新人教版九年级上册数学《22.2 二次函数与一元二次方程》教案

教学时间 课题 22.2用函数的观点看一元二次方程（1） 课型 新授课
教学目标 知　识和能　力 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
过　程和方　法 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
情　感态　度价值观 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点 使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题
教学难点 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、引言 在现实 ( http: / / www.21cnjy.com )生活中，我们常常会遇到与二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水 ( http: / / www.21cnjy.com )池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋。(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少 (2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内 教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为 ( http: / / www.21cnjy.com )数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导；3．让一两位同学板演，教师讲评。问题2：一个涵洞成抛物线形 ( http: / / www.21cnjy.com )，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少 是否会超过1m 教学要点1．教师分析：根据已知条件，要求ED的 ( http: / / www.21cnjy.com )宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。2．让学生完成解答，教师巡视指导。3．教师分析存在的问题，书写解答过程。解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的 函数关系式为：y＝ax2 (a＜0) (1)因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －2.4＝a×0.82 所以：a＝－因此，函数关系式是 y＝－x2 (2)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0 这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系 (3)你能从中得到什么启发 教学要点1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象。2．教师巡视，与学生合作、交流。3．教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，0)。5．让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。6．对于问题(3)，教师组织学生分 ( http: / / www.21cnjy.com )组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解。更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。三、试一试 根据问题3的图象回答下列问题。 (1)当x取何值时，y＜0 当x取何值时，y＞0 (当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0) (2)能否用含有x的不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )来描述(1)中的问题 (能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么 x2－x－＞0的解集是什么 ) 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识： (1)从“形”的方面看，二次函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )ax2＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。 (2)从“数”的方 ( http: / / www.21cnjy.com )面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。四、小结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获 有什么困惑 2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况。
作业设计
教学反思
教学时间 课题 23.2用函数的观点看一元二次方程（2） 课型 新授课
教学目标 知　识和能　力 复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解
过　程和方　法 让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的 ( http: / / www.21cnjy.com )交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。
情　感态　度价值观 提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
教学重点 用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力
教学难点 提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、复习巩固 1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解 2．完成以下两道题： (1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解。(精确到0.1) (2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解。 教学要点 1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。 解：略 函数y＝2x2－3x－2的图象与x轴交点的横坐标分别是x1＝－和x2＝2，所以一元二次方程的解是x1＝－和x2＝2。二、探索问题 问题1：(P23问题4)育才中 ( http: / / www.21cnjy.com )学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2＝x十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2－x－3＝0，画出函数y＝x2－x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝x＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解． 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗 2．小刘解法的理由是什么 让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。 3．函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗 你能否举出例子加以说明 4，函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗 5．如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样 三、做一做 利用图23．3．4，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。 (1)x2＋x－1＝0(精确到0.1)； (2)2x2－3x－2＝0。 教学要点：①要把(1)的方程转化为x2＝－x＋1，画函数y＝x2和y＝－x＋1的图象； ②要把(2)的方程转化为x ( http: / / www.21cnjy.com )2＝x＋1，画函数y＝x2和y＝x＋1的图象；③在学生练习的同时，教师巡视指导；④解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。四、综合运用 已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)。 (1)求这两个函数的关系式； (2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。 解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1 所以y1＝x＋1，P(3，4)。 因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有 4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2 所以y1＝2x2－8x＋10 (2)依题意，得 解这个方程组，得， 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。五、小结： 1．如何用画函数图象的方法求方程韵解 2．你能根据方程组：的解的情况，来判定函数y＝x2与y＝bx＋c图象交点个数吗 请说说你的看法。
作业设计 必做
教学反思