【A卷】第三章 圆—北师大版九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·河西期中）下列结论不正确的是（ ）
A．圆心也是圆的一部分
B．一个圆中最长的弦是直径
C．圆是轴对称图形
D．等弧所在的圆一定是等圆或同圆
2．（2023九上·大城期中）如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·宁江期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若∠COB=65°，则∠BAD的度数是（ ）
A．25° B．65° C．32.5° D．50°
4．（2021九上·滨海期中）如图，四边形ABCD为 的内接四边形，已知 ，则 的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．（2023九上·龙湾期中）若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023九上·石家庄期中） 如图，、分别与相切于A、B两点，且，若点C是上异于点A，B的一点，则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2020九上·无为期末）如图， 、 切 于点 、 ，点 是 上一点，且 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九下·咸宁月考）如图，正五边形内接于，其半径为1，作交于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，⊙O的半径为5，是△ABC的外接圆．若∠ABC=25°，则劣弧AC的长为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023九上·雨花月考）如图，的半径是，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·江源月考）已知⊙O的半径为4cm，OP =2cm，则点P在⊙O （填“内"、“外”或“上”）．
12．（2024九上·丰台期中） 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．
13．（2023九上·楚雄期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠ABO的度数是 ．
14．（2023九上·石家庄期中） 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点．
15．（2023九上·从江期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域(阴影部分)的面积为 (结果用含π的式子表示).
三、解答题（共8题，共55分）
16．（2022九上·镇海区期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，将绕点A按顺时针方向旋转90°得到.
（1）在正方形网格中，画出；
（2）求出点C经过的路线长度；
（3）计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积.
17．（2021九上·南沙期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．
18．（2020九上·广东开学考）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米，这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由.
19．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，连结AE，⊙O的半径为2cm．
（1）求∠AED的度数和弧AB的长．
（2）求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比．
20．（2023九下·深圳月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，过点C作一条射线CD．
（1）请从以下条件中：①CD∥AO，∠ABC=45°；②∠BCD=∠BAC；③CB平分∠ACD．选择一组能证明CD是⊙O的切线的条件，并写出证明过程；
（2）若OA=2，∠OAB=22.5°，AB=CB，求的长度．(结果保留π)
21．（2022九下·浦江月考）如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．
（1）求证：∠CPB=2∠ABC．
（2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长．
22．（2022九上·中山期末）如图，与等边的边、分别交于点、，是的直径，过点作于点．
（1）求证：是的切线：
（2）已知的半径为3，连接，当等边的边长为多少时，与相切？
23．（初中数学北师大版九年级下册第三章 圆练习题 (1)）操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：A圆心不是圆的一部分，圆是指圆周，结论不正确，符合题意；
B. 一个圆中最长的弦是直径，结论正确，不符合题意；
C. 圆是轴对称图形，结论正确，不符合题意；
D. 等弧所在的圆一定是等圆或同圆，结论正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据圆的相关定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB 为的切线，
∴ ∠OBA=90°
∵ ∠D=24°
∴ ∠AOB=48°
∴ ∠A=42°
故答案为：B
【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角与圆心角的数量关系。同圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的2倍，可得∠AOB，根据切线可得∠OBA=90°，即可得结论。
3．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵直径AB⊥CD，
∴
∴∠BOD=∠AOB=65°，
∵，
∴∠BAD=∠BOD=32.5°，
故答案为：C.
【分析】先利用垂径定理的性质可得∠BOD=∠AOB=65°，再利用圆周角的性质可得∠BAD=∠BOD=32.5°.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°，
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴三角形为直角三角形，
∴这个三角形外接圆是以斜边为直径，
∴半径为5.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理得这个三角形为直角三角形，根据圆周角定理得斜边为直径，半径即可求得.
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图
当点C在优弧AB上时
∵、分别与相切于A、B两点
∴
∵
∴
∴
当C在劣弧AB上时，即为C'
∵四边形AC'BC是圆内角四边形
∴
故答案为：D
【分析】当点C在优弧AB上时，根据切线性质可得，再根据四边形内角和可得，再根据圆周角定理可得，当C在劣弧AB上时，即为C'，根据圆内接四边形性质可得，即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接
、 切 于点 、 ，
故答案为：B
【分析】如图，连接 、 切 于点 、 ，可得出再利用四边形的内角和定理可得的度数，再利用，即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：多边形为正五边形，
的度数相等，
，
的度数，
的度数，
的长度．
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质可得：的度数相等，均为72°，则的度数为36°，的度数为108°，接下来利用弧长公式进行计算.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC=25° ，
∴∠AOC=2∠ABC=50°，
∴ 劣弧AC的长为=，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再利用弧长公式计算即可.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： ∵AP为的切线，
∴，且OA=1，
∴当OP最小时，AP最小，
∴OP垂直直线时，OP最小，
当x=0时，y=2；当y=0时，有-x+2=0，解得：x=2，
∴直线与坐标轴的交点坐标为M（0，2）、N（2，0），
∴OM=ON=2，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得△AOP是直角三角形，当OP最小时，AP最小，抓住OP垂直直线时，OP最小，通过求一次函数与坐标轴交点坐标，结合等腰直角三角形的性质计算。
11．【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：⊙O的半径r为4cm，OP =2cm，
r>2，
P在⊙O内，
故答案为：内.
【分析】根据 ⊙O的半径为4cm，OP =2cm， 即可得出结论.
12．【答案】26
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】弦CDAB，AB为⊙O的直径，
E为CD的中点，
又CD=10寸，
CE=DE=CD=5寸，
设OC=OA=m寸，则AB=2m寸，OE=（m-1）寸，
由勾股定理得：
解得m=13，
AB=26寸.
【分析】根据 弦CD⊥AB于点E， 利用垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC=OA=m寸，则AB=2m寸，OE=（m-1）寸，利用勾股定理求解m的值进而得出结论.
13．【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB=2∠ACB＝60°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA=∠OAB=(180°-∠AOB)=60°.
故答案为：60°.
【分析】利用圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB＝60°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠OBA=∠OAB=(180°-∠AOB)，继而得解.
14．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：
解得：x=3或x=-1（舍去）
则的半径r=3
∵圆心O到直线l的距离为4，且r=3<4
∴直线与圆不相交，无交点
故答案为：0
【分析】根据因式分解法求出一元二次方程的根，则的半径r=3，再根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
15．【答案】π
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=，
∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，
∴∠C1AC=90°，
∴S阴影=S扇形B1AB+S△B1AC1-S△ACB-S扇形C1AC
=S扇形B1AB-S扇形C1AC
=
=π，
故答案为：π.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用扇形面积公式，三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
16．【答案】（1）解：作图如下：即为所求；
（2）解：由图可知：，
点经过的路线为：；
（3）解：由图可知：，
线段在变换到的过程中扫过区域的面积为扇形面积.
【知识点】勾股定理；弧长的计算；扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B′、C′，然后顺次连接即可；
（2）由图可知AC=AC′=4，∠CAC′=90°，易得点C经过的路径为半径为4，圆心角为90°的扇形的弧长，然后结合弧长公式进行计算；
（3）利用勾股定理可得AB的值，易得线段AB在变换到AB′的过程中扫过的面积为以5为圆心，圆心角为90°的扇形的面积，据此计算.
17．【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
∵
∴
∵点C为的中点
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】利用圆内接四边形的性质可得，再利用可得。
18．【答案】解：如图，
设M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于点C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
则CD=MN=1.6，AB=2，
∴CE=DE=0.8，
∵OC=OA=1，
在Rt△OCE中，OE=，
∴CM=2.3+0.6=2.9>2.5，
∴这辆卡车能通过.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】首先根据题意画出图形，根据勾股定理求出OE的长度，从而求出CM的长度，判断CM的长度与2.5的大小关系，如果CM大于2.5可以通过，否则不能通过，即可求解.
19．【答案】（1）解：∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形 ，
∴∠F=∠FED=（6-2）×180°=120°，AF=FE，
∴∠AEF=∠FAE=×（180°-120°）=30°，
∴∠AED=∠FED-∠AEF=120°-30°=90°，
连接OA，OB，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∴ 弧AB的长为cm.
（2）解：正六边形ABCDEF的面积为6S△AOB=6××22=cm2，
⊙O的面积为π×22=4πcm2，
∴ 正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比：4π= .
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形；弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）由正六边形的性质可得∠F=∠FED=120°，AF=FE，利用等腰三角形的性质求出∠AEF=∠FAE=30°，从而求出∠AED=∠FED-∠AEF的度数；连接OA，OB，求出∠AOB的度数，再利用弧长公式计算即可；
（2）分别求出正六边形ABCDEF和⊙O的的面积，继而求出比值即可.
20．【答案】（1）证明：选择①CD∥AO，∠ABC＝45°，
连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝90°，即OC⊥OA，
∵CD∥AO，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OB，
∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO＝∠OAB＝22.5°，∠BOC＝∠AOB＝180°-22.5°-22.5°＝135°，
∴的长度：
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】（1）证明：选择①CD∥AO，∠ABC＝45°，
连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝90°，即OC⊥OA，
∵CD∥AO，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OB，
∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO＝∠OAB＝22.5°，∠BOC＝∠AOB＝180°-22.5°-22.5°＝135°，
∴的长度：
【分析】（1）选择①，利用圆周角定理，平行线的性质得出OC⊥CD即可；
（2）求出弧BC所对圆心角的度数，利用弧长公式进行计算即可．
21．【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵PB，PC 是OO的两条切线 ∴PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°， ∴∠CPB+ㄥBOC=180° ∵∠DOC+∠BOC=180° ∴∠CPB =∠COD ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC ∴∠COD=2∠ABC ∴∠CPB=2∠ABC.
（2）解：∵PC 是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵圆O 的半径为2，sin∠PDB=，
∴sin∠CDO=，
∴OD=3，
∴DC=
设 PC=x，
∴BD2+PB2=PD2
∴(x+ )2=x2+52，
解得 x= ，
∴PC= .
【知识点】勾股定理；同角三角函数的关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°，再结合∠DOC+∠BOC=180°，从而得到∠CPB =∠COD，再通过∠COD=2∠ABC等量代换即可求证∠CPB=2∠ABC成立；
（2）由切线性质及sin ∠PDB= ，可得出sin∠CDO＝，求出OD＝3，设PC＝x，利用勾股定理列出关于x的一元二次方程，解得x即可求出PC.
22．【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线
（2）解：∵ 都是 的切线，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当等边 的边长为9时， 与 相切．
【知识点】等边三角形的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合OD是的半径，可得DF是的切线；
（2）根据切线的性质可得，再利用“AAS”证出，可得，再结合，证出 是等边三角形，最后求出即可。
23．【答案】（1）解：对角互补（对角之和等于180°）；
∵矩形、正方形的对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上；
四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补
（2）解：图4中，∠B+∠D＜180°．
图5中，∠B+∠D＞180°．
过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：对角互补（对角之和等于180°）
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补可知这些四边形的对角互补．
1 / 1【A卷】第三章 圆—北师大版九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·河西期中）下列结论不正确的是（ ）
A．圆心也是圆的一部分
B．一个圆中最长的弦是直径
C．圆是轴对称图形
D．等弧所在的圆一定是等圆或同圆
【答案】A
【知识点】圆的相关概念；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：A圆心不是圆的一部分，圆是指圆周，结论不正确，符合题意；
B. 一个圆中最长的弦是直径，结论正确，不符合题意；
C. 圆是轴对称图形，结论正确，不符合题意；
D. 等弧所在的圆一定是等圆或同圆，结论正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据圆的相关定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2023九上·大城期中）如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB 为的切线，
∴ ∠OBA=90°
∵ ∠D=24°
∴ ∠AOB=48°
∴ ∠A=42°
故答案为：B
【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角与圆心角的数量关系。同圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的2倍，可得∠AOB，根据切线可得∠OBA=90°，即可得结论。
3．（2023九上·宁江期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若∠COB=65°，则∠BAD的度数是（ ）
A．25° B．65° C．32.5° D．50°
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵直径AB⊥CD，
∴
∴∠BOD=∠AOB=65°，
∵，
∴∠BAD=∠BOD=32.5°，
故答案为：C.
【分析】先利用垂径定理的性质可得∠BOD=∠AOB=65°，再利用圆周角的性质可得∠BAD=∠BOD=32.5°.
4．（2021九上·滨海期中）如图，四边形ABCD为 的内接四边形，已知 ，则 的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°，
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理即可得出答案。
5．（2023九上·龙湾期中）若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴三角形为直角三角形，
∴这个三角形外接圆是以斜边为直径，
∴半径为5.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理得这个三角形为直角三角形，根据圆周角定理得斜边为直径，半径即可求得.
6．（2023九上·石家庄期中） 如图，、分别与相切于A、B两点，且，若点C是上异于点A，B的一点，则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图
当点C在优弧AB上时
∵、分别与相切于A、B两点
∴
∵
∴
∴
当C在劣弧AB上时，即为C'
∵四边形AC'BC是圆内角四边形
∴
故答案为：D
【分析】当点C在优弧AB上时，根据切线性质可得，再根据四边形内角和可得，再根据圆周角定理可得，当C在劣弧AB上时，即为C'，根据圆内接四边形性质可得，即可求出答案.
7．（2020九上·无为期末）如图， 、 切 于点 、 ，点 是 上一点，且 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接
、 切 于点 、 ，
故答案为：B
【分析】如图，连接 、 切 于点 、 ，可得出再利用四边形的内角和定理可得的度数，再利用，即可得出答案。
8．（2023九下·咸宁月考）如图，正五边形内接于，其半径为1，作交于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：多边形为正五边形，
的度数相等，
，
的度数，
的度数，
的长度．
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质可得：的度数相等，均为72°，则的度数为36°，的度数为108°，接下来利用弧长公式进行计算.
9．如图，⊙O的半径为5，是△ABC的外接圆．若∠ABC=25°，则劣弧AC的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ ∠ABC=25° ，
∴∠AOC=2∠ABC=50°，
∴ 劣弧AC的长为=，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求出∠AOC的度数，再利用弧长公式计算即可.
10．（2023九上·雨花月考）如图，的半径是，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： ∵AP为的切线，
∴，且OA=1，
∴当OP最小时，AP最小，
∴OP垂直直线时，OP最小，
当x=0时，y=2；当y=0时，有-x+2=0，解得：x=2，
∴直线与坐标轴的交点坐标为M（0，2）、N（2，0），
∴OM=ON=2，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得△AOP是直角三角形，当OP最小时，AP最小，抓住OP垂直直线时，OP最小，通过求一次函数与坐标轴交点坐标，结合等腰直角三角形的性质计算。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023九上·江源月考）已知⊙O的半径为4cm，OP =2cm，则点P在⊙O （填“内"、“外”或“上”）．
【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：⊙O的半径r为4cm，OP =2cm，
r>2，
P在⊙O内，
故答案为：内.
【分析】根据 ⊙O的半径为4cm，OP =2cm， 即可得出结论.
12．（2024九上·丰台期中） 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 寸．
【答案】26
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】弦CDAB，AB为⊙O的直径，
E为CD的中点，
又CD=10寸，
CE=DE=CD=5寸，
设OC=OA=m寸，则AB=2m寸，OE=（m-1）寸，
由勾股定理得：
解得m=13，
AB=26寸.
【分析】根据 弦CD⊥AB于点E， 利用垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC=OA=m寸，则AB=2m寸，OE=（m-1）寸，利用勾股定理求解m的值进而得出结论.
13．（2023九上·楚雄期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠ABO的度数是 ．
【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB=2∠ACB＝60°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OBA=∠OAB=(180°-∠AOB)=60°.
故答案为：60°.
【分析】利用圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB＝60°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠OBA=∠OAB=(180°-∠AOB)，继而得解.
14．（2023九上·石家庄期中） 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：
解得：x=3或x=-1（舍去）
则的半径r=3
∵圆心O到直线l的距离为4，且r=3<4
∴直线与圆不相交，无交点
故答案为：0
【分析】根据因式分解法求出一元二次方程的根，则的半径r=3，再根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
15．（2023九上·从江期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域(阴影部分)的面积为 (结果用含π的式子表示).
【答案】π
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=，
∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，
∴∠C1AC=90°，
∴S阴影=S扇形B1AB+S△B1AC1-S△ACB-S扇形C1AC
=S扇形B1AB-S扇形C1AC
=
=π，
故答案为：π.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用扇形面积公式，三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
三、解答题（共8题，共55分）
16．（2022九上·镇海区期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上，将绕点A按顺时针方向旋转90°得到.
（1）在正方形网格中，画出；
（2）求出点C经过的路线长度；
（3）计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积.
【答案】（1）解：作图如下：即为所求；
（2）解：由图可知：，
点经过的路线为：；
（3）解：由图可知：，
线段在变换到的过程中扫过区域的面积为扇形面积.
【知识点】勾股定理；弧长的计算；扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B′、C′，然后顺次连接即可；
（2）由图可知AC=AC′=4，∠CAC′=90°，易得点C经过的路径为半径为4，圆心角为90°的扇形的弧长，然后结合弧长公式进行计算；
（3）利用勾股定理可得AB的值，易得线段AB在变换到AB′的过程中扫过的面积为以5为圆心，圆心角为90°的扇形的面积，据此计算.
17．（2021九上·南沙期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
∵
∴
∵点C为的中点
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】利用圆内接四边形的性质可得，再利用可得。
18．（2020九上·广东开学考）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米，这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由.
【答案】解：如图，
设M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于点C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
则CD=MN=1.6，AB=2，
∴CE=DE=0.8，
∵OC=OA=1，
在Rt△OCE中，OE=，
∴CM=2.3+0.6=2.9>2.5，
∴这辆卡车能通过.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】首先根据题意画出图形，根据勾股定理求出OE的长度，从而求出CM的长度，判断CM的长度与2.5的大小关系，如果CM大于2.5可以通过，否则不能通过，即可求解.
19．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，连结AE，⊙O的半径为2cm．
（1）求∠AED的度数和弧AB的长．
（2）求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比．
【答案】（1）解：∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形 ，
∴∠F=∠FED=（6-2）×180°=120°，AF=FE，
∴∠AEF=∠FAE=×（180°-120°）=30°，
∴∠AED=∠FED-∠AEF=120°-30°=90°，
连接OA，OB，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∴ 弧AB的长为cm.
（2）解：正六边形ABCDEF的面积为6S△AOB=6××22=cm2，
⊙O的面积为π×22=4πcm2，
∴ 正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比：4π= .
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形；弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）由正六边形的性质可得∠F=∠FED=120°，AF=FE，利用等腰三角形的性质求出∠AEF=∠FAE=30°，从而求出∠AED=∠FED-∠AEF的度数；连接OA，OB，求出∠AOB的度数，再利用弧长公式计算即可；
（2）分别求出正六边形ABCDEF和⊙O的的面积，继而求出比值即可.
20．（2023九下·深圳月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，过点C作一条射线CD．
（1）请从以下条件中：①CD∥AO，∠ABC=45°；②∠BCD=∠BAC；③CB平分∠ACD．选择一组能证明CD是⊙O的切线的条件，并写出证明过程；
（2）若OA=2，∠OAB=22.5°，AB=CB，求的长度．(结果保留π)
【答案】（1）证明：选择①CD∥AO，∠ABC＝45°，
连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝90°，即OC⊥OA，
∵CD∥AO，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OB，
∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO＝∠OAB＝22.5°，∠BOC＝∠AOB＝180°-22.5°-22.5°＝135°，
∴的长度：
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】（1）证明：选择①CD∥AO，∠ABC＝45°，
连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝90°，即OC⊥OA，
∵CD∥AO，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OB，
∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO＝∠OAB＝22.5°，∠BOC＝∠AOB＝180°-22.5°-22.5°＝135°，
∴的长度：
【分析】（1）选择①，利用圆周角定理，平行线的性质得出OC⊥CD即可；
（2）求出弧BC所对圆心角的度数，利用弧长公式进行计算即可．
21．（2022九下·浦江月考）如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．
（1）求证：∠CPB=2∠ABC．
（2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵PB，PC 是OO的两条切线 ∴PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°， ∴∠CPB+ㄥBOC=180° ∵∠DOC+∠BOC=180° ∴∠CPB =∠COD ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC ∴∠COD=2∠ABC ∴∠CPB=2∠ABC.
（2）解：∵PC 是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵圆O 的半径为2，sin∠PDB=，
∴sin∠CDO=，
∴OD=3，
∴DC=
设 PC=x，
∴BD2+PB2=PD2
∴(x+ )2=x2+52，
解得 x= ，
∴PC= .
【知识点】勾股定理；同角三角函数的关系；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°，再结合∠DOC+∠BOC=180°，从而得到∠CPB =∠COD，再通过∠COD=2∠ABC等量代换即可求证∠CPB=2∠ABC成立；
（2）由切线性质及sin ∠PDB= ，可得出sin∠CDO＝，求出OD＝3，设PC＝x，利用勾股定理列出关于x的一元二次方程，解得x即可求出PC.
22．（2022九上·中山期末）如图，与等边的边、分别交于点、，是的直径，过点作于点．
（1）求证：是的切线：
（2）已知的半径为3，连接，当等边的边长为多少时，与相切？
【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线
（2）解：∵ 都是 的切线，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当等边 的边长为9时， 与 相切．
【知识点】等边三角形的性质；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合OD是的半径，可得DF是的切线；
（2）根据切线的性质可得，再利用“AAS”证出，可得，再结合，证出 是等边三角形，最后求出即可。
23．（初中数学北师大版九年级下册第三章 圆练习题 (1)）操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
【答案】（1）解：对角互补（对角之和等于180°）；
∵矩形、正方形的对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形、正方形的四个顶点可在同一个圆上；
四个顶点在同一个圆上的四边形的对角互补
（2）解：图4中，∠B+∠D＜180°．
图5中，∠B+∠D＞180°．
过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：对角互补（对角之和等于180°）
【知识点】多边形内角与外角；圆内接四边形的性质；确定圆的条件
【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补可知这些四边形的对角互补．
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