专题7.11 离散型随机变量的分布列和数学期望大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第三册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023春·河南焦作·高二开学考试）已知一个盒子里装有两种颜色的小球，其中有红球6个，黄球3个．
(1)现从中每次随机取出一个球，且每次取球后都放回盒中，求事件“连续取球三次，至少两次取到黄球”发生的概率；
(2)若从盒中一次随机取出3个小球，记取到黄球的个数为X，求随机变量X的数学期望．
2．（2023春·浙江·高三开学考试）第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为，射进小门的概率依次为，，，假设各次进球与否互不影响．
(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；
(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望．
3．（2023·全国·高三专题练习）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望
4．（2023春·山西忻州·高三开学考试）甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班选出3人组成甲、乙两支代表队，每队初始分均为4分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分．已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示首轮甲队总分．
(1)求随机变量的分布列及其数学期望；
(2)求在甲队和乙队总分之和为14的条件下，甲队与乙队得分相同的概率．
5．（2023春·江苏常州·高三开学考试）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球
(1)记从甲袋中取出的2个球中恰有个白球，求随机变量的概率分布和期望；
(2)求从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率.
6．（2023春·河北石家庄·高三开学考试）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
成绩 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 5 5 15 25 10
(1)从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，
7．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，，三类问题，每位参加比赛的同学先在三类问题中随机选择一类，并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从剩下的两类问题中随机选择一类并从中抽取一个问题回答，回答错误则该同学比赛结束；若回答正确，则从剩下的最后一类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分．已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，能正确回答类问题的概率为0.7．且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的期望．
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
8．（2023·福建·统考一模）校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备．某学校引进M，N两种类型的自动体外除颤器（简称AED）若干，并组织全校师生学习AED的使用规则及方法．经过短期的强化培训，在单位时间内，选择M，N两种类型AED操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立．
(1)现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；
(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示，下面是两种方案：
方案甲：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，则第二次使用另一类型AED进行操作．
方案乙：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备．
假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案更好？
9．（2023·重庆·统考一模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．
(1)求频率分布直方图中实数a，b的值；
(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布列和数学期望．
10．（2023·全国·高三专题练习）为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．
(1)求分别获得一、二、三等奖的概率；
(2)设摸球次数为，求 的分布列和数学期望
11．（2023秋·湖南株洲·高三期末）某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.
(1)求该社区能举行4场音乐会的概率；
(2)求该社区举行音乐会场数的分布列和数学期望.
12．（2023·四川成都·统考一模）成都作为常住人口超万的超大城市，注册青年志愿者人数超万，志愿服务时长超万小时.年月，成都个市级部门联合启动了年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到个主体的个志愿服务项目，覆盖文明实践 社区治理与邻里守望 环境保护等大领域.已知某领域共有支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成组：，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)从评分不低于分的队伍中随机选取支队伍，该支队伍中评分不低于分的队伍数为，求随机变量的分布列和期望.
13．（2023秋·河北石家庄·高三期末）党的二十大已胜利闭幕，某市教育系统为深入贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的知识竞赛活动.随机抽取了1000名党员，并根据得分（满分100分）按组别，，，绘制了频率分布直方图（如图），视频率为概率.
(1)若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%，试估计获奖分数线；
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在的人数为，试求的分布列和数学期望.
14．卡塔尔世界杯在今年11月21日至12月18日期间举行，赛程如下：第一轮中先将32个国家随机分为，，，，，，，，8个小组，每个小组中4个国家进行循环积分赛，在积分赛中，每局比赛中胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，积分前两名者晋级下一轮淘汰赛；每组的循环积分赛分3轮，其中C组国家是阿根廷，墨西哥，波兰，沙特，第一轮是阿根廷VS沙特，墨西哥VS波兰；第二轮是阿根廷VS墨西哥，沙特VS波兰；第三轮是阿根廷VS波兰，墨西哥VS沙特.小组赛前曾有机构评估C组四个国家的实力是阿根廷>墨西哥>波兰>沙特，并预测各自胜负概率如下：（1）阿根廷胜墨西哥概率为，阿根廷胜波兰、阿根廷胜沙特的概率均为，阿根廷平墨西哥、波兰、沙特的概率均为；（2）墨西哥胜波兰、墨西哥胜沙特、波兰胜沙特的概率均为，墨西哥平波兰、墨西哥平沙特、波兰平沙特的概率均为；按照上述机构的评估与预测，求解下列问题：
(1)已知在C组小组赛第一轮中，阿根廷沙特，墨西哥波兰，第二轮中，阿根廷墨西哥，沙特波兰，求阿根廷最后小组赛晋级的概率（积分相同时实力强的优先晋级）；
(2)设阿根廷在小组赛中的不败的场次为，求的分布列及数学期望.
15．（2023秋·江苏扬州·高三期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求．
16．（2023秋·广东·高三期末）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：
日销量（单位：百份） 12 13 14 15
天数 3 9 12 6
(1)记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望；
(2)以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份 28百份两种方案中应选择哪种？
17．（2023秋·江苏南通·高三期末）某公司开发了一款可以供（或）个人同时玩的跳棋游戏.每局游戏开始，采用掷两颗质地均匀的骰子（骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6），两个骰子的点数之和除以所得的余数对应的人先走第一步.两个骰子的点数之和除以的余数0，1，2，，分别对应游戏者，，，，.
(1)当时，在已知两个骰子的点数之和为偶数的条件下，求先走第一步的概率；
(2)当时，求两颗骰子点数之和除以的余数的概率分布和数学期望，并说明该方法对每个游戏者是否公平.
18．（2023春·安徽·高三开学考试）某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为，，，，面试笫二轮通过的概率分别为，，，，且4人的面试结果相互独立．
(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
(2)记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．（2023·全国·高三专题练习）单板滑雪U型场地技巧是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在某赛季单板滑雪U型场地技巧比赛中的成绩(单位：分)，如表：
分站 运动员甲的 三次滑行成绩 运动员乙的 三次滑行成绩
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60
第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．
(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站甲的成绩高于乙的成绩的概率；
(2)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；
(3)假如从甲、乙二人中推荐一人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加？说明理由．
20．（2023春·江苏南京·高三期末）2023年的春节期间，某市举办了趣味射击过关比赛.比赛时，有甲、乙两个靶，比赛规则如下：射手先向甲靶射击两次，再向乙靶射击一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，没有命中均得0分.现已知A射手向甲靶射击一次，命中的概率为，再向乙靶射击一次，命中的概率为，假设A射手每次射击的结果相互独立.
(1)当时，求A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数的概率；
(2)现规定射手总得分的数学期望超过4，比赛过关，若A射手过关，求实数p的取值范围.
21．（2023秋·河北邯郸·高三期末）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分，在B处射进一球得2分，否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案1：先在A处踢一球，以后都在B处踢；方案2：都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为，在B处射门的命中率为.
(1)若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望；
(2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
22．（2023秋·海南·高三期末）王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利，产品B的一年后盈亏情况的分布列如下（表中）：
盈亏情况 获利 不赔不赚 亏损
概率 p
(1)如果王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值．
(2)该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B的投资额的但不超过1200元．王先生应该如何分配两个产品的投资额，才能使一年后投资收益（含鼓励金）的期望值最大，最大为多少？
23．（2023秋·山西·高三期末）通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检，单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测：混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为．若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组n位居民采用“n合1”（）混检方式共需检测X次．
(1)求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)已知当时，．若，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？
24．（2022春·山东聊城·高二期中）为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：
①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：
容易题 中等题 难题
答对概率 0.7 0.5 0.3
答对得分 3 4 5
(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；
(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的数学期望．
25．（2023·全国·高三专题练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．
26．（2023·全国·高三专题练习）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为．
(1)证明：在的概率分布中，最大．
(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．
27．（2023·全国·高三专题练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
(2)当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
28．（2023秋·浙江杭州·高三期末）核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为，，.假设，，互不相等，且假定三人能否完成工作是相互独立.
(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；
(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为，，，其中，，是的一个排列.
①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望；
②假定，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？
29．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立．
（1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；
（2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；
（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．
30．（2023·全国·高三专题练习）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足： .
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.专题7.11 离散型随机变量的分布列和数学期望大题专项训练（30道）
【人教A版2019选择性必修第三册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023春·河南焦作·高二开学考试）已知一个盒子里装有两种颜色的小球，其中有红球6个，黄球3个．
(1)现从中每次随机取出一个球，且每次取球后都放回盒中，求事件“连续取球三次，至少两次取到黄球”发生的概率；
(2)若从盒中一次随机取出3个小球，记取到黄球的个数为X，求随机变量X的数学期望．
【解题思路】(1)先计算取到黄球的概率为，再计算连续取球三次，至少两次取到黄球的概率；
(2) X的所有可能取值为0，1，2，3，分别计算对应概率，再对应写出分布列及数学期望．
【解答过程】（1）由题可知，从盒子中随机取出1个球，取到黄球的概率为．
设连续从盒中取球三次，取到黄球的次数为，则，
∴．
（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴．
2．（2023春·浙江·高三开学考试）第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为，射进小门的概率依次为，，，假设各次进球与否互不影响．
(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；
(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望．
【解题思路】(1)根据二项分布求概率公式计算即可求解；
(2)分别求出甲和乙、丙获得“拉伊卜”的概率，再求出，列出分布列，结合数学期望的求法即可求解.
【解答过程】（1）设三人中射进大门的人数为Y，则，
；
（2）甲获得“拉伊卜”的概率，
乙、丙获得“拉伊卜”的概率，
，，
，
，
的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
.
3．（2023·全国·高三专题练习）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望
【解题思路】（1）解法一：由排列组合求出所有可能的申请方式和恰有2人申请A片区房源的申请方式，由古典概率公式代入即可得出答案.
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A，则由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式即可求解；
（2）求出ξ的所有可能值，再分别求出其对应的概率即可求出分布列，再由期望公式代入即可求出申请的房源所在片区的个数的期望.
【解答过程】（1）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
记“申请A片区房源”为事件A，则
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，
恰有2人申请A片区房源的概率为
（2）ξ的所有可能值为1，2，3.
，
(或)，
（或）.
综上知，ξ有分布列为：
ξ 1 2 3
P
.
4．（2023春·山西忻州·高三开学考试）甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班选出3人组成甲、乙两支代表队，每队初始分均为4分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分．已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示首轮甲队总分．
(1)求随机变量的分布列及其数学期望；
(2)求在甲队和乙队总分之和为14的条件下，甲队与乙队得分相同的概率．
【解题思路】（1）求出的所有可能取值及其概率可得分布列，根据数学期望公式可得数学期望；
（2）设“甲队和乙队得分之和为14”为事件，“甲队与乙队得分相同”为事件，求出和后，根据条件概率公式可求出结果.
【解答过程】（1）的可能取值为1，4，7，10，
；；
；．
所以的分布列为
1 4 7 10
．
（2）设“甲队和乙队得分之和为14”为事件，“甲队与乙队得分相同”为事件，
则，
，所以．
5．（2023春·江苏常州·高三开学考试）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球
(1)记从甲袋中取出的2个球中恰有个白球，求随机变量的概率分布和期望；
(2)求从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率.
【解题思路】（1）根据题意知X的取值，求出对应的概率，写出分布列，计算数学期望值；
（2）根据题意，根据甲袋取球情况分类讨论，利用概率公式计算可得.
【解答过程】（1）的所有可能取值为，
，
的分布列如下：
0 1 2
的数学期望.
（2）若从甲袋中取出2红，则乙袋中取出2球恰有1个红球概率，
若从甲袋中取出2白，则乙袋中取出2球恰有1个红球概率，
若从甲袋中取出1红1白，则乙袋中取出2球恰有1个红球概率，
乙袋中取出2球恰有1红的概率.
6．（2023春·河北石家庄·高三开学考试）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
成绩 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 5 5 15 25 10
(1)从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，
【解题思路】（1）根据古典概型的概率计算公式即可求解，
（2）根据分层抽样的抽样比可得[70，80）和[80，90）抽取的学生人数，由超几何分布即可求解概率，进而得分布列.
【解答过程】（1）设该名学生考核成绩优秀为事件A，由已知50名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以，
可以可估计这名学生考核优秀的概率为．
（2）由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，则考核成绩在[70，80）的学生应抽取3人，考核成绩在[80，90）的学生应抽取5人．
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以
即所求数学期望为．
7．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，，三类问题，每位参加比赛的同学先在三类问题中随机选择一类，并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从剩下的两类问题中随机选择一类并从中抽取一个问题回答，回答错误则该同学比赛结束；若回答正确，则从剩下的最后一类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，类问题中的每个问题回答正确得70分，否则得0分．已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，能正确回答类问题的概率为0.7．且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的期望．
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解题思路】（1）由题意得出由随机变量的可能取值为0，20，90，100，170，计算对应的不同随机变量的概率，即可求的数学期望；
（2）计算小明先回答，，问题时随机变量的取值及对应概率，求出均值与（1）比较即可．
【解答过程】（1）解：可能的取值为0，20，90，100，170，
依题意得：，，
，，
，
所以．
（2）解：设小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，80，100，150，170．
依题意，，
，，
，
所以
同理设小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，70，90，150，170，
依题意得，，
，，
，
所以．
因为，所以为使累计得分的期望最大．
故小明应选择先回答类问题．
8．（2023·福建·统考一模）校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备．某学校引进M，N两种类型的自动体外除颤器（简称AED）若干，并组织全校师生学习AED的使用规则及方法．经过短期的强化培训，在单位时间内，选择M，N两种类型AED操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立．
(1)现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；
(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示，下面是两种方案：
方案甲：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，则第二次使用另一类型AED进行操作．
方案乙：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备．
假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案更好？
【解题思路】（1）设“操作成功”为事件S，“选择设备M”为事件A，“选择设备N”为事件B，结合题意和独立事件的概率计算公式即可求解；
（2）设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X，Y，分别求出每一个次数对应的概率，然后求出每种方案对应的均值，进行比较即可得出结论.
【解答过程】（1）设“操作成功”为事件S，“选择设备M”为事件A，“选择设备N”为事件B
由题意，
恰在第二次操作才成功的概率，
，
所以恰在第二次操作才成功的概率为．
（2）设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X，Y，则X，Y可能取值均为0，1，2，
；
；
；
所以
方法一：
；
；
所以
方法二：方案乙选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，
所以，
决策一：因为，故方案甲更好．
决策二：因为与差距非常小，所以两种方案均可
9．（2023·重庆·统考一模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．
(1)求频率分布直方图中实数a，b的值；
(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布列和数学期望．
【解题思路】（1）根据图表得，解出值，根据小矩形面积和为1可求得值；
（2）首先求得总数为21种，求出其中有男生的概率为，求出有女生的概率为，再利用条件概率公式即可；
（3）求出在各自区间的人数，设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,分计算，最后求出期望值.
【解答过程】（1）由,解得
,解得.
（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:，
记任选2人有男生为事件,则，
记任选2人有女生为事件,则，
则.
（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在[6.0,6.5)和的学生中抽取8人,
抽中的8人每天学习时间在的人数为人.
抽中的8人每天学习时问在的人数为人.
设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,则
，
的分布列为:
0 1 2
的数学期望为.
10．（2023·全国·高三专题练习）为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．
(1)求分别获得一、二、三等奖的概率；
(2)设摸球次数为，求 的分布列和数学期望
【解题思路】（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件，，，每次摸球相互独立，每个球被摸到的概率为，由事件的相互独立性性质求，先由排列方式计算事件的基本事件个数，再由古典概型求概率方式求，最后三等奖的情况有: “马，马，上，有”；“ 马，上，上，有”；“ 马，上，有，有”三种情况，由相互独立性求概率即可；
（2）由相互独立性计算的取值为1、2、3、4时的概率，并列出对应的分布列，进而由均值计算公式求得均值.
【解答过程】（1）解：设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件，，．
则，
三等奖的情况有：“马，马，上，有”；“ 马，上，上，有”；“ 马，上，有，有”三种情况，
所以.
（2）解：设摸球的次数为，则的可能取值为、、、，
所以，，，
，
故取球次数的分布列为
1 2 3 4
所以取球次数的数学期望.
11．（2023秋·湖南株洲·高三期末）某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.
(1)求该社区能举行4场音乐会的概率；
(2)求该社区举行音乐会场数的分布列和数学期望.
【解题思路】（1）由题意先求出，由相互独立事件的乘法公式即可求出答案；
（2）求出的可能取值和每个对应的概率，即可求出的分布列，再由期望公式即可求出.
【解答过程】（1）由已知可得，，又，解得，
设表示第i天可以举行音乐会，B表示该社区能举行4场音乐会
则
；
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5
；
，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
P
从而数学期望为：
.
12．（2023·四川成都·统考一模）成都作为常住人口超万的超大城市，注册青年志愿者人数超万，志愿服务时长超万小时.年月，成都个市级部门联合启动了年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到个主体的个志愿服务项目，覆盖文明实践 社区治理与邻里守望 环境保护等大领域.已知某领域共有支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成组：，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)从评分不低于分的队伍中随机选取支队伍，该支队伍中评分不低于分的队伍数为，求随机变量的分布列和期望.
【解题思路】（1）利用直方图中各矩形面积和为列方程求解即可.
（2）先求出评分不低于80分的队伍数，以及评分不低于90分的队伍数，确定随机变量的取值，求出概率，写出分布列，求得期望.
【解答过程】（1）由，
解得．
（2）由题意知不低于分的队伍有支，
不低于90分的队伍有支.
随机变量的可能取值为.
的分布列为
.
13．（2023秋·河北石家庄·高三期末）党的二十大已胜利闭幕，某市教育系统为深入贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的知识竞赛活动.随机抽取了1000名党员，并根据得分（满分100分）按组别，，，绘制了频率分布直方图（如图），视频率为概率.
(1)若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%，试估计获奖分数线；
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在的人数为，试求的分布列和数学期望.
【解题思路】（1）设分数线为，使得成绩在的概率为，解方程可得答案；
（2）应从和两组内分别抽取5人和2人，求出的可能取值以及对应的概率可得分布列和期望.
【解答过程】（1）根据直方图可知，成绩在的频率为，
成绩的频率为0.1，小于0.2，
因此获奖的分数线应该介于之间，
设分数线为，使得成绩在的概率为，
即，
可得，
所以获奖分数线划定为86；
（2）应从和两组内分别抽取5人和2人，
则的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为
数学期望.
14．卡塔尔世界杯在今年11月21日至12月18日期间举行，赛程如下：第一轮中先将32个国家随机分为，，，，，，，，8个小组，每个小组中4个国家进行循环积分赛，在积分赛中，每局比赛中胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，积分前两名者晋级下一轮淘汰赛；每组的循环积分赛分3轮，其中C组国家是阿根廷，墨西哥，波兰，沙特，第一轮是阿根廷VS沙特，墨西哥VS波兰；第二轮是阿根廷VS墨西哥，沙特VS波兰；第三轮是阿根廷VS波兰，墨西哥VS沙特.小组赛前曾有机构评估C组四个国家的实力是阿根廷>墨西哥>波兰>沙特，并预测各自胜负概率如下：（1）阿根廷胜墨西哥概率为，阿根廷胜波兰、阿根廷胜沙特的概率均为，阿根廷平墨西哥、波兰、沙特的概率均为；（2）墨西哥胜波兰、墨西哥胜沙特、波兰胜沙特的概率均为，墨西哥平波兰、墨西哥平沙特、波兰平沙特的概率均为；按照上述机构的评估与预测，求解下列问题：
(1)已知在C组小组赛第一轮中，阿根廷沙特，墨西哥波兰，第二轮中，阿根廷墨西哥，沙特波兰，求阿根廷最后小组赛晋级的概率（积分相同时实力强的优先晋级）；
(2)设阿根廷在小组赛中的不败的场次为，求的分布列及数学期望.
【解题思路】（1）首先分析两轮过后各队的积分情况，可得有①阿根廷胜波兰；②阿根廷平波兰且墨西哥不负于沙特，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算可得.
（2）依题意可得的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【解答过程】（1）解：前两轮过后，阿根廷、墨西哥、波兰、沙特的积分分别是3分、1分、4分、3分；
第三轮中，阿根廷VS波兰，阿根廷胜波兰概率为，阿根廷平波兰概率为，阿根廷负于波兰概率为，
墨西哥VS沙特，墨西哥胜沙特概率为，墨西哥平沙特概率为，墨西哥负于沙特概率为；
设所求事件为，列举可知事件包含以下两种情况：①阿根廷胜波兰；②阿根廷平波兰且墨西哥不负于沙特，
则.
（2）解：依题意可得的可能取值为、、、，
又知，，
，，
所以分布列如下：
所以的数学期望.
15．（2023秋·江苏扬州·高三期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求．
【解题思路】(1)根据题意得出不选择校本课程二的概率为，选择校本课程二的概率为，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和期望；
(2) 这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
则，设，利用错位相减法即可求解.
【解答过程】（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，
选择校本课程二的概率为，
则X的可能取值为3，4，5，6，
，，
，，
所以X的分布列如下表所示：
X 3 4 5 6
P
所以．
（2）因为这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
所以，
设，
则，
由两式相减得，
即，
所以.
16．（2023秋·广东·高三期末）疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：
日销量（单位：百份） 12 13 14 15
天数 3 9 12 6
(1)记两天中销售该款新套餐的总份数为（单位：百份），求的分布列和数学期望；
(2)以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份 28百份两种方案中应选择哪种？
【解题思路】（1）列出可能取值，分别计算出相应的概率，列出分布列表，即可求解.
（2）根据利润的计算方式，分别计算出当每两天生产配送27百份时的利润和当每两天生产配送28百份时利润，比较后可得答案.
【解答过程】（1）根据题意可得：的所有可能取值为，
，
，
，
，
，
，
，
的分布列为：
24 25 26 27 28 29 30
；
（2）当每两天生产配送27百份时，利润为：
（百元）
当每两天生产配送28百份时，利润为：
（百元），
，选择每天生产配送27百份.
17．（2023秋·江苏南通·高三期末）某公司开发了一款可以供（或）个人同时玩的跳棋游戏.每局游戏开始，采用掷两颗质地均匀的骰子（骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6），两个骰子的点数之和除以所得的余数对应的人先走第一步.两个骰子的点数之和除以的余数0，1，2，，分别对应游戏者，，，，.
(1)当时，在已知两个骰子的点数之和为偶数的条件下，求先走第一步的概率；
(2)当时，求两颗骰子点数之和除以的余数的概率分布和数学期望，并说明该方法对每个游戏者是否公平.
【解题思路】（1）列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解；
（2）根据试验，分析出当时，两颗骰子点数之和除以的余数可能为0，1，2，3，分别求概率，得到分布列，即可判断.
【解答过程】（1）因为掷两颗质地均匀的骰子所得点数之和有如下36种基本样本点（表）：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
在已知两个骰子点数之和为偶数的条件下，共有基本事件18个，
设事件“先走第一步”为，表示和被除后的余数为2的基本事件有和为2，8对应的情形有6个，依据古典概型可知：，
即先走第一步的概率为.
（2）当时，两颗骰子点数之和除以的余数可能为0，1，2，3，且
所以随即变量的概率分布为
0 1 2 3
故；
由于和被4除所得余数（即随即变量取值）的概率大小不完全相同，说明该方法对每个游戏者不公平.
18．（2023春·安徽·高三开学考试）某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为，，，，面试笫二轮通过的概率分别为，，，，且4人的面试结果相互独立．
(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
(2)记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【解题思路】（1）根据题意分别计算出甲、乙、丙、丁4名同学参加面试通过的概率，利用对立事件的概率公式可知“至少有1人被录用的概率”与“没有人被录用的概率”之和为1，即可计算出结果；（2）写出X的所有可能取值，再根据积事件与和事件的概率公式分别求的其概率即可列出分布列，进而求得期望值.
【解答过程】（1）由题意得，甲被录用的概率为，
乙被录用的概率为，
丙被录用的概率为，
丁被录用的概率为；
事件“至少有1人被录用”与事件“没有人被录用”互为对立事件，
没有人被录用的概率为
设甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用为事件M，
则，
即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率为
（2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
∴，
，
，
，
，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴期望值．
19．（2023·全国·高三专题练习）单板滑雪U型场地技巧是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在某赛季单板滑雪U型场地技巧比赛中的成绩(单位：分)，如表：
分站 运动员甲的 三次滑行成绩 运动员乙的 三次滑行成绩
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60
第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．
(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站甲的成绩高于乙的成绩的概率；
(2)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；
(3)假如从甲、乙二人中推荐一人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加？说明理由．
【解题思路】（1）根据古典概型的概率公式求解即可；
（2）求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望的公式求解即可；
（3）根据数据得出其概率，期望，平均数，方差等数据分析，理由合理即可.
【解答过程】（1）设“从5站中随机选取1站，该站甲的成绩高于乙的成绩”为事件A．
甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为86.20，92.80，87.50，89.50，86.00．
乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为88.40，88.60，89.10，88.20，87.70．
其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，所以．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
．
（3）答案一：推荐乙．
从5站的成绩可以看出，任意1站甲的成绩高于乙的成绩的概率为，乙的成绩高于甲的成绩的概率为．因为，所以乙的成绩好于甲的成绩的可能性大，所以推荐乙参加．
答案二：推荐乙．
用“”表示任意1站甲的成绩高于乙的成绩，用“”表示任意1站甲的成绩低于乙的成绩，则，，，．
用“”表示任意1站乙的成绩高于甲的成绩，用“”表示任意1站乙的成绩低于甲的成绩，则，，，．
因为，，
所以预测乙的成绩好于甲的成绩，推荐乙参加．
答案三：推荐乙．
设甲5站的平均成绩、乙5站的平均成绩、甲5站成绩的方差、乙5站成绩的方差分别为，，，，
则，
，
，
，
，说明甲、乙二人水平相当，
，表明乙的发挥比甲的更稳定，所以预测乙的成绩会更好，推荐乙参加．
答案四：推荐甲．
甲5站的平均成绩为，
乙5站的平均成绩为，
虽然甲、乙5站的平均成绩相同，但是甲成绩的极大值为92.80，乙成绩的极大值为89.10，
甲成绩的极大值大于乙成绩的极大值，所以预测甲的成绩会比乙的更好，推荐甲参加．
答案五：推荐甲．
所有成绩中两人均有一次0分成绩，是持平的，但除此之外，甲低于80分的有2次，乙有3次，甲发挥不理想的次数要少，所以甲失误的可能性小，推荐甲参加．
20．（2023春·江苏南京·高三期末）2023年的春节期间，某市举办了趣味射击过关比赛.比赛时，有甲、乙两个靶，比赛规则如下：射手先向甲靶射击两次，再向乙靶射击一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，没有命中均得0分.现已知A射手向甲靶射击一次，命中的概率为，再向乙靶射击一次，命中的概率为，假设A射手每次射击的结果相互独立.
(1)当时，求A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数的概率；
(2)现规定射手总得分的数学期望超过4，比赛过关，若A射手过关，求实数p的取值范围.
【解题思路】（1）“A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数”包含“射击甲靶击中两次，射击乙靶不中或命中”和“射击甲靶的两次中只击中一次，射击乙靶不击中”，由乘法公式得出所求概率；
（2）求出A射手总得分的所有可能取值以及相应概率，进而由，得出实数p的取值范围.
【解答过程】（1）记“A射手命中甲靶次数多于命中乙靶次数”为事件B.
事件B发生包含：“射击甲靶击中两次，射击乙靶不中或命中”和“射击甲靶的两次中只击中一次，射击乙靶不击中”，所以.
（2）设A射手总得分为，则的所有可能取值为：.
，
，
，
所以
.
则当时，，所以.
21．（2023秋·河北邯郸·高三期末）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立.在A处射进一球得3分，在B处射进一球得2分，否则得0分.将队员得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案1：先在A处踢一球，以后都在B处踢；方案2：都在B处踢球.已知甲队员在A处射门的命中率为，在B处射门的命中率为.
(1)若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望；
(2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
【解题思路】（1）求出X的所有可能值，再利用独立事件、互斥事件的概率求出各个取值的概率，列出分布列求出期望作答.
（2）求出甲分别选方案1和方案2通过测试的概率，再比较大小作答.
【解答过程】（1）设甲队员在A处命中的事件为A，在B处命中的事件为，有，
X的所有可能值为0，2，3，4，
，
，
，，
所以X的分布列为：
X 0 2 3 4
P
数学期望.
（2）设甲队员选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为，
由（1）知，，
，显然，
所以甲队员选择方案2通过测试的可能性更大.
22．（2023秋·海南·高三期末）王先生准备利用家中闲置的10万元进行投资，投资公司向其推荐了A，B两种理财产品，其中产品A一年后固定获利，产品B的一年后盈亏情况的分布列如下（表中）：
盈亏情况 获利 不赔不赚 亏损
概率 p
(1)如果王先生只投资产品B，求他一年后投资收益的期望值．
(2)该投资公司为提高客户积极性，对投资产品B的客户赠送鼓励金，每年的鼓励金为产品B的投资额的但不超过1200元．王先生应该如何分配两个产品的投资额，才能使一年后投资收益（含鼓励金）的期望值最大，最大为多少？
【解题思路】（1）根据概率和为1求出，然后根据数学期望公式求解盈亏情况.
(2)根据，，能分析到先投资产品B，使鼓励金达到1200元，其余资金再投资产品A．
【解答过程】（1）由已知得，所以，
如果王先生只投资产品B，他一年后投资收益的期望值为（万元）．
（2）产品B的平均收益率为．
因为，，即产品B的平均收益率比产品A的收益率小，但加上鼓励金后平均收益率比产品A的收益率大，故要使投资收益的期望值最大，应优先投资产品B，使鼓励金达到1200元，其余资金再投资产品A．
因为（元），所以应该用6万元投资产品B，4万元投资产品A．
一年后投资收益的期望值最大为（万元）．
23．（2023秋·山西·高三期末）通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检，单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测：混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为．若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组n位居民采用“n合1”（）混检方式共需检测X次．
(1)求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)已知当时，．若，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？
【解题思路】(1)根据题干条件分情况和求概率,写出分布列计算数学期望即可;
(2)由(1)的数学期望得出每位居民检测的次数,再应用基本不等式求出核酸检测中每位居民检测的最少次数,取等条件可求n.
【解答过程】（1）X的取值为1和，
，
，
随机变量X的分布列为：
X 1
P
可得；
（2）由（1）可知每位居民检测的次数约为，
又由，
当且仅当，即时等号成立．
故当时，采用“100合1”，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少．
24．（2022春·山东聊城·高二期中）为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：
①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：
容易题 中等题 难题
答对概率 0.7 0.5 0.3
答对得分 3 4 5
(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；
(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的数学期望．
【解题思路】（1）先分析得甲后两轮还有三种方案，利用独立事件的概率的乘法公式将每种方案进决赛的概率求出，比较之即可得解；
（2）根据题意得到X的可能取值，结合独立事件的概率的乘法公式将X的每一个取值的概率求出，从而得到X的的分布列，从而求得X的数学期望．
【解答过程】（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为分，要进入决赛，还需要得分，
所以甲后两轮的选择有三种方案：
方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为；
方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为；
方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：；
因为，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.
（2）依题意，X的可能取值为3、7、8、11、12、16，
则，
，
，
所以X的分布列为：
X 3 7 8 11 12 16
P
所以.
25．（2023·全国·高三专题练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．
【解题思路】（1）先得到剂型与合格的概率，求出X的所有可能取值及相应的概率，得到分布列，求出期望值；
（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【解答过程】（1）剂型合格的概率为：；
剂型合格的概率为：．
由题意知X的所有可能取值为0，1，2．
则，
，
，
则X的分布列为
X 0 1 2
P
数学期望．
（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为，
检测4人确定“感染高危户”的概率为，
则．
令，因为，所以，
原函数可化为．
因为，
当且仅当，即时，等号成立．
此时，所以．
26．（2023·全国·高三专题练习）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为．
(1)证明：在的概率分布中，最大．
(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．
【解题思路】（1）分别求出（，1，2，3）的值，作差法比较大小得证；
（2）由（1）知，设三人任意顺序出场时三场投中的概率分别为，，，计算比赛时所需派出的人数的期望，证明成立，说明按排列时最小， 应当以甲、乙、丙的顺序安排出场.
【解答过程】（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
∵，∴，
，
，
所以概率最大．
（2）由（1）知，当时，有的值最大，
且，，
所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．
证明如下：
假设，，为，，的任意一个排列，即若甲、乙、丙按照某顺序派出，
该顺序下三人能完成项目的概率为，，，记在比赛时所需派出的人数为，则，2，3，且的分布列为：
1 2 3
数学期望，
∵，∴，
要使尽可能小，则需要尽可能大， 故当取时最小，所以，
∴，
所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小．
27．（2023·全国·高三专题练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
(2)当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
【解题思路】（1）求出X可能取值，并求出对应的概率，得到期望，配方后得到期望最大值时对应的p的值；
（2）先得到双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为，比分为2∶1或1∶2的概率均为，考虑和两种情况，分别求出概率，相加即可.
【解答过程】（1）X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
，则或．
即获胜方两天均为2∶0获胜，不妨设A部胜，
概率为，同理B部胜，概率为，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
不妨设最终A部获胜，
当前两天的比分为2∶0和2∶1时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2∶1，三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛A获胜，另外一天比赛比分为2：0，故概率为，
当前两天比分为2∶0和0∶2，附加赛A获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为，
故最终A部获胜的概率为，
同理B部胜，概率为，
故．
所以．
28．（2023秋·浙江杭州·高三期末）核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为，，.假设，，互不相等，且假定三人能否完成工作是相互独立.
(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；
(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为，，，其中，，是的一个排列.
①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望；
②假定，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？
【解题思路】(1)由概率算式知任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关.
(2) ①计算变量取值相应的概率得到分布列，计算数学期望；②根据不同顺序方案数学期望的结果，得到数学期望最小时的派出顺序.
【解答过程】（1）无关，理由如下：
由于任务不能被完成的概率为为定值，
故任务能被完成的概率为也为定值．
所以任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关．
（2）① X的取值为1，2，3，
，，，
分布列如图：
X 1 2 3
P
．
② ，
若交换前两个人的派出顺序，则变为，
由此可见，当时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两个人的派出顺序，
可写为，交换后两个人的派出顺序则变为；
当时，交换后两个人的派出顺序可增大均值，
故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
29．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲、乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．已知每场比赛甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1-p，且每场比赛相互独立．
（1）当时，假设比赛不会意外终止，记比赛场次为随机变量Y，求Y的分布列；
（2）当时，若已进行了5场比赛，其中甲赢了3场，乙赢了2场，此时比赛因意外终止，主办方决定颁发奖金，求甲获得的奖金金额；
（3）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生．若本次比赛，且在已进行的3场比赛中甲赢2场、乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由．
【解题思路】（1）由题意可得，的可能取值为4，5，6，7，分别求出对应的概率，即可求得分布列．
（2）分别求出5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率和继续比赛乙胜的概率，根据二者的比值，确定奖金的占比．
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4，，，设乙赢得全部奖金为事件，则（A），设，再结合导数的单调性，即可求解．
【解答过程】（1）的可能取值为4，5，6，7，
，
，
，
，
的分布列为
4 5 6 7
（2）5场比赛甲胜3局，则继续比赛甲胜的概率为；继续比赛乙胜的概率为，
甲获得奖金金额为（元）；
（3）设继续进行场比赛乙赢得全部奖金，可能取值为3，4.
;，
设乙赢得全部奖金为事件，则，
设，则，由，
在单调递减，，
认为比赛继续进行乙赢得全部奖金不可能发生.
30．（2023·全国·高三专题练习）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足： .
（1）试确定n的所有取值，并求k；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在内的同学评为一等奖；分数在内的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在内的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）.已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段获得二等奖.
①求学生B最终获奖等级不低于学生A最终获奖等级的概率；
②已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.
【解题思路】（1）根据分数及组距可得的可能值，由频率和为1可求得．
（2）①视频率为概率可得分数在5个区间上的概率，用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中，记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，则，由互斥事件和独立事件概率公式计算可得；
②先分别求出获得一等奖的概率，注意此时用条件概率计算，只有第一轮获奖，都有可能最终获利一等奖．最终获一等奖概率易知为，而最终获一等奖，需要在第一轮获奖的条件下才可能实现．因此，的可能取值为，分别计算概率可得分布列，再由期望公式计算期望．
【解答过程】（1）根据题意，X在内，按5为组距可分成5个小区间，
分别是，，，，，
因为，由，，所以.
每个小区间的频率值分别是，
由，解得.
（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生B的分数属于区间，，，，的概率分别是：，，，，.
我们用符号（或）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中
记“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”为事件W，
则
.
②学生A最终获得一等奖的概率是，
学生B最终获得一等奖的概率是，
，，
.
所以的分布列为：
0 1 2
P
.
