2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（B卷）
一、选择题
1. 已知集合M={1,2},N={-1,0,1},则M∪N=( )
A{0,1,2} B. {1} C. {0,1} D. {-1,0,1,2}
【答案】D
【解析】∵M={1,2},N={-1,0,1}，∴M∪N={-1,0,1,2}，故选D
2. 函数y=的定义域是( )
A. ［2，+） B. (2,+) C. (-,2) D. (-,2］
【答案】A
【解析】∵有意义，∴x-2≥0，即x≥2}，所以函数y=的定义域是［2，+），故选A
3. 已知角α的顶点为坐标原点，始边为z轴的正半轴，终边过点(3,4),则角α的正切值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据公式tanα= = ，故选D
4. 命题P:“x∈R,x ≥0”的否定是（ ）
A. x∈R,x ＜0 B. ∈R,x2≥0
C. x∈R,x ≥0 D. ∈R,x2＜0
【答案】B
【解析】命题P:“x∈R,x ≥0”的否定是“B. ∈R,x2≥0”，故选B
5. 下列函数图像中，为偶函数的是( )
【答案】C
【解析】根据偶函数的图像性质可知，关于y轴对称的函数是偶函数，
故选C
6. 不等式x +4x-12<0的解集为( )
A. {x|-6C. {x|-6【答案】A
【解析】由x +4x-12<0得，（x+6）（x-2）＜0，解得-67. 要得到f（x）=cos（x-）的图像，需将余弦函数图像（ ）
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
【答案】B
【解析】函数图像平移左加右减，所以余弦函数y=cosx，向右平移个单位长度得到f（x）=cos（x-）的图像，故选B
8. 已知函数f(x)=log3x,则f(9)=( )
A. 1 B. -2 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】f(9)=log39=2，故选C
9. sin30°cos60°+cos30°sin60°=（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】 sin30°cos60°+cos30°sin60°=sin（30°+60°）=sin90°=1，故选C
10. 已知向量=(x,3),=(2,1),⊥,则x=（ ）
A. 6 B. C. -6 D. -
【答案】A
【解析】∵⊥，∴=0，即2x+3×1=0，解得x=-故，故选A
11. 从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4,4,4,7,7,8,8,9,9,10,根据这组数据，下列说法正确的是( )
A. 众数是7 B. 平均数是7
C. 第75百分位数是8.5 D. 中位数是8
【答案】B
【解析】由题意可知，众数是4，A错；中位数为=7.5，D错；平均数为=7，B对；因为为10×75%=7.5，所以第75百分位数为第8个数9，C错；故选B
12. 已知l,m均为直线，且直线m α,则“l⊥α”是“l⊥m”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为l⊥α，且直线m α，所以l⊥m，即“l⊥α”能推出来“l⊥m”；因为没有指明l是否在α内，所以“l⊥m”不能推出来“l⊥α”故选A
二、填空题
13. 已知复数z=2-i,则=
【答案】2+i
【解析】∵z=2-i，∴=2+i，故选D
已知幂函数f(x)=xa过点(2,4),则a=
【答案】2
【解析】∵幂函数f(x)=xa过点(2,4)，∴2a=4，解得a=2
15. 函数的最小正周期为
【答案】π
【解析】函数的最小正周期为T===π
16.已知x>0,则x+的最小值为
【答案】4
【解析】∵x＞0，∴x+≥2=4
一个边长为2的正方体八个顶点都在一个球上，则球的半径为
【答案】
【解析】正方体外接球的直径等于体对角线长，即r==
三个人过关，甲带560元，乙带350元，丙带180元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交 元. (结果保留整数)
【答案】32
【解析】乙应交×100≈32
三、解答题
19. 已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=5,b=8,C=
(1)求c;
(2)求sinB。
【答案】（1）∵a=5，b=8，C=，∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即c2=25+64-2×5×8×=49，∴c=7
∵c=7，C=，，b=8
∴由正弦定理得=，即=，∴sinB=
20. 某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电最不超过200kw·h的部分按0. 6元/(kw·h)收费，超过200kw·h的部分，按1. 2元/(kw·h)收费。
设某用户的用电量为x kw·h,对应电费为y元。
(1)请写出y关于x的函数解析式；
(2)某居民本月的用电量为230kw·h,求此用户本月应缴纳的电费。
【答案】（1）由题意得，当0≤x≤200时，y=0.6x，当x＞200时，y=0.6×200+（x-200）×1.2=1.2x-120
综上所述，y=
当用电为230kw h时，由（1）知y=1.2x-120
所以y=1.2×230-120=156元
答：（1）函数解析式为y=（2）此用户本月应交156元
21. 在一次猜灯速的活动中，共有20道灯谜，甲乙两名同学之间独立竞猜。甲同学猜对了16道，乙同学猜对了12道，假设猜对每道灯谜都是等可能的。
(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率：
(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率。
【答案】（1）设任选一道灯谜，甲猜对的概率为A，乙猜对的概率为B，则由题意得P（A）==，P（B）==
由题意和（1）可知，任选一道灯谜甲乙都没答对的概率是P（C）=（1-）×（1-）=，则任选一道灯谜，甲和乙至少一人猜对的概率为P（D）=1-P（C）=1-=
答：（1）甲猜对的概率为，乙猜对的概率为；（2）甲和乙至少一人猜对的概率为
22. 如图，直线EA和直线DC均垂直于平面ABC,且AB⊥AC,AB=AC=AE=2,F为线段BE上一动点.
(1)求证DC//平面ABE；
(2)求△ACF面积的最小值。
【答案】（1）∵DC⊥平面ABC，EA⊥平面ABC
∴DC∥EA
又∵EA 平面ABE，DC 平面ABE
∴DC∥平面ABE
∵EA⊥平面ABC，AB、AC 平面ABC
∴EA⊥AC，EA⊥AB
∵AC⊥AB，EA 平面ABE，AB 平面ABE，EA∩AB=A
∴AC⊥平面ABE
∵AF 平面ABE，AC 平面ABE
∴AC⊥AF
∵AC=2
∴S△ACF=AC AF=AF
即AF最小时，S△ACF最小
∵F为线段BE上一点
∴当AF⊥BE时，AF最小
∵AE=AB=2
∴△EAB为等腰直角三角形
∴∠ABF=45°
∴AF=ABsin45°=
∴S△ACF=2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（B卷）
一、选择题
1. 已知集合M={1,2},N={-1,0,1},则M∪N=( )
A{0,1,2} B. {1} C. {0,1} D. {-1,0,1,2}
2. 函数y=的定义域是( )
A. ［2，+） B. (2,+) C. (-,2) D. (-,2］
3. 已知角α的顶点为坐标原点，始边为z轴的正半轴，终边过点(3,4),则角α的正切值为( )
A. B. C. D.
4. 命题P:“x∈R,x ≥0”的否定是（ ）
A. x∈R,x ＜0 B. ∈R,x2≥0
C. x∈R,x ≥0 D. ∈R,x2＜0
5. 下列函数图像中，为偶函数的是( )
6. 不等式x +4x-12<0的解集为( )
A. {x|-6C. {x|-67. 要得到f（x）=cos（x-）的图像，需将余弦函数图像（ ）
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
8. 已知函数f(x)=log3x,则f(9)=( )
A. 1 B. -2 C. 2 D. 4
9. sin30°cos60°+cos30°sin60°=（ ）
A. B. C. 1 D. 2
10. 已知向量=(x,3),=(2,1),⊥,则x=（ ）
A. 6 B. C. -6 D. -
11. 从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4,4,4,7,7,8,8,9,9,10,根据这组数据，下列说法正确的是( )
A. 众数是7 B. 平均数是7
C. 第75百分位数是8.5 D. 中位数是8
12. 已知l,m均为直线，且直线m α,则“l⊥α”是“l⊥m”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题
13. 已知复数z=2-i,则=
已知幂函数f(x)=xa过点(2,4),则a=
15. 函数的最小正周期为
16.已知x>0,则x+的最小值为
一个边长为2的正方体八个顶点都在一个球上，则球的半径为
三个人过关，甲带560元，乙带350元，丙带180元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交 元. (结果保留整数)
三、解答题
19. 已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=5,b=8,C=
(1)求c;
(2)求sinB。
20. 某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电最不超过200kw·h的部分按0. 6元/(kw·h)收费，超过200kw·h的部分，按1. 2元/(kw·h)收费。
设某用户的用电量为x kw·h,对应电费为y元。
(1)请写出y关于x的函数解析式；
(2)某居民本月的用电量为230kw·h,求此用户本月应缴纳的电费。
21. 在一次猜灯速的活动中，共有20道灯谜，甲乙两名同学之间独立竞猜。甲同学猜对了16道，乙同学猜对了12道，假设猜对每道灯谜都是等可能的。
(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率：
(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率。
22. 如图，直线EA和直线DC均垂直于平面ABC,且AB⊥AC,AB=AC=AE=2,F为线段BE上一动点.
(1)求证DC//平面ABE；
(2)求△ACF面积的最小值。
