斜面EF上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿EF方向平移至正方形的位置(此时点与点重合)，最后将物体移到车厢平台面MG上.已知，过点作于点H，FH.求：
（1）线段FG的长度.
（2）此过程中点A运动至点所经过的路程.
17．（2023九上·大城期中）图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示．
（1）的度数为 ；
（2）在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长；
（3）请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度．
18．（2023九上·平山期中）如图1，在正方形ABCD中，，点O与点B重合，以点O为圆心，作半径长为5的半圆O，交AB于点E，交AB的延长线于点F，点M，N是的三等分点（点M在点N的左侧）.将半圆O绕点E逆时针旋转，记旋转角为，旋转后，点F的对应点为点.
图1 图2 备用图
（1）如图2，在旋转过程中，当经过点N时.
①求的度数；
②求图中阴影部分的面积；
（2）在旋转过程中，若半圆O与正方形ABCD的边相切，请直接写出点A到切点的距离.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】根据题意可得：∠FCE=∠DBF=∠PAD=120°，CF=3，BF=9，AP=15，
∴，，，
∴曲线PDFE的长=++=，
故答案为：A.
【分析】先利用弧长公式分别求出 ，， 的长，再相加即可.
2．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由图形可知：点B以边长1为半径旋转了2个120°即240°，
∴ 点B从开始至结束所经过的路径长 ，
故答案为：B.
【分析】由图形可知：点B以边长1为半径旋转了240°，利用弧长公式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135° ，
∴∠D=180°-∠B=45° ，
∴∠AOC=2∠D=90°，
∴的长为=π；
故答案为：B.
【分析】连接OA、OC，由圆内接四边形对角互补，可得∠D=180°-∠B=45°，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠D=90°，利用弧长公式计算即可.
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，矩形内接于，连接、，
四边形是矩形，
，
为的直径，
，，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】先利用矩形的性质和圆周角定理证得AC是直径，再通过直角三角形的性质得到的度数，从而求得的度数，接着利用弧长的计算公式求得改建后门洞的圆弧长.
5．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接OD，BD，如图所示：
∵点C是OB的中点，
∴OC=OB=OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△BDO为等边三角形，OD=OB=18，OC=CB=9，
∴CD=OC=，
∴S扇形BOD=，
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-（S扇形BOD-S△COD）
=
=，
故答案为：C.
【分析】先证出△BDO为等边三角形，OD=OB=18，OC=CB=9，求出CD的长，再利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：方案1：设矩形的长为x米，则宽为（10-x）米，
∴，
∴当x=5时，面积最大为25平方米；
方案2：设等腰直角三角形的两直角边为m(m＞0）米，
∴，
解得：(负值舍去），
∴等腰直角三角形的面积为：；
方案3：设扇形的半径为r米，
由题意可得：，
解得：，
∴，
综上所述：方案3的面积最大，
即最佳方案是方案3，
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用二次函数以及矩形，三角形和扇形的面积公式等计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】 解：∵S扇形ACD=，S扇形BEF=，
而AC=BE，∠ACB=90°，
∴S扇形ACD+S扇形BEF=，
∵AB=，BC=2，
∴AC=，
∴S阴影=S△ABC-（S扇形ACD+S扇形BEF）
=×2×1-=1-.
故答案为：D.
【分析】由阴影部分的面积的构成S阴影=S△ABC-（S扇形ACD+S扇形BEF）可求解.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OE、BE，
∵ B，E是半圆弧的三等分点 ，
∴∠BOD=∠BOE=∠AOE=60°，OE垂直平分AB，
∵OE=OA=OB，
∴△BOE、△AOE是等边三角形，
∴∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，
∴BE∥AO，
∴△BOE的面积=△ABE的面积，
∵的长为 ，
∴，
∴R=2，
∴AB=，BC=，
∴AC=BC=3，
∴△ABC的面积=，
∴ 图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积=-= ；
故答案为：C.
【分析】连接OB、OE、BE，△BOE、△AOE是等边三角形，可得∠BEO=∠EOA=60°，∠BAC=30°，从而得出BE∥AO，根据同底等高可得△BOE的面积=△ABE的面积，由的长为可求出R=2，根据图中阴影部分的面积为△ABC的面积-扇形BOE的面积进行计算即可.
9．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OD，如图所示，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴。
故答案为： .
【分析】连接OC、OD构造扇形OCD，根据切线的性质和四边形内角和求出圆心角，再利用弧长公式求解。
10．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵等腰中，
∴BC=2
∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1；
所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC．
故答案为：．
【分析】先求出BC=2，再利用扇形面积公式计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点C，如图：
由题意可知：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【分析】连接，过点O作于点C，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
12．【答案】8π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：正六边形的每一个外角为360°÷6=60°，则正六边形的每一个内角为180° -60°=120° .
∴三条弧所对的圆心角为120° .
∴三条弧的长度之和为（cm).
故答案为： 8π
【分析】先求出正六边形的每一个内角，然后根据弧长公式，即可得到三条弧的长度之和.
13．【答案】（1）（5，2）；（5，0）
（2）解：在图中画出弧CD，并连接AC，BD，见下图；
（3）解：弧AB和弧CD长度相等，均为，
而，
则封闭图形的周长=弧AB+弧DC+BD+AC=2+10．
【知识点】弧长的计算；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵B（0，2），将弧AB向右平移5个单位，点B的对应点是点D，弧AB所在圆的圆心为（0，0），
∴D（5，2），弧CD所在圆的圆心坐标是（5，0）；
故答案为：（5，2），（5，0）；
【分析】（1）根据点的坐标的平移规律“横坐标，左移减，右移加”可得答案；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，作图即可；
（3）先根据弧长计算先算出弧AB、CD的长，再根据图形周长计算方法计算即可.
14．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图所示，△A2B2C1即为所求，A2的坐标是（-1，5）
（3）解：C1A1扫过的面积为4.5π
【知识点】扇形面积的计算；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）如图所示：
（2）如图所示：
∴点A2的坐标为（-1，5）；
（3）根据题意可得：A1C1=，
∴旋转过程中边C1A1扫过的面积=S扇形A1A2C1=，
故答案为：4.5π.
【分析】（1）利用中心对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用旋转的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接并直接写出点A2的坐标即可；
（3）利用扇形面积公式列出算式求解即可.
15．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
点在圆上，
为的切线
（2）解：过点作，垂足为，如图所示：
则，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
阴影部分面积．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1） 连接 构造中位线，根据中位线的性质和切线的判定定理证明即可；
（2） 过点作， 利用垂径定理，结合直角三角形的性质求高OF，根据扇形的面积公式求扇形的面积。
16．【答案】（1）解：，
（2）解：四边形是边长为的正方形
，
，
点A运动至点所经过的路程4m
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；弧长的计算
【解析】【分析】(1)先利用平行线的性质证得是含有的直角三角形，再通过直角三角形的性质求得FG的长度.
(2)利用弧长的计算公式求得点A到A1的路程，进而得到点A运动至点A2所经过的路程.
17．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴的长度更长；
（3）解：如图，过圆心作于点，交圆于点，则为汤的最大深度，且，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即汤的最大深度为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】（1）解：∵，∠CAB=60°
∴ ∠COB=2∠CAB=120°
【分析】本题考查圆的圆周角定理和圆心角的数量关系、垂径定理、30°的直角三角形和弧长公式等知识。
（1）根据同圆中，同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得∠COB=2∠CAB=120°；
（2）根据弧长公式（弧长=，n为弧所对的圆心角度数）计算 的长，与AB比较大小即可；
（3）根据垂径定理，过圆心O作ON⊥BC于点M，交圆O于点N，则MN为汤的最大深度，得BM=CM；由圆心角∠COB=120°，得．则OM=OB，得MN=ON-OM．
18．【答案】（1）解：①连接BN.
∵点M，N是弧EF的三等分点，∴，∴，即的度数为；（4分）
②（或）
（2）点A到切点的距离为3或或.
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：(2)∵当时，半圆O与AB相切，此时切点为E，
∴；
如图1，当半圆O与CD相切时，设切点为R，连接OR，AR，并延长RO交AB于点T，
∴.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形RCBT是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2，当半圆O与AD相切时，设切点为P，连接OP，过点E作于点S，
∴.
又∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴四边形PAES是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴.
综上所述，点A到切点的距离为3或或
【分析】（1）①连接BN，根据点M，N是弧EF的三等分点，可得∠FBN=60°，再根据圆周角定理即可得出α=30°；
②根据，即可得出答案；
（2）可分类讨论：①半圆O与AB相切；②当半圆O与CD相切时；当半圆O与AD相切时三种情况，画出相应的几何图形，根据切线的性质即可得出答案。
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